{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Mit dem folgenden Maple-wo rksheet koennen Sie fuer Beispielfunktionen die" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "jeweilige Fourierreihe bis zu einer gewuenschten Genauigk eit berechnen. Wir" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "legen dabei die Ent wicklung mit reellen Koeffizienten nach Kosinus- und Sinus-" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "funktionen auf dem Prototyp-Intervall (-Pi..Pi) zu Grunde." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Es folgt als erstes Beipiel die Saegezahnfunktion. Die \"floor \"-Funktion ist genau" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "die Gaussklammer , mit dem folgenden Term modellieren wir die 2-Pi-periodische" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Fortsetzung der Identitaet auf (-Pi..Pi). Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "koennen Sie natuerlich auch als f einfach die Funktion eingeben, d ie auf (-Pi..Pi)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "mit der zu entwickeln den uebereinstimmt. Im folgenden Beispiel koennen Sie also" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "ebensogut die Funktion f:=t->t eingeben. Diese St rategie soll im Folgenden zur" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Vermeidu ng kuenstlich langer Rechenzeiten auch stets verfolgt werden. Allerdin gs " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "liefert dann der Plot nur auf -Pi ..Pi das gewuenschte Ergebnis." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "f:=t->t-2*Pi*floor(t/(2*Pi)+(1/2));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 34 "Schauen wir uns diese Funktion an:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "plot(f(t),t=-3*Pi..3*Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Und nun definieren wir f vereinfacht und uebere instimmend auf (-Pi..Pi):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "f:=t->t;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Auf (-Pi..Pi) erhalt en wir dasselbe Bild (und nur das ist entscheidend);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "plot(f(t),t=-Pi..Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Wir definieren mit MAX nun die Zahl der zu berech nenden Fourierkoeffizienten." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "MAX:=100;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Das wird das Fe ld fuer die \"Kosinus-Koeffizienten\":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "a:=array(0..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Mit der folgenden Schleife wird die Formel fuer die \"Kosinus-K oeffizienten\" programmiert:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "for n from 0 by 1 to MAX do\n a[n]:=(1/Pi)*int(f(t)*cos( n*t),t=-Pi..Pi):\n od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Mit d em folgenden Befehl geben wir die Schleifenvariable wieder frei. Diese r Schritt laesst" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "sich leider nicht ver meiden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('n');" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Und nun folgt dasselbe noch ein mal, nun allerdings fuer die \"Sinus-Koeffizienten\":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "b:=array(1..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "for n from 1 by 1 to MAX do\n b[n ]:=(1/Pi)*int(f(t)*sin(n*t),t=-Pi..Pi):\n od:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('n');" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Der folgende Ausdruck definiert die (Partialsumme mit 2*M AX+1 Termen der) Fourierreihe von f:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "u:=(t)->(a[0]/2)+sum(a[k]*cos(k*t),k=1..MAX)+sum(b[k] *sin(k*t),k=1..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "Sehen wi r uns dieses Ergebnis wieder an, vergleichen Sie mit dem Graphen oben \+ der urspruenglichen Funktion!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "plot(u(t,x),t=-3*Pi..3*Pi,numpoints=10000);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 69 "Dasselbe Programm wird nun mit einem weiteren Beis piel durchgefuehrt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "f:=t ->abs(t-2*Pi*floor(t/(2*Pi)+(1/2)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Der Graph dieser Funktion:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "plot(f(t),t=-3*Pi..3*Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Wieder die vereinfachte Definition von f auf (-Pi..Pi):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "f:=t->abs(t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "plot(f(t),t=-Pi..Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Die Bestimmung der Fourierkoeffizienten: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "MAX:=100;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "a:=array(0..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "for n from 0 by 1 to MAX do\n a[n ]:=(1/Pi)*int(f(t)*cos(n*t),t=-Pi..Pi):\n od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('n');" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "b:=array(1..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "for n from 1 by 1 to MAX do\n b[n]:=(1/Pi)*in t(f(t)*sin(n*t),t=-Pi..Pi):\n od:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('n');" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Partialsumme der Fourierreihe von f:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "u:=(t)->(a[0]/2)+sum(a[k]*cos(k*t),k=1..MAX)+sum(b[k] *sin(k*t),k=1..MAX);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Und deren Graph:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "plot(u(t,x),t=-3 *Pi..3*Pi,numpoints=10000);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "U nd nun sind Sie an der Reihe:......................................... ................................." }}}}{MARK "31 0 0" 3 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }