\underline{V}

Vorwort

Dieses Buch ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die der ältere der beiden Autoren im Wintersemester 1987/88 an der Universität Göttingen gehalten hat, die vom jüngeren Autor ausgearbeitet und zunächst vom Mathematischen Institut der Universität Göttingen herausgegeben worden ist. Für die Veröffentlichung als Lehrbuch ist dieses Manuskript noch einmal grundlegend überarbeitet und an zahlreichen Stellen ergänzt worden. Wir hoffen, daß die Darstellung so ausführlich, interessant und klar geraten ist, daß sich das Buch nicht nur als Begleitlektüre zu einer entsprechenden Vorlesung, sondern auch zum Selbststudium, zum Nachlesen oder zur Vorbereitung auf Prüfungen eignet. Auf die Stoffauswahl gehen wir in der Einleitung ausführlich ein. Hier sei nur bemerkt, daß einerseits der Geometrie und vor allem der Nahtstelle zwischen geometrischer Anschauung und mathematisch-logischer Formulierung ein großes Gewicht eingeräumt wird. Andererseits wird ein großer Teil der grundlegenden Theorie, wie er etwa auch von Studenten der Wirtschaftsmathematik oder Physik benötigt wird, in diesem Buch behandelt, auch wenn es nur den Inhalt des ersten Teils der zweisemestrigen Vorlesung ”Analytische Geometrie und lineare Algebra“ wiedergibt. Breiten Raum nehmen die Behandlung linearer Gleichungssysteme (Gaußscher Algorithmus), die Determinantentheorie und die Eigenwerttheorie linearer Abbildungen in ”euklidischen“ Vektorräumen (Hauptachsentransformation) ein. Wir sind bemüht, schnell zu den Kernpunkten der jeweiligen Themenbereiche vorzustoßen und verzichten dabei bewußt auf größtmögliche Allgemeinheit. Zahlreiche Beispiele, die teilweise den Charakter von gelösten Übungsaufgaben haben, sollen das Verständnis neuer Begriffe oder Methoden unmittelbar fördern. Wir haben dem Verlag und insbesondere den Herren Andreas Türk und Martin Reck zu danken für die jederzeit angenehme Zusammenarbeit. Herrn Peter Lerner danken wir für seine tatkräftige Mitwirkung bei der Erstellung der L^{A}TEX-Dateien und Herrn Christian Meister für seine Hilfe bei der Durchsicht des Manuskripts.

Göttingen und Bayreuth, im März 1999  Hans Grauert Hans-Christoph Grunau

\underline{VI}

Zu den Autoren

Hans Grauert wurde am 8. Februar 1930 in Haren (Ems) geboren. Er studierte Mathematik und Physik in Mainz, Münster und an der ETH Zürich. Er wurde 1958 an die Universität Göttingen als Nachfolger von C. L. Siegel berufen. Er verbrachte insgesamt drei Jahre in Amerika (u. a. am Institute for Advanced Study in Princeton), war aber auch in anderen Ländern wie vor allem in Frankreich (Institut des Hautes Études Scientifiques) und u. a. in Japan, China, der UdSSR und Indien. Seine wissenschaftlichen Arbeiten befassen sich mit Fragen der komplexen Analysis.

Hans-Christoph Grunau wurde am 23. März 1961 in Wuppertal geboren. Er studierte Mathematik in Marburg und Göttingen und hat sich 1996 an der Universität Bayreuth habilitiert. Sein wissenschaftliches Interesse gilt der reellen Analysis und insbesondere der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Auf diesem Gebiet arbeitet er mit Wissenschaftlern u. a. aus den Niederlanden, Spanien und Italien zusammen.

\underline{VII}

Inhaltsverzeichnis

Vorwort  V
Einleitung  IX
1 Der Vektorraumbegriff 1
1.1 Der ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Reelle Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Der anschauliche Raum 19
2.1 Gibt es eine geometrische Anschauung? . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Addition von Vektoren in der anschaulichen Ebene . . . . . . . . . . . 23
2.3 Multiplikation mit Skalaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Lineare Abbildungen 39
3.1 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Lineare Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Rang und Corang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Allgemeine lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Matrizenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Spezielle lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Umkehrbar lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Vektorraumkonstruktionen 119
4.1 Beispiele unendlichdimensionaler Vektorräume . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Direkte Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Linearformen und Dualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4 Dualräume endlichdimensionaler Vektorräume . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 Weitere spezielle lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5  Determinantentheorie  147
5.1 Allgemeines Kroneckersymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3 Weitere Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.6 Die Determinante einer linearen Abbildung F : V → V . . . . . . . . 177
6  Orthogonalität  179
6.1 Die euklidische Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Die Länge eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3 Orthogonale k-Beine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.4 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7  Eigenwerte und Hauptachsentransformation  209
7.1 Der allgemeine Körperbegriff, komplexe Vektorräume . . . . . . . . . 210
7.2 Unitäre und adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4 Die Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Normale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Hermitesche und reell symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 246
Unitäre und reell orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Literaturverzeichnis  259
Symbolverzeichnis  261
Sachverzeichnis  265

\underline{IX}

Einleitung

In der Anfängervorlesung ”Analytische Geometrie und lineare Algebra“ ist es heute vielfach üblich, einfach mit der abstrakten Theorie der Vektorräume und evtl. sogar der Moduln über Ringen zu beginnen. Man hat das Bestreben, sofort von den mathematischen Grundbegriffen auszugehen und aus ihnen alles zusammenzubauen. Das soll zu einer logischen Übersichtlichkeit führen. Aber der Anfänger wird staunen, was es so alles gibt. Er kann sich bei manchem nur wenig denken. In der Technik, aber auch in der Physik wird im allgemeinen erst nur der 3dimensionale anschauliche Raum auftreten. Er hat noch keine Koordinaten. Man hat noch keine Tripel von reellen Zahlen, dafür aber gibt es eine Vorstellung von Geraden, Winkeln, Translationen, Drehungen. Vektoren gibt es. Sie sind Pfeile einer bestimmten Länge. Man kann mit ihnen rechnen. Warum geht man dann nicht von diesem Raum aus? Man kann die Vektorraumeigenschaften ableiten und so den Studenten zu den in der Mathematik natürlich notwendigen Abstraktionen hinführen. Die Abstraktionen werden dann als natürlich empfunden. Man kann dann auch die Existenz von rechtwinkligen Koordinaten zeigen und die Isomorphie mit dem Zahlenraum herstellen. Die Existenz einer solchen Isomorphie bedeutet, daß der anschauliche Raum die gleiche Gestalt wie der Zahlenraum hat. Wer seinen Baum beschneiden will, wird nicht erst Koordinaten in seinen Garten legen. Das hier vorgestellte Axiomensystem ist auch ein vollständiges Axiomensystem der euklidischen Geometrie. Anders als bei Hilbert werden jedoch keine Geraden, sondern Pfeilvektoren verwendet. Das ist praktischer. Die Pfeilvektoren finden ja überall Anwendung. Natürlich wird nicht die alte hyperbolische Geometrie mit eingeschlossen. Diese dürfte aber auch heute ziemlich ohne Bedeutung sein. Wenn man sie machen will, ist es ohnehin besser, gleich die Quotienten von Liegruppen zu untersuchen! Die nicht-euklidischen Geometrien werden hier gleich dadurch ausgeschlossen, daß man fordert, daß die Relation ”parallel“ eine Äquivalenzrelation ist und daß das Parallelogramm der Kräfte gilt. Es sei noch erwähnt, daß die Griechen keinen Beweis des Satzes von Pythagoras geliefert haben, der den heutigen Anforderungen entspricht. Sie haben nämlich den Flächeninhalt benutzt, ohne ihn zu definieren. Auch hätten sie zeigen müssen, daß er invariant gegen Drehungen ist. An sich hat der Pythagoräische Satz mit dem Flächeninhalt nichts zu tun. Dieses Buch enthält einen exakten Beweis.

In dem ersten Kapitel dieses Buches wird zwar zunächst der n-dimensionale reelle Zahlenraum ℝ^{n} als Menge der n-tupel von reellen Zahlen und der Begriff des abstrakten Vektorraums eingeführt, damit man die späteren Begriffe einordnen kann. Dann geht man jedoch im zweiten Kapitel sofort zur Anschaulichkeit über. Insbesondere wird die anschauliche Ebene betrachtet. Hier wird unser Axiomensystem der anschaulichen Geometrie soweit entwickelt, daß die anschauliche Ebene als zweidimensionaler reeller Vektorraum erkannt werden kann. Hierauf aufbauend entwickeln wir im 3. Kapitel die Grundlagen der Theorie endlichdimensionaler (zunächst ausschließlich reeller) Vektorräume sowie der linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden zeigen, daß durch Einführung geeigneter ”Isomorphismen “ (Koordinatensysteme) die Betrachtung linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen zurückgeführt werden kann auf die Betrachtung linearer Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m}. Diese sind dem ebenso einfachen wie wirkungsvollen Matrizenkalkül (dabei handelt es sich lediglich um die Manipulation von Zahlenschemata) zugänglich, den wir simultan und gleichberechtigt zur Theorie linearer Abbildungen entwickeln und mit dessen Hilfe wir zahlreiche theoretische Resultate herleiten werden. Breiten Raum nimmt die Behandlung linearer Gleichungssysteme bzw., was, wie wir in Kapitel 3.7 darlegen werden, dazu gleichwertig ist, allgemeiner s-dimensionaler Ebenen ein. In diesem Zusammenhang wird der Gaußsche Algorithmus vorgestellt, aus dem wir neben rechnerischem auch stets großen theoretischen Nutzen ziehen werden. In Kapitel 4 sprechen wir speziellere Fragen der Vektorraumtheorie an. Im Mittelpunkt stehen dort duale Vektorräume und duale Abbildungen sowie in diesem Zusammenhang einige Besonderheiten unendlichdimensionaler Vektorräume. Die Idee, zusammen mit einem Vektorraum V die Gesamtheit aller linearen Abbildungen V → ℝ zu betrachten, ist grundlegend in vielen Bereichen der modernen Mathematik, führt zum einen von einer abstrakten Seite hin auf den Begriff der Orthogonalität und bietet zum anderen in allgemeinen Situationen einen Ersatz für bzw. eine Verallgemeinerung von Orthogonalität. Ausführlichere Erklärungen versuchen wir zu Beginn und im Verlauf von Kapitel 4. Kapitel 5 ist der klassischen Determinantentheorie und dabei wegen ihrer enormen Wichtigkeit unter anderem der Cramerschen Regel gewidmet. Auch dieses Kapitel führt wegen der geometrischen Bedeutung der Determinante hin zu Kapitel 6, in dem unser in Kapitel 2 begonnenes Axiomensystem der anschaulichen Geometrie um diejenigen Axiome ergänzt wird, die Orthogonalität, Länge, Winkel, Drehung, u.ä betreffen. Damit erhalten die anschauliche Ebene, ℝ^{2} und allgemeiner ℝ^{n} die volle Struktur ”euklidischer Vektorräume“. Das Vorhandensein eines Skalarprodukts erlaubt es uns, in Kapitel 7 etwa ”othogonale“, ”selbstadjungierte“ oder ”normale“ Abbildungen zu betrachten. Die starken Eigenschaften solcher speziellen Abbildungen erlauben die Herleitung sehr weitreichender Resultate (”Hauptachsentransformation“), deren volle Eleganz und Allgemeinheit sich aber nur in komplexen Vektorräumen erreichen läßt. Deshalb beginnt dieses Kapitel mit einer Einführung in komplexe Zahlen und komplexe Vektorräume; in der Hoffnung, daß vieles schon aus der gleichzeitig erlernten Analysis vertraut ist, fassen wir uns hier recht kurz. Für die angesprochenen Klassen von Matrizen werden wir orthogonale Koordinatensysteme konstruieren, so daß das Rechnen mit linearen Abbildungen in diesen Koordinaten so einfach wird wie das Rechnen mit reellen oder komplexen Zahlen. Als Beispiele werden wir Wurzeln und Exponentialfunktionen geeigneter linearer Abbildungen bestimmen. Ganz wesentliches Standbein dieses Kapitels ist die ”Eigenwerttheorie linearer Abbildungen“, die mit all ihren Weiterentwicklungen und Verallgemeinerungen grundlegend für viele Bereiche der modernen Mathematik und Physik bis hin zur Quantenmechanik ist. Mit dieser Stoffauswahl hoffen wir:

• die geometrischen Wurzeln der linearen Algebra mit logischer Strenge freizulegen,

• die wichtigsten Elemente der Theorie reeller und komplexer Vektorräume und linearer Abbildungen zu entwickeln und

• stets den Blick schon ein wenig zu öffnen in Richtung auf Weiterentwicklungen im Bereich der Geometrie (allgemeine Ebenen etwa als einfachste Prototypen allgemeiner Mannigfaltigkeiten), der Analysis (unendlichdimensionale Vektorräume werden gestreift, um Appetit zu machen auf die Theorie linearer Abbildungen zwischen vollständigen normierten Vektorräumen, die ”Funktionalanalysis“) und der mathematischen Physik (etwa Lorentztransformationen oder Eigenwerttheorie).

Technische Hinweise zum Lesen des Buches erübrigen sich weitestgehend. Das Kästchen □ kennzeichnet das Ende von Beweisen. Die Numerierung sollte selbsterklärend und vollkommen unzweideutig sein: Sätze, Definitionen, Beispiele, usw. werden unterschiedslos dreistellig numeriert, die erste Stelle gehört zum Kapitel und die zweite zum Teilkapitel (Abschnitt). Am Ende des Buches befinden sich ein ausführliches Symbolverzeichnis und ein Sachverzeichnis, so daß (hoffentlich!) jedes interessierende Thema im Text mühelos aufgefunden werden kann. Um eventuellen Mißverständnissen vorzubeugen, sei schon hier erwähnt, daß wir n-tupel aus dem ℝ^{n} bzw. ℂ^{n} zwar grundsätzlich als Zeilen b⃗ = (b_{1}, …, b_{n}) schreiben, um die Lesbarkeit vor allem des fortlaufenden Textes zu gewährleisten, daß wir im Rahmen des Matrizenkalküls darunter jedoch (zumeist stillschweigend) die entsprechenden Spaltenvektoren

b⃗ = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} )

verstehen.

\underline{1}

1 Der Vektorraumbegriff

In diesem Kapitel werden einige Grundbegriffe der linearen Algebra eingeführt, die gleichzeitig fundamental für viele Bereiche der modernen Mathematik sind. Der Vektorraumbegriff ist maßgeschneidert für alle ”linearen“ Modelle und ist selbst im ”Nichtlinearen“ häufig der geeignete Rahmen. Unser unmittelbares Interesse gilt aber der Untersuchung der anschaulichen Ebene bzw. des anschaulichen Raumes, der die Kapitel 2 und 6 gewidmet sein werden. Um die dort aufzuzeigenden mathematischen Strukturen einordnen zu können, stellen wir in den folgenden Abschnitten die entsprechenden Begriffe bereit.

1.1 Der ℝ^{n}

In diesem Buch werden die reellen Zahlen als bekannt vorausgesetzt. Eine axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen wird meist in Büchern wie z. B. dem von H. Grauert und I. Lieb über Differential- und Integralrechnung I gegeben (s. Eintrag [6] im Literaturverzeichnis). Man kann auch in dem Buch von H.-D. Ebbinghaus et al. [2], das allein dem Thema ”Zahlen“ gewidmet ist, nachschlagen. Dort wird beschrieben, wie man, ausgehend von einigen unbeweisbaren, aber ”evidenten“ Axiomen, sukzessive die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen konstruiert. Wir können die reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche auffassen, z. B. 10,23457 … Jeder endliche Dezimalbruch ist auch ein unendlicher Dezimalbruch: 10,23 = 10,2300 …, Brüche wie 10,22999 … und 10,2300 … sind gleich. Es gibt die Null 0 = 0,00 … und negative reelle Zahlen, z. B. −10,2300 … Reelle Zahlen können addiert, multipliziert, dividiert werden. Die Eigenschaften der reellen Zahlen werden durch die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome, das Archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom beschrieben. Das Wort ”Axiom“ wird in verschiedenen Bedeutungen benutzt: die erwähnten Axiome der reellen Zahlen oder die weiter unten einzuführenden Gruppen- und Vektorraumaxiome haben den Charakter von grundlegenden Definitionen. Dagegen sind Axiome, mit deren Hilfe man etwa die natürlichen Zahlen gewinnt (Unendlichkeitsaxiom) oder in Kapitel 2 die anschauliche Ebene beschreibt, unbeweisbare, aber ”anschaulich evidente“ Aussagen.

Die Menge der reellen Zahlen wird mit ℝ bezeichnet:

ℝ = {a : a ist eine reelle Zahl}.

Der Doppelpunkt in der Mengenklammer bedeutet ”mit“ oder ”wobei gilt“. Eine wichtige Teilmenge von ℝ ist die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, 3, …}. Vor 3000 v. Chr. kannten die Ägypter schon sehr große natürliche Zahlen. Um 2000 v. Chr. entwickelten die Sumerer mit dem Sexagesimalsystem erstmals eine Positionsschreibweise, der allerdings die Ziffer 0 noch fehlte. Deren Rolle übernahmen vorerst noch Leerzeichen, wodurch es natürlich häufig zu Verwechslungen kam. Um 500 v. Chr. führten die Babylonier die Ziffer 0 als Zwischennull ein, die auch von den Griechen übernommen wurde. Das Wissen von der griechischen Astronomie und Physik gelangte über Persien nach Indien. Dort entstand bis 800 n. Chr. unser heute vertrautes ”arabisches“ Zahlensystem. Dieses enthielt auch schon die 0 als selbständige Zahl, mit der man richtig rechnen konnte. Über die Anfänge der Mathematik kann man sich genauer in dem Buch ”Erwachende Wissenschaft“ [14] von B. L. van der Waerden informieren. Das Enthaltensein von ℕ in ℝ wird in der mathematischen Symbolsprache so beschrieben: ℕ ⊂ ℝ. Das bedeutet, daß jedes Element n von ℕ (kurz n ∈ ℕ) auch Element von ℝ ist. Fügen wir noch die 0 zu den natürlichen Zahlen hinzu, so schreiben wir ℕ_{0} := ℕ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, …}.

Der n-dimensionale Zahlenraum

Im Folgenden sei n ∈ ℕ eine feste natürliche Zahl. Wir betrachten (geordnete) n-tupel reeller Zahlen a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}), dabei sind die Komponenten a_{i} für i = 1, …, n reelle Zahlen. Die a⃗ ∈ ℝ^{n} heißen Vektoren.

1.1.1 Definition Wir definieren den n-dimensionalen reellen Zahlenraum durch

ℝ^{n} := {a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}) : a_{i} ∈ ℝ, i = 1, …, n} .

Das Zeichen ”:=“ bedeutet ”definitionsgemäß gleich“, der Doppelpunkt steht auf der Seite des zu definierenden Objekts. Zwei n-tupel a⃗ ∈ ℝ^{n} und b⃗ ∈ ℝ^{n} sind gleich, wenn a_{i} = b_{i} gilt für i = 1, …, n. Beispielsweise gilt im Fall n = 2: (1,1; 2,3) ≠ (2,3; 1,1). Je zwei Vektoren aus ℝ^{n} können addiert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor aus ℝ^{n}:

a⃗ + b⃗ := (a_{1} + b_{1}, …, a_{n} + b_{n}),  a⃗, b⃗ ∈ ℝ^{n}.

\underline{1.1 Der ℝ^{n} 3}

Der Nullvektor \underbrace{(0, …, 0)}_{n-mal} wird mit dem Symbol 0 bezeichnet. Zu jedem Vektor a⃗ ∈ ℝ^{n} wird ein negativer Vektor

−a⃗ := (−a_{1}, …, −a_{n})

definiert. Schließlich kann man eine Skalarmultiplikation einführen. Für d ∈ ℝ und a⃗ ∈ ℝ^{n} setzt man:

d · a⃗ := (d · a_{1}, …, d · a_{n}) ∈ ℝ^{n}.

1.1.2 Beispiel Weiter unten wird ausführlich dargelegt werden, daß ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} geeignete Modelle der anschaulichen Ebene bzw. des anschaulichen Raumes sind. Allerdings tritt der ℝ^{n} auch für beliebig große n im täglichen Leben in sehr naheliegender Weise als geeignetes Modell überall dort auf, wo man mit großen Datenmengen umgehen muß. Man kann zum Beispiel an eine Sparkasse denken, n ist dann die Anzahl der Konten. Guthaben bzw. Unterdeckung des i-ten Kontos wird durch die reelle Zahl a_{i} beschrieben. Der Vektor a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}) beschreibt die Gesamtheit aller Kontostände. Buchungen werden durch Vektoraddition und Verzinsungen durch Skalarmultiplikation modelliert.

Der ℝ^{n} zusammen mit den oben erklärten Operationen hat die folgenden grundlegenden Eigenschaften, die weiter unten abstrakt als Gruppen- bzw. Vektorraumaxiome formuliert werden:

(1) Für alle a⃗, b⃗, c⃗ ∈ ℝ^{n} ist a⃗ + (b⃗ + c⃗) = (a⃗ + b⃗) + c⃗, d. h. das Assoziativgesetz gilt.

Beweis Es wird die entsprechende Eigenschaft reeller Zahlen benutzt. Seien a⃗, b⃗, c⃗ ∈ ℝ^{n} gegeben, dann gilt:

a⃗ + (b⃗ + c⃗) = a⃗ + ((b_{1}, …, b_{n}) + (c_{1}, … c_{n}))
= (a_{1}, …, a_{n}) + (b_{1} + c_{1}, …, b_{n} + c_{n})
= (a_{1} + (b_{1} + c_{1}), …, a_{n} + (b_{n} + c_{n}))
= ((a_{1} + b_{1}) + c_{1}, …, (a_{n} + b_{n}) + c_{n})
= (a_{1} + b_{1}, …, a_{n} + b_{n}) + (c_{1}, …, c_{n})
= ((a_{1}, …, a_{n}) + (b_{1}, …, b_{n})) + c⃗
= (a⃗ + b⃗) + c⃗.
□

(2) Stets gilt a⃗+0 = a⃗. (”Stets“ kann hier die genaue Formulierung ”für alle a⃗ ∈ ℝ^{n}“ ersetzen, weil sich diese Bedeutung direkt aus dem Zusammenhang ergibt.)

Beweis a⃗ + 0 = (a_{1}, …, a_{n}) + (0, …, 0) = (a_{1} + 0, …, a_{n} + 0) = (a_{1}, …, a_{n}) = a⃗.

□

(3) Stets gilt a⃗ + (−a⃗) = 0.

Beweis

\begin{aligned}a⃗ + (−a⃗) & = & (a_{1}, …, a_{n}) + (−a_{1}, …, −a_{n}) \\ & = & (a_{1} + (−a_{1}), …, a_{n} + (−a_{n})) = (0, …, 0) = 0. \end{aligned}

□

(4) Das Kommutativgesetz gilt, d. h. stets ist a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗.

Beweis

\begin{aligned}a⃗ + b⃗ & = & (a_{1}, …, a_{n}) + (b_{1}, …, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, …, a_{n} + b_{n}) \\ & = & (b_{1} + a_{1}, …, b_{n} + a_{n}) = b⃗ + a⃗. \end{aligned}

□

Dieselben mathematischen Strukturen treten in vielen, scheinbar ganz verschiedenen Situationen auf. Deshalb abstrahieren wir nun von unserem konkreten Beispiel ℝ^{n} und führen den allgemeinen Begriff einer ”Gruppe“ ein.

Gruppenaxiome

1.1.3 Definition Es sei V eine nichtleere Menge mit einer ”binären“ Operation + : V × V → V, (a, b) ↦ a + b. Es gelte:

(1) Stets ist a + (b + c) = (a + b) + c. (Assoziativgesetz)

(2) Es gibt ein (festes) Element 0 ∈ V, so daß stets a + 0 = a ist.

(Existenz eines (rechts-)neutralen Elements)

(3) Zu jedem a ∈ V existiert ein Element −a ∈ V, so daß a + (−a) = 0 gilt. (Existenz eines (rechts-)inversen Elements)

Dann heißt V eine Gruppe. Ist V eine Gruppe und gilt zusätzlich

(4) für alle a, b ∈ V: a + b = b + a, (Kommutativgesetz) so heißt V eine abelsche Gruppe.

Genauer sollte man (V, +) schreiben. Da die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element erst unten in Bemerkung 1.1.5 (b) geklärt wird, müßte man zunächst die noch genauere Bezeichnung (V, +, 0, −) verwenden. Die charakteristischen Eigenschaften (1)-(3) bzw. (1)-(4) aus Definition 1.1.3nennt man Gruppenaxiome. Mit Hilfe dieser Definition lassen sich die oben erzielten Resultate zusammenfassen.

1.1.4 Satz (ℝ^{n}, +,0, −) ist eine abelsche Gruppe.

Die folgenden Bemerkungen sollen die Definition von Gruppen erläutern und ergänzen.

1.1.5 Bemerkungen (a) Bei abelschen Gruppen bevorzugt man meist die oben verwendete additive Schreibweise, man hat die ”Null“ 0 und ”negative Elemente“ −a. Dagegen wird insbesondere bei nicht abelschen Gruppen die Operation häufig als ”Multiplikation“ mit ”∘“ (Kringel) statt mit ”+“ bezeichnet. Man schreibt dann e oder mitunter auch 1 statt 0 und a^{−1} statt −a.

(b) Sei (V, +, 0, −) eine Gruppe. Dann gilt:

(i) Für alle a ∈ V ist (−a) + a = 0, d. h. das in Axiom (3) garantierte rechtsinverse Element von a ist auch linksinvers zu a.

(ii) Stets gilt 0 + a = a, d. h. die Rechts-Null ist auch eine Links-Null. (iii) Stets gilt a = −(−a). (iv) Sei 0′ ∈ V. Für ein a ∈ V gelte a + 0′ = a. Dann ist 0 = 0′.

(v) Sei a ∈ V gegeben. Gilt für ein b ∈ V: a + b = 0, so ist b = −a.

Beweis Man beachte, daß das Kommutativgesetz tatsächlich nicht benötigt wird.

(i) Das Assoziativgesetz wird wiederholt verwendet:

(−a) + a = ((−a) + a) + 0
= ((−a) + a) + ((−a) + (−(−a)))
= (((−a) + a) + (−a)) + (−(−a))
= ((−a) + (a + (−a))) + (−(−a))
= ((−a) + 0) + (−(−a)) = (−a) + (−(−a)) = 0.

(ii) 0 + a = (a + (−a)) + a = a + ((−a) + a)

= a + 0  unter Verwendung von (i)
= a.

(iii)

(−(−a)) = 0 + (−(−a))  unter Verwendung von (ii)
= (a + (−a)) + (−(−a))
= a + ((−a) + (−(−a))) = a + 0 = a.

(iv)

0′ = 0 + 0′  auf Grund von (ii)
= ((−a) + a) + 0′ auf Grund von (i)
= (−a) + (a + 0′) = (−a) + a = 0.

(v) b = 0 + b = ((−a) + a) + b

= (−a) + (a + b) = −a + 0 = −a. □

(c) Die Bemerkungen (iv) und (v) zeigen, daß das Nullelement und das inverse Element jeweils eindeutig bestimmt sind. Daher reicht es aus, eine Gruppe (V, +, 0, −) einfach mit (V, +) zu bezeichnen.

(d) Bei den Gruppenaxiomen ist es wesentlich, einheitlich die Existenz von Rechts-Null und Rechts-Inversen zu fordern.

Zur Illustration der letzten Bemerkung dient das folgende Beispiel:

1.1.6 Beispiel Es sei V eine mindestens zweielementige Menge mit der Addition a + b := b. Es gibt eine Links-Null und stets ein Rechts-Inverses, nämlich die vorher ausgewählte Links-Null. Die Addition ist zudem assoziativ. Jedoch ist (V, +) keine Gruppe, denn die Null ist nicht eindeutig bestimmt: jedes Element kann als Links-Null dienen.

