Research Interests of Hans-Christoph Grunau

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Research Interests of Hans-Christoph Grunau

Forschungsprojekte

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Einen guten Überblick über meine aktuellen Interessen geben diese Vorträge: Marburg, Perugia, Darmstadt.

Randwertprobleme für Willmoreflächen

Die Willmoregleichung, d.h. die Euler-Lagrange-Gleichung zum Willmorefunktional, zählt zu den wichtigen und anspruchsvollen Herausforderungen der nichtlinearen Analysis: Sie ist quasilinear und von vierter Ordnung; viele aus der Theorie von Gleichungen und Systemen zweiter Ordnung her wohlbekannte Methoden versagen zu einem großen Teil. Dennoch konnten in letzter Zeit einige bemerkenswerte Fortschritte u.a. von L. Simon, E. Kuwert, R. Schätzle, T. Riviere u.a. erzielt werden. Bislang wurde das Willmorefunktional meist nur auf unberandeten kompakten Mannigfaltigkeiten studiert, da hier großer Gewinn aus globalen differentialgeometrischen Eigenschaften gezogen werden konnte. Hinsichtlich Randwertproblemen liegen erst ganz wenige Resultate vor: Die ohnehin schwierige Gewinnung von Kompaktheit / Abschätzungen wird hier nochmals komplizierter. In einem gemeinsamen Projekt mit Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen wir mit numerischen Studien und analytischen Untersuchungen von Randwertproblemen in symmetrischen Prototypsituationen beginnen und damit eine Richtung aufzeigen, unter welchen Bedingungen zu erwarten sein wird, mit a-priori-beschränkten Minimalfolgen arbeiten und a-priori-beschränkte klassische Lösungen erhalten zu können. Als studentische Hilfskraft hat hierzu Herr Lenor eine Reihe von Bildern produziert. Die Kollegen Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen numerische Algorithmen und Konvergenzsätze in allgemeineren Situation entwickelen, z.B. für Graphen über zweidimensionalen Gebieten. Diesbezügliche Ergebnisse könnten Entwicklungen hin zu parametrisch beschriebenen Flächen vorbereiten.
Förderung durch Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1.10.2008-30.09.2010. Projektmitarbeiterin war Anna Dall'Acqua.

Qualitative Eigenschaften von Lösungen elliptischer Randwertprobleme höherer Ordnung

Als einfachsten Prototyp kann man hier an die Gleichung der eingespannten Platte denken, d.h. an den biharmonischen Operator unter Dirichletrandbedingungen. Von besonderem Interesse sind Positivitätseigenschaften: Unter welchen Bedingungen an das Problem (Gebiet, Differentialoperator) ziehen positive Daten positive Lösungen nach sich? Die Antwort auf diese Frage fällt recht differenziert aus: es sind sowohl Beispiele von Gebieten mit stets vorzeichenerhaltenden Lösungen als auch von solchen mit vorzeichenwechselnden Lösungen bekannt. Mein Hauptaugenmerk liegt auf positiven Resultaten: z.B. ist die Gleichung der eingespannten Platte in Gebieten positivitätserhaltend, die nicht zu sehr vom Kreis abweichen.
Neben ihrer anschaulichen Bedeutung sollen diese Untersuchungen vor allem auch Anwendung auf nichtlineare Gleichungen finden. Erste Erfolge konnten hier bereits erreicht werden, eine befriedigende Antwort auf die Frage, inwiefern die (eingeschränkt gültigen) Positivitätsresultate Auswirkung auf die nichtlinearen Randwertprobleme höherer Ordnung haben, scheint aber derzeit noch nicht in Sicht zu sein.
Mittel- bis langfristig erhoffe ich mir hier Fortschritte bei Problemen aus der Physik (Mechanik, Hydrodynamik) und Differentialgeometrie.

In diesem Bereich arbeite ich mit Guido Sweers (Köln, TU Delft) und Frederic Robert zusammen.