Zum vorläufigen Abschluß unserer gruppentheoretischen Betrachtungen führen wir Ausdrücke der Form a_{1} + ⋯ + a_{n} ein; die a_{i} sind Elemente einer Gruppe (V, +). Dieses geschieht induktiv. Der Fall n = 2 ist klar: Ausdrücke der Form a_{1} + a_{2} sind in einer Gruppe stets erklärt. Sei also n > 2. Ausdrücke der Form a_{1} + … + a_{n−1} seien bereits erklärt. Dann definiert man

a_{1} + … + a_{n} := (a_{1} + … + a_{n−1}) + a_{n}.

Es gilt das allgemeine Assoziativgesetz: in dem Ausdruck a_{1} + … + a_{n} können nach Belieben Klammern gesetzt werden, ohne daß sich der Wert des Ausdrucks ändert. Einen Beweis dieser Aussage findet man z. B. bei H. Grauert, I. Lieb [6, S. 13f ]. Wir wenden uns wieder dem ℝ^{n} zu und stellen einige Eigenschaften der Skalarmultiplikation zusammen. Deren Nachweis ist sehr leicht und wird daher nicht ausgeführt.

(5) Es gilt das unitäre Gesetz: Für alle a⃗ ∈ ℝ^{n} ist 1 · a⃗ = a⃗.

(6) Es gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation: Für alle c, d ∈ ℝ, a⃗ ∈ ℝ^{n}

ist

c · (d · a⃗) = (c · d) · a⃗.

(7) Skalarmultiplikation und Vektoraddition werden durch Distributivgesetze verknüpft: Für alle c, d ∈ ℝ und a⃗, b⃗ ∈ ℝ^{n} ist

(c + d) · a⃗ = c · a⃗ + d · a⃗, c · (a⃗ + b⃗) = c · a⃗ + c · b⃗.

Man bedenke, daß sowohl die Addition in ℝ als auch die Addition in ℝ^{n} durch dasselbe Symbol ”+“ bezeichnet werden. Entsprechendes gilt für die Skalarmultiplikation und die Multiplikation in ℝ.

1.2 Reelle Vektorräume

In diesem Abschnitt lösen wir uns von der Betrachtung des konkreten Vektorraums ℝ^{n} und gelangen zur abstrakten Definition eines reellen Vektorraums. Das Symbol ∅ bezeichnet die leere Menge.

1.2.1 Definition Es sei V ≠ ∅ eine nichtleere Menge, auf der zwei binäre Operationen gegeben sind, eine Addition

+ : V × V → V, (x, y) ↦ x + y

und eine Skalarmultiplikation

· : ℝ × V → V, (c, x) ↦ c · x.

Es sei (V, +) eine abelsche Gruppe. Für die Skalarmultiplikation gelte ferner:

(5) Für alle x ∈ V ist 1 · x = x. (Unitäres Gesetz)

(6) Für alle c, d ∈ ℝ und x ∈ V ist:

(c · d) · x = c · (d · x). (Assoziativgesetz)

(7) Für alle c, d ∈ ℝ und x, y ∈ V ist:

c · (x + y) = c · x + c · y und (c + d) · x = c · x + d · x. (Distributivgesetze) Dann heißt (V, +, ·) ein reeller Vektorraum oder ℝ-Vektorraum.

Die charakteristischen Eigenschaften (1)-(7) aus den Definitionen 1.1.3 und 1.2.1 nennt man Vektorraumaxiome. Die Elemente x, y, … aus V heißen Vektoren. Das neutrale Element 0 ∈ V bzgl. + heißt Nullvektor. Meist wird eine Verwechslung mit 0 ∈ ℝ durch den Zusammenhang ausgeschlossen, in Zweifelsfällen wird der Nullvektor als solcher gekennzeichnet: 0 = 0_{V}. Hier ist ℝ der Skalarenkörper, seine Elemente heißen Skalare. Man schreibt statt (V, +, ·) auch kurz V, wenn hinsichtlich der Operationen auf V kein Mißverständnis möglich ist. Falls klar ist, daß ℝ der Skalarenkörper ist, nennt man V auch einfach Vektorraum. Für komplexe Vektorräume dagegen verweisen wir auf Definition 7.1.3. Die Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts über den ℝ^{n} können durch Verwendung des neuen Begriffs zusammengefaßt werden.

1.2.2 Satz ℝ^{n} ist ein reeller Vektorraum.

Es folgen einige Eigenschaften reeller Vektorräume.

1.2.3 Satz Sei V ein reeller Vektorraum. Für alle c ∈ ℝ und x ∈ V gilt:

(a) 0 · x = 0.

(b) Sei 0 = 0_{V} der Nullvektor. Dann gilt c · 0 = 0.

(c) Stets gilt c · (−x) = (−c) · x = −(c · x).

(d) Aus c · x = 0 folgt: c = 0 oder x = 0.

{Beweis \atop (a)} Aus x = 1 · x = (1 + 0) · x = 1 · x + 0 · x = x + 0 · x folgt 0 = 0 · x auf Grund von Bemerkung 1.1.5.

(b) Ebenso ergibt sich c · 0 = 0 aus c · 0 = c · (0 + 0) = c · 0 + c · 0.

(c) Das Distributivgesetz ergibt 0 = c · 0 = c · (x + (−x)) = c · x + c · (−x) und 0 = 0 · x = (c + (−c)) · x = c · x + (−c) · x. Wegen der Eindeutigkeit des negativen Elements folgt −(c · x) = c · (−x) = (−c) · x.

(d) Im Fall c = 0 ist nichts zu zeigen. Ist dagegen c ≠ 0, so existiert der Kehrwert \frac{1}{c} ∈ ℝ. Mit Hilfe von Behauptung (b) folgt nun: 0 = \frac{1}{c} · (c · x) = (\frac{1}{c} · c) · x = 1 · x = x. In jedem Fall ist c = 0 oder x = 0. □

1.2.4 Bemerkung (a) Damit die Formulierung von Mathematik nicht unnötig schwerfällig wird, überläßt man häufig die genaue Klärung der Bedeutung von Symbolen und Begriffen dem Zusammenhang. In Teil (a) des vorhergehenden Satzes wird sowohl die reelle Zahl Null als auch der Nullvektor mit demselben Symbol 0 bezeichnet. Da aber x voraussetzungsgemäß ein Vektor ist, muß mit 0 auf der linken Seite die reelle Zahl 0 gemeint sein. Da die Skalarmultiplikation Ergebnisse in V liefert, ist die 0 auf der rechten Seite der Nullvektor.

(b) Im Gegensatz zur Umgangssprache ist in der Mathematik das ”oder“ ein nicht auschließendes ”oder“. In Teil (d) des vorhergehenden Satzes bedeutet das, daß auch der Fall eintreten kann, in dem sowohl c = 0 als auch x = 0 gilt.

1.2.5 Definition Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Teilmenge V′ ⊂ V heißt Untervektorraum oder linearer Teilraum von V, falls gilt:

(1) V′ ≠ ∅.

(2) Aus x_{1}, x_{2} ∈ V′ folgt x_{1} + x_{2} ∈ V′.

(3) Aus c ∈ ℝ, x ∈ V′ folgt c · x ∈ V′.

Ein Untervektorraum von V ist also eine nichtleere Teilmenge von V, die gegenüber der Addition ”+“ von Vektoren und der Skalarmultiplikation ”·“ abgeschlossen ist.

1.2.6 Beispiel Die Menge V′ := {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{1} = a_{3}} ist ein Untervektorraum des ℝ^{3}:

(1) V′ ≠ ∅, denn 0 ∈ V′.

(2) Seien a⃗, b⃗ ∈ V′. Dann gilt:

a_{1} = a_{3} und b_{1} = b_{3} ⇒ (a_{1} + b_{1}) = (a_{3} + b_{3}) ⇒ a⃗ + b⃗ ∈ V′.

(3) Seien c ∈ ℝ, a⃗ ∈ V′. Dann gilt:

a_{1} = a_{3} ⇒ c · a_{1} = c · a_{3} ⇒ c · a⃗ ∈ V′.

1.2.7 Folgerungen Sei V ein reeller Vektorraum und V′ ⊂ V ein Untervektorraum.

(a) Dann ist 0 ∈ V′. Denn V′ ≠ ∅, also existiert ein x ∈ V′. Eigenschaft (3) liefert zusammen mit Satz 1.2.3(a):

0 = 0 · x ∈ V′.

(b) Ist x ∈ V′, so ist auch −x ∈ V′. Eigenschaft (3) liefert nämlich zusammen mit

Satz 1.2.3(c):

−x = −(1 · x) = (−1) · x ∈ V′.

1.2.8 Satz Es sei V ein reeller Vektorraum, V′ ⊂ V ein Untervektorraum. Dann ist V′ mit denselben Operationen wie auf V ein reeller Vektorraum.

Noch genauer sollte es heißen: ”V′ mit den Einschränkungen auf V′ der auf V erklärten Operationen.“

Beweis Die Bedingungen (2) und (3) aus Definition 1.2.5liefern

+ : V′ × V′ → V′,
· : ℝ × V′ → V′.

Die Folgerungen 1.2.7 zeigen die Gültigkeit der Vektorraumaxiome (Gruppenaxiome für (V′, +)) (2) und (3). Weil V′ Teilmenge von V und V ein Vektorraum ist, ist die Gültigkeit der übrigen Vektorraumaxiome offensichtlich. □

1.2.9 Satz Jeder reelle Vektorraum V besitzt {0} und V als ”triviale“ Untervektorräume.

Beweis Klar! □

1.2.10 Satz Seien V_{1}, V_{2} Untervektorräume des reellen Vektorraums V. Dann ist auch V_{1} ∩ V_{2} ein Untervektorraum von V.

Beweis Wir haben sowohl 0 ∈ V_{1} als auch 0 ∈ V_{2}. Also liegt das Nullelement auch im Durchschnitt V_{1} ∩ V_{2}, und dieser ist nicht leer. Seien nun x, y ∈ V_{1} ∩ V_{2} und c ∈ ℝ gegeben. Es gilt also sowohl x, y ∈ V_{1} als auch x, y ∈ V_{2}. Da V_{1} und V_{2} Untervektorräume sind, erhalten wir x + y ∈ V_{1}, x + y ∈ V_{2}, c · x ∈ V_{1} und c · x ∈ V_{2}. Damit folgt schließlich x + y ∈ V_{1} ∩ V_{2} und c · x ∈ V_{1} ∩ V_{2}. □

Es sollen nun einige Vereinfachungen der Schreibweise eingeführt werden. Mit V bezeichnen wir im Folgenden stets einen reellen Vektorraum. Multiplikationspunkte werden häufig weggelassen. Das Assoziativgesetz erlaubt es, auch bei der Skalarmultiplikation auf Klammern zu verzichten. Treten in einem Ausdruck Multiplikationen und Additionen auf, so binden die Multiplikationen stärker. Für x, y ∈ V ist die Differenz durch x − y := x + (−y) erklärt. Mit einem großen Sigma (Summenzeichen) werden Summen abgekürzt:

∑_{i=1}^{n} x_{i} := x_{1} + ⋯ + x_{n}.

Die indizierten Vektoren x_{i} sind nicht mit den Komponenten eines n-tupels aus Abschnitt 1.1 zu verwechseln. In der folgenden Definition wird beschrieben, welche Vektoren man mit Hilfe der Vektorraumoperationen aus einem endlichen System von ”erzeugenden“ Vektoren konstruieren kann.

1.2.11 Definition Seien n ∈ ℕ, x_{1}, …, x_{n} ∈ V, c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ. Dann heißt

x = c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n} = ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}

Linearkombination von x_{1}, …, x_{n}.

1.2.12 Satz Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ V gegeben. Es sei V′ die Menge aller Linearkombinationen von x_{1}, …, x_{n}. Dann ist V′ ein Untervektorraum von V, der x_{1}, …, x_{n} enthält.

Beweis Zunächst gilt offensichtlich x_{1}, …, x_{n} ∈ V′ und damit auch V′ ≠ ∅. Seien nun

x = ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i} ,  y = ∑_{i=1}^{n} d_{i}x_{i} ,  c_{i}, d_{i} ∈ ℝ, i = 1, …, n

Linearkombinationen von x_{1}, …, x_{n}. Weiter sei d ∈ ℝ. Unter intensiver Verwendung der Kommutativ- und Distributivgesetze erhält man:

x + y = ∑_{i=1}^{n}(c_{i} + d_{i})x_{i}, d · y = ∑_{i=1}^{n}(d · d_{i})x_{i}.

Damit sind auch x + y und d · y in V′. □

1.2.13 Definition Die Menge V′ aller Linearkombinationen der Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V heißt der von x_{1}, …, x_{n} aufgespannte Untervektorraum und wird mit ℝ · (x_{1}, …, x_{n}) := V′ bezeichnet. Hierbei heißen x_{1}, …, x_{n} Erzeugende oder Erzeuger von V′.

Weitere, in der Literatur verbreitete Bezeichnungen für V′ sind <x_{1}, …, x_{n}>, [x_{1}, …, x_{n}] oder Span(x_{1}, …, x_{n}).

1.3 Basis und Dimension

Am Ende des vorhergehenden Abschnitts ist ein Verfahren beschrieben worden, mit dem man den kleinstmöglichen Vektorraum findet, der ein vorgegebenes System von Vektoren x_{1}, …, x_{n} enthält. Hier wollen wir nun umgekehrt vorgehen. Gegeben ist ein Vektorraum V; wir suchen Systeme von Vektoren, die den ganzen Vektorraum aufspannen, die also bereits die gesamte Information über den Vektorraum V enthalten. Unter allen solchen erzeugenden Systemen interessieren wir uns besonders für ”möglichst kleine“, bei denen kein Vektor mehr entfernt werden kann, ohne die Eigenschaft des Erzeugens zu verlieren. Allein das Wissen, daß V ein Vektorraum (linearer Raum) ist, soll es uns ermöglichen, den ganzen Raum durch ein relativ extrem kleines Teilsystem, die ”Basis“, zu beschreiben. ”Kleinstmögliche Systeme“ werden durch den nun zu definierenden Begriff der ”linearen Unahhängigkeit“ charakterisiert.

Lineare Unabhängigkeit

Auch hier bezeichne V wieder stets einen reellen Vektorraum.

1.3.1 Definition Die Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V heißen linear abhängig, wenn es Zahlen c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ gibt, von denen wenigstens eine ungleich 0 ist, so daß

0 = ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}

gilt. Umgekehrt heißen x_{1}, …, x_{n} linear unabhängig, wenn x_{1}, …, x_{n} nicht linear abhängig sind.

1.3.2 Beispiel Die Vektoren (1, 2), (−2, 0), (3, 1) ∈ ℝ^{2} sind linear abhängig, denn es ist

(−1) · (1, 2) + \frac{5}{2} · (−2, 0) + 2 · (3, 1) = 0.

Die folgende Bemerkung ergibt sich direkt aus der Definition linearer Unabhängigkeit, indem man einige Grundregeln logischen Schließens anwendet: Die Verneinung von ”es gibt …, so daß “ ist ”für alle … gilt nicht“. Die Verneinung von ”(nicht A) und B“ ist ”A oder (nicht B)“ und damit äquivalent zu ”B ⇒ A“.

1.3.3 Bemerkung Die Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V sind genau dann linear unabhängig, wenn stets aus

c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ,  ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i} = 0

folgt:

c_{1} = … = c_{n} = 0.

1.3.4 Beispiel Wir greifen das Beispiel 1.2.6 aus dem vorhergehenden Abschnitt wieder auf. Dort wurde bewiesen, daß V′ = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{1} = a_{3}} ein Untervektorraum des ℝ^{3} ist. Hier soll gezeigt werden, daß b⃗_{1} = (1, 0, 1) und b⃗_{2} = (1, 1, 1) linear unabhängige Vektoren aus V′ sind: Offensichtlich gilt b⃗_{1}, b⃗_{2} ∈ V′, es bleibt der Nachweis der linearen Unabhängigkeit. Dazu sei der Nullvektor eine Linearkombination von b⃗_{1} und b⃗_{2}:

c_{1}b⃗_{1} + c_{2}b⃗_{2} = 0, c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.

Es folgt:

(c_{1} + c_{2}, c_{2}, c_{1} + c_{2}) = (0, 0, 0).

Vektoren in ℝ^{n} sind genau dann gleich, wenn alle ihre Komponenten übereinstimmen:

⇒ \{ \begin{matrix}c_{1} + c_{2} & = & 0 \\ c_{2} & = & 0 \\ c_{1} + c_{2} & = & 0 \end{matrix} ⇒ \{ \begin{matrix}c_{1} + c_{2} & = & 0 \\ c_{2} & = & 0 \end{matrix} ⇒ c_{2} = 0 und c_{1} = 0.

1.3.5 Satz Ein Vektor x ∈ V ist linear abhängig genau dann, wenn x = 0 ist.

Die Behauptung ist eine ”genau dann, wenn“-Behauptung und besteht daher aus den zwei Aussagen: ”⇒“: x linear abhängig ⇒ x = 0, ”⇐“: x = 0 ⇒ x linear abhängig. Daher besteht auch der Beweis aus zwei Teilen.

{Beweis \atop ”⇒“:}Sei x linear abhängig. Dann existiert c ∈ ℝ, c ≠ 0 mit c · x = 0. Es folgt 0 = \frac{1}{c} · 0 = \frac{1}{c} · c · x = 1 · x = x.

”⇐“: Sei x = 0. Das unitäre Gesetz liefert 1 · x = x = 0. Also ist x linear abhängig. □

1.3.6 Satz Die Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V seien linear abhängig. Es sei x ∈ V. Dann sind x, x_{1}, …, x_{n} ebenfalls linear abhängig.

Jedes ”Obersystem“ eines linear abhängigen Systems ist also wieder linear abhängig.

Beweis Es gibt c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ, wobei ein c_{i} ≠ 0 ist, so daß 0 = ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i} gilt. Mit der Setzung c := 0 ist dann auch 0 = cx + c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n}. □

1.3.7 Satz Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ V linear unabhängig. Es seien ℓ (ℓ ≤ n) Zahlen 1 ≤ i_{1} < i_{2} < … < i_{ℓ} ≤ n gegeben. Dann sind x_{i_{1}}, …, x_{i_{ℓ}} linear unabhängig.

Jedes Teilsystem eines Systems linear unabhängiger Vektoren ist also wieder linear unabhängig.

Beweis Der Nullvektor sei die Linearkombination ∑_{k=1}^{ℓ} c_{i_{k}}x_{i_{k}} = 0, c_{i_{k}} ∈ ℝ. Für j = 1, …, n definieren wir

d_{j} := \{ \begin{matrix}0 & , falls j ∉ \{i_{1}, …, i_{ℓ}\}, \\ c_{i_{k}} & , falls j = i_{k} für ein k ∈ \{1, …, ℓ\}. \end{matrix}

Dann gilt

∑_{j=1}^{n} d_{j}x_{j} = ∑_{k=1}^{ℓ} c_{i_{k}}x_{i_{k}} = 0.

Die lineare Unabhängigkeit von x_{1}, …, x_{n} ergibt d_{j} = 0, j = 1, …, n. Folglich ist auch c_{i_{k}} = 0, k = 1, …, ℓ. □

1.3.8 Satz Die Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V seien linear unabhängig. Sei x ∈ V. Dann gilt: x, x_{1}, …, x_{n} sind linear abhängig genau dann, wenn x Linearkombination von x_{1}, …, x_{n} ist.

{Beweis \atop ”⇒“:}Seien x, x_{1}, …, x_{n} linear abhängig. Dann existieren reelle Zahlen c, c_{1}, …, c_{n}, die nicht alle gleich 0 sind, mit 0 = cx + c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n}. Wir wollen c ≠ 0 zeigen und nehmen dazu an, c wäre gleich 0. Dann wäre ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i} = 0, ein c_{i} wäre ungleich 0 im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist c ≠ 0. Es folgt

0 = \frac{1}{c} · 0 = \frac{1}{c} (cx + ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}) = x + ∑_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{c} · x_{i},

also

x = ∑_{i=1}^{n} (−\frac{c_{i}}{c} x_{i}) .

”⇐“: Es sei x Linearkombination von x_{1}, …, x_{n}. Dann exisitieren c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ mit x = ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}. Setzt man c = −1, so gilt 0 = cx + c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n}. Folglich sind x, x_{1}, …, x_{n} linear abhängig. □

Man kann den vorhergehenden Satz auch so lesen, daß in einem linear unabhängigen System kein Vektor Linearkombination der übrigen Vektoren ist. Der von einem linear unabhängigen System aufgespannte Untervektorraum wird also durch Weglassen eines Erzeugers echt verkleinert. In diesem Sinne sind linear unabhängige Systeme ”kleinstmöglich“. Einen anderen Aspekt dieser Minimal-Eigenschaft beleuchtet der folgende Satz:

1.3.9 Satz (Eindeutigkeit der Darstellung) Es seien x_{1}, …, x_{n} ∈ V linear unabhängig und c_{i}, d_{i} (i = 1, …, n) reelle Zahlen. Es gelte

∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i} = ∑_{i=1}^{n} d_{i}x_{i}.

Dann ist c_{i} = d_{i} für i = 1, …, n.

Beweis Die Voraussetzung ergibt ∑_{i=1}^{n}(c_{i} − d_{i})x_{i} = 0. Wegen der linearen Unabhängigkeit von x_{1}, …, x_{n} folgt c_{i} − d_{i} = 0 und somit c_{i} = d_{i} für i = 1, …, n. □

Dimension

Für das Folgende ist es zweckmäßig, das Symbol ”∞“ (unendlich) einzuführen. Bei ”∞“ handelt es sich um eine Zahl, die definitionsgemäß folgende Eigenschaften besitzt: ∞ ∉ ℝ. Für alle c ∈ ℝ gilt c < ∞, c+∞ := ∞, ∞+c := ∞, ∞+∞ = ∞. Man erklärt dagegen nicht ”∞ − ∞“. Für die ausführliche Definition des Supremums sup als kleinste obere Schranke einer Teilmenge von ℝ und des Infimums inf als größte untere Schranke sei wieder auf das Buch von H. Grauert und I. Lieb [6, S. 30f ] verwiesen. Hat eine Teilmenge M von ℝ keine obere Schranke in ℝ, so ist sup M = ∞. Jedem reellen Vektorraum V soll nun eine Zahl n = dim V ∈ ℕ ∪ {0, ∞}, die Dimension von V, zugeordnet werden. Die Dimension soll ein Maß für die Größe eines Vektorraums sein und insbesondere so definiert werden, daß man dim ℝ^{n} = n beweisen kann.

1.3.10 Definition Die Dimension eines reellen Vektorraums V wird durch

dim V := sup {k ∈ ℕ_{0} : es gibtk linear unabhängige Vektoren in V }

definiert. Ist dim V < ∞, so heißt V endlichdimensional, andernfalls nennen wir V unendlichdimensional.

Demnach ist dim V die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus V. Dabei soll ein unendliches System von Vektoren linear unabhängig heißen, wenn jedes endliche Teilsystem linear unabhängig ist.

1.3.11 Beispiele (a) In V = ℝ^{n} zeichnen wir n Vektoren aus, die Einheitsvektoren: e⃗_{1} := (1, 0, …, 0), …, e⃗_{n} := (0, …, 0, 1). Die Vektoren e⃗_{1}, …, e⃗_{n} sind linear unabhängig, denn aus c_{1}, …, c_{n} ∈ ℝ, ∑_{i=1}^{n} c_{i}e⃗_{i} = 0 folgt:

(0, …, 0) = ∑_{i=1}^{n} c_{i} · (0, …, \underbrace{1}_{i-te Stelle} , …, 0)

= ∑_{i=1}^{n}(0, …, \underbrace{c_{i}}_{i-te Stelle} , …, 0) = (c_{1}, …, c_{n}).

Also ist c_{1} = … = c_{n} = 0, der Nullvektor also nur als triviale Linearkombination von e⃗_{1}, …, e⃗_{n} darstellbar. Daher ist dim ℝ^{n} ≥ n. Der Nachweis der Gleichheit kann erst später in Satz 3.3.14erfolgen.

(b) Unter einem (reellen) Polynom versteht man einen formalen Ausdruck c_{0}+c_{1}z+ c_{2}z^{2}+⋯+c_{n}z^{n} mit n ∈ ℕ_{0} und c_{i} ∈ ℝ für i = 0, …, n. Dabei heißt z Variable (Veränderliche, Unbestimmte). Man vereinbart, daß man beliebig viele Glieder 0 · z^{i} (i > n) zum Polynom hinzufügen darf, ohne daß sich das Polynom ändert. So kann man stets erreichen, daß bei je zwei Polynomen der höchste auftretende Exponent n gleich ist. Zwei Polynome c_{0} + c_{1}z + ⋯ + c_{n}z^{n} und d_{0} + d_{1}z + ⋯ + d_{n}z^{n} heißen gleich, wenn c_{i} = d_{i} für i = 0, …, n gilt. Es handelt sich hier um die algebraische Definition eines Polynoms, im Gegensatz zur analytischen Definition: Ein Polynom ist danach eine für z ∈ ℝ erklärte Funktion f der Form f(z) = c_{0} + c_{1}z + c_{2}z^{2} + … + c_{n}z^{n}. Zwei Polynome f und g sind in diesem Sinne gleich, wenn für alle z ∈ ℝ gilt: f(z) = g(z). Im reellen Fall sind beide Definitionen gleichwertig, denn man kann zeigen, daß ein Polynom c_{0} + c_{1}z + c_{2}z^{2} + ⋯ + c_{n}z^{n}, welches nicht das Nullpolynom ist, höchstens n Nullstellen hat. Ersetzt man aber ℝ durch endliche Körper, so ergeben sich grundlegende Unterschiede, insbesondere beim Gleichheitsbegriff. Wir legen hier die algebraische Definition zugrunde. Dann wird ein Polynom völlig gleichwertig durch seine Koeffizienten (c_{0}, …, c_{n}) beschrieben. Es bezeichne V die Menge aller (reellen) Polynome. Auf V können Addition und Skalarmultiplikation erklärt werden:

\begin{matrix}(c_{0} + c_{1}z + ⋯ + c_{n}z^{n}) + (d_{0} + d_{1}z + ⋯ + d_{n}z^{n}) \\ := (c_{0} + d_{0}) + (c_{1} + d_{1})z + ⋯ + (c_{n} + d_{n})z^{n}, \end{matrix}

c · (c_{0} + c_{1}z + ⋯ + c_{n}z^{n}) := (cc_{0}) + (cc_{1})z + ⋯ + (cc_{n})z^{n}.

Das Ergebnis ist jeweils wieder ein Polynom. Man kann sich schnell davon überzeugen, daß V mit diesen Operationen ein reeller Vektorraum ist. Auch hier können ”Einheitsvektoren“ ausgezeichnet werden: e_{0} = 1, e_{1} = z, e_{2} = z^{2}, …, allgemein e_{n} = z^{n} für n ∈ ℕ_{0}. Dieser Vektorraum V aller reellen Polynome ist das erste Beispiel eines unendlichdimensionalen Vektorraums. Für den Beweis reicht es zu zeigen, daß für jedes n ∈ ℕ_{0} die Einheitsvektoren e_{0}, …, e_{n} linear unabhängig sind. Sei also c_{0}e_{0} + ⋯ + c_{n}e_{n} = 0 das Nullpolynom mit c_{0}, …, c_{n} ∈ ℝ, dann ist c_{0} +c_{1}z +⋯+c_{n}z^{n} = 0. Die Definition der Gleichheit liefert c_{0} = … = c_{n} = 0. Die Einheitsvektoren e_{i} (i = 0, 1, 2, …) sind nicht nur linear unabhängig, sondern sie erzeugen auch V, denn jedes Polynom aus V läßt sich in offensichtlicher Weise als Linearkombination von endlich vielen Vektoren e_{i} darstellen.

Basis

Wir führen zunächst endliche Basen ein.

1.3.12 Definition Eine endliche Teilmenge {x_{1}, …, x_{n}} ⊂ V heißt Basis des reellen Vektorraums V, falls gilt:

(1) x_{1}, …, x_{n} sind linear unabhängig;

(2) x_{1}, …, x_{n} erzeugen V, d. h. V = ℝ · (x_{1}, …, x_{n}). Für V = {0} vereinbart man die leere Menge ∅ als Basis.

Bei der aufzählenden Beschreibung von Mengen wie {x_{1}, …, x_{n}} gehen wir stets davon aus, daß die Elemente paarweise verschieden sind, daß für i ≠ j also x_{i} ≠ x_{j} gilt.

1.3.13 Beispiel (a) Eine Basis des ℝ^{n} ist durch {e⃗_{1}, …, e⃗_{n}} gegeben. In Abschnitt 3.3wird gezeigt: Jede Basis des ℝ^{n} enthält genau n Elemente.

(b) Wir entwickeln das oben auf den Seiten 9 und 12 behandelte Beispiel weiter. Demnach ist V′ = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{1} = a_{3}} ein Untervektorraum des ℝ^{3}, und b⃗_{1} = (1, 0, 1), b⃗_{2} = (1, 1, 1) sind linear unabhängige Vektoren aus V′. Zudem wird V′ von b⃗_{1} und b⃗_{2} erzeugt: Ist a⃗ = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ V′ beliebig, so gilt definitionsgemäß a_{1} = a_{3} und folglich

a⃗ = (a_{1}, a_{2}, a_{1}) = (a_{2} + (a_{1} − a_{2}), a_{2}, a_{2} + (a_{1} − a_{2}))
= (a_{1} − a_{2}) · (1, 0, 1) + a_{2} · (1, 1, 1) = (a_{1} − a_{2}) · b⃗_{1} + a_{2} · b⃗_{2}.

Also ist {b⃗_{1}, b⃗_{2}} eine Basis von V′.

Das Beispiel des Vektorraums der reellen Polynome legt nahe, auch unendliche Basen einzuführen:

1.3.14 Definition Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Teilmenge {x_{i} : i ∈ I} ⊂ V (mit beliebiger Indexmenge I ≠ ∅) heißt Basis von V, falls gilt:

(1) Jedes endliche Teilsystem x_{i_{1}}, …, x_{i_{n}} mit n ∈ ℕ und paarweise verschiedenen Indizes i_{1}, …, i_{n} ∈ I ist linear unabhängig.

(2) Jeder Vektor aus V ist eine (endliche!) Linearkombination von Elementen x_{i_{1}}, …, x_{i_{n}}, n ∈ ℕ, i_{1}, …, i_{n} ∈ I.

1.3.15 Beispiel Die Menge aller Monome {e_{n} = z^{n} : n ∈ ℕ_{0}} ist eine Basis des Vektorraums aller reellen Polynome.

Dieser Abschnitt schließt mit einigen Bemerkungen über endlichdimensionale Vektorräume.

1.3.16 Satz Sei V ein reeller Vektorraum mit dim V = n < ∞. Die Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V seien linear unabhängig. Dann ist {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von V.

Jedes linear unabhängige System von maximaler Länge ist eine Basis.

Beweis Es ist zu zeigen: x_{1}, …, x_{n} erzeugen V. Sei x ∈ V gegeben. Nun sind x, x_{1}, …, x_{n} linear abhängig, andernfalls wäre dim V > n. Nach Satz 1.3.8ist x Linearkombination von x_{1}, …, x_{n}. □

In Abschnitt 3.3 werden wir sehen, daß alle Basen dieselbe Anzahl von Elementen haben und daß deshalb umgekehrt jede Basis ein linear unabhängiges System von maximaler Länge ist. Schließlich klären wir die Existenzfrage für Basen:

1.3.17 Satz Jeder endlichdimensionale reelle Vektorraum besitzt eine Basis.

Beweis Sei dim V = n. Nach Definition 1.3.10der Dimension existieren n linear unabhängige Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ V, welche nach Satz 1.3.16eine Basis bilden. □

Ein entsprechender Satz gilt auch in beliebigen Vektorräumen, spielt dort aber eine nicht so zentrale Rolle und erfordert einen tiefliegenden Beweis. Unter anderem muß das ”Zornsche Lemma“ verwendet werden. Deshalb verweisen wir hier auf die Literatur, z. B. auf H.-J. Kowalsky [9, S. 37f ].

2 Der anschauliche Raum

2.1 Gibt es eine geometrische Anschauung?

Die historische Entwicklung des Geometriebegriffes ist sehr wichtig für die Art unseres Denkens im allgemeinen. Kant meinte, daß die Vernunft vorschreibt, daß die Geometrie euklidisch ist. Später entdeckten die Mathematiker C. F. Gauß (1777-1855), N. I. Lobačevskij (1793-1856) und J. Bolyai (1802-1860), daß es noch andere Geometrien gibt, die genauso widerspruchsfrei aufgebaut werden können wie die euklidische. Man muß formale logische Konstruktionen durchführen! Man muß viel rechnen! Wir meinen jedoch, daß dem natürlichen Menschen eine Anschauung gegeben ist, die ihn für sein tägliches Leben mit einer Geometrie ausrüstet. Statt sprachlich darlegen kann man einfach schauen. Die geometrische Anschauung ist also sehr praktisch! Schon Goethes Faust verlangte nach einer alles umfassenden Schau: ”Daß ich nicht mehr mit saurem Schweiß zu sagen brauche, was ich nicht weiß… Schau alle Wirkenskraft und Samen und tu nicht mehr in Worten kramen.“ – Wie anders ist es bei der Sprache! Wenn man z. B. etwas in der mathematischen Textsprache TEX zeichnen will, muß man alles ausrechnen. Manchmal dauert das sehr lange. Man stelle sich etwa vor, Rembrandt hätte seine Bilder auf solche Weise malen müssen!

Räumliche Anschauung und Logik

Gewiß gibt es Menschen, die nicht zwischen Anschauung und Logik unterscheiden können. Das erinnert an die Zeit von Goethe, wo niemand sehen konnte, daß Licht und Farbe etwas Verschiedenes sind. Und doch ist das sehr einfach. Die gleiche Farbe kann ja durch ganz verschiedene Mischungen von Licht verschiedener Wellenlänge hervorgebracht werden! Es gibt jedoch sehr wichtige Argumente dafür, sorgfältig zwischen Anschauung und Logik zu unterscheiden. In der ebenen Geometrie gilt z.B. der Jordansche Kurvensatz. Anschaulich sind nur stückweise glatte Kurven. Aber schon in diesen Fall ist es mühsam, den Satz logisch zu beweisen. In der Anschauung ist er dagegen völlig trivial. Man sieht direkt: Die Ebene wird durch jede einfach geschlossene Kurve in zwei disjunkte Teilgebiete zerlegt.

Der Jordansche Kurvensatz ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................

A. Einstein (1879-1955), der 1896-1900 in Zürich Physik studiert hat und auch Vorlesungen bei H. Minkowski (1864-1909) gehört hat, sah, daß in der Physik Raum und Zeit vom gleichen Wesen sind: Das Einsteinsche Relativitätsprinzip besagt: Zwei (mathematische) Inertialsysteme sind völlig gleichberechtigt. Wenn man aber von einem auf das andere transformiert, werden Raum- und Zeitgrößen durcheinander gemischt. Diese müssen also in der Logik von gleicher Art sein. In der Anschauung sind dagegen Raum und Zeit etwas völlig Verschiedenes. Eine Einsteinsche Folgerung aus dem Relativitätsprinzip war z. B. die Zeitdilatation. Sie ist anschaulich gesehen etwas völlig Unsinniges. Was ist nun eigentlich Anschauung? Viele sagen, sie sei Gewohnheit. Aber das ist keine Beschreibung. Wenn man ein räumliches Bild sieht, so ist zwar der Blick auf einen Punkt gerichtet. Aber die ganze Figur steht doch gleichzeitig zur Verfügung, sie ist gegenwärtig. Man kann all ihre Teile ausnutzen, um zu neuen Erkenntnissen zu kommen. Das ist, als ob man an der Figur Experimente macht. Die Anschauung (rein als Verarbeitung von Realität gesehen) ist also dem Werk eines Parallelcomputers oder eines Analogcomputers ähnlich. – Bei der Logik ist immer nur ein Ergebnis da. Sie ist wie ein einfacher Digitalcomputer.

Kant und Einstein

Der Philosoph Immanuel Kant (1724-1804) schuf eine Theorie der Erkenntnis. Die Erkenntnis war nicht einfach eine Spiegelung der realen Welt. Wesentlich benutzte sie das in der Vernuft vorgegebene Transzendentale. Dazu gehörte auch die Anschauungsform ”Raum“. Dieser Raum war mit der euklidischen Geometrie ausgerüstet. Man konnte alles nur in dieser Geometrie sehen. Die Vernuft konnte sich nur auf (sinnliche) Dinge richten, die ”gegenständlich“ waren. Sonst kam man zu Widersprüchen, sog. Antinomien. Unendliches schied somit aus. Im Falle der Gegenständlichkeit war die Erkenntnis aber wahr, also real und unabhängig vom Menschen richtig. Die Dinge der Welt waren in der euklidischen Geometrie.

Genau diese Geometrie war vernünftig. Es gab dabei auch Urteile ”a priori“. Sie benutzten die Welt außerhalb unserer Vernunft nicht, waren aber gültig. Die Aufklärung hatte gelehrt, daß die Vernunft der Gott der Welt ist. Wir wissen heute, daß es eine menschliche Vernunft, die ohne Einschränkung vernünftig ist, gar nicht gibt. – Im Gegensatz zu Kant führte bei Einstein die Anschauung auch im gegenständlichen Bereich zu einem Widerspruch mit den Experimenten. Kant war damit widerlegt. Man erfährt auch leicht durch reines Nachdenken, daß die Vernunft keine spannungslose Einheit ist. Sie besteht aus verschiedenen Organen, die durchaus miteinander in Konflikt geraten können. Man hat die Anschauung und die Logik. Harmonie besteht nur in solchen Teilen, die von der biologischen Evolution geformt wurden.

Die Mathematiker

Was aber taten die Mathematiker? Sie verzichteten ganz auf Anschaulichkeit und machten logische Konstruktionen. Aber sicherlich meinte Kant die anschauliche Geometrie und nicht ein logisches Konstrukt. Er konnte allerdings wohl kaum effektiv unterscheiden. Die Mathematiker sahen, daß auch andere Geometrien aufgebaut werden können, so daß sie genauso widerspruchsfrei sind wie die euklidische. So erhielt man z. B. die hyperbolische Geometrie. Gauß, Lobačevskij und Bolyai zeigten das zu Anfang des 19. Jahrhunderts. In der hyperbolischen Geometrie sind alle Axiome gültig mit Ausnahme des Parallelenaxioms: Wenn in der hyperbolischen Ebene g eine Gerade und P ein Punkt außerhalb von g ist, so gibt es nicht gerade eine Gerade durch P, die g nicht schneidet, sondern unendlich viele. Alle geistigen Menschen sahen irrtümlich einen Widerspruch zu Kant, und Kant war unfehlbar. Gauß fürchtete sich, er fürchtete das Geschrei der ”Böotier“ (im Altertum: Bauern um Theben in Griechenland) so sehr, daß er seine Ideen nicht publizierte. Das tat dann Lobačevskij, der etwas weiter weg lebte.

Unsere Anschauung

Die Objekte der Anschauung sind ganz anders als die der Mathematik. Es seien einige Beispiele angegeben. Wie wir gesehen haben, hat der ℝ^{n} mindestens die mathematische Dimension n, und n kann beliebig groß sein. In der Anschauung können wir uns jedoch nicht mehr als 3 Geraden vorstellen, die in einem Punkte paarweise aufeinander senkrecht stehen. Wir haben ferner Punkte, Kurven, Flächen. Als nächst Höheres kommt das Gebiet, das schon lokal den ganzen Raum ausfüllt. Darüber hinaus geht es nicht! Ist der anschauliche Raum isomorph zu einem ℝ^{n}, so muß daher n gleich 3 sein. Interessant ist auch die folgende Betrachtung. Wenn man eine Schrift in einem Spiegel betrachtet, so erscheint die Spiegelschrift. Die Schrift sei etwa auf einem senkrechtstehenden Blatt Papier, der Spiegel stehe aufrecht. Dann werden durch Spiegelung der Schrift ”links“ und ”rechts“ vertauscht, aber nicht ”oben“ und ”unten“. Wodurch kommt diese Bevorzugung zustande? Nach einigem Denken wird klar: Das kommt daher, daß die letztere Richtung durch die Schwerkraft definiert wird und daß diese deshalb in unserem Denken eine ausgezeichnete Rolle spielt. Beim Betrachten der Spiegelschrift wird diese nicht geändert. Da die Spiegelung die Orientierung umdreht, bleibt nur die Vertauschung von ”rechts“ und ”links“ (vom Betrachter aus gesehen). So hat der Raum, wie die Alten glaubten, eine Richtung. Ein Stein fällt, indem er dieser Richtung folgt. Erst später hat Newton entdeckt, daß der Stein von der Schwerkraft bewegt wird. Zwei Massen ziehen sich immer radial an. Die Anschauung wird durch eine besondere Aktivität unseres neurophysiologischen Systems hervorgerufen. Wir können das bei dem folgenden Geschehen beobachten: Wenn wir des Morgens auf eine schwarz-weiße Karte in einer Zeitung schauen, dann halten wir manchmal zunächst die Meere für Länder und die Länder für Meere. Erst nach einer Weile springt die Sicht um. Das sollte bedeuten, daß in unserem Nervensystem etwas geschehen ist. Es gibt dafür noch bessere Beispiele. In speziellen Zeichnungen sieht man manchmal 6 Würfel und manchmal nur 5. Auch hier findet ein Umspringen statt: es ist ein psychologisches Ereignis. Man hat nun versucht, das anatomische Korrelat dazu zu finden. Es wurden dazu Experimente durchgeführt (Kernspintomograph). Beide Sichtweisen korrespondieren mit Zuständen im Gehirn, wo zwei Mengen von Milliarden von Neuronen synchron oszillieren. Beim Umspringen werden die Mengen geändert. Man vergleiche etwa den interessanten Vortrag, den Wolf Singer (Frankfurt) im April 1995 vor der Leopoldina in Halle gehalten hat: W. Singer, Funktionelle Organisation der Großhirnrinde, Nova Acta Leopoldina, Neue Serie, Bd. 72 (294) (1996), S. 5ff.

Der Sieg der Logik

Die Anschauung bringt allerdings nur wenig Möglichkeiten, tiefere mathematische Verhältnisse zu sehen. Das gilt schon in der 3-dimensionalen Geometrie. Man betrachte etwa folgende Zeichnung:

[figure: M; D]

Was schneidet die Ebene, die im Punkt M senkrecht zur Diagonalen D ist, aus dem Würfel heraus?

Die Antwort ist: ein regelmäßiges Sechseck. Aber das ist nicht sichtbar. Wir haben es zu beweisen. Mit den Methoden der Logik! Einstein zeigte, daß man in der Physik mit dem anschaulichen Raum nicht auskommt. Man muß mindestens das 4-dimensionale Raum-Zeit-Kontinuum konstruieren. Man muß also Logik statt Anschauung verwenden! Wir ersetzen deshalb fortan den anschaulichen Raum durch den ℝ^{3} mit euklidischer Norm. Wir werden zeigen, daß beide zueinander isomorph sind. Um das zu tun, benutzen wir die Axiome der Geometrie. Das sind Aussagen, die sich nicht mehr logisch herleiten lassen. Sie müssen ”evident“ sein. Evident bedeutet, daß es eine Anschauung gibt, in der man das Axiom sieht. Der Grund für seine Gültigkeit ist also nicht mathematischer, sondern psychologischer Natur! Man merkt bald, daß man nicht ins Unendliche schauen kann. Wichtig, um die Axiome zu bekommen, ist aber, daß der anschauliche Raum im Großen wie im Kleinen aussieht. Das folgt nun, weil man zunächst nur den Raum als begrenzte Kugel hat und den weiteren Raum dann nach einer festen Vorschrift konstruieren muß. Er ist dann nie aktual ganz da, aber man kann mit der Konstruktion beliebig fortfahren. Aristoteles nannte das das Potentialunendliche. Aktual ist der Raum nur eine endliche Kugel. Er hat deshalb auch einen Mittelpunkt. Aristoteles glaubte, daß in diesem Mittelpunkt die Erde steht.

2.2 Addition von Vektoren in der anschaulichen Ebene

Wir sollten eigentlich den anschaulichen Raum behandeln. Es ist aber einfacher, eine Dimension herunterzugehen. Die Ebene besteht aus Punkten. Wir wählen einen festen Basispunkt O und nehmen alle Pfeile, die von einem Punkt zu einem weiteren führen. Wir stellen dann Axiome auf. In den Axiomen der Geometrie, die von Euklid aufgestellt wurden, wird der ganze unendliche Raum benutzt. Aber seine Unendlichkeit ist nicht anschaulich. Sie wird aber bei dem Parallelenaxiom benutzt. Es ist deshalb nicht verwunderlich, daß es zweifelhaft wurde. In dem Axiomensystem, das hier entwickelt werden soll, leben alle Axiome in beschränkten Teilbereichen, die natürlich beliebig groß sein können. Sie sind immer anschaulich, und die Axiome sind evident. Hätte man immer dieses Axiomensystem gehabt, so wäre man (aus psychologischen Gründen) wohl nie zu Zweifeln an der euklidischen Geometrie gekommen. Diese Geometrie wäre als die einzig wahre angesehen worden! Es sei E die anschauliche Ebene.

Axiom I E ist eine nicht-leere Menge. Die Elemente P ∈ E heißen Punkte.

2.2.1 Definition Ein Pfeil x = (P, Q) ist ein geordnetes Paar von Punkten P, Q ∈ E.

Wir zeichnen x als einen wirklichen Pfeil, der sich von P nach Q erstreckt.

[figure: Pfeil von P nach Q; P; Q; x]

[figure: entgegengesetzter (später: negativer) Pfeil von Q nach P; P; Q; y]

Wenn y = (Q, P) der Pfeil in entgegengesetzter Richtung ist und wenn P ≠ Q, so gilt x ≠ y. Wir werden mit X die Menge der Pfeile x bezeichnen. Der Begriff ”voll parallel“ ist evident, wenigstens in kleinen Bereichen und dann auch in großen, weil diese zu kleinen isomorph sind. Die Bedeutung dieses Wortes für Pfeile ist: gleiche Länge und gleiche Richtung. Die Evidenz der folgenden Axiome folgt also aus der Evidenz in kleinen Bereichen.

[figure: parallel; P; Q; x; P′; Q′; y]

[figure: nicht parallel]

Wir müssen die wichtigsten Eigenschaften dieses neuen Begriffs in Axiomen fassen. Dazu ziehen wir heran:

2.2.2 Definition Eine (binäre) Relation ∼ auf einer Menge M liegt vor, wenn für je zwei Elemente x, y von M stets festgelegt ist, ob x ∼ y gilt oder nicht.

Aus der Anschauung folgt:

Axiom II In X ist eine binäre Relation ∥ (in Worten: voll parallel) gegeben.

Axiom III (Parallelen-Axiom) Es sei x = (P, Q) ∈ X und P_{0} ∈ E. Dann gibt es genau einen Punkt Q_{0} ∈ E so daß y = (P_{0}, Q_{0}) ∥ x gilt.

Die Mathematik befaßt sich nicht mit der Frage, wie die Anschauung entsteht. Wichtig ist nur die Gültigkeit der Axiome. Deshalb können wir fortfahren:

Axiom IV Die binäre Relation ∥ ist eine Äquivalenzrelation.

Dabei heißt eine binäre Relation ”∼“ eine Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Gesetze gelten:

(1) Es ist immer x ∼ x. (Reflexivität)

(2) Wenn x ∼ y, dann gilt auch y ∼ x. (Symmetrie)

(3) Wenn x ∼ y und y ∼ z, dann folgt x ∼ z. (Transitives Gesetz) Ein anderes einfaches Beispiel einer Äquivalenzrelation ist die Gleichheit. In der Analysis wird ferner die Ungleichung < eingeführt. Sie ist keine Äquivalenzrelation. Das nächste Gesetz ist allen Physikern und Ingenieuren wohlbekannt. Sie sprechen vom ”Parallelogramm der Kräfte“.

[figure: Parallelismus, kommutatives Gesetz; O; P; Q; R]

Axiom V (Parallelogramm-Axiom) Es seien für O, P, Q, R ∈ E die Pfeile (O, P) ∥ (Q, R). Dann folgt (O, Q) ∥ (P, R).

Dieses Axiom ist wegen der Translationen evident: Sind P_{0}, P_{1} ∈ E zwei Punkte, so gibt es immer genau eine Translation in E, die P_{0} auf P_{1} abbildet. Dabei geht jeder Vektor in einen zu ihm voll parallelen über. Es sei nun F die Translation mit F (O) = Q. Dann haben wir wegen (O, P) ∥ (Q, R) die Gleichheit F (P) = R. Aber bei Translationen sind auch immer die Verbindungsvektoren der Punkte mit den Bildpunkten zueinander voll parallel. Also folgt (O, Q) ∥ (P, R). □ Wie bei Aristoteles denken wir uns E mit einem Mittelpunkt O versehen. An sich sind die Axiome nur einsehbar, wenn man sich in der Nähe von O befindet. Wie schon gesagt, sieht der 3-dimensionale unendliche Raum im Großen so aus wie im Kleinen. Man vgl. den Aufsatz [5] von H. Grauert. Das Gleiche gilt aber auch für die Ebene E. Denn man erhält sie als Fixpunktmenge einer Spiegelung des Raumes und die Spiegelung ist natürlich auch im Großen so wie im Kleinen.

Vektorraumaxiome

Wir wollen zeigen, daß die anschauliche Ebene ein Vektorraum im Sinne des ersten Kapitels ist. Dazu müssen wir beweisen, daß die grundlegenden Eigenschaften aus der dortigen Definition 1.2.1 erfüllt sind. Wir nennen diese Eigenschaften Vektorraumaxiome. Man muß jedoch sagen, daß sie keine Axiome im eigentlichen Sinne sind. Sie sind aus den eigentlichen, anschaulichen Axiomen hergeleitet und sind die Grundbegriffe des Vektorraums. Unsere ursprünglichen Axiome sind evident aus der Anschauung heraus. Das ist so ähnlich wie in der Mengenlehre. Auch die Mengenlehre ist auf unmittelbar einleuchtenden Axiomen (Zermelo) aufgebaut. Wir müssen uns allerdings zunächst auf die Addition beschränken. Wir haben dafür inzwischen ein vollständiges Axiomensystem erhalten. Wir nennen unsere Pfeile fortan Pfeilvektoren oder auch einfach Vektoren. Es folgen dann aus den erkannten Axiomen einige mathematische Sätze, nämlich die Vektorraumaxiome. Fortan sei O ∈ E ein fester Punkt. Wir nennen ihn Basispunkt oder auch Aufpunkt. Die Menge V = {(O, P) : P ∈ E} ⊂ X heißt die Menge der Vektoren in O. Wir numerieren die Vektorraumaxiome wie in Kapitel 1. Es kann jetzt die Vektoraddition eingeführt werden. Es seien x = (O, P), y = (O, Q) Vektoren aus V. Dann gibt es einen wohlbestimmten Punkt R ∈ E mit (O, Q) ∥ (P, R). Wir setzen x + y = (O, P) + (O, Q) := (O, P) + (P, R) := (O, R) ∈ V . Dadurch ist die Addition definiert, die man anschaulich so sehen kann:

[figure: Vektoraddition; x; y; x + y]

Das kommutative Gesetz läßt sich nun ableiten:

Vektorraumaxiom (4) Es gilt stets x + y = y + x.

Beweis Wir schreiben x = (O, P), y = (O, Q). Es sei (O, Q) ∥ (P, R). Wir erhalten (O, P) ∥ (Q, R) nach dem Parallelogramm-Axiom V. Deswegen ist y + x = (O, Q) + (O, P) = (O, Q) + (Q, R) = (O, R) = x + y. □

2.2.3 Definition Wir nennen den Vektor (P, P) den Nullvektor in P.

2.2.4 Satz Es ist immer (P, P) ∥ (Q, Q).

Beweis Wir haben auf Grund der Reflexivität aus Axiom IV (P, Q) ∥ (P, Q). Also ergibt das Parallelogramm-Axiom (P, P) ∥ (Q, Q). □

2.2.5 Definition Es heißt O := (O, O) der Nullvektor von V.

Vektorraumaxiom (2) In V gilt immer x + O = x.

Beweis Wir wissen, daß O ∥ (P, P). Also erhalten wir (O, P) + O = (O, P) + (P, P) = (O, P). □

Bei gegebenem (O, P) gibt es gemäß dem Parallelen-Axiom III genau einen Punkt Q ∈ E mit (O, Q) ∥ (P, O).

2.2.6 Definition Der Vektor −(O, P) := (O, Q) ∈ V heißt das Negative von (O, P).

Vektorraumaxiom (3) In V gilt stets die Gleichung x + (−x) = O.

Beweis Man hat (O, P) + (−(O, P)) = (O, P) + (O, Q) = (O, P) + (P, O) = (O, O) = O. □ Wir werden jetzt zeigen, daß für die Addition auch das assoziative Gesetz gilt.

Vektorraumaxiom (1) In V gilt stets die Gleichung (x + y) + z = x + (y + z).

Beweis

[figure: Das assoziative Gesetz; O; S_{2}; S_{3}; R_{1}; R_{2}; R_{3}; x; y; ∥ z]

Es sei x = (O, R_{1}), y = (O, S_{2}), z = (O, Z). Dann gibt es ein R_{2} mit (O, S_{2}) ∥ (R_{1}, R_{2}) und ein R_{3} mit (O, Z) ∥ (R_{2}, R_{3}), und weiter ein S_{3} mit (O, Z) ∥ (S_{2}, S_{3}). Nach dem Parallelogrammaxiom erhalten wir sukzessive (O, R_{1}) ∥ (S_{2}, R_{2}), (S_{2}, R_{2}) ∥ (S_{3}, R_{3}), (O, R_{1}) ∥ (S_{3}, R_{3}) und schließlich (O, S_{3}) ∥ (R_{1}, R_{3}). Also haben wir (x + y) + z = ((O, R_{1}) + (O, S_{2})) + (O, Z) = ((O, R_{1}) + (R_{1}, R_{2})) +

(R_{2}, R_{3}) = (O, R_{3}) und andererseits x + (y + z) = (O, R_{1}) + ((O, S_{2}) + (O, Z)) =

(O, R_{1}) + ((O, S_{2}) + (S_{2}, S_{3})) = (O, R_{1}) + (O, S_{3}) = (O, R_{1}) + (R_{1}, R_{3}) = (O, R_{3}). □

Damit ist bewiesen:

2.2.7 Satz (V, +) ist eine abelsche Gruppe.

2.3 Multiplikation mit Skalaren

Wir wollen zunächst wieder die durch die räumliche Anschauung gegebenen Axiome betrachten. Bei den Alten Griechen waren die reellen Zahlen Streckenlängen, also sehr anschaulich. Wir nehmen deshalb diese Zahlen als Skalare, um zu einer Vektorraumstruktur zu gelangen. Wir bezeichnen mit ℝ_{0}^{+} = {a ∈ ℝ : a ≥ 0} die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Es ist evident: Ist x = (O, P) ∈ V ein Vektor, so hat er eine Länge ℓ ∈ ℝ_{0}^{+} und eine Richtung (wenn er von O verschieden ist). Zu a ∈ ℝ_{0}^{+} gibt es den wohlbestimmten Vektor a·x mit der gleichen Richtung und der Länge a·ℓ.