Semilineare Eigenwertprobleme mit kritischem Wachstum

Diese Gleichungen stehen in engem Zusammenhang mit Problemen aus der konformen Geometrie. Zum einen interessiert mich hier im Anschluß an sehr bekannte Arbeiten u.a. von Brezis-Nirenberg und Pucci-Serrin die Frage, auf welche Weise die von den Problemen zweiter Ordnung her bekannten Resultate Verallgemeinerungen auf Probleme beliebiger Ordnung erfahren. Zum anderen möchte ich versuchen, Verbindungen zur Theorie qualitativer Eigenschaften von Lösungen herzustellen. In diesem Zusammenhang konnte eine abgeschwächte Version einer Vermutung von Pucci und Serrin bewiesen werden, die das Phänomen der "kritischen Dimensionen" für polyharmonische semilineare Dirichletprobleme zum Gegenstand hat. Ein Beweis der ursprünglichen Vermutung stellt immer noch eine Herausforderung dar.
In letzter Zeit konnten die Verbindungen zu den weiter oben genannten Positivitätsresultaten weiter ausgebaut werden, vor allem mit Hilfe der Zerlegung von Funktionen in Sobolevräumen höherer Ordnung bezüglich Paaren zueinander dualer Kegel. Diese ersetzt die in diesen Räumen nicht mehr zulässige Zerlegung in Positiv- und Negativteil und gestattet eine effiziente Beschreibung der Kompaktheitseigenschaften der beteiligten Variationsfunktionale.
In diesem Bereich ist die Zusammenarbeit besonders intensiv mit Filippo Gazzola.

Biharmonische Gleichungen mit superkritischem Wachstum

Variationstechniken stehen nicht mehr zur Verfügung, stattdessen sind Vergleichsprinzipien, Ober-/Unterfunktionstechniken und im Falle radialsymmetrischer Lösungen Methoden aus dem Bereich dynamischer Systeme anzuwenden. Die Verbindung von superkritischem Wachstum und Differentialoperatoren höherer Ordnung sorgt für technisch subtile Schwierigkeiten. Auch hier arbeite ich mit Filippo Gazzola zusammen.

Parabolische Systeme mit kritischem Wachstum

Untersucht wurden semilineare Systeme, bei denen das Wachstum der nichtlinearen Terme kritisch ist bzgl. der Energienorm schwacher Lösungen, d.h. sogenanntes kontrolliertes Wachstum: Ohne weitere Voraussetzungen (wie etwa Vorzeichenbedingungen) ist dann jede schwache Lösung stark. Dieses Regularitätsresultat, das gemeinsam mit Wolf von Wahl erzielt wurde, basiert auf einer Kontinuitätsmethode, bei der die Zeit als Kontinuitätsparameter verwendet wird.
Zum Anderen wurden geometrische Evolutionsprobleme betrachtet, mit deren Hilfe Hermitesch-harmonische Abbildungen zwischen nichtkompakten vollständigen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden. Dieses System ist semilinear, quadratisch im Gradienten und nicht in Divergenzform.

Navier-Stokes-Gleichungen

Hier liegt mein Interesse auf instationären Außenraumproblemen mit nicht verschwindender Anströmgeschwindigkeit im Unendlichen. Untersucht werden die Regularitätseigenschaften geeigneter schwacher Lösungen sowie das zeitasymptotische Verhalten von Störungen stabiler stationärer Lösungen.

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Research Interests

Zur deutschen Version

These lectures gives an impression of my present research interests: Marburg, Perugia, Nizza .

Boundary value problems for Willmore surfaces

The Willmore equation, i.e. the Euler-Lagrange equation of the Willmore functional, is a particularly challenging and important problem in nonlinear analysis. It is quasilinear and of fourth order. Many methods which are well established in second order problems do not apply any longer. Nevertheless, significant progress could be achieved in the past years e.g. by L. Simon, E. Kuwert, R. Schätzle, T. Riviere and many others. Most of these results, however, concern closed surfaces. As for boundary value problems only little is known so far since very hard compactness difficulties have to be overcome. By means of numerical studies and analytical investigations we want to study first quite symmetric prototype situations in order to outline in which direction one may expect to obtain a-priorily bounded minimising sequences and classical solutions. Our student Stephan Lenor has produced a number of pictures. This is a joint project with my colleagues Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck who intend to develop numerical algorithms and convergence results also in more general situations, e.g. for graphs over two dimensional domains. Analysis, numerical analysis and numerics will intensively interact.
Supported by Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1.10.2008-30.09.2010. Anna Dall'Acqua was working on this project.