[figure: x; ℓ; a · x; a · ℓ; Skalarenmultiplikation]

Axiom VI Wir haben eine binäre Operation ℝ_{0}^{+} × V ↦ V : (a, x) → a · x ∈ V.

Wenn a, b ∈ ℝ_{0}^{+} sind, so haben (a + b) · x und ax + bx die gleiche Richtung wie x. Aber die Längen sind (a + b) · ℓ und aℓ + bℓ. Das ist auf Grund des Distributivgesetzes für die reellen Zahlen gleich.

Axiom VII Es gilt immer (a + b) · x = ax + bx, wenn a, b ∈ ℝ_{0}^{+}.

[figure: a · ℓ + b · ℓ; a · ℓ; b · ℓ; ℓ; eingeschränktes Distributivgesetz]

Auch das assoziative Gesetz ist richtig:

Axiom VIII Es ist immer (a · b) · x = a · (b · x), wenn a, b ∈ ℝ_{0}^{+}.

Unmittelbar einsichtig ist:

Axiom IX Es gilt das unitäre Gesetz 1 · x = x.

Um weitere Gesetze für die Skalarmultiplikation zu erhalten, benötigen wir die Stetigkeit der Vektoroperationen. Auch das ist evident. Man hat nämlich: Wenn x = ax_{1} − ax_{2} − ax_{3} mit x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ V, a ∈ ℝ_{0}^{+} ist, dann muß bei r ≈ a, r ∈ ℝ_{0}^{+}, der Vektor y = rx_{1} − rx_{2} − rx_{3} sehr nahe bei x sein.

[figure: ax_{1} − ax_{2} − ax_{3} ≈ rx_{1} − rx_{2} − rx_{3}; r/a = 1,1; ∥ −ax_{3}; ∥ −rx_{3}; ax_{1}; ∥ −rx_{2}; ∥ −ax_{2}; rx_{1}]

Axiom X (Stetigkeit) Wenn es bei x = ax_{1} − ax_{2} − ax_{3} in beliebiger Nähe von a Zahlen r ∈ ℝ_{0}^{+} mit rx_{1} − rx_{2} − rx_{3} = O gibt, so muß auch x = O gelten.

Die Formulierung ”in beliebiger Nähe von a gibt es ein r ∈ ℝ_{0}^{+}“ ist nur scheinbar nicht exakt. Sie bedeutet nämlich: ”zu jedem ε > 0 gibt es ein r ∈ ℝ_{0}^{+} mit |a − r| < ε“.

Folgerungen

2.3.1 Satz Es gilt 0 · x = O.

Beweis Man hat nach Axiom VII: ax = (a + 0) · x = ax + 0 · x. Daraus folgt 0 · x = O wie in jeder Gruppe (man vgl. die Bemerkung 1.1.5). □

2.3.2 Definition Ist a ≤ 0, so setzen wir a · x = −((−a) · x).

Durch diese Festsetzung wird a · x für alle a ∈ ℝ ohne Zweideutigkeit definiert. Sie könnte nur auftreten, wenn a = 0 ist. Gilt aber das, so folgt aus dem Axiom und nach der Festsetzung a · x = O. Liegt keine Zweideutigkeit vor, so verwenden wir fortan das Wort wohldefiniert.

2.3.3 Satz Man hat für alle a ∈ ℝ die Gleichung (−a) · x = −ax.

Beweis Ist a ≥ 0, so ist −a ≤ 0. Nach unserer Festsetzung ist dann (−a) · x = −((−(−a)) ·

x) = −a · x. Wenn a ≤ 0, so erhalten wir aus Definition 2.3.2 −((−a) · x) = a · x und daraus wie in jeder Gruppe −a · x = (−a) · x (vgl. Bemerkung 1.1.5). □

Es wird nun schrittweise das allgemeine Distributivgesetz a · (x + y) = a · x + a · y hergeleitet.

2.3.4 Satz Wenn n ∈ ℕ ist, dann ist n · x = \underbrace{x + … + x}_{n-mal}.

Beweis Wir führen vollständige Induktion nach n. Die Aussage hängt von n ∈ ℕ ab. Der Fall n = 1 ist richtig nach Axiom IX. Wir nennen das die Induktionsbasis. Es sei nun vorausgesetzt, daß n > 1 und der Fall n − 1 schon bewiesen ist. Das ist dann die Induktionsannahme. Nun haben wir nach Axiom VII: n · x = (n − 1) · x + x = \underbrace{x + … + x}_{(n−1)-mal}+x = \underbrace{x + … + x}_{n-mal}. Aus der Richtigkeit der Fälle für kleineres n folgt also

die Aussage für n. Wir sagen, daß der Induktionsschluß durchführbar ist. Gilt für eine Folge von Aussagen die Induktionsbasis und immer der Induktionsschluß, so heißt die Induktion vollständig. Die Aussagen sind dann für alle n gültig. Unser Satz ist also bewiesen. □

2.3.5 Satz Es gilt stets n · (x + y) = n · x + n · y.

Beweis Neben dem letzten Satz werden das allgemeine Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für die Addition in V benuzt.

n·(x+y) = \underbrace{(x + y) + … + (x + y)}_{n-mal} = \underbrace{(x + … + x)}_{n-mal}+ \underbrace{(y + … + y)}_{n-mal} = n·x+n·y.

□

2.3.6 Satz Es gilt für alle n, m ∈ ℕ die Gleichung:

\frac{n}{m} · (x + y) = \frac{n}{m} · x + \frac{n}{m} · y.

Beweis Wir erhalten m · (\frac{n}{m} · x + \frac{n}{m} · y) = m\frac{n}{m}x + m\frac{n}{m}y = nx + ny = n · (x + y). Die Multiplikation mit \frac{1}{m} ergibt: \frac{n}{m} · x + \frac{n}{m} · y = \frac{n}{m} · (x + y). □

Wir nutzen nun das Stetigkeitsaxiom aus:

2.3.7 Satz Für alle a ∈ ℝ_{0}^{+} ist a · (x + y) = a · x + a · y.

Beweis Die Zahl a ist ein unendlicher Dezimalbruch. Es gibt in beliebiger Nähe von a endliche Dezimalbrüche, also rationale Zahlen r = \frac{n}{m} mit n, m ∈ ℕ. Definieren wir z = a · (x + y) − ax − ay, so gilt immer r · (x + y) − rx − ry = O. Wegen des Stetigkeitsaxioms folgt dann z = O. □

Vektorraumaxiome

Wir werden jetzt die weiteren Axiome des Vektorraums ableiten.

Vektorraumaxiom (7a) Für alle reellen Zahlen a gilt die Gleichung a·(x+y) = ax+ay (distributives Gesetz).

Beweis Wir müssen nur noch den Fall a < 0 betrachten. Man hat

a · (x + y) = −((−a) · (x + y)) = −((−a) · x + (−a) · y)
= −((−a · x) + (−a · y)) = −(−(ax + ay)) = ax + ay,

wie es in jeder abelschen Gruppe richtig ist. □

Vektorraumaxiom (7b) Es gilt das distributive Gesetz (a + b) · x = ax + bx für alle reellen Zahlen a, b.

Beweis Das gilt nach Axiom VII im Falle a ≥ 0, b ≥ 0. Es sei nun a < 0, b ≥ 0, a + b ≥ 0. Dann folgt (a + b) · x + (−a) · x = (a + b − a)x = bx. Das bedeutet: wir haben (a + b) · x − ax = bx. Also ergibt sich (a + b)x = ax + bx. Alle anderen Fälle können analog gelöst werden. □

Um das assoziative Gesetz für die Skalarmultiplikation zu erhalten, beweisen wir:

2.3.8 Satz Es gilt für alle a ∈ ℝ die Gleichung a · O = O.

Beweis Wir haben a · x = a · (x + O) = ax + a · O und dann a · O = O, wie es in jeder Gruppe richtig ist. – Hier wurde das Vektorraumaxiom (7a) benutzt. □

2.3.9 Satz Für alle a ∈ ℝ gilt: a · (−x) = −a · x.

Beweis Wir haben ax+a(−x) = a·(x+(−x)) = a·O = O. Also folgt wie in jeder Gruppe a · (−x) = −ax. □

Schließlich erhalten wir:

Vektorraumaxiom (6) Für alle reellen Zahlen a, b gilt a · (b · x) = (ab) · x.

Beweis Ist a ≥ 0, b ≥ 0, so folgt dieses aus Axiom VIII. Es sei nun a < 0 und b ≥ 0. Dann

erhalten wir a · (b · x) = −((−a) · (bx)) = −((−ab) · x) = −(−ab)x = (ab)x. Die Fälle a ≥ 0, b < 0 und a < 0, b < 0 können in ähnlicher Weise behandelt werden. □

Nachdem das Vektorraumaxiom (5) bereits in unserem Axiom IX enthalten ist, haben wir damit bewiesen, daß V den Axiomen eines reellen Vektorraums genügt.

2.3.10 Satz V ist ein reeller Vektorraum.

Dimension

Wir werden sehen, daß V 2-dimensional ist. Dafür gebrauchen wir den Begriff der Geraden, den wir hier aus den Axiomen definieren müssen. Von O verschiedene Vektoren gibt es nach dem folgenden Axiom XI. Es seien x_{0}, x_{1} ∈ V mit x_{0} ≠ O.

2.3.11 Definition Die Menge G = {x = x_{1} + t · x_{0} : t ∈ ℝ} heißt die Gerade durch x_{1} mit Richtungsvektor x_{0}.

Um G zu erhalten, muß man t also alle reellen Zahlen durchlaufen lassen. Wir werden im Folgenden den Vektor x = (O, P) mit P und entsprechend x_{1} = (O, P_{1}) mit P_{1} identifizieren. Dann ist G eine Gerade in E durch P_{1}.

Axiom XI Es gibt eine Gerade G durch O, so daß die Differenzmenge V \ G ≠ ∅ ist.

Dabei bezeichnet die Differenzmenge M \ N die Menge der Elemente von M, die nicht in N enthalten sind.

Axiom XII Es seien G_{1}, G_{2} zwei verschiedene Geraden durch O ∈ V. Dann gibt es zu jedem Vektor x ∈ V zwei Vektoren x_{1} ∈ G_{1}, x_{2} ∈ G_{2} mit x = x_{1} + x_{2}.

2.3.12 Satz Es gilt dim V = 2.

Beweis Nach Axiom XI gibt es eine Gerade G_{1} durch O mit V \ G_{1} ≠ ∅. Wir bezeichnen ihren Richtungsvektor mit y_{1}. Dann wählen wir einen Vektor y_{2} ∈ V \ G_{1}. Wir bezeichnen durch G_{2} die Gerade {x = t · y_{2} : t ∈ ℝ}. Wir erhalten G_{1} ≠ G_{2}. Die Vektoren y_{1}, y_{2} sind linear unabhängig. Ist etwa die Gleichung t_{1} · y_{1} + t_{2} · y_{2} = O nicht trivial, so bekommen wir zuerst t_{1} ≠ 0, t_{2} ≠ 0 und dann, daß y_{2} ein Vielfaches von y_{1} ist und umgekehrt. Das ist ein Widerspruch, weil G_{1} und G_{2} verschieden sind. Andererseits erzeugen y_{1}, y_{2} den ganzen Vektorraum V. Also sind sie eine Basis. Gilt (O, P) = t_{1}y_{1} + t_{2}y_{2}, so kann man das Paar (t_{1}, t_{2}) als Koordinaten von P ansehen. Gibt es mehr als 2 linear unabhängige Vektoren in V, so haben wir linear unabhängige Vektoren y_{1}, y_{2}, y_{3}. Die Geraden G_{1}, G_{2} zu y_{1}, y_{2} sind dann verschieden. Nach Axiom XII läßt sich y_{3} als Linearkombination von y_{1}, y_{2} schreiben. Das ist ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit. Also ist die Höchstzahl der linear unabhängigen Vektoren zwei. Nach Definition 1.3.10haben wir dim V = 2. □

[figure: O; P; G_{1}; G_{2}; y_{1}; y_{2}; Koordinaten]

2.4 Geometrie

Es sollen hier einige klassische geometrische Resultate abgeleitet werden. Wir betrachten zunächst Geraden in der Ebene.

Es sei G = {P : (O, P) = (O, Q) + t · z mit t ∈ ℝ} eine Gerade durch Q mit Richtungsvektor z ≠ O.

[figure: ∗; O; Q; P; z; Gerade]

Es folgt:

2.4.1 Bemerkung Ersetzt man Q durch ein Q′ ∈ G, so erhält man die gleiche Gerade.

Beweis Es ist ja x = (O, Q′) + (t − t′)z = (O, Q) + tz, wenn (O, Q′) = (O, Q) + t′z. □

2.4.2 Bemerkung Man hat genau dann die gleiche Gerade, wenn man den Richtungsvektor z durch einen linear abhängigen Richtungsvektor z′ ersetzt.

Beweis Wir dürfen Q = Q′ annehmen. Die beiden Geraden sind genau dann gleich, wenn für alle Geradenpunkte x Gleichungen x − (O, Q) = tz = τz′ gelten. Das ist gerade bei linearer Abhängigkeit der Fall. □

2.4.3 Definition Zwei Geraden heißen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

2.4.4 Satz Zwei verschiedene parallele Geraden schneiden sich nicht: Sie haben keinen Punkt gemeinsam.

Beweis Ist Q ein gemeinsamer Punkt, so sind beides Geraden durch Q mit gleichem Richtungsvektor. Sie sind dann gleich. □

Ist eine Gerade gegeben, so existiert offensichtlich durch jeden Punkt eine dazu parallele Gerade.

2.4.5 Satz Zwei nichtparallele Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis Wir identifizieren E mit V. Es sei G die Gerade {x = y + tz} und G′ die Gerade {x = y′+τz′}. Wir haben zu zeigen, daß die Gleichung y−y′ = τz′−tz genau eine Lösung hat. Das ist der Fall, weil die beiden Geraden durch O mit den Richtungsvektoren z′, z verschieden sind, die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. □

2.4.6 Satz Durch je zwei verschiedene Punkte Q, Q′ ∈ E gibt es genau eine Gerade.

Beweis Wir identifizieren wieder E mit V. Es sei also (O, Q) = y, (O, Q′) = y′. Wir nehmen die Gerade G = {x = y + t (y′ − y)}. Dann hat man für t = 0 : y ∈ G und für t = 1 : y′ ∈ G. Also geht G durch die beiden Punkte. Ist G′ eine weitere solche Gerade, so geht G′ durch y und hat einen Richtungsvektor z. Dann muß y′ − y = τz gelten, denn G′ geht auch durch y′. Die Richtungsvektoren beider Geraden sind also linear abhängig, sie selbst also gleich. □

Wir können G auch in der folgenden Form schreiben G = {x : x = (1−t)y +ty′, t ∈ ℝ} = {x = μy + μ′y′ : μ + μ′ = 1}.

2.4.7 Definition Es seien Q ≠ Q′ ∈ E. Dann heißt die Menge \overline{QQ′} = \{P : (O, P) = (O, Q′) + t · ((O, Q) − (O, Q′)), 0 ≤ t ≤ 1} die Verbindungsstrecke von Q und Q′.

Für t = 0 ergibt sich P = Q′, für t = 1 folgt P = Q:

[figure: Q′; Q; Verbindungsstrecke]

Man sieht sofort:

2.4.8 Satz Es ist stets \overline{QQ′} = \{P : (O, P) = μ(O, Q) + μ′(O, Q′), μ + μ′ = 1, μ, μ′ ≥ 0\}.

2.4.9 Definition Es seien Q, Q′ ∈ E. Dann heißt der Punkt P ∈ E mit (O, P) = \frac{1}{2}((O, Q) + (O, Q′)) der Mittelpunkt von \overline{QQ′}.

Es ist klar, warum man von Mitte spricht. Man hat nämlich:

(O, P) = (O, Q′) + \frac{1}{2}((O, Q) − (O, Q′)) = (O, Q) + \frac{1}{2}((O, Q′) − (O, Q)).

Wir wollen nun die Strahlensätze betrachten. Dabei sind Strahlen durch O Halbgeraden, die von O berandet werden. In den Sätzen brauchen wir nicht die noch nicht definierten Längen von Strecken. Wegen der Skalarenmultiplikation haben wir aber die Längenverhältnisse. Die genügen!

2.4.10 Satz (beide Strahlensätze) Es seien zwei von O verschiedene Vektoren x, y ∈ V gegeben. Es seien G, G′ zwei verschiedene parallele Geraden, die nicht durch O gehen. Sie seien weder zu x noch zu y parallel. Wir setzen voraus, daß die Strahlen zu x, y von G, G′ geschnitten werden. Es sei x_{1} der Vektor auf dem Strahl zu x, der von O bis zu dem Schnitt mit G reicht, x_{2} der Vektor auf diesem Strahl von O bis zu dem Schnitt mit G′ und y_{1}, y_{2} die entsprechenden Vektoren auf dem Strahl zu y. Dann gilt für das Verhältnis der Längen:

L(x_{2})/L(x_{1}) = L(y_{2})/L(y_{1}) = L(x_{2} − y_{2})/L(x_{1} − y_{1}).

[figure: y_{1}; y_{2}; x_{1}; x_{2}; x_{1} − y_{1}; x_{2} − y_{2}; G; G′; Strahlen]

Beweis Wir wählen eine reelle Zahl r ≥ 0 so, daß r · x_{1} = x_{2}. Bei der Multiplikation mit r gehen Geraden stets in parallele Geraden über, G wird zu G′. Also wird y_{1} in y_{2} abgebildet und damit auch x_{1} − y_{1} in r(x_{1} − y_{1}) = rx_{1} − ry_{1} = x_{2} − y_{2}. Die Multiplikation mit r bedeutet nach der Anschauung aber eine Längung um den Faktor r. □

Der 3-dimensionale Raum

Es werde nun die Ebene durch den 3-dimensionalen anschaulichen Raum ersetzt.

[figure: O; ∗; E; Ebenen E]

Natürlich braucht man statt der Ebene E den ganzen 3-dimensionalen anschaulichen Raum R. Es sei wieder O ein Basispunkt und V^{3} = {(O, P) : P ∈ R}. Es gelten dann die Axiome I - X unverändert. Es läßt sich aber besser begründen, daß der Raum im Großen wie im Kleinen aussieht.

2.4.11 Definition Es sei E eine Teilmenge von R. Dann ist E eine Ebene, wenn es einen Punkt Q ∈ R und linear unabhängige Vektoren x_{1}, x_{2} ∈ V^{3} gibt, so daß

E = {P : (O, P) = (O, Q) + t_{1} · x_{1} + t_{2} · x_{2}, t_{1}, t_{2} ∈ ℝ}.

Man erhält die gleiche Ebene genau dann, wenn man Q durch einen anderen Punkt aus E und x_{1}, x_{2} durch von den gegebenen linear abhängige Vektoren ersetzt, die aber selbst linear unabhängig sind. Das Axiom XI muß jetzt heißen: Es gibt eine Ebene E durch O, so daß R\E eine nicht leere Menge ist. Das Axiom XII besagt schließlich: Sind G_{1}, G_{2} zwei verschiedene Geraden in E durch O und ist G_{3} eine nicht in E enthaltene Gerade durch O, und sind x_{1}, x_{2}, x_{3} entsprechende Richtungsvektoren, so spannen sie V^{3} auf. Das bedeutet, daß V^{3} ein 3-dimensionaler Vektorraum ist.

3 Lineare Abbildungen

Abbildungen sind jedermann, zumindest implizit, aus dem täglichen Leben vertraut. Zwei einfache Beispiele sollen das illustrieren: Das Einwohnermeldeamt bildet jedes Individuum ab auf einen Satz von Daten wie Name, Vorname, Geburtstag, usw. Dabei wird die Behörde bemüht sein, diese Abbildung so zu gestalten, daß jedes Individuum durch die erhobenen Daten zweifelsfrei beschrieben wird, daß die Abbildung also in dem unten zu erklärenden Sinne ”injektiv“ ist. Ein Automobilkonzern berechnet aus den Anzahlen bestellter Fahrzeugtypen die Menge der benötigten Rohteile: Bleche, Schrauben, Kabel, … Dieses Beispiel hat einen anderen Charakter als das erste: Anzahlen können addiert und multipliziert werden; die Produktion doppelt so vieler Autos erfordert doppelt so viele Rohteile. Gehen mehrere Bestellungen ein, so addiert man die entsprechenden Anzahlen der Rohteile. Somit ist es nicht verwunderlich, daß Abbildungen gerade in der Mathematik eine zentrale Rolle spielen. Bereits in den ersten beiden Kapiteln haben wir davon regen Gebrauch gemacht: Jeder Vektor a⃗ ∈ ℝ^{n} ist eine Abbildung, die den Indizes i = 1, …, n die Komponenten a_{1}, …, a_{n} zuordnet. Das Urbild, der Index i, wird dabei implizit, durch die Position i des Bildes a_{i}, angegeben. Bei der Addition werden je zwei Vektoren aus ℝ^{n} bzw. in der anschaulichen Ebene auf einen Vektor aus ℝ^{n} bzw. in der anschaulichen Ebene, den Summenvektor, abgebildet. Im folgenden Abschnitt wird daher zunächst der allgemeine Abbildungsbegriff präzisiert. Im übrigen ist dieses ganze Kapitel sehr speziellen Abbildungen, den linearen Abbildungen gewidmet, die gleichzeitig entsprechend starke Eigenschaften haben. Lineare Abbildungen wirken zwischen Vektorräumen und sind mit den Vektorraumoperationen ”+“ und ”·“ verträglich. Etwa die Abbildung aus dem Automobilkonzern-Beispiel ist linear. Mit Hilfe von linearen ”Koordinatenabbildungen“ werden wir sehen, daß ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} geeignete Modelle für die anschauliche Ebene bzw. den anschaulichen Raum sind. Allgemeiner werden wir jeden n-dimensionalen Vektorraum durch Einführung von Basen linear unter Erhaltung der Gestalt (isomorph) auf den ℝ^{n} abbilden. Mit Hilfe dieser Koordinaten werden lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen zu linearen Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m}. Deshalb werden letztere besondere Aufmerksamkeit genießen, zudem sie einem sehr einfachen und wirkungsvollen Kalkül, dem Matrizenkalkül, zugänglich sind. Die Untersuchung linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wird auf Manipulationen von Zahlenschemata reduziert.

3.1 Abbildungen

Mit M, M_{1}, M_{2}, … werden im Folgenden stets Mengen bezeichnet.

3.1.1 Definition F heißt Abbildung von M_{1} in M_{2}, wenn durch F jedem Element P ∈ M_{1} genau ein Element Q ∈ M_{2} als Bild zugeordnet wird:

F : M_{1} → M_{2}, P ↦ Q = F (P).

Der Punkt Q = F (P) heißt Bild von P oder Wert von F in P. Die Menge M_{1} heißt Urbildbereich und M_{2} Wertevorrat. Zwei Abbildungen F, F′ : M_{1} → M_{2} sind gleich genau dann, wenn für alle P ∈ M_{1} gilt: F (P) = F′(P). Es wird nicht verlangt, daß die Zuordnungsvorschrift explizit angegeben werden kann; die Zuordnung kann sehr abstrakt sein. Dies gilt beispielsweise für Abbildungen, die mit Hilfe des ”Zornschen Lemmas“ bzw. des ”Auswahlaxioms“ konstruiert werden. Auf jeder Menge M gibt es eine besonders einfache Abbildung, die identische Abbildung, id : M → M, P ↦ P. Werden gleichzeitig mehrere Mengen betrachtet, so schreibt man zur Vermeidung von Mißverständnissen auch id_{M}.

3.1.2 Beispiel Geraden G im anschaulichen Raum R können als Bilder von Abbildungen beschrieben werden. Sei x_{0} ∈ V^{3}, x_{0} ≠ O, P ∈ R, G := {Q ∈ R : (O, Q) = (O, P) + tx_{0} für ein t ∈ ℝ}. Dann wird durch t ↦ Q eine Abbildung G : ℝ → G erklärt.

3.1.3 Definition Eine Abbildung F : M_{1} → M_{2} heißt

(a) surjektiv, wenn für alle Q ∈ M_{2} (mindestens) ein P ∈ M_{1} existiert mit F (P) = Q. (Jedes Element von M_{2} kommt als Wert vor.)

(b) injektiv, wenn aus P_{1}, P_{2} ∈ M_{1}, P_{1} ≠ P_{2} schon F (P_{1}) ≠ F (P_{2}) folgt. (Jedes Element von M_{2} kommt höchstens einmal als Wert vor.)

(c) bijektiv, wenn F surjektiv und injektiv ist.

(Jedes Element von M_{2} kommt genau einmal als Wert vor.)

Für surjektive Abbildungen schreibt man F : M_{1} ↠ M_{2} und sagt, daß F auf M_{2} abbildet. Injektive Abbildungen heißen auch eineindeutig, man schreibt F : M_{1} ↪ M_{2}. Eine Abbildung F ist genau dann injektiv, wenn aus P_{1}, P_{2} ∈ M_{1}, F (P_{1}) = F (P_{2}) stets P_{1} = P_{2} folgt. Für bijektive Abbildungen schreibt man auch F : M_{1} ↔ M_{2}.

3.1.4 Beispiel Die Geradenabbildung aus Beispiel 3.1.2 ist injektiv, denn der Vektor x_{0} ist nicht der Nullvektor und deshalb linear unabhängig. Auf Grund der Wahl des Wertevorrats G ist diese Abbildung auch surjektiv und damit bijektiv. Betrachtet man dagegen die Abbildung ℝ → R mit derselben Abbildungsvorschrift, so ist diese Abbildung nicht mehr surjektiv.

3.1.5 Definition Sei F : M_{1} → M_{2} eine Abbildung. Dann heißt

im(F) := F (M_{1}) := {Q ∈ M_{2} : es gibt ein P ∈ M_{1} mit Q = F (P) }

Bildmenge von M_{1} unter F.

3.1.6 Beispiel Sei G : ℝ → G ⊂ R die Geraden-Abbildung aus Beispiel 3.1.2. Nach Definition dieser Geraden ist G = G(ℝ) = im(G).

3.1.7 Definition Es seien F_{1} : M_{1} → M_{2}, F_{2} : M_{2} → M_{3} Abbildungen. Die Zusammensetzung (Hintereinanderschaltung, Komposition) von F_{1} und F_{2} wird durch

F_{2} ∘ F_{1} : M_{1} → M_{3},  (F_{2} ∘ F_{1})(P) := F_{2}(F_{1}(P))  (P ∈ M_{1})

erklärt.

Solche Sachverhalte werden durch kommutative Diagramme beschrieben.

[figure: M_{1}; F_{2} ∘ F_{1}; M_{3}; M_{2}; F_{1}; F_{2}; Komposition, Zusammensetzung von Abbildungen]

Definitionsgemäß liefern beide Wege von M_{1} nach M_{3} stets dasselbe Ergebnis; das Diagramm kommutiert.

3.1.8 Beispiel Wir betrachten

F_{1} : ℝ^{2} → ℝ^{3}, F_{1} \binom{}{a} = (a_{1} + a_{2}, a_{1}, −a_{2}) und

F_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{2}, F_{2} \binom{}{b} = (\frac{1}{2}(b_{1} + b_{2} + b_{3}), \frac{1}{2}(b_{1} − b_{2} − b_{3})) .

Wir erhalten für die Komposition F_{2} ∘ F_{1} : ℝ^{2} → ℝ^{2}:

F_{2} ∘ F_{1} \binom{}{a} = (\frac{1}{2}(a_{1} + a_{2} + a_{1} − a_{2}), \frac{1}{2}(a_{1} + a_{2} − a_{1} + a_{2})) = a⃗.

□

Wir stellen einige einfache Gesetze für die Komposition von Abbildungen zusammen.

3.1.9 Satz Es seien F_{1} : M_{1} → M_{2}, F_{2} : M_{2} → M_{3}, F_{3} : M_{3} → M_{4} Abbildungen. Dann gilt:

(a) F_{1} ∘ id_{M_{1}} = F_{1}.

(b) id_{M_{2}} ∘ F_{1} = F_{1}.

(c) (F_{3} ∘ F_{2}) ∘ F_{1} = F_{3} ∘ (F_{2} ∘ F_{1}). (Assoziativgesetz)

Das Diagramm kommutiert:

[figure: M_{1}; M_{3}; F_{2} ∘ F_{1}; M_{2}; F_{1}; F_{2}; F_{3}; M_{4}; F_{3} ∘ F_{2}; Assoziativgesetz bei der Komposition von Abbildungen]

Beweis Nur (c) ist nicht völlig trivial. Für alle P ∈ M_{1} gilt: ((F_{3} ∘ F_{2}) ∘ F_{1})(P) = (F_{3} ∘ F_{2})(F_{1}(P)) = F_{3}(F_{2}(F_{1}(P))) = F_{3}((F_{2} ∘ F_{1})(P)) = (F_{3} ∘ (F_{2} ∘ F_{1}))(P). □

Umkehrabbildungen

Ist F : M_{1} → M_{2} bijektiv, so kann die Umkehrabbildung oder inverse Abbildung F^{−1} : M_{2} → M_{1} erklärt werden. Für jedes Q ∈ M_{2} existiert genau ein P ∈ M_{1} mit F (P) = Q. Man setzt F^{−1}(Q) = P. Wir können die Kompositionen F^{−1} ∘ F : M_{1} → M_{1}, F ∘ F^{−1} : M_{2} → M_{2} von F und F^{−1} bilden und stellen fest, daß F^{−1} tatsächlich zu F invers ist:

3.1.10 Satz Sei F : M_{1} → M_{2} bijektiv mit Umkehrabbildung F^{−1} : M_{2} → M_{1}. Dann gilt:

(a) F^{−1} ∘ F = id_{M_{1}},

(b) F ∘ F^{−1} = id_{M_{2}}.

{Beweis \atop (a)} Für beliebiges P ∈ M_{1} ist F^{−1}(F (P)) das eindeutig bestimmte Element P′ ∈ M_{1} mit F (P′) = F (P). Die Injektivität von F ergibt P = P′. Also ist stets F^{−1}(F (P)) = P.

(b) Sei Q ∈ M_{2}. Nach Definition ist F^{−1}(Q) dasjenige Element aus M_{1} mit F (F^{−1}(Q)) = Q. □

Ist für eine bijektive Abbildung F : M_{1} ↔ M_{2} allein durch Angabe von M_{1} und M_{2} klar, welche Abbildung gemeint ist, so heißt F kanonisch oder natürlich. Häufig werden M_{1} und M_{2} dann identifiziert, M_{1} und M_{2} werden als gleich aufgefaßt: M_{1} = M_{2}. Wir zeigen nun, daß die Eigenschaften (a), (b) aus Satz 3.1.10 die (Existenz genau einer) Umkehrabbildung charakterisieren.

3.1.11 Satz Die Abbildung F : M_{1} → M_{2} ist genau dann bijektiv, wenn ein G : M_{2} → M_{1} mit G ∘ F = id_{M_{1}} und F ∘ G = id_{M_{2}} existiert. Für ein solches G gilt G = F^{−1}.

{Beweis \atop ”⇒“:}Siehe Satz 3.1.10. ”⇐“: Die Identität G ∘ F = id_{M_{1}} liefert die Injektivität von F: Seien P_{1}, P_{2} ∈ M_{1}

gegeben mit F (P_{1}) = F (P_{2}). Es folgt G(F (P_{1})) = G(F (P_{2})), also P_{1} = P_{2}. Andererseits ergibt F ∘ G = id_{M_{2}} die Surjektivität von F: Sei Q ∈ M_{2}, setze P := G(Q). Es gilt F (P) = F (G(Q)) = F ∘ G(Q) = Q.

Sei Q ∈ M_{2} gegeben. Für P = G(Q) gilt F (P) = F ∘ G(Q) = Q. Nach Definition von F^{−1} gilt F^{−1}(Q) = P. Also ist G = F^{−1}. □

3.1.12 Folgerung Vertauscht man in Satz 3.1.11 die Rollen von G und F, so sieht man: G = F^{−1} ist dort auch bijektiv, es gilt F = G^{−1}. Also hat man für jede bijektive Abbildung F:

F = (F^{−1})^{−1}.

In Abschnitt 1.1 hatten wir gesehen: in Gruppen ist jedes Rechtsinverse auch Linksinverses. Für Abbildungen haben wir ohne zusätzliche Bedingungen im allgemeinen keine Gruppenstruktur. Um die Existenz von Umkehrabbildungen zu zeigen, sind beide Identitäten aus Satz 3.1.11nachzuweisen, wie das folgende Beispiel zeigt:

3.1.13 Beispiel Für die in Beispiel 3.1.8definierten Abbildungen hatten wir gesehen: F_{2} ∘ F_{1} = id_{ℝ^{2}} . Wäre F_{1} bijektiv, so hätte man F_{1}^{−1} : ℝ^{3} → ℝ^{2} und damit F_{1}^{−1} = id_{ℝ^{2}} ∘ F_{1}^{−1} = (F_{2} ∘ F_{1}) ∘ F_{1}^{−1} = F_{2} ∘ (F_{1} ∘ F_{1}^{−1}) = F_{2} ∘ id_{ℝ^{3}} = F_{2}. Es wäre also F_{1} ∘ F_{2} = F_{1} ∘ F_{1}^{−1} = id_{ℝ^{3}} . Jedoch ist F_{1} ∘ F_{2}(b⃗) = (b_{1}, \frac{1}{2}(b_{1} + b_{2} + b_{3}), −\frac{1}{2}(b_{1} − b_{2} − b_{3})) , also z. B. (F_{1} ∘ F_{2})(0, 0, 1) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}). Demnach ist F_{1} ∘ F_{2} ≠ id_{ℝ^{3}} und folglich F_{1} nicht bijektiv.

3.1.14 Satz Es seien F_{1} : M_{1} → M_{2}, F_{2} : M_{2} → M_{3} Abbildungen. Für die Zusammensetzung G := F_{2} ∘ F_{1} gilt:

(a) Sind F_{1} und F_{2} injektiv, so ist G injektiv.

(b) Sind F_{1} und F_{2} surjektiv, so ist G surjektiv.

(c) Sind F_{1} und F_{2} bijektiv, so ist G bijektiv.

{Beweis \atop (a)} Seien P_{1}, P_{2} ∈ M_{1} mit G(P_{1}) = G(P_{2}), d. h. F_{2}(F_{1}(P_{1})) = F_{2}(F_{1}(P_{2})). Es folgt F_{1}(P_{1}) = F_{1}(P_{2}) aus der Injektivität von F_{2} und entsprechend P_{1} = P_{2} aus der Injektivität von F_{1}.

(b) Sei Q_{3} ∈ M_{3} gegeben. Weil F_{2} surjektiv ist, existiert Q_{2} ∈ M_{2} mit Q_{3} = F_{2}(Q_{2}), die Surjektivität von F_{1} liefert ein Q_{1} ∈ M_{1} mit Q_{2} = F_{1}(Q_{1}). Es folgt Q_{3} = F_{2} ∘ F_{1}(Q_{1}).

(c) Folgt aus (a) und (b). □

3.1.15 Satz Die Abbildungen F_{1} : M_{1} → M_{2}, F_{2} : M_{2} → M_{3} seien bijektiv. Dann gilt (F_{2} ∘ F_{1})^{−1} = F_{1}^{−1} ∘ F_{2}^{−1}.

[figure: M_{1}; M_{3}; F_{2} ∘ F_{1}; (F_{2} ∘ F_{1})^{−1}; M_{2}; F_{1}; F_{2}; F_{1}^{−1}; F_{2}^{−1}; Es gibt keinen anderen Weg zurück.]

Beweis Für G := F_{1}^{−1} ∘ F_{2}^{−1} gilt auf Grund der Assoziativität der Zusammensetzung von Abbildungen:

(F_{2} ∘ F_{1}) ∘ G = F_{2} ∘ (F_{1} ∘ F_{1}^{−1}) ∘ F_{2}^{−1}
= F_{2} ∘ id_{M_{2}} ∘ F_{2}^{−1} = F_{2} ∘ F_{2}^{−1} = id_{M_{3}}

und entsprechend

G ∘ (F_{2} ∘ F_{1}) = F_{1}^{−1} ∘ F_{2}^{−1} ∘ F_{2} ∘ F_{1} = id_{M_{1}}.

Satz 3.1.11liefert (F_{2} ∘ F_{1})^{−1} = G = F_{1}^{−1} ∘ F_{2}^{−1}. □

Mit Hilfe von bijektiven Abbildungen können Koordinaten in der anschaulichen Ebene E und im anschaulichen Raum R eingeführt werden. Wir verwenden im Folgenden die Bezeichnungen aus Kapitel 2.

Koordinaten in der anschaulichen Ebene E

Nachdem der Basispunkt O ∈ E einmal fixiert worden ist, existieren zwischen der anschaulichen Ebene E und dem Vektorraum V der Pfeile in O kanonische Abbildungen:

F : V → E, (O, P) ↦ P,
G : E → V, P ↦ (O, P).

Nach Satz 3.1.11 sind F und G bijektiv, F = G^{−1}, G = F^{−1}. Wir können E und V identifizieren: E = V. Nun soll eine bijektive Abbildung zwischen V und ℝ^{2} konstruiert werden. Gemäß Satz 2.3.12 ist dim V = 2. Also existieren zwei linear unabhängige Vektoren x_{1}, x_{2} ∈ V, die nach Satz 1.3.16 eine Basis von V bilden. Wir definieren nun eine Abbildung, die nicht kanonisch ist, weil sie von der Wahl der Basis {x_{1}, x_{2}} abhängt:

H : ℝ^{2} → V, (a_{1}, a_{2}) ↦ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}.

Da x_{1}, x_{2} linear unabhängig sind, ist die Darstellung von Vektoren aus V bzgl. der Basis {x_{1}, x_{2}} nach Satz 1.3.9 eindeutig, also ist H injektiv. Nachdem V von x_{1} und x_{2} erzeugt wird, ist H aber auch surjektiv und somit bijektiv. Wir betrachten nun die bijektive Abbildung

F ∘ H : ℝ^{2} → E

und die Umkehrabbildung

(F ∘ H)^{−1} : E → ℝ^{2}.

Die Abbildung F ∘ H heißt Karte, weil jedem Paar aus ℝ^{2} (↔ Kartenblatt) ein Punkt der Ebene (↔ Erdoberfläche) zugeordnet wird. Die Umkehrabbildung (F ∘ H)^{−1} heißt Koordinatensystem, die Zahlenpaare a⃗ = (a_{1}, a_{2}) = (F ∘ H)^{−1}(P) heißen Koordinaten von P bzgl. der Basis {x_{1}, x_{2}}.

[figure: O; P; a_{2}x_{2}; x_{2}; x_{1}; a_{1}x_{1}; Anschauliche Ebene isomorph zu ℝ^{2}]

Koordinaten im anschaulichen Raum R

Man geht völlig analog wie oben vor; F : V^{3} → R, (O, P) ↦ P sei die kanonische Abbildung zwischen V^{3} und R. Nachdem V^{3} ein dreidimensionaler Vektorraum ist, existiert eine dreielementige Basis {x_{1}, x_{2}, x_{3}} von V^{3}. Wir setzen

H : ℝ^{3} → V^{3}, (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ↦ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3},

dann ist F ∘ H : ℝ^{3} → R wieder bijektiv und heißt Karte. Jeder Punkt P ∈ R hat drei Koordinaten (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (F ∘ H)^{−1}(P).

Diese so weitreichende Idee, mittels Koordinaten die in ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} zur Verfügung stehenden algebraischen und analytischen Methoden der Geometrie zu Nutze zu machen, geht auf den französischen Philosophen René Descartes (1596-1650) zurück.

3.2 Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen sind spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen. Sie ”beachten“ Addition und Skalarmultiplikation. Jeder Vektorraum ist bezüglich der Vektoraddition eine abelsche Gruppe, daher betrachten wir zunächst solche Abbildungen zwischen Gruppen, die die Gruppenoperation beachten.

Homomorphismen

Im Folgenden bezeichnen G_{1}, G_{2} Gruppen; da die Verwechslungsgefahr gering ist, bezeichnet ”+“ die Operation sowohl auf G_{1} wie auf G_{2}. Ebenso verwenden wir für die jeweiligen Nullelemente dasselbe Symbol 0.

3.2.1 Definition Eine Abbildung F : G_{1} → G_{2} heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle x, y ∈ G_{1} gilt: F (x + y) = F (x) + F (y).

Man sagt, daß F die Gruppenoperation ”+“ beachtet. ”Homomorph“ ist eine Ableitung aus dem Griechischen und bedeutet etwa ”von gleicher Gestalt“.

3.2.2 Beispiel F : (ℝ^{+}, ·) → (ℝ, +), F (x) = ln x ist wegen ln(x · y) = ln x + ln y ein Homomorphismus. Dagegen ist G : (ℝ, +) → (ℝ, +), F (x) = 1 + x kein Homomorphismus.

3.2.3 Satz Ist F : G_{1} → G_{2} ein Gruppenhomomorphismus, so gilt:

(a) F (0) = 0.

(b) F (−x) = −F (x) für alle x ∈ G_{1}.

{Beweis \atop (a)} Aus F (0) = F (0 + 0) = F (0) + F (0) folgt F (0) = 0.

(b) Wegen (a) gilt: 0 = F (0) = F (x + (−x)) = F (x) + F (−x) und damit −F (x) = F (−x). □

Im Folgenden bezeichnen V, V_{1}, V_{2}, … stets reelle Vektorräume.

3.2.4 Definition Eine Abbildung F : V_{1} → V_{2} heißt lineare Abbildung oder Vektorraumhomomorphismus, falls gilt:

(1) Für alle x, y ∈ V_{1} ist F (x + y) = F (x) + F (y). (Additivität)

(2) Für alle a ∈ ℝ, x ∈ V_{1} ist F (a · x) = a · F (x). (Homogenität)

Eine lineare Abbildung beachtet also die Vektorraumoperationen. Eigenschaft (1) bedeutet, daß F insbesondere ein Gruppenhomomorphismus (V_{1}, +) → (V_{2}, +) ist. Offensichtlich ist die identische Abbildung id : V → V stets eine lineare Abbildung.

3.2.5 Beispiel Sei V der Vektorraum der reellen Polynome, vgl. Beispiel 1.3.11. Zwei Polynome P = ∑_{i=0}^{n} a_{i}z^{i} und Q = ∑_{i=0}^{n} b_{i}z^{i} können miteinander multipliziert werden. Indem man formal ausmultipliziert und a_{n+1} = … = a_{2n} = b_{n+1} = … = b_{2n} = 0 ergänzt, gelangt man zu der Setzung:

P · Q := ∑_{i=0}^{2n} (∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ}b_{i−ℓ}) z^{i}.

Für diese Multiplikation läßt sich leicht ein Distributivgesetz zeigen. Sei Q′ = ∑_{i=0}^{n} b′_{i}z^{i}, dann ist auf Grund des reellen Distributivgesetzes:

P · (Q + Q′) = ∑_{i=0}^{2n} (∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ} (b_{i−ℓ} + b′_{i−ℓ})) z^{i}

= ∑_{i=0}^{2n} ((∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ}b_{i−ℓ}) + (∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ}b′_{i−ℓ})) z^{i}

= ∑_{i=0}^{2n} (∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ}b_{i−ℓ}) z^{i} + ∑_{i=0}^{2n} (∑_{ℓ=0}^{i} a_{ℓ}b′_{i−ℓ}) z^{i}
= P · Q + P · Q′.

Wir betrachten ein festes Polynom P_{0} ∈ V und definieren eine Abbildung

F : V → V, F (P) := P_{0} · P.

Diese Abbildung ist linear, denn für alle a ∈ ℝ, P, Q ∈ V gilt:

(1) F (P + Q) = P_{0} · (P + Q) = P_{0} · P + P_{0} · Q = F (P) + F (Q).

(2) F (a · P) = P_{0} · (a · P) = a · (P_{0} · P) = a · F (P). Dagegen ist G : V → V, G(P) := P · P nicht linear, denn es gilt beispielsweise G(2 · z) = 4 · z^{2} ≠ 2 · z^{2} = 2 · G(z).

3.2.6 Folgerungen Sei F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung, ferner seien x_{1}, …, x_{n} ∈ V_{1}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ. Dann gilt:

(a) F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}F (x_{i}).

(b) Sind x_{1}, …, x_{n} linear abhängig, so auch F (x_{1}), …, F (x_{n}).

(c) Sind F (x_{1}), …, F (x_{n}) linear unabhängig, so auch x_{1}, …, x_{n}.

{Beweis \atop (a)} Folgt durch einen leichten Induktionsbeweis nach n aus den Eigenschaften einer linearen Abbildung.

(b) Sind x_{1}, …, x_{n} linear abhängig, so existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} = 0_{V_{1}}, wobei ein a_{i} ≠ 0 ist. Mit Satz 3.2.3 und (a) folgt: 0_{V_{2}} = F (0_{V_{1}}) = F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}F (x_{i}). Also ist 0_{V_{2}} eine nichttriviale Linearkombination von F (x_{1}), …, F (x_{n}).

(c) Da die Aussagen ”A ⇒ B“ und ”nicht B ⇒ nicht A“ äquivalent sind, ist (c) lediglich eine Umformulierung von (b). □

3.2.7 Satz Sei F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann ist die Bildmenge im(F) = F (V_{1}) = {F (x) : x ∈ V_{1}} ein Untervektorraum von V_{2}, und es gilt dim F (V_{1}) ≤ dim V_{1}.

Beweis Die erste Behauptung ist offensichtlich, die zweite ergibt sich aus der vorhergehenden Folgerung 3.2.6(c). □

Lineare Abbildungen können demnach die Dimension nicht erhöhen, wogegen man in der Differential- und Integralrechnung oder Topologie lernt, daß es durchaus stetige surjektive Abbildungen ℝ → ℝ^{2}, sogenannte Peano-Kurven gibt. Dazu s. z. B. J. Cigler, H.-C. Reichel, Topologie, Bibliographisches Institut: Mannheim 1978.

3.2.8 Satz Es seien F_{1} : V_{1} → V_{2}, F_{2} : V_{2} → V_{3} lineare Abbildungen. Dann ist auch F_{2} ∘ F_{1} : V_{1} → V_{3} eine lineare Abbildung.

Beweis Wir müssen die Eigenschaften (1) und (2) aus Definition 3.2.4 prüfen. Für beliebige x, y ∈ V_{1}, a ∈ ℝ gilt: (F_{2} ∘ F_{1})(x + y) = F_{2}(F_{1}(x + y)) = F_{2}(F_{1}(x) + F_{1}(y)) = F_{2}(F_{1}(x)) + F_{2}(F_{1}(y)) = (F_{2} ∘ F_{1})(x) + (F_{2} ∘ F_{1})(y) und (F_{2} ∘ F_{1})(a · x) = F_{2}(F_{1}(a · x)) = F_{2}(a · F_{1}(x)) = a · F_{2}(F_{1}(x)) = a · (F_{2} ∘ F_{1})(x). □

Der nächste Satz bekräftigt, daß die Linearität einer Abbildung F eine sehr starke Eigenschaft ist: Schon durch die Werte auf einem System von Erzeugern ist F vollkommen bestimmt.

3.2.9 Satz Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ V_{1} Erzeugende von V_{1}. Weiter seien F, G : V_{1} → V_{2} lineare Abbildungen mit F (x_{i}) = G(x_{i}) für i = 1, …, n. Dann ist F = G.

Beweis Es ist zu zeigen, daß F (x) = G(x) für alle x ∈ V_{1} gilt. Sei also x ∈ V_{1} beliebig. Es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}. Folgerung 3.2.6(a) liefert:

F (x) = F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}F (x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}G (x_{i}) = G (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = G(x).

□

Konstruktion von linearen Abbildungen

Der folgende fundamentale Satz liefert die Existenz von nichttrivialen linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Der Beweis gibt sogar ein Konstruktionsverfahren an, die lineare Fortsetzung. Wir erinnern an Satz 1.3.17, wonach jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt.

3.2.10 Satz Sei {x_{1}, …, x_{n}} ⊂ V_{1} eine Basis von V_{1}. Die Vektoren y_{1}, …, y_{n} ∈ V_{2} seien beliebig. Dann existiert genau eine lineare Abbildung F : V_{1} → V_{2} mit F (x_{i}) = y_{i} für i = 1, …, n.

Beweis Die Eindeutigkeitsaussage ist auf Grund von Satz 3.2.9 klar. Für den Nachweis der Existenz ist die eindeutige Darstellbarkeit beliebiger Vektoren x ∈ V_{1} durch die Basis {x_{1}, …, x_{n}} entscheidend. Zu x ∈ V_{1} existieren eindeutig bestimmte Zahlen a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}. Wir definieren F (x) := ∑_{i=1}^{n} a_{i}y_{i} ∈ V_{2} und erhalten eine Abbildung F : V_{1} → V_{2} mit F (x_{i}) = y_{i}, i = 1, …, n. Die Abbildung F ist wohldefiniert wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von x. Es bleibt die Linearität von F zu zeigen. Für a ∈ ℝ, x = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}, x′ = ∑_{i=1}^{n} a′_{i}x_{i} ergibt die Definition von F:

F (x + x′) = F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} + ∑_{i=1}^{n} a′_{i}x_{i}) = F (∑_{i=1}^{n} (a_{i} + a′_{i}) x_{i})

= ∑_{i=1}^{n} (a_{i} + a′_{i}) y_{i} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}y_{i} + ∑_{i=1}^{n} a′_{i}y_{i}

= F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) + F (∑_{i=1}^{n} a′_{i}x_{i}) = F (x) + F (y) ;

F (a · x) = F (a · (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i})) = F (∑_{i=1}^{n} (aa_{i}) x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} (aa_{i}) y_{i}

= a · ∑_{i=1}^{n} a_{i}y_{i} = a · F (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = a · F (x) .

□

Legt man die Existenz von Basen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen zugrunde (dazu vgl. die Bemerkung am Ende von Abschnitt 1.3), kann man dort auch einen entsprechenden Satz zeigen.

Isomorphismen

3.2.11 Definition Eine bijektive lineare Abbildung F : V_{1} → V_{2} heißt Vektorraumisomorphismus oder kurz Isomorphismus.

Bei Isomorphismen schreibt man auch F : V_{1} →^{∼} V_{2}.

3.2.12 Beispiel (a) Die lineare Abbildung F : ℝ^{2} → ℝ^{2}, F (c_{1}, c_{2}) = (c_{1} + 2c_{2}, c_{1} − c_{2}) ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung F^{−1} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, F^{−1} (d_{1}, d_{2}) = (\frac{1}{3}(d_{1} + 2d_{2}), \frac{1}{3}(d_{1} − d_{2})).

(b) Sei V_{1} = {∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{j} : n ∈ ℕ_{0}, a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ} der schon wiederholt be-

trachtete Vektorraum aller reellen Polynome und V_{2} = { ∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{2j} : n ∈

ℕ_{0}, a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ} der Vektorraum aller reellen Polynome in z^{2}. Die Polyno-

me in V_{2} enthalten also nur gerade Potenzen von z. Durch F (∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{j}) :=

(∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{2j}) wird ein kanonischer Isomorphismus V_{1} → V_{2} vermittelt.

Gleichzeitig kann man V_{2} als echten Untervektorraum von V_{1} auffassen.

3.2.13 Satz Sei F : V_{1} → V_{2} ein Isomorphismus. Dann ist die Umkehrabbildung F^{−1} : V_{2} → V_{1} ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis Wegen der Folgerung 3.1.12 ist F^{−1} auch bijektiv, und es reicht, die Linearität von F^{−1} zu zeigen:

(1) Zu y_{1}, y_{2} ∈ V_{2} definieren wir x_{i} := F^{−1}(y_{i}), damit ist auch y_{i} = F (x_{i}). Weil F linear ist, gilt F (x_{1} + x_{2}) = F (x_{1}) + F (x_{2}). Anwendung von F^{−1} auf diese Gleichung liefert: F^{−1}(y_{1}) + F^{−1}(y_{2}) = x_{1} + x_{2} = F^{−1}(F (x_{1} + x_{2})) = F^{−1}(F (x_{1}) + F (x_{2})) = F^{−1}(y_{1} + y_{2}).

(2) Seien a ∈ ℝ und y ∈ V_{2} gegeben, wir setzen x := F^{−1}(y). Analog zu (1) gilt: a · F^{−1}(y) = a · x = F^{−1}(F (a · x)) = F^{−1}(a · F (x)) = F^{−1}(a · y). □

3.2.14 Folgerungen Sei F : V_{1} → V_{2} ein Isomorphismus. Dann gilt:

(a) Sind x_{1}, …, x_{n} ∈ V_{1} linear unabhängig, so auch F (x_{1}), …, F (x_{n}).

(b) Wird V_{1} von x_{1}, …, x_{n} ∈ V_{1} erzeugt, so wird V_{2} von F (x_{1}), …, F (x_{n}) erzeugt.

(c) Ist {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von V_{1}, so ist {F (x_{1}), …, F (x_{n})} eine Basis von V_{2}.

(d) dim V_{1} = dim V_{2}.

{Beweis \atop (a)} Gemäß Voraussetzung sind x_{1} = F^{−1}(F (x_{1})), …, x_{n} = F^{−1}(F (x_{n})) linear unabhängig. Anwendung der Folgerung 3.2.6 auf F^{−1} ergibt die lineare Unabhängigkeit von F (x_{1}), …, F (x_{n}).

(b) Sei y ∈ V_{2} gegeben. Zu x = F^{−1}(y) existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}. Es folgt y = F (x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}F (x_{i}).

(c) Folgt aus (a) und (b).

(d) Folgt aus (a) und der entsprechenden Aussage für F^{−1}. □

Diese Folgerungen zeigen, daß Vektorräume, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, sehr eng verwandt sind. Die spezielle Gestalt der Abbildung ist dabei von untergeordnetem Interesse, weshalb ein weiterer Begriff eingeführt wird.

3.2.15 Definition Zwei Vektorräume V_{1}, V_{2} heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus F : V_{1} →^{∼} V_{2} existiert. In diesem Falle schreibt man V_{1} ≈ V_{2}. Ist F kanonisch, so nennt man V_{1}, V_{2} kanonisch isomorph und schreibt V_{1} ≅ V_{2} oder V_{1} = V_{2}.