Qualitative properties of solutions of elliptic boundary value problems of higher order

Here one may think of the clamped plate equation (biharmonic operator under Dirichlet boundary
conditions) as the most simple prototype for higher order elliptic boundary value problems. Of particular interest are positivity preserving properties of the corresponding solution operators:
Is it possible to find conditions on the domain and the differential operator such that positive data always yield positive solutions? Even for the "simple" example of the clamped plate equation it is up to now not possible to answer this question completely. There are as well examples of domains with positivity preserving as of domains, where change of sign occurs. I am mainly interested in the first class of domains: In two dimensions, e.g., in domains close to the disk, positive right hand sides always give rise to positive solutions. "Upwards pushing yields upwards bending."

Positivity properties of linear boundary value problems are not only of interest on their own, but one may also try to apply them to nonlinear problems. Although first results could be achieved it is still by far not obvious to what extent the (relatively restricted) positivity results will be of use for general nonlinear elliptic boundary value problems of higher order. I hope for some progress in problems from physics (mechanics, hydrodynamics) and differential geometry.

In this field I collaborate with Guido Sweers (Cologne, TU Delft) and Frederic Robert.

Semilinear eigenvalue problems involving critical Sobolev exponents

These equations are closely related to problems in conformal geometry. Here we are basing upon two widely known papers of Brezis-Nirenberg and Pucci-Serrin and try to find out in how far the results kown for second order problems extend to boundary value problems of higher order. Emphasis is laid on the interplay with qualitative properties of solutions. In this connection a modified version of a conjecture of Pucci and Serrin concerning the "critical dimension phenomenon" for semilinear polyharmonic problems could be proved. A full proof of the original conjecture, however, seems up to now out of reach.
Recently, the connections with the above mentioned positivity properties could be more intensively exploited. Here a decomposition method with respect to pairs of dual cones in higher order Sobolev spaces has proved to be particularly useful. This method replaces the decomposition in positive and negative part, which is no longer admissible in these spaces. In this way, compactness properties of the corresponding variational functionals could be described efficiently.
In this field I am particularly working with Filippo Gazzola.

Biharmonic equations with supercritical growth

Variational techniques are no longer available. Instead, comparison principles, the sub-/supersolution method or in the case of radially symmetric solutions methods from dynamical systems have to be applied. Combining supercritical growth with differential operators of higher order gives rise to subtle technical problems. Also here, I collaborate with Filippo Gazzola, which was 2005 and 2006 supported by the Vigoni-programme of DAAD (Bonn) and CRUI (ROM).

Parabolic systems with critical growth

Under consideration are semilinear systems, whose nonlinear terms grow critically with respect to the canonical energy norm of weak solutions, i.e. we are dealing with controllable growth conditions.
Without further assumptions (like e.g. sign conditions on the nonlinear term) it was shown in a joint paper with Wolf von Wahl that every weak solution is regular. For this result we crucially employ a continuity method with the time as parameter of continuity.
Further, we consider geometric evolution equations in order to construct Hermitian harmonic mappings between noncompact complete manifolds. This semilinear system has quadratic growth with respect to the gradient and is not in divergence form.

Navier-Stokes equations

Here I am interested in instationary problems in exterior domains with nonzero prescribed velocity at infinity. I have been investigating regularity of suitable weak solutions and the asymptotic behaviour, as the time tends to infinity, of perturbations of physically reasonable stationary solutions with small energetic Reynolds number.

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Last modified: $Date: 2017/07/13 17:30:56 $