3.2.16 Satz Sei V ein Vektorraum mit der Basis {x_{1}, …, x_{n}}. Dann gilt V ≈ ℝ^{n}.

3.3 Lineare Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} 53

Beweis Wir versehen ℝ^{n} mit der kanonischen Basis {e⃗_{1}, …, e⃗_{n}}. Nach Satz 3.2.10existieren eindeutig bestimmte lineare Abbildungen G : ℝ^{n} → V und Ĝ : V → ℝ^{n} mit G(e⃗_{i}) = x_{i} bzw. Ĝ(x_{i}) = e⃗_{i} für i = 1, …, n. In Anlehnung an die geometrisch naheliegenden Fälle zweier und dreier Dimensionen heißt G Karte und Ĝ Koordinatensystem. Aus (Ĝ ∘ G)(e⃗_{i}) = e⃗_{i} und (G ∘ Ĝ)(x_{i}) = x_{i} (i = 1, …, n) folgt Ĝ ∘ G = id_{ℝ^{n}} und G ∘ Ĝ = id_{V}, denn lineare Abbildungen sind durch die Werte auf einer Basis schon festgelegt. Nach Satz 3.1.11sind G und Ĝ Isomorphismen und zueinander invers. □

Dieser Satz ermöglicht es, aus linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen in naheliegender Weise lineare Abbildungen zwischen ℝ^{n} und ℝ^{m} (n, m geeignet) zu konstruieren. Letztere sind besonders einfach zu behandeln, weil sie dem Matrizenkalkül zugänglich sind. Seien also V_{1}, V_{2} Vektorräume mit dim V_{1} = n, dim V_{2} = m und H : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Es existieren Basen {x_{1}, …, x_{n}} von V_{1} und {y_{1}, …, y_{m}} von V_{2}, siehe Abschnitt 1.3. (Schon im nächsten Abschnitt werden wir sehen, daß jede Basis von V_{1} bzw. V_{2} genau n bzw. m Elemente hat.) Es seien G_{1} : ℝ^{n} → V_{1} und G_{2} : ℝ^{m} → V_{2} die im vorhergehenden Beweis konstruierten Karten. Wir haben folgende Situation:

[figure: ℝ^{n}; ℝ^{m}; V_{1}; V_{2}; F = ”H in den Koordinaten“; H; G_{1}; G_{2}^{−1}]

Durch F := G_{2}^{−1} ∘ H ∘ G_{1} wird eine lineare Abbildung ℝ^{n} → ℝ^{m} gegeben, wir nennen sie H in den Koordinaten. Sie bildet nämlich die Koordinaten G_{1}^{−1}(x) von x ∈ V_{1} ab auf (G_{2}^{−1} ∘ H ∘ G_{1}) (G_{1}^{−1}(x)) = G_{2}^{−1} (H(x)), die Koordinaten von H(x).

3.3 Lineare Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m}

Die vorhergehenden Erläuterungen erlauben, uns ganz auf die Untersuchung dieser speziellen linearen Abbildungen zu konzentrieren. In diesem Abschnitt wird zunächst eine bijektive Zuordnung zwischen den linearen Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} und bestimmten Zahlenschemata, den ”Matrizen“, hergestellt. Wesentlich ist dabei, daß lineare Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} gemäß Satz 3.2.10 durch die Angabe der Werte auf einer (etwa der kanonischen) Basis des ℝ^{n} vollkommen bestimmt sind. Für die Matrizen wird ein einfacher Kalkül entwickelt, der sich sogar leicht auf dem Computer programmieren läßt.

Gleichzeitig können wir mit Hilfe dieses Kalküls wichtige theoretische Resultate herleiten. Als Folgerung aus dem ”Gaußschen Algorithmus“ erhalten wir in Satz 3.3.14, daß die Dimension von ℝ^{n} tatsächlich n ist, und in Satz 3.3.15, daß alle Basen eines Vektorraums dieselbe Anzahl von Elementen besitzen und diese Anzahl die Dimension des Vektorraums ist.

Matrizen

3.3.1 Definition Eine m × n-Matrix A ist ein rechteckiges Schema reeller Zahlen

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}}

mit m Zeilen und n Spalten. Die a_{ij} ∈ ℝ heißen Komponenten oder Koeffizienten von A.

Der erste Index heißt Zeilenindex, er bleibt in jeder Zeile fest. Der zweite Index heißt Spaltenindex, er bleibt in jeder Spalte fest. Will man das Format einer Matrix angeben, so schreibt man A = A^{m,n} oder auch A ∈ ℝ^{m×n}. Im Rahmen des Matrizenkalküls fassen wir n-tupel a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} als Spalten, d. h. als n × 1-Matrizen auf:

a⃗ = ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n} ) = (a_{i})_{i=1,...,n} .

Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen

Sei zunächst eine beliebige lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{m} gegeben. Wir wollen dieser eine m × n-Matrix A zuordnen. Wir betrachten dazu die Einheitsvektoren

e⃗_{1} = ( 1 0 ⋮ 0 ) , …, e⃗_{n} = ( 0 ⋮ 0 1 ) ∈ ℝ^{n}

und deren Bilder

a⃗_{j} = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) := F \binom{}{e_{j}} ∈ ℝ^{m}.

Die Matrix

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n})

ist die zu F gehörige Matrix. Wir haben A gemäß der Merkregel gebildet:

Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren.

Umgekehrt kann man gemäß den Ausführungen aus Abschnitt 3.2 zu jeder m × n-Matrix A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{m} konstruieren, indem man F \binom{}{e_{j}} := a⃗_{j} setzt. Die beschriebenen Zuordnungen F ↦ A bzw. A ↦ F von linearen Abbildungen F : ℝ^{n} → ℝ^{m} und m × n-Matrizen A sind zueinander invers und deshalb insbesondere bijektiv. Es soll nun ein Produkt von Matrizen und Spaltenvektoren eingeführt werden, das der Auswertung der zugehörigen linearen Abbildung in den jeweiligen Punkten entspricht.

3.3.2 Definition Das Produkt einer m × n-Matrix A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} mit einem Spaltenvektor c⃗ ∈ ℝ^{n} wird definiert durch

A ∘ c⃗ := ( ∑_{j=1}^{n} a_{1j}c_{j} ; ∑_{j=1}^{n} a_{2j}c_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{mj}c_{j} ) = ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}c_{j} )_{i=1,...,m} ∈ ℝ^{m}.

Mitunter verwendet man auch den gewöhnlichen Multiplikationspunkt: A · c⃗. Man kann sich diese Definition folgendermaßen merken: Man kippt die Spalte c⃗ und legt sie über jede Zeile von A. Übereinanderliegende Zahlen werden multipliziert und die Komponenten einer Zeile dann jeweils addiert.

3.3.3 Beispiel

(a)

( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∘ ( −1 ; \frac{5}{2} ; 2 ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) = 0.

(b) Dagegen ist

( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∘ ( −1_{\frac{5}{2}} )

nicht erklärt.

Mit dem so eingeführten Produkt reduziert sich die Auswertung linearer Abbildungen tatsächlich auf die Multiplikation von Zahlenschemata:

3.3.4 Satz Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung und A die zu F gehörige m × n-Matrix. Dann gilt für alle c⃗ ∈ ℝ^{n}:

F (c⃗) = A ∘ c⃗.

Ist B eine weitere m × n-Matrix derart, daß F (c⃗) = B ∘ c⃗ für alle c⃗ ∈ ℝ^{n} gilt, so ist B = A.

Beweis Gemäß der Zuordnungsvorschrift F ↦ A ist A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) mit

a⃗_{j} = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) := F \binom{}{e_{j}} .

Auf Grund der Linearität von F folgt:

F \binom{}{c} = F (∑_{j=1}^{n} c_{j}e⃗_{j}) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}F \binom{}{e_{j}}

= ∑_{j=1}^{n} c_{j} ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) = ∑_{j=1}^{n} ( a_{1j}c_{j} ; a_{2j}c_{j} ; ⋮ ; a_{mj}c_{j} ) = ( ∑_{j=1}^{n} a_{1j}c_{j} ; ∑_{j=1}^{n} a_{2j}c_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{mj}c_{j} )

=^{def} A ∘ c⃗.

Für die j-te Spalte der Matrix B gilt nun:

b⃗_{j} = ( b_{1j} ; ⋮ ; b_{mj} ) = B ∘ e⃗_{j} = F \binom{}{e_{j}} .

Also stimmen alle Spalten von A und B und damit die beiden Matrizen überein. □

Die Linearität der zur m × n-Matrix gehörigen Abbildung schlägt sich auf Grund des vorhergehenden Satzes unmittelbar in den folgenden Regeln nieder:

3.3.5 Folgerung Sei A eine m × n-Matrix. Dann gilt für alle b⃗, c⃗ ∈ ℝ^{n} und d ∈ ℝ:

A ∘ (b⃗ + c⃗) = A ∘ b⃗ + A ∘ c⃗,  (Distributivgesetz)
A ∘ (d · b⃗) = d · (A ∘ b⃗) .

3.3.6 Beispiele (a) Die linearen Abbildungen F : ℝ → ℝ werden durch 1 × 1-Matrizen, also reelle Zahlen gegeben. Sie sind also stets von der Form F (c) = a · c mit einer festen reellen Zahl a.

(b) Wir betrachten den Isomorphismus F : ℝ^{2} → ℝ^{2} aus Beispiel 3.2.12:

F \binom{}{c} = ( \begin{matrix}c_{1} + 2c_{2} \\ c_{1} − c_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ∘ c⃗,

also gehört zu F die 2 × 2-Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) .

(c) Sei n = m und F = id_{ℝ^{n}} . Wegen F \binom{}{e_{j}} = e⃗_{j} gehört zur Identität die Einheitsmatrix

E := E^{n,n} := (e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} ) .

Die Diagonale besteht aus Einsen, sonst findet man in der Matrix nur Nullen. In der englischsprachigen Literatur findet man häufig die Bezeichnung I für ”Identity“.

Zur Beschreibung der Komponenten der Einheitsmatrix führen wir das Kroneckersymbol ein:

3.3.7 Definition Für je zwei Indizes i, j ∈ ℕ wird das Kroneckersymbol δ_{ij} durch

δ_{ij} := \{ \begin{matrix}1, & falls i = j, \\ 0, & falls i ≠ j, \end{matrix}

definiert.

Damit haben wir für die Einheitsmatrix:

E = E^{n,n} = (δ_{ij})_{{i=1,...,n \atop j=1,...,n}} .

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme treten in unzähligen Beispielen auf. Wir werden gleich sehen, daß sich deren Lösungsmengen mit Hilfe von Matrizen sehr einfach beschreiben lassen. Zwischen Matrizen und linearen Abbildungen besteht wiederum der soeben beschriebene unmittelbare Zusammenhang. Das bedeutet, daß man die Theorie linearer Gleichungssysteme, linearer Abbildungen und der Matrizen simultan entwickeln kann. Wir betrachten ein (homogenes) lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen in n Veränderlichen

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = 0
⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = 0

mit Koeffizientenmatrix A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}}. Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} die zu dieser Matrix gehörige lineare Abbildung. Wegen Definition 3.3.2 und Satz 3.3.4 gilt für die Lösungsmenge des Gleichungssystems:

\{x⃗ ∈ ℝ^{n} : \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & … & + & a_{1n}x_{n} & = 0 \\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & … & + & a_{2n}x_{n} & = 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + & … & + & a_{mn}x_{n} & = 0 \end{matrix} \}

= {x⃗ ∈ ℝ^{n} : ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m}

= \{x⃗ ∈ ℝ^{n} : A ∘ x⃗ = 0_{ℝ^{m}} \} = \{x⃗ ∈ ℝ^{n} : F \binom{}{x} = 0_{ℝ^{m}} \} .

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen ist also gleichwertig mit der ”Nullstellensuche“ bei linearen Abbildungen. Daher schieben wir jetzt wieder einige Betrachtungen über lineare Abbildungen ein.

3.3.8 Definition Es seien M_{1}, M_{2} Mengen und F : M_{1} → M_{2} eine Abbildung, ferner sei M′_{2} ⊂ M_{2}. Dann heißt F^{−1}(M′_{2}) := {x ∈ M_{1} : F (x) ∈ M′_{2}} Urbild von M′_{2} unter F.

Die Umkehrabbildung F^{−1} von F muß nicht existieren. In der Definition wird jeder Teilmenge von M_{2} eine (möglicherweise leere) Teilmenge von M_{1} zugeordnet.

Der Begriff des Urbildes unter linearen Abbildungen ”beachtet“ ebenfalls die Vektorraumstruktur:

3.3.9 Satz Es seien V_{1}, V_{2} reelle Vektorräume und F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Ist V′_{2} ⊂ V_{2} ein Untervektorraum von V_{2}, dann ist V′_{1} := F^{−1}(V′_{2}) ebenfalls ein Untervektorraum von V_{1}.

{Beweis \atop (1)} V′_{1} ≠ ∅, denn wegen F (0) = 0 und 0 ∈ V′_{2} gilt 0 ∈ V′_{1}.

(2) Seien x, y ∈ V′_{1}. Dann sind F (x), F (y) ∈ V′_{2}, also ist F (x+y) = F (x)+F (y) ∈ V′_{2}. Es folgt x + y ∈ V′_{1}.

(3) Sei x ∈ V′_{1} und a ∈ ℝ. Dann ist F (x) ∈ V′_{2}, weiter gilt F (a·x) = a·F (x) ∈ V′_{2}. Es folgt a · x ∈ V′_{1}. □

Besonders wichtig sind die Urbilder des einfachsten Untervektorraums {0} von V_{2}:

3.3.10 Definition Es seien V_{1}, V_{2} reelle Vektorräume und F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann heißt

ker(F) := F^{−1}({0}) = {x ∈ V_{1} : F (x) = 0 ∈ V_{2}}

Kern (engl. kernel) oder Nullraum von F.

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum. Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist der Kern der zur Koeffizientenmatrix gehörigen linearen Abbildung ℝ^{n} → ℝ^{m} und folglich ein Untervektorraum des ℝ^{n}. Wir stellen im Folgenden einen Algorithmus zur effektiven Bestimmung der Lösungsmengen (homogener) linearer Gleichungssysteme bzw. der Kerne linearer Abbildungen vor.

Gaußscher Algorithmus

Die Koeffizientenmatrix A soll auf einfache Weise so umgeformt werden, daß

• sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems A ∘ x⃗ = 0 nicht ändert und

• die Matrix A eine Gestalt erhält, die ein direktes Ablesen von Vektoren ermöglicht, die ker(F) bzw. die Lösungsmenge des Gleichungssystems erzeugen.

Diesen Anforderungen werden die folgenden elementaren Zeilenumformungen gerecht:

(1) Die i-te Zeile wird mit einer Zahl c ∈ ℝ \ {0} multipliziert. Die Zeile

a_{i1} … a_{in}

geht also über in

ca_{i1} … ca_{in},

alle anderen Zeilen bleiben unverändert. Wegen c ≠ 0 gilt

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0

genau dann, wenn

ca_{i1}x_{1} + … + ca_{in}x_{n} = 0

erfüllt ist. Die Lösungsmenge ändert sich also nicht.

(2) Für Indizes ℓ ≠ i und eine reelle Zahl c wird das c-fache der i-ten Zeile zur ℓten Zeile addiert, alle anderen Zeilen bleiben unverändert. (Insbesondere die i-te Zeile.) Die Zeile

a_{ℓ1} … a_{ℓn}

geht also über in

a_{ℓ1} + ca_{i1} … a_{ℓn} + ca_{in}.

Das gleichzeitige Erfülltsein von

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0 und a_{ℓ1}x_{1} + … + a_{ℓn}x_{n} = 0

ist äquivalent zur gleichzeitigen Gültigkeit von

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0 und (a_{ℓ1} + ca_{i1})x_{1} + … + (a_{ℓn} + ca_{in})x_{n} = 0.

(3) Zwei Zeilen werden miteinander vertauscht. Offensichtlich ändert auch diese Umformung die Lösungsmenge nicht.

3.3.11 Satz Sei A eine m×n-Matrix. Durch elementare Zeilenumformungen kann erreicht werden, daß A die folgende Gestalt annimmt:

( \begin{matrix}Spalte/ ; Zeile & 1 & & & j_{1} & & & & j_{2} & & ⋯ & & j_{s} & & & n \\ 1 & 0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ \\ & & & & 0 & & & & 1 & & & & ⋮ \\ & ⋮ & ... & ⋮ & 0 & ⋮ & ... & ⋮ & 0 & ⋮ & ... & ⋮ & 0 & ⋮ & ... & ⋮ \\ & & & & ⋮ & & & & ⋮ & & & & 0 \\ s & 0 & … & 0 & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 1 & ∗ & … & ∗ \\ s+1 & 0 & … & & 0 & & … & & … & & … & & 0 & & … & 0 \\ & ⋮ & & & & & & & ... & & & & & & & ⋮ \\ m & 0 & … & & 0 & & … & & … & & … & & 0 & & … & 0 \end{matrix} ).

In den mit ”∗“ gekennzeichneten Bereichen befinden sich Komponenten, über die keine Aussage gemacht wird.

Beweis Ohne Einschränkung können wir annehmen, daß mindestens eine Komponente der Matrix ungleich 0 ist. Es sei j_{1} ∈ {1, …, n} der kleinste Spaltenindex mit a⃗_{j_{1}} ≠ 0. Also gibt es ein i_{1} ∈ {1, …, m} mit a_{i_{1}j_{1}} ≠ 0. Man multipliziere die i_{1}-te Zeile mit \frac{1}{a_{i_{1}j_{1}}} und addiere für alle ℓ ≠ i_{1}, ℓ ∈ \{1, …, m\} das −a_{ℓj_{1}}-fache der i_{1}-ten Zeile zur ℓ-ten Zeile. So erhält die j_{1}-te Spalte die Gestalt

( 0 ; ⋮ ; i_{1}-te Zeile 1 ; ⋮ ; 0 ).

Dieses Verfahren wird nun wiederholt, allerdings sind j_{2} > j_{1} kleinstmöglich und i_{2} ∈ {1, …, m} \ {i_{1}} so zu wählen, daß a_{i_{2}j_{2}} ≠ 0 gilt. Dadurch bleibt die j_{1}-te Spalte unverändert. Im k-ten Schritt sind j_{k} > j_{k−1} und i_{k} ∈ {1, …, m} \ {i_{1}, …, i_{k−1}} zu wählen. Das Verfahren wird nach s Schritten abgebrochen, wenn s = m ist, oder wenn für die verbleibenden Zeilenindizes i ∈ {1, …, m}\{i_{1}, …, i_{s}} die zugehörigen Zeilen nur noch aus Nullen bestehen. Die Spalten j_{k} haben für k = 1, …, s die Gestalt

( 0 ; ⋮ ; i_{k}-te Zeile 1 ; ⋮ ; 0 ).

Durch Zeilenvertauschungen wird die im Satz behauptete Gestalt erreicht: Die Zeile i_{1} wird in die erste Zeile geschrieben, die Zeile i_{2} in die zweite Zeile, usw. An das untere Ende der Matrix schreibt man die Null-Zeilen. □

3.3.12 Beispiel

A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 \\ −1 & −1 & −3 & −4 & −5 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & −2 & −8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & -1 & −1 & −1 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & −2 & −8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −6 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −6 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  → ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Es bleibt anzugeben, wie die Lösungen von A∘x⃗ = 0 ∈ ℝ^{m} zu bestimmen sind, wenn die m × n-Matrix A die in Satz 3.3.11beschriebene Gestalt hat. Der Spezialfall n = s ist einfach: x_{1} = x_{2} = … = x_{n} = 0 ist die einzige Lösung. Sei also nun s < n. Wir bezeichnen mit 1 ≤ k_{1} < k_{2} < … < k_{n−s} ≤ n die Spaltenindizes aus {1, …, n}\{j_{1}, …, j_{s}}. Dann wird durch A das folgende Gleichungssystem gegeben:

x_{j_{1}} = −a_{1k_{1}}x_{k_{1}} − a_{1k_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{1k_{n−s}}x_{k_{n−s}}
x_{j_{2}} = −a_{2k_{1}}x_{k_{1}} − a_{2k_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{2k_{n−s}}x_{k_{n−s}}
⋮  ⋮  ⋮  ...  ⋮
x_{j_{s}} = −a_{sk_{1}}x_{k_{1}} − a_{sk_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{sk_{n−s}}x_{k_{n−s}}.

Man erhält alle Lösungen dieses Gleichungssystems, indem (x_{k_{1}}, …, x_{k_{n−s}}) alle Werte aus ℝ^{n−s} durchläuft und die zugehörigen x_{j_{1}}, …, x_{j_{s}} berechnet werden. Wählt man für (x_{k_{1}}, …, x_{k_{n−s}}) die (n − s) linear unabhängigen Vektoren e⃗_{1}, …, e⃗_{n−s} ∈ ℝ^{n−s}, so erhält man (n − s) linear unabhängige Lösungsvektoren von A ∘ x⃗ = 0; es ist also dim(Lösungsmenge) ≥ n − s. Diese Vektoren erzeugen sogar die Lösungsmenge, den Beweis dieser Tatsache verschieben wir ebenso wie den Beweis von dim(Lösungsmenge) = n − s auf den Abschnitt 3.5. Dabei werden wir von der zwischenzeitlich weiter entwickelten Theorie profitieren. Dort werden wir ebenfalls inhomogene lineare Gleichungssysteme A ∘ x⃗ = b⃗ mit gegebenem b⃗ ∈ ℝ^{m} behandeln.

3.3.13 Folgerung Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung mit m < n. Dann ist dim ker(F) > 0.

Beweis Sei A die zugehörige Matrix. Für die Zahl s der linear unabhängigen Zeilen aus Satz 3.3.11ist s ≤ m, daher liefern die obigen Überlegungen: dim ker(F) ≥ n − s ≥ n − m > 0. □

Dimension und Basislänge

Mit Hilfe der vorhergehenden Resultate gelingt nun der Nachweis, daß die Dimension als Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren gleich der Länge einer jeden Basis ist. Wir untersuchen zunächst ℝ^{m}:

3.3.14 Satz Für alle m ∈ ℕ gilt dim ℝ^{m} = m.

Beweis Durch Angabe der kanonischen Basis aus Einheitsvektoren hatten wir bereits dim ℝ^{m} ≥ m gezeigt. Es bleibt also nachzuweisen, daß es höchstens m linear unabhängige Vektoren in ℝ^{m} gibt. Seien also a⃗_{1}, …, a⃗_{n} ∈ ℝ^{m} linear unabhängige Vektoren. Wir schreiben die a⃗_{i} als Spalten der m × n-Matrix A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}). Sei F die zu A gehörige lineare Abbildung ℝ^{n} → ℝ^{m}, dann ist F (x⃗) = 0 äquivalent zu

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = 0
⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = 0,

d. h. zu x_{1}a⃗_{1} + ⋯ + x_{n}a⃗_{n} = 0 ∈ ℝ^{m}. Aus der linearen Unabhängigkeit von a⃗_{1}, …, a⃗_{n} folgt x⃗ = (x_{1}, …, x_{n}) = 0. Also ist ker(F) = \left\{{ \atop 0}\right\}. Wie vorher folgt n − m ≤ dim ker(F) = 0, damit ist n ≤ m. □

Mit Hilfe von Karten bzw. Koordinatensystemen können wir dieses Resultat auf beliebige Vektorräume ausdehnen (”liften“).

3.3.15 Satz Sei V ein Vektorraum mit Basis {x_{1}, …, x_{n}}. Dann gilt:

(a) Sind y_{1}, …, y_{m} linear unabhängig, so gilt m ≤ n.

(b) Ist {y_{1}, …, y_{m}} eine Basis von V, so gilt m = n.

(c) dim V = n.

Insbesondere ist jede Basis ein linear unabhängiges System von größtmöglicher Länge.

{Beweis \atop (a)} Wir betrachten den durch G(x_{i}) = e⃗_{i} gegebenen Isomorphismus G : V → ℝ^{n}. Wegen der Folgerungen 3.2.14sind G(y_{1}), …, G(y_{m}) ∈ ℝ^{n} linear unabhängig,

es folgt m ≤ n.

(b) Da sowohl {y_{1}, …, y_{m}} als auch {x_{1}, …, x_{n}} Basen von V sind, gilt V ≈ ℝ^{n} und V ≈ ℝ^{m}, also ℝ^{n} ≈ ℝ^{m}. Die Folgerungen 3.2.14 ergeben n = dim ℝ^{n} = dim ℝ^{m} = m.

(c) Folgt aus (a). □

In der Literatur wird dieser Satz meist abstrakter bewiesen, etwa durch den Austauschsatz von Steinitz. Dessen Rolle hat hier der Gaußsche Algorithmus übernommen.

3.3.16 Satz Sei V sei ein reeller Vektorraum und V′ ⊂ V ein Untervektorraum.

(a) Es gilt dim V′ ≤ dim V.

(b) Ist dim V′ < ∞, so gilt: V′ ≠ V ⇔ dim V′ < dim V.

{Beweis \atop (a)} Folgt aus der Definition der Dimension: Kapitel 1.3.

(b) ”⇒“: Es sei V′ ⊂ V, V′ ≠ V. Nach Satz 1.3.17 exisitiert eine Basis {x_{1}, …, x_{m}} von V′ mit m = dim V′. Es existiert ein x ∈ V \ V′, wegen Satz 1.3.8sind x, x_{1}, …, x_{m} linear unabhängig. Also gilt dim V ≥ m + 1. ”⇐“: Wäre V′ = V, so wäre auch dim V′ = dim V. □

3.3.17 Bemerkung Wir haben wiederholt den Vektorraum der reellen Polynome betrachtet, zuletzt in Beispiel 3.2.12. Dort hatten wir gesehen, daß dieser echte Untervektorräume besitzt, die auch von unendlicher Dimension sind. Das bedeutet: Die Endlichkeitsvoraussetzung in Teil (b) des vorhergehenden Satzes ist notwendig.

3.3.18 Satz Sei V ein reeller Vektorraum mit dim V = m < ∞. Für die Vektoren x_{1}, …, x_{m} ∈ V gelte eine der folgenden Bedingungen:

(a) x_{1}, …, x_{m} sind linear unabhängig.

(b) x_{1}, …, x_{m} erzeugen V. Dann ist {x_{1}, …, x_{m}} eine Basis von V.

{Beweis \atop (a)} Siehe Satz 1.3.16.

(b) Es ist zu zeigen: x_{1}, …, x_{m} sind linear unabhängig. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen dazu an, dieses sei nicht der Fall. Es sei s die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren von x_{1}, …, x_{m}; es ist s < m. Gegebenenfalls nach Umnumerierung kann man erreichen: x_{1}, …, x_{s} sind linear unabhängig, x_{1}, …, x_{s}, x_{s+i} sind linear abhängig für i = 1, …, m − s. Nach Satz 1.3.8ist jedes x_{s+i} für i = 1, …, m − s Linearkombination von x_{1}, …, x_{s}. Folglich erzeugen x_{1}, …, x_{s} schon V und bilden deshalb eine Basis. Also ist dim V = s < m nach Satz 3.3.15. Wir erhalten einen Widerspruch! Deshalb ist die Annahme falsch und die Behauptung damit bewiesen. □

Dasselbe Argument zeigt:

3.3.19 Folgerung Es seien x_{1}, …, x_{n} Erzeuger eines m-dimensionalen Vektorraums V. Dann gilt n ≥ m, und es ist n = m genau dann, wenn {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von V ist.

Jedes System von Erzeugern von kleinstmöglicher Länge ist also eine Basis.

3.4 Rang und Corang

In diesem Abschnitt werden wir eines der wichtigsten Resultate aus der Theorie der linearen Abbildungen herleiten: In der ”Dimensionsformel“ wird ein einfacher Zusammenhang zwischen den Dimensionen von Urbildraum, Kern und Bild hergestellt.

Rang und Corang einer linearen Abbildung

Zunächst wollen wir Injektivität linearer Abbildungen genauer charakterisieren. Injektivität einer beliebigen Abbildung bedeutet, daß jeder Punkt im Wertebereich höchstens ein Urbild hat. Im folgenden Satz werden wir sehen, daß das bei linearen Abbildungen gleichwertig damit ist, daß dieses für den speziellen Wert 0 richtig ist. Damit wird erneut deutlich, eine wie starke Eigenschaft die Linearität einer Abbildung ist. Es bezeichnen V, V_{1}, V_{2}, … wieder stets reelle Vektorräume.

3.4.1 Satz Eine lineare Abbildung F : V_{1} → V_{2} ist genau dann injektiv, wenn ker(F) = {0} ist.

Letzteres ist gleichbedeutend mit dim ker(F) = 0.

{Beweis \atop ”⇒“:}Wegen F (0) = 0 folgt aus der Injektivität ker(F) = \{0\}. ”⇐“: Es sei ker(F) = {0}. Für x, y ∈ V_{1} mit F (x) = F (y) gilt 0 = F (x) − F (y) =

F (x − y), d. h. (x − y) ∈ ker(F). Man erhält x − y = 0, d. h. x = y. □

Wir haben nur benutzt, daß (V_{i}, +), i = 1, 2, Gruppen sind. Ein entsprechender Satz gilt also auch für Gruppenhomomorphismen. Die Surjektivität einer linearen Abbildung F : V_{1} → V_{2} wird durch den Bildraum im(F) = F (V_{1}) bzw. dessen Dimension bestimmt. Bereits in Satz 3.2.7 hatten wir gesehen, daß das Bild im(F) tatsächlich ein Untervektorraum von V_{2} ist.

3.4.2 Satz Es sei dim V_{1} = n < ∞ und F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann ist F surjektiv genau dann, wenn dim im(F) = dim V_{2} gilt.

{Beweis \atop ”⇒“:}Ist F surjektiv, so ist im(F) = V_{2}. ”⇐“: Sicher ist dim im(F) ≤ n < ∞. Deshalb ist im(F) = V_{2} gemäß Satz 3.3.16.

Diese beiden Sätze deuten schon an, daß die Zahlen dim ker(F) und dim im(F) eine große Rolle spielen werden.

3.4.3 Definition Sei F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Man erklärt den Rang von F durch rg(F) := dim im(F) = dim F (V_{1}) und den Corang oder Defekt von F durch crg(F) := dim ker(F).

3.4.4 Satz (Dimensionsformel) Es sei dim V_{1} = n < ∞ und F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann gilt:

dim V_{1} = rg(F) + crg(F).

Beweis Wegen ℓ := dim ker(F) ≤ dim V_{1} < ∞ existiert eine Basis {x_{1}, …, x_{ℓ}} von ker(F). Wir zeigen nun, daß diese zu einer Basis von V_{1} ergänzt werden kann (Basisergänzungssatz). Dazu wähle man sukzessive Vektoren x_{ℓ+i} ∈ V_{1}, (i = 1, 2, …) derart, daß x_{1}, …, x_{ℓ+i} linear unabhängig sind. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn kein derartiger Vektor mehr gefunden werden kann. Dieses ist möglicherweise schon nach dem ”nullten“ Schritt und wegen dim V_{1} = n spätestens nach i = n − ℓ Schritten der Fall. Auf diese Weise ist ein System x_{1}, …, x_{k}, (ℓ ≤ k ≤ n) linear unabhängiger Vektoren entstanden, wobei für alle x ∈ V_{1} das System x, x_{1}, …, x_{k} linear abhängig ist. Nach Satz 1.3.8 wird V_{1} von x_{1}, …, x_{k} erzeugt. Also ist {x_{1}, …, x_{k}} eine Basis von V_{1} und deswegen k = dim V_{1} = n. Mit Hilfe der Basisvektoren x_{ℓ+1}, …, x_{n}, die nicht zur Basis von ker(F) gehören, wird eine Basis von F (V_{1}) konstruiert. Für y_{ℓ+1} := F (x_{ℓ+1}), …, y_{n} := F (x_{n}) werden wir zeigen:

(1) y_{ℓ+1}, …, y_{n} sind linear unabhängig;

(2) y_{ℓ+1}, …, y_{n} erzeugen F (V_{1}); folglich ist {y_{ℓ+1}, …, y_{n}} eine Basis von F (V_{1}).

Zum Nachweis von (1) betrachte man den Nullvektor als Linearkombination von y_{ℓ+1}, …, y_{n}:

a_{ℓ+1}y_{ℓ+1} + … + a_{n}y_{n} = 0 ∈ V_{2} mit a_{ℓ+1}, …, a_{n} ∈ ℝ.

Wegen 0 = a_{ℓ+1}F (x_{ℓ+1}) + … + a_{n}F (x_{n}) = F (a_{ℓ+1}x_{ℓ+1} + … + a_{n}x_{n}) ist a_{ℓ+1}x_{ℓ+1}+…+a_{n}x_{n} ∈ ker(F) und kann daher als Linearkombination von x_{1}, …, x_{ℓ} dargestellt werden: Es existieren a_{1}, …, a_{ℓ} ∈ ℝ mit: a_{ℓ+1}x_{ℓ+1} + … + a_{n}x_{n} = a_{1}x_{1} + … + a_{ℓ}x_{ℓ}, d. h. −a_{1}x_{1} − … − a_{ℓ}x_{ℓ} + a_{ℓ+1}x_{ℓ+1} + … + a_{n}x_{n} = 0 ∈ V_{1}. Die lineare Unabhängigkeit von x_{1}, …, x_{n} ergibt insbesondere

a_{ℓ+1} = … = a_{n} = 0.

Zum Nachweis von (2) sei ein beliebiges y ∈ F (V_{1}) gegeben. Es existiert ein Urbild x ∈ V_{1} mit F (x) = y, dieses besitzt die Darstellung:

x = a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ.

Es folgt

\begin{aligned}y & = & F (x) = a_{1}F (x_{1}) + … + a_{ℓ}F (x_{ℓ}) + a_{ℓ+1}F (x_{ℓ+1}) + … + a_{n}F (x_{n}) \\ & = & a_{ℓ+1}y_{ℓ+1} + … + a_{n}y_{n} ∈ ℝ · (y_{ℓ+1}, …, y_{n}) . \end{aligned}

Bisher wurde also gezeigt: {x_{1}, …, x_{ℓ}} ist eine Basis von ker(F), {x_{1}, …, x_{n}} von V_{1} und {y_{ℓ+1}, …, y_{n}} von F (V_{1}). Mit Satz 3.3.15 folgt ℓ = dim ker(F) = crg(F) und n = dim V_{1} und schließlich

rg(F) = dim F (V_{1}) = n − ℓ = dim V_{1} − crg(F).

Man beachte, daß im Fall ℓ = 0 bzw. ℓ = n die Basen {x_{1}, …, x_{ℓ}} bzw. {y_{ℓ+1}, …, y_{n}} durch die leere Menge ∅ zu ersetzen sind. □

Stimmen Urbildbereich und Wertevorrat einer linearen Abbildung überein, so ergibt sich durch Kombination der vorhergehenden drei Sätze ein bemerkenswerter Zusammenhang zwischen Injektivität und Surjektivität. Die Voraussetzung endlicher Dimension ist dabei ganz wesentlich, wie das Beispiel 3.2.12(b) zeigt.

3.4.5 Folgerung Es sei dim V < ∞ und F : V → V eine lineare Abbildung. Dann ist F surjektiv genau dann, wenn F injektiv ist.

3.4.6 Beispiel Es soll der Rang der linearen Abbildung

F : ℝ^{3} → ℝ^{3} , F (c⃗) := (c_{1} − 2c_{2}, c_{2} + c_{3}, 2c_{1} + 3c_{2} + 7c_{3})

bestimmt werden. Wegen F (c⃗) = c_{1}(1, 0, 2) + c_{2}(−2, 1, 3,) + c_{3}(0, 1, 7) wird im(F) von b⃗_{1} := (1, 0, 2), b⃗_{2} := (−2, 1, 3) und b⃗_{3} = (0, 1, 7) erzeugt. Allerdings sind b⃗_{1}, b⃗_{2}, b⃗_{3} linear abhängig: 2b⃗_{1} + b⃗_{2} − b⃗_{3} = 0.

Dagegen sind b⃗_{1} und b⃗_{2} linear unabhängig:

d_{1}b⃗_{1} + d_{2}b⃗_{2} = 0 ⇒ \{ \begin{matrix}d_{1} − 2d_{2} & = & 0 \\ d_{2} & = & 0 \\ 2d_{1} + 3d_{2} & = & 0 \end{matrix} ⇒ d_{2} = 0 und d_{1} = 0.

Wegen b⃗_{3} = 2b⃗_{1} +b⃗_{2} ist stets F (c⃗) = c_{1}b⃗_{1} +c_{2}b⃗_{2} +c_{3}b⃗_{3} = (c_{1} +2c_{3})b⃗_{1} +(c_{2} +c_{3})b⃗_{2}, also wird im(F) von b⃗_{1}, b⃗_{2} auch erzeugt, und {b⃗_{1}, b⃗_{2}} ist eine Basis von im(F). Wir erhalten rg(F) = 2.

Rang einer Matrix

Die Bestimmung des Ranges einer linearen Abbildung gemäß seiner Definition ist eine langwierige Aufgabe: Man muß Systeme von Erzeugern von im(F) bestimmen und durch Überprüfen der linearen Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zu einer Basis übergehen. Deren Länge ist dann rg(F). Wir wollen uns wieder den Matrizenkalkül zur effektiven Behandlung dieser Aufgabe zu Nutze machen, indem wir einen Zusammenhang zwischen dem Rang von F und der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten bzw. Zeilen von A herleiten. Für den Rest des Abschnitts bezeichne F : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung und A die zugehörige m × n-Matrix.

3.4.7 Definition Die n × m-Matrix

A^{t} = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{21} & … & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & … & a_{m2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1n} & a_{2n} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (b_{ij})_{{i=1,...,n \atop j=1,...,m}}

mit b_{ij} = a_{ji} heißt die zur m×n-Matrix A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} transponierte Matrix. Die

zu A^{t} gehörige lineare Abbildung F^{∗} : ℝ^{m} → ℝ^{n} heißt die zu F duale Abbildung. Ist n = m und stimmt A mit der transponierten Matrix A^{t} überein, so daß a_{ij} = a_{ji} für alle i, j = 1, …, n gilt, dann nennt man A symmetrisch.

Die transponierte Matrix A^{t} entsteht, indem man die Zeilen von A als Spalten schreibt. Auf die Bedeutung der dualen Abbildung werden wir in den Abschnitten 4.3 und 4.4 über Dualräume eingehen. Im Zusammenhang mit der Betrachtung reeller Vektorräume, die mit einem Skalarprodukt (Orthogonalitätsbegriff) versehen sind, spricht man von adjungierten Abbildungen. Dieses Thema werden wir in Kapitel 7ausführlich behandeln.

3.4.8 Definition Wir definieren den Spaltenrang einer Matrix A als Rang der zugehörigen linearen Abbildung F und den Zeilenrang von A als Spaltenrang der transponierten Matrix A^{t}:

Spaltenrang(A) := rg(F).

Zeilenrang(A) := Spaltenrang(A^{t}).

Die folgende Bemerkung ist grundlegend für die weiteren Überlegungen.

3.4.9 Bemerkung Die Spalten a⃗_{1}, …, a⃗_{n} von A erzeugen F (ℝ^{n}).

Beweis Folgt aus A ∘ x⃗ = ∑_{j=1}^{n} x_{j}a⃗_{j} für x⃗ ∈ ℝ^{n}. □

Man beachte die Dualität der folgenden Resultate zum Gaußschen Algorithmus. Zur Bestimmung von im(F) = F (ℝ^{n}) und rg(F) eignen sich die folgenden elementaren Spaltenumformungen für die Matrix A, da diese im(F) nicht ändern (wohl aber ker(F) und F selbst):

(1) Für ein j ∈ {1, …, n} und ein reelles c ≠ 0 wird die j-te Spalte mit c multipliziert, die übrigen Spalten werden nicht geändert.

Die Spalte a⃗_{j} = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) geht über in c · a⃗_{j} = ( ca_{1j} ; ca_{2j} ; ⋮ ; ca_{mj} ) .

Ein Vektor y⃗ ∈ ℝ^{m} ist genau dann Linearkombination von a⃗_{1}, …, a⃗_{n}, wenn y⃗ Linearkombination von a⃗_{1}, …, a⃗_{j−1}, ca⃗_{j}, a⃗_{j+1}, …, a⃗_{n} ist; denn y⃗ = x_{1}a⃗_{1} + … + x_{n}a⃗_{n} = x_{1}a⃗_{1} + … + \frac{x_{j}}{c} (ca⃗_{j}) + … + x_{n}a⃗_{n}. Die Bildmenge bleibt also unverändert.

(2) Für zwei Indizes k ≠ j und ein c ∈ ℝ wird das c-fache der j-ten Spalte zur k-ten Spalte addiert. Die Spalte a⃗_{k} wird durch a⃗_{k} + ca⃗_{j} ersetzt, die übrigen Spalten bleiben unverändert. Wegen x_{1}a⃗_{1} + … + x_{n}a⃗_{n} = x_{1}a⃗_{1} + … + x_{k}(a⃗_{k} + ca⃗_{j}) + … + (x_{j} − cx_{k})a⃗_{j} + … + x_{n}a⃗_{n} ändert auch diese Umformung die Bildmenge nicht.

(3) Die Vertauschung zweier Spalten ändert ebenfalls die Bildmenge nicht.

Entsprechend Satz 3.3.11gilt:

3.4.10 Satz Durch elementare Spaltenumformungen kann erreicht werden, daß A die folgende Gestalt annimmt:

( \begin{matrix}Spalte / ; Zeile & 1 & & & & s & s+1 & & n \\ 1 & 0 & & … & & 0 & 0 & … & 0 \\ & ⋮ & & ... & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ & 0 & & … & & 0 \\ i_{1} & 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & & 0 \\ & ∗ & & … & & ∗ \\ & ⋮ & & ... & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ & ∗ & & … & & ∗ \\ i_{2} & 0 & 1 & 0 & … & 0 & ⋮ & ... & ⋮ \\ & ∗ & & … & & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & & ... & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ & ∗ & & … & & ∗ \\ i_{s} & 0 & 0 & 0 & … & 1 & 0 & & 0 \\ & ∗ & & … & & ∗ \\ & ⋮ & & ... & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ m & ∗ & & … & & ∗ & 0 & … & 0 \end{matrix} ).

Beweis Wir wenden Satz 3.3.11auf A^{t} an; Spaltenumformungen bei A entsprechen Zeilenumformungen bei A^{t}. □

Zur Bestimmung von F (ℝ^{n}) und rg(F) können wir ohne Einschränkung annehmen, daß A die gerade beschriebene Gestalt hat. Die restlichen Zeilenindizes aus {1, …, m} \ {i_{1}, …, i_{s}} werden mit 1 ≤ ℓ_{1} < … < ℓ_{m−s} ≤ m bezeichnet. Sei x⃗ ∈ ℝ^{n}, y⃗ = F (x⃗) = A ∘ x⃗, dann erhält man y⃗ aus den folgenden Gleichungen:

y_{i_{1}} = x_{1}
⋮ ⋮
y_{i_{s}} = x_{s}
y_{ℓ_{1}} = a_{ℓ_{1}1}x_{1} + … + a_{ℓ_{1}s}x_{s}
⋮ ⋮
y_{ℓ_{m−s}} = a_{ℓ_{m−s}1}x_{1} + … + a_{ℓ_{m−s}s}x_{s}.

Die Bildmenge F (ℝ^{n}) wird durch ein Gleichungssystem aus (m − s) Gleichungen in m Veränderlichen gegeben:

y_{ℓ_{1}} = a_{ℓ_{1}1}y_{i_{1}} + … + a_{ℓ_{1}s}y_{i_{s}}
⋮ ⋮
y_{ℓ_{m−s}} = a_{ℓ_{m−s}1}y_{i_{1}} + … + a_{ℓ_{m−s}s}y_{i_{s}}.

Man erhält also F (ℝ^{n}), indem (x_{1}, …, x_{s}) den ℝ^{s} durchläuft und man y_{1}, …, y_{m} jeweils gemäß dem obigen Gleichungssystem bestimmt. Dadurch wird eine lineare Abbildung

G : ℝ^{s} → ℝ^{m}, (x_{1}, … x_{s}) ↦ (y_{1}, …, y_{m})

mit G(ℝ^{s}) = F (ℝ^{n}) gegeben. Diese ist injektiv, denn aus y_{1} = … = y_{m} = 0 folgt x_{1} = y_{i_{1}} = 0, …, x_{s} = y_{i_{s}} = 0. Also ist G ein Isomorphismus von ℝ^{s} auf G(ℝ^{s}). Da Isomorphismen die Dimension erhalten, haben wir schließlich

Spaltenrang(A) =^{def} rg(F) = dim F (ℝ^{n}) = dim G(ℝ^{s}) = dim ℝ^{s} = s.

Der Spaltenrang(A) kann also unmittelbar von der Matrix aus Satz 3.4.10 abgelesen werden. Den s-dimensionalen Untervektorraum F (ℝ^{n}) von ℝ^{m} nennt man auch s-dimensionale Ebene durch 0 ∈ ℝ^{m}.

3.4.11 Satz Der Spaltenrang(A) ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix A.

Beweis Es bezeichne s^{∗} die maximale Zahl linear unabhängiger Spalten von A. Wir finden also linear unabhängige Spalten a⃗_{j_{1}}, …, a⃗_{j_{s^{∗}}} von A. Dann ist jede andere Spalte Linearkombination von a⃗_{j_{1}}, …, a⃗_{j_{s^{∗}}}. Da im(F) von a⃗_{1}, …, a⃗_{n} erzeugt wird, ist

{a⃗_{j_{1}}, …, a⃗_{j_{s^{∗}}} } eine Basis von im(F). Es folgt s^{∗} = dim im(F) = rg(F) =^{def} Spaltenrang(A). □

3.4.12 Folgerung Der Zeilenrang(A) ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A.

Beweis Folgt sofort aus Satz 3.4.11 und Definition 3.4.8, weil die Zeilen von A die Spalten von A^{t} sind. □

Bei der Bestimmung von ker(F) dürfen nur elementare Zeilenumformungen durchgeführt werden, bei der Bestimmung von im(F) dagegen nur elementare Spaltenumformungen. Die Dimensionsformel gestattet den deshalb bemerkenswerten Satz:

3.4.13 Satz Zeilenrang(A) und Spaltenrang(A) ändern sich bei elementaren (Zeilen- oder Spalten-) Umformungen nicht.

Beweis Es reicht, die Behauptung für Spaltenrang(A) zu zeigen; das Resultat für den Zeilenrang erhält man durch Betrachtung der transponierten Matrix. Die Matrix Ã gehe durch eine elementare Umformung aus A hervor, es sei F̃ die zu Ã gehörige Abbildung. Handelt es sich um eine Spaltenumformung, so gilt sogar im(F) = im(F̃). Handelt es sich dagegen um eine Zeilenumformung, so gilt nach Abschnitt 3.3: ker(F) = ker (F̃). In diesem Fall ergibt die Dimensionsformel: Spaltenrang(A) = rg(F) = dim(ℝ^{n}) − crg(F) = dim(ℝ^{n}) − crg(F̃) = rg(F̃) = Spaltenrang(Ã). □

3.4.14 Satz Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A).

Beweis Die Matrix A werde durch Zeilenumformungen auf die Gestalt von Satz 3.3.11 gebracht, durch Spaltenumformungen kann man schließlich folgende Form erreichen:

Ã =  ( \begin{matrix}Spalte/ ; Zeile & 1 & 2 & 3 & & s & s+1 & & n \\ 1 & 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & … & 0 & ⋮ & ... & ⋮ \\ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ s & 0 & 0 & 0 & … & 1 & 0 & … & 0 \\ s+1 & 0 & … & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ m & 0 & … & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} ).

Wie wir oben hergeleitet haben, ist Spaltenrang(Ã) = Spaltenrang(A), Zeilenrang(Ã) = Zeilenrang(A). Man liest unmittelbar ab, daß s sowohl die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten als auch Zeilen von Ã ist:

Spaltenrang(Ã) = s = Zeilenrang(Ã).  □

Für die zugehörigen linearen Abbildungen bedeutet dieser Satz:

3.4.15 Folgerung Jede lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{m} hat denselben Rang wie ihre duale Abbildung F^{∗} : ℝ^{m} → ℝ^{n}. Ist n = m, so haben beide Abbildungen auch denselben Corang.

Satz 3.4.14 erlaubt es, die Unterscheidung von Zeilen- und Spaltenrang aufzugeben und einfach vom Rang einer Matrix A zu sprechen, der wie im obigen Beweis bestimmt wird:

Rang (A) := Spaltenrang(A) = Zeilenrang(A).

3.4.16 Beispiel Wie in Beispiel 3.4.6 bestimmen wir den Rang der linearen Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{3} , F (c⃗) := (c_{1} − 2c_{2}, c_{2} + c_{3}, 2c_{1} + 3c_{2} + 7c_{3}), allerdings hier mit Hilfe des Matrizenkalküls. Die zugehörige Matrix ist

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 7 \end{matrix} ) .

Es ist rg(F) = Rang (A). Indem man das (−2)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile addiert, erhält man:

rg(F) = Rang ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 7 \end{matrix} )

subtrahiere 7-faches der 2. Zeile von der 3. Zeile und addiere doppeltes der 2. Zeile zur 1. Zeile

=

Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

subtrahiere doppeltes der 1. Spalte von der 3. Spalte

=

Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

subtrahiere 2. Spalte von der 3. Spalte

= Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 2.

3.5 Allgemeine lineare Gleichungssysteme

Auch in diesem Abschnitt sei stets A eine m × n-Matrix und F : ℝ^{n} → ℝ^{m} die zugehörige lineare Abbildung.

Homogene lineare Gleichungssysteme

Nun stehen alle Hilfsmittel zur Verfügung, um die Lösungstheorie für homogene lineare Gleichungssysteme A ∘ x⃗ = 0 abzuschließen. Auf S. 62 hatten wir bereits beschrieben, wie man n − s linear unabhängige Lösungsvektoren, also Elemente von {x⃗ : A ∘ x⃗ = 0} = ker(F) konstruiert, nachdem man das Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus’ in eine Standardform gebracht hat. Dabei ist s die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A. Die Resultate des vorhergehenden Abschnitts zeigen s = Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A) = rg(F), auf Grund der Dimensionsformel haben wir dann

dim(Lösungsmenge) = dim ker(F) =^{def} crg(F) = n − rg(F) = n − s.

Bereits in Satz 3.3.18 hatten wir gesehen, daß ein System linear unabhängiger Vektoren, deren Anzahl gleich der Dimension des Vektorraums ist, eine Basis desselben bildet. Also ist durch die auf S. 62 konstruierten (n − s) Vektoren tatsächlich eine Basis der Lösungsmenge {x⃗ ∈ ℝ^{n} : A ∘ x⃗ = 0} gegeben.

3.5.1 Beispiel Gesucht ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems A ∘ x⃗ = 0 mit der 4 × 5-Koeffizientenmatrix

A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 \\ −1 & −1 & −3 & −4 & −5 \end{matrix} ) .

In Beispiel 3.3.12 hatten wir diese Matrix durch Zeilenumformungen so vereinfacht, daß A ∘ x⃗ = 0 äquivalent ist zu

x_{1} = −x_{2} −x_{4}
x_{3} =  −x_{4}
x_{5} = 0.

Es ist n = 5, s = 3, der Lösungsraum ist also zweidimensional. Wir setzen nacheinander x_{2} = 1, x_{4} = 0 und dann x_{2} = 0, x_{4} = 1, bestimmen dazu jeweils x_{1}, x_{3}, x_{5} und erhalten mit {(−1, 1, 0, 0, 0)^{t}, (−1, 0, −1, 1, 0)^{t}} eine Basis der Lösungsmenge

{x⃗ ∈ ℝ^{5} : A ∘ x⃗ = 0_{ℝ^{4}} }.

Inhomogene lineare Gleichungssysteme

Hierunter versteht man Gleichungssysteme der Form A ∘ x⃗ = b⃗, wobei nun auch der Vektor b⃗ ∈ ℝ^{m} gegeben ist. Gesucht sind wieder Lösungsvektoren x⃗ ∈ ℝ^{n}. Das Beispiel

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,  b⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

zeigt, daß hier im Gegensatz zum homogenen Fall i. a. nicht stets eine Lösung existiert.

Neben der Koeffizientenmatrix A ist auch die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b⃗) ∈

ℝ^{m×(n+1)} von Bedeutung. Denn es gilt das folgende Lösbarkeitskriterium:

3.5.2 Satz Das Gleichungssystem A ∘ x⃗ = b⃗ besitzt eine Lösung x⃗ ∈ ℝ^{n} genau dann, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmen: Rang (A) = Rang (A, b⃗).

Beweis Seien a⃗_{j}, j = 1, …, n die Spalten von A. Wie oben erwähnt, bezeichnet F die zugehörige lineare Abbildung.

Offensichtlich besitzt das Gleichungssystem A ∘ x⃗ = b⃗ eine Lösung genau dann, wenn b⃗ ∈ im(F) gilt. Nach Bemerkung 3.4.9 ist im(F) = ℝ · (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}). Im vorhergehenden Abschnitt hatten wir auch gesehen, daß s := Rang (A) = rg(F) ≤ n die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von A ist. Also existieren Indizes 1 ≤ j_{1} < … < j_{s} ≤ n, so daß {a⃗_{j_{1}}, …, a⃗_{j_{s}}} eine Basis von im(F) ist. Indem wir noch verwenden, daß der Rang einer Matrix die Dimension des von ihren Spalten erzeugten Untervektorraums ist, erhalten wir:

A ∘ x⃗ = b⃗ ist lösbar ⇔ b⃗ ∈ im(F) ⇔ b⃗ ∈ ℝ · (a⃗_{1}, …, a⃗_{n})

⇔ {a⃗_{j_{1}}, …, a⃗_{j_{s}}} ist eine Basis von ℝ · (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}, b⃗)
⇔ Rang (A, b⃗) = s = Rang (A).
□

3.5.3 Folgerung Ist Rang (A^{m,n}) = m, so ist das Gleichungssystem A ∘ x⃗ = b⃗ für jedes b⃗ ∈ ℝ^{m} lösbar.

Beweis Folgt aus dem vorhergehenden Satz und m = Rang (A) ≤ Rang (A, b⃗) ≤

Zeilenzahl (A, b⃗) ≤ m. □

Im Falle der Lösbarkeit ergibt sich die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems leicht aus der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems:

3.5.4 Satz Sei x⃗_{0} ∈ ℝ^{n} eine Lösung des linearen Gleichungssystems A∘x⃗ = b⃗, wobei A = A^{m,n} und b⃗ ∈ ℝ^{m} gegeben sind. Dann gilt:

{x⃗ ∈ ℝ^{n} : A ∘ x⃗ = b⃗} = {x⃗ ∈ ℝ^{n} : x⃗ = x⃗_{0} + y⃗ mit A ∘ y⃗ = 0} .

Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ist die Summe aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und der allgemeinen Lösung des homogenen Systems. Ganz ähnlich wird man beispielsweise auch bei linearen Differentialgleichungen vorgehen.

Beweis Die Behauptung folgt direkt aus dem Distributivgesetz in Folgerung 3.3.5:

A ∘ x⃗ = b⃗ ⇔ A ∘ x⃗ = A ∘ x⃗_{0} ⇔ A ∘ x⃗ − A ∘ x⃗_{0} = 0 ⇔ A ∘ (x⃗ − x⃗_{0}) = 0. □

Wie trifft man nun die Lösbarkeitsentscheidung und bestimmt gegebenenfalls eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems?

Wie in Abschnitt 3.3 kann man auch bei der erweiterten Koeffizientenmatrix (A, b⃗) elementare Zeilenumformungen durchführen, diese ändern die Lösungsmenge nicht. Nach Anwendung des Gaußschen Algorithmus’ (Satz 3.3.11) können wir davon ausgehen, daß das Gleichungssystem die folgende Gestalt hat:

x_{j_{1}} = b_{1} −a_{1k_{1}}x_{k_{1}} − a_{1k_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{1k_{n−s}}x_{k_{n−s}}
x_{j_{2}} = b_{2} −a_{2k_{1}}x_{k_{1}} − a_{2k_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{2k_{n−s}}x_{k_{n−s}}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ...  ⋮
x_{j_{s}} = b_{s} −a_{sk_{1}}x_{k_{1}} − a_{sk_{2}}x_{k_{2}} − … − a_{sk_{n−s}}x_{k_{n−s}}
0 = b_{s+1}
⋮  ⋮
0 = b_{m}.

Dabei sind 1 ≤ j_{1} < … < j_{s} ≤ n geeignete Spaltenindizes und s der Rang der Koeffizientenmatrix. Mit 1 ≤ k_{1} < … < k_{n−s} ≤ n werden die verbliebenen Spaltenindizes aus {1, …, n} \ {j_{1}, …, j_{s}} bezeichnet. Dieses Gleichungssystem ist lösbar genau dann, wenn b_{s+1} = … = b_{m} = 0 gilt. In diesem Fall erhält man eine spezielle Lösung, indem man x_{j_{1}} = b_{1}, …, x_{j_{s}} = b_{s} und x_{k_{1}} = … = x_{k_{n−s}} = 0 setzt.

3.5 Allgemeine lineare Gleichungssysteme 77 3.5.5 Beispiel Wir betrachten die 4 × 5-Koeffizientenmatrix A aus Beispiel 3.5.1.

(a) Für b⃗ = (1, −2, 0, 7)^{t} erhalten wir:

A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 2 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & −2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 \\ −1 & −1 & −3 & −4 & −5 & 7 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & −2 & −8 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & −1 & −1 & 5 \end{matrix} )
→ ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & −2 & −8 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & −5 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −6 & −5 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & −5 \end{matrix} )
→ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −6 & −5 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & −5 \end{matrix} )  → ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −17 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −3 \end{matrix} )
→ ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −17 \end{matrix} ) ,

also das Gleichungssystem

x_{1} = 12 −x_{2} −x_{4}
x_{3} = −3  −x_{4}
x_{5} = −2
0 = −17,

dieses besitzt keine Lösung.

(b) Für b⃗ = (2, 12, 9, −14)^{t} ist A ∘ x⃗ dagegen äquivalent zu

x_{1} = 2 −x_{2} −x_{4}
x_{3} = −1  −x_{4}
x_{5} = 3.

Dieses Gleichungssystem ist lösbar, x⃗_{0} = (2, 0, −1, 0, 3)^{t} ist eine spezielle Lösung. Mit den Basisvektoren b⃗_{1} = (−1, 1, 0, 0, 0)^{t} , b⃗_{2} = (−1, 0, −1, 1, 0)^{t} der Lösungsmenge des homogenen Systems {y⃗ ∈ ℝ^{5} : A ∘ y⃗ = 0} aus Beispiel 3.5.1erhalten wir:

{x⃗ ∈ ℝ^{5} : A ∘ x⃗ = b⃗} = {x⃗_{0} + a_{1}b⃗_{1} + a_{2}b⃗_{2} : a_{1}, a_{2} ∈ ℝ} .

3.6 Matrizenoperationen

Aus dem Zusammenhang von linearen Abbildungen und Matrizen haben wir schon großen Nutzen gezogen. Wir wollen diesen Zusammenhang vertiefen, indem wir Matrizenoperationen einführen, die der gleich zu definierenden Summe und dem skalaren Vielfachen von Abbildungen und vor allem der bereits ausführlich behandelten Komposition linearer Abbildungen entsprechen.

Matrizenaddition und Skalarmultiplikation

Seien zunächst V, V_{1}, V_{2}, … beliebige reelle Vektorräume.

3.6.1 Definition Die Summe der Abbildungen F : V_{1} → V_{2} und G : V_{1} → V_{2} wird durch

F + G : V_{1} → V_{2}, (F + G)(x) := F (x) + G(x)

erklärt. Für eine reelle Zahl c ist

c · F : V_{1} → V_{2}, (c · F)(x) := c · F (x)

das skalare Vielfache der Abbildung F (Skalarmultiplikation).

Bezüglich dieser Addition von Abbildungen hat man ein Nullelement

O : V_{1} → V_{2}, O(x) := 0_{V_{2}}

und zu jeder Abbildung F : V_{1} → V_{2} ein negatives Element

−F : V_{1} → V_{2}, (−F)(x) := −F (x).

Aus den Vektorraumeigenschaften von V_{2} – der Definitionsbereich V_{1} hätte bis hier auch lediglich eine beliebige Menge sein können – folgt unmittelbar:

3.6.2 Satz Mit dieser Addition und Skalarmultiplikation ist {F : F ist eine Abbildung V_{1} → V_{2}} ein reeller Vektorraum.

Im Folgenden spezialisieren wir uns auf lineare Abbildungen F, G : V_{1} → V_{2}. Zunächst halten wir fest, daß Addition und Skalarmultiplikation die Linearität von Abbildungen erhalten:

3.6.3 Satz Seien F, G : V_{1} → V_{2} lineare Abbildungen und c ∈ ℝ. Dann sind F + G : V_{1} → V_{2} und c · F : V_{1} → V_{2} ebenfalls linear. Insbesondere ist {F : F ist eine lineare Abbildung V_{1} → V_{2}} ein Untervektorraum des Vektorraums aller Abbildungen V_{1} → V_{2}.

Beweis Für alle a ∈ ℝ und x, y ∈ V_{1} gilt:

(F + G) (x + y) =^{def} F (x + y) + G(x + y) = F (x) + F (y) + G(x) + G(y)
=^{def} (F + G)(x) + (F + G)(y);
(F + G) (ax) =^{def} F (ax) + G(ax) = aF (x) + aG(x) = a(F (x) + G(x))
=^{def} a(F + G)(x);
(c · F) (x + y) =^{def} c F (x + y) = c (F (x) + F (y)) = c F (x) + c F (y)
=^{def} (c · F)(x) + (c · F)(y);
(c · F) (ax) =^{def} c F (ax) = c (a (F (x)) = a (c (F (x)) =^{def} a (c · F)(x).
□

Indem wir nun zusätzlich V_{1} = ℝ^{n} und V_{2} = ℝ^{m} annehmen, können wir entsprechende Matrizen einführen.

3.6.4 Definition Es seien A, B ∈ ℝ^{m×n} Matrizen und F, G : ℝ^{n} → ℝ^{m} die zugehörigen linearen Abbildungen. Ferner sei eine reelle Zahl c ∈ ℝ gegeben. Dann ist die Summe A + B die zur linearen Abbildung F + G und das skalare Vielfache c · A die zur linearen Abbildung c · F gehörige m × n-Matrix.

Diese Matrixaddition und Skalarmultiplikation lassen sich auch durch eine einfache Rechenvorschrift beschreiben:

3.6.5 Satz Für A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}}, B = (b_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}}, c ∈ ℝ gilt:

A + B = ( \begin{matrix}a_{11} + b_{11} & … & a_{1n} + b_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} + b_{m1} & … & a_{mn} + b_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij} + b_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ,

c · A := ( \begin{matrix}c · a_{11} & … & c · a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ c · a_{m1} & … & c · a_{mn} \end{matrix} ) = (c · a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} .

Beweis Für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

(F + G)(x⃗) =^{def} F \binom{}{x} + G \binom{}{x} = A ∘ x⃗ + B ∘ x⃗

= (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j})_{i=1,...,m} + (∑_{j=1}^{n} b_{ij}x_{j})_{i=1,...,m}
= (∑_{j=1}^{n} (a_{ij} + b_{ij}) x_{j})_{i=1,...,m} = (a_{ij} + b_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ∘ x⃗;
(c · F)(x⃗) =^{def} c · F \binom{}{x} = c · (A ∘ x⃗) = c · (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j})_{i=1,...,m}
= (∑_{j=1}^{n} (c · a_{ij}) x_{j})_{i=1,...,m} = (c · a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ∘ x⃗.

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.3.4. □ Der Zusammenhang von A + B und F + G schlägt sich in dem Distributivgesetz

(A + B) ∘ x⃗ = (F + G) \binom{}{x} =^{def} F \binom{}{x} + G \binom{}{x} = A ∘ x⃗ + B ∘ x⃗

nieder, während das schon früher bewiesene Gesetz

A ∘ (x⃗ + y⃗) = A ∘ x⃗ + A ∘ y⃗

die Linearität (genauer die Additivität) der Abbildung F widerspiegelt. Ganz analog wie bei den Abbildungen hat man eine Nullmatrix

O = O^{m,n} = ( \begin{matrix}0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 \end{matrix} )

und zu jeder Matrix A = A^{m,n} eine negative Matrix

−A := ( \begin{matrix}−a_{11} & … & −a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ −a_{m1} & … & −a_{mn} \end{matrix} ) = (−a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ,

und es gilt in vollkommener Analogie zu dem obigen Satz 3.6.3:

3.6.6 Satz Mit der Matrixaddition und Skalarmultiplikation ist {A : A ist m × n-Matrix} ein reeller Vektorraum.

Matrizenmultiplikation

Gemäß Satz 3.2.8ist die Zusammensetzung linearer Abbildungen ebenfalls linear.

3.6.7 Definition Es sei A eine m × n-Matrix und B eine ℓ × m-Matrix. Weiter seien F : ℝ^{n} → ℝ^{m} und G : ℝ^{m} → ℝ^{ℓ} die zugehörigen linearen Abbildungen. Die ℓ×n-Matrix C gehöre zur Zusammensetzung G ∘ F : ℝ^{n} → ℝ^{ℓ}. Das Matrixprodukt von A und B wird durch B ∘ A := C erklärt.

Häufig verwendet man auch den gewöhnlichen Multiplikationspunkt C = A · B oder läßt diesen ganz weg: C = A B. Man bemerke, daß nur Matrizen geeigneten Formats multipliziert werden können:

(ℓ × \underbrace{m) ∘ (m} ×n).

Auch hier lassen sich die Komponenten der Produktmatrix leicht aus den Komponenten von A und B berechnen.

3.6.8 Satz Es seien A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ∈ ℝ^{m×n}, B = (b_{ki})_{{k=1,...,ℓ \atop i=1,...,m}} ∈ ℝ^{ℓ×m} und C = B ∘ A =

(c_{kj})_{{k=1,...,ℓ \atop j=1,...,n}} ∈ ℝ^{ℓ×n} die Produktmatrix. Dann gilt:

c_{kj} = ∑_{i=1}^{m} b_{ki} · a_{ij}; k = 1, …, ℓ, j = 1, …, n.

Beweis Mit F und G werden wie in der Definition die zu A und B gehörigen linearen Abbildungen bezeichnet. Wir erinnern wieder an Satz 3.3.4. Für jeden Vektor x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

y⃗ = ( y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{m} ) := F (x⃗) = A ∘ x⃗ = (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j})_{i=1,...,m} ,

(G ∘ F)(x⃗) = G(y⃗) = B ∘ y⃗ = (∑_{i=1}^{m} b_{ki}y_{i})_{k=1,...,ℓ}

= (∑_{i=1}^{m} b_{ki} (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}))_{k=1,...,ℓ} = (∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n}(b_{ki}a_{ij}x_{j}))_{k=1,...,ℓ}

= (∑_{j=1}^{n} (∑_{i=1}^{m} b_{ki}a_{ij}) x_{j})_{k=1,...,ℓ} = ((∑_{i=1}^{m} b_{ki}a_{ij}))_{{k=1,...,ℓ \atop j=1,...,n}} ∘ x⃗.
□

Dieser Satz zeigt auch, daß das allgemeine Matrizenprodukt direkt mit dem bereits bekannten Produkt von einer Matrix und einem Spaltenvektor zusammenhängt und im Spezialfall n = 1 mit diesem zusammenfällt: Sind a⃗_{1}, …, a⃗_{n} ∈ ℝ^{m} die Spalten von A und c⃗_{1}, …, c⃗_{n} ∈ ℝ^{ℓ} die Spalten von C, so folgt:

c⃗_{j} = B ∘ a⃗_{j}.

Wir stellen einige Gesetze für die Matrizenmultiplikation zusammen. Zunächst sei an Beispiel 3.3.6 (c) erinnert, wo wir die zur Identität gehörige (quadratische) Einheitsmatrix E eingeführt haben. Somit gilt ganz offensichtlich:

3.6.9 Satz Sei A eine m × n-Matrix. Dann gilt

A ∘ E^{n,n} = A, E^{m,m} ∘ A = A.

Für Matrizen A und B wie in der Definition ist das Produkt A ∘ B auf Grund ihres Formats im allgemeinen gar nicht erklärt. Nur wenn ℓ = n gilt, kann man auch A ∘ B bilden. Doch auch in diesem Fall ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ:

3.6.10 Beispiel Für

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )  und  B = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

gilt nämlich

A ∘ B = ( \begin{matrix}1 & 2 + 2 \\ 3 & 6 + 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 3 & 10 \end{matrix} ) ,

aber

B ∘ A = ( \begin{matrix}1 + 6 & 2 + 8 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}7 & 10 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) .

Die Matrizenmultiplikation genügt aber dem Assoziativgesetz:

3.6.11 Satz Sei A eine m × n-Matrix, B eine ℓ × m-Matrix und C eine k × ℓ-Matrix. Dann gilt:

(C ∘ B) ∘ A = C ∘ (B ∘ A).

Beweis Es sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} bzw. G : ℝ^{m} → ℝ^{ℓ} bzw. H : ℝ^{ℓ} → ℝ^{k} die zu A bzw. B bzw. C gehörige lineare Abbildung. Gemäß Definition 3.6.7gehört

H ∘ G  zu C ∘ B,  (H ∘ G) ∘ F  zu (C ∘ B) ∘ A,
G ∘ F  zu B ∘ A,  H ∘ (G ∘ F)  zu C ∘ (B ∘ A).

Die Behauptung folgt nun aus dem Assoziativgesetz für die Komposition von Abbildungen: siehe Satz 3.1.9. □

Eine besondere Rolle spielen zu Isomorphismen gehörige Matrizen. Da dann Dimension von Urbildraum und Wertevorrat notwendigerweise übereinstimmen, reicht es, im Folgenden nur quadratische Matrizen (d. h. Spaltenzahl = Zeilenzahl) zu betrachten.

3.6.12 Definition Zu der n×n-Matrix A existiere eine n×n-Matrix B mit A∘B = B ∘A = E = E^{n,n}. Dann heißt A nichtsingulär oder auch regulär. Man nennt B die zu A inverse Matrix oder Umkehrmatrix und schreibt B = A^{−1}.

In Satz 3.1.11 hatten wir entsprechend die Existenz von Umkehrabbildungen charakterisiert. Deshalb folgt unmittelbar:

3.6.13 Folgerung Die n × n-Matrix A ist nichtsingulär genau dann, wenn die zugehörige lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Isomorphismus, d. h. bijektiv ist. In diesem Fall existiert die inverse Matrix A^{−1}, ist die zu F^{−1} gehörige Matrix und ist deshalb auch eindeutig bestimmt.

Ganz analog folgern wir aus Satz 3.1.15für das Inverse von Produktmatrizen:

3.6.14 Folgerung Die n × n-Matrizen A, B seien nichtsingulär. Dann ist auch die Produktmatrix nichtsingulär, und für die inverse Matrix gilt:

(B ∘ A)^{−1} = A^{−1} ∘ B^{−1}.

Auf die Frage nach der Existenz und vor allem auf die Berechnung der inversen Matrix gehen wir in Abschnitt 3.8 noch einmal ausführlich ein. An dieser Stelle sollen die folgenden Beispiele genügen:

3.6.15 Beispiele (a) Es soll untersucht werden, ob die 2 × 2-Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )

regulär (d. h. nichtsingulär) ist. Auf Grund von Folgerung 3.4.5 reicht es zu zeigen, daß die zugehörige lineare Abbildung injektiv ist. Dazu prüfen wir mittels des Gaußschen Algorithmus’, ob das lineare Gleichungssystem A ∘ x⃗ = 0 nur die triviale Lösung x⃗ = 0 ∈ ℝ^{2} besitzt. Wir gehen dabei gemäß dem Beweis von Satz 3.3.11vor.

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & -2 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Also gilt:

\{x⃗ ∈ ℝ^{2} : A ∘ x⃗ = 0\} = \{x⃗ ∈ ℝ^{2} : ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = 0\}
= \{x⃗ ∈ ℝ^{2} : x_{1} = 0, x_{2} = 0\} = \left\{{ \atop 0}\right\} .

Somit ist A regulär, und A^{−1} existiert. Um die inverse Matrix zu bestimmen, ist also B = (b⃗_{1}, b⃗_{2}) = A^{−1} derart gesucht, daß insbesondere gilt:

A ∘ B = E = E^{2,2}  ⇔  A ∘ b⃗_{1} = e⃗_{1} und A ∘ b⃗_{2} = e⃗_{2}.

Wir lösen beide Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus’.

( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & −3 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{matrix} ) , also b⃗_{1} = ( −2_{\frac{3}{2}} );

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{2} \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{2} \end{matrix} ) , also b⃗_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ −\frac{1}{2} \end{matrix} ) .

Mit

B = ( \begin{matrix}−2 & 1 \\ \frac{3}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix} )

gilt neben

A ∘ B = ( \begin{matrix}−2 + 3 & 1 − 1 \\ −6 + 6 & 3 − 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = E

bemerkenswerterweise auch

B ∘ A = ( \begin{matrix}−2 + 3 & −4 + 4 \\ \frac{3}{2} − \frac{3}{2} & 3 − 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = E,

folglich ist A^{−1} = B.

Die vorab geklärte Existenz von A^{−1} ist der Grund dafür, daß die Gültigkeit von A ∘ B = E schon die Gültigkeit von B ∘ A = E impliziert.

(b) Ebenso wollen wir untersuchen, ob

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

regulär ist. Die Lösungsmenge {x⃗ ∈ ℝ^{3} : A ∘ x⃗ = 0}, d. h. der Kern der zugehörigen linearen Abbildung, wird durch elementare Umformungen bestimmt.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & −6 \\ 0 & −6 & −12 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & −6 & −12 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Gemäß Abschnitt 3.5 wird {x⃗ ∈ ℝ^{3} : A ∘ x⃗ = 0} von (1, −2, 1) erzeugt, ist

also ein eindimensionaler Untervektorraum von ℝ^{3}. Die zugehörige Abbildung ist nicht injektiv und insbesondere nicht bijektiv, die Matrix A ist daher nicht nichtsingulär, man nennt A dann singulär.

Für quadratische Matrizen A kann man auch Potenzen definieren. Für p ∈ ℕ setzt man

A^{p} := \underbrace{A ∘ … ∘ A}_{p-mal}.

Dabei tritt eine weitere Besonderheit des Matrixprodukts auf. Im Gegensatz zur Multiplikation reeller Zahlen gibt es Nullteiler; ein Produkt kann die Null ergeben, obwohl beide Faktoren von Null verschieden sind:

3.6.16 Beispiel

Für A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) gilt A^{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )∘( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = O^{2,2}; man erhält die Nullmatrix.

3.6.17 Definition Man nennt eine n × n-Matrix A nilpotent, wenn eine Zahl p ∈ ℕ mit A^{p} = O^{n,n} existiert.

Skalarmultiplikation, Matrizenaddition und -multiplikation

3.6.18 Satz (Distributivgesetze) Es seien m × ℓ-Matrizen A_{1}, A_{2} und ℓ × n-Matrizen B_{1}, B_{2} gegeben. Dann gilt:

(a) (A_{1} + A_{2}) ∘ B_{1} = A_{1} ∘ B_{1} + A_{2} ∘ B_{1},

(b) A_{1} ∘ (B_{1} + B_{2}) = A_{1} ∘ B_{1} + A_{1} ∘ B_{2}.

Beweis Seien F_{1}, F_{2} : ℝ^{ℓ} → ℝ^{m} und G_{1}, G_{2} : ℝ^{n} → ℝ^{ℓ} die zu A_{1}, A_{2} und B_{1}, B_{2} gehörigen linearen Abbildungen. Zum Nachweis von (a) verwenden wir nur die Definitionen von Summe und Komposition von Abbildungen. Für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

((F_{1} + F_{2}) ∘ G_{1}) \binom{}{x} = (F_{1} + F_{2}) (G_{1} \binom{}{x})

= F_{1} (G_{1} \binom{}{x}) + F_{2} (G_{1} \binom{}{x}) = (F_{1} ∘ G_{1}) \binom{}{x} + (F_{2} ∘ G_{1}) \binom{}{x}
= (F_{1} ∘ G_{1} + F_{2} ∘ G_{1}) \binom{}{x} .

Zum Nachweis von (b) verwenden wir dagegen zusätzlich die Linearität der Abbildung F_{1}. Für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

(F_{1} ∘ (G_{1} + G_{2})) \binom{}{x} = F_{1} ((G_{1} + G_{2}) \binom{}{x}) = F_{1} (G_{1} \binom{}{x} + G_{2} \binom{}{x})

= F_{1} (G_{1} \binom{}{x}) + F_{1} (G_{2} \binom{}{x}) = (F_{1} ∘ G_{1}) \binom{}{x} + (F_{1} ∘ G_{2}) \binom{}{x}
= (F_{1} ∘ G_{1} + F_{1} ∘ G_{2}) \binom{}{x} .

□

3.6.19 Satz Sei A eine m × ℓ-Matrix und B eine ℓ × n-Matrix. Dann gilt für alle reellen Zahlen c:

c · (A ∘ B) = (c · A) ∘ B = A ∘ (c · B).

Beweis Seien F : ℝ^{ℓ} → ℝ^{m} und G : ℝ^{n} → ℝ^{ℓ} die zugehörigen linearen Abbildungen. Im Folgenden verwenden wir die Linearität der Abbildung F. Für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

(c · (F ∘ G)) \binom{}{x} = c · (F ∘ G) \binom{}{x} = c · F (G \binom{}{x})

= (c · F) (G \binom{}{x}) = ((c · F) ∘ G) \binom{}{x}
= F (c · G \binom{}{x}) = F ((c · G) \binom{}{x}) = (F ∘ (c · G)) \binom{}{x} .
□

Koordinatenwechsel

Wir erinnern an die Überlegungen am Ende von Abschnitt 3.2: Es seien V_{1}, V_{2} endlichdimensionale Vektorräume, dim V_{1} = n, dim V_{2} = m, und H : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Durch Auswahl von Basen {x_{1}, …, x_{n}} von V_{1} und {y_{1}, …, y_{m}} von V_{2} konnte die Abbildung H in den Koordinaten konstruiert werden. Es seien G_{1} : ℝ^{n} → V_{1} und G_{2} : ℝ^{m} → V_{2} die durch G_{1}(e⃗_{j}) = x_{j} bzw. G_{2}(e⃗_{k}) = y_{k} definierten Isomorphismen (Karten), dann erhalten wir mit

F : ℝ^{n} → ℝ^{m}, F := G_{2}^{−1} ∘ H ∘ G_{1}

die Abbildung H in den Koordinaten. Die dieser Abbildung F zugehörige m × n-Matrix werde mit A bezeichnet.

[figure: ℝ^{n}; ℝ^{m}; V_{1}; V_{2}; F = H in den Koordinaten; H; G_{1}; G_{2}^{−1}]

Genauso gut hätte man andere Basen {x̂_{1}, …, x̂_{n}} von V_{1} und {ŷ_{1}, …, ŷ_{m}} von V_{2} wählen können, hätte entsprechend durch Ĝ_{1}(e⃗_{j}) = x̂_{j} bzw. Ĝ_{2}(e⃗_{k}) = ŷ_{k} andere Karten (Isomorphismen) Ĝ_{1} : ℝ^{n} → V_{1} und Ĝ_{2} : ℝ^{m} → V_{2} und mit

F̂ : ℝ^{n} → ℝ^{m},  F̂ := Ĝ_{2}^{−1} ∘ H ∘ Ĝ_{1}

die Abbildung H bezüglich dieser Koordinaten erhalten. Es bezeichne Â die zu dieser Abbildung F̂ gehörige m × n-Matrix.

[figure: ℝ^{n}; ℝ^{m}; V_{1}; V_{2}; ℝ^{n}; ℝ^{m}; F̂; H; F; Ĝ_{1}; G_{1}; G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1}; Ĝ_{2}^{−1}; G_{2}^{−1}; Ĝ_{2}^{−1} ∘ G_{2}; Koordinatenwechsel]

Offensichtlich besteht zwischen F und F̂ der Zusammenhang:

F̂ = Ĝ_{2}^{−1} ∘ H ∘ Ĝ_{1} = Ĝ_{2}^{−1} ∘ G_{2} ∘ G_{2}^{−1} ∘ H ∘ G_{1} ∘ G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1}
= (Ĝ_{2}^{−1} ∘ G_{2}) ∘ F ∘ (G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1}) .

Wir wollen nun herausfinden, ob die Kenntnis eines Zusammenhangs zwischen den Basen {x_{1}, …, x_{n}} und {x̂_{1}, …, x̂_{n}} auf einfache Weise die Berechnung der zur Koordinatenwechsel-Abbildung (Koordinatentransformation) G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1} gehörigen n × n-Matrix gestattet. Dazu gehen wir davon aus, daß die Darstellung der ”Dach“-Basisvektoren in den ”ungedachten“ Basisvektoren gegeben sei:

x̂_{j} = ∑_{i=1}^{n} b_{ij}x_{i}, j = 1, …, n,

und entsprechend

ŷ_{ℓ} = ∑_{k=1}^{m} c_{kℓ}y_{k}, ℓ = 1, …, m.

Die möglicherweise im Vergleich zur Matrizenmultiplikation zunächst verwirrend wirkende Wahl der Transformationsmatrizen B = (b_{ij})_{i,j=1,...,n} und C = (c_{kℓ})_{k,ℓ=1,...,m} ist dadurch begründet, daß man die Komponenten des j-ten ”Dach“-vektors bezüglich seiner Darstellung in der ”ungedachten“ Basis in der j-ten Spalte findet. Für einen beliebigen Vektor x ∈ V_{1} seien

( p_{1} ; ⋮ ; p_{n} ) = G_{1}^{−1}(x) bzw. ( p̂_{1} ; ⋮ ; p̂_{n} ) = Ĝ_{1}^{−1}(x)

die Koordinaten bezüglich {x_{1}, …, x_{n}} bzw. {x̂_{1}, …, x̂_{n}}. Es ist also einerseits x = ∑_{i=1}^{n} p_{i}x_{i} und andererseits

x = ∑_{j=1}^{n} p̂_{j}x̂_{j} = ∑_{j=1}^{n} p̂_{j} (∑_{i=1}^{n} b_{ij}x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} (∑_{j=1}^{n} b_{ij}p̂_{j}) x_{i}.

Da die Darstellung des Vektors x in der Basis {x_{1}, …, x_{n}} eindeutig ist, erhalten wir

(p_{i})_{i=1,...,n} = ( ∑_{j=1}^{n} b_{ij}p̂_{j})_{i=1,...,n} = B ∘ (p̂_{i})_{i=1,...,n}.

Wegen

(p_{i})_{i=1,...,n} = (G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1}) (p̂_{i})_{i=1,...,n}

\underline{3.7 Ebenen 89}

folgt also, daß B die zum Koordinatenwechsel G_{1}^{−1} ∘ Ĝ_{1} gehörige Matrix ist.

Entsprechend gehört die Matrix C zum Isomorphismus G_{2}^{−1} ∘ Ĝ_{2}. Auf Grund von Folgerung 3.6.13 existiert C^{−1} und gehört zum inversen Koordinatenwechsel

(G_{2}^{−1} ∘ Ĝ_{2})^{−1} = Ĝ_{2}^{−1} ∘ (G_{2}^{−1})^{−1} = Ĝ_{2}^{−1} ∘ G_{2}.

Damit erhalten wir als Ergebnis für die zu F und F̂ gehörigen Matrizen:

Â = C^{−1} ∘ A ∘ B

und durch Multiplikation von links mit C und von rechts mit B^{−1}:

A = C ∘ Â ∘ B^{−1}.

Für die Frage nach der Berechnung von inversen Matrizen verweisen wir nochmals auf Abschnitt 3.8. In Kapitel 7 werden wir für den Fall V_{1} = V_{2} eingehend die Frage studieren, ob man bei gegebener Matrix A eine Transformationsmatrix B = C und damit eine geeignete neue Basis finden kann, so daß die Matrix Â eine möglichst einfache Gestalt, etwa ”Diagonalgestalt“ erhält.

3.7 Ebenen

Wir knüpfen hier an die Überlegungen aus Abschnitt 3.4 an, in dem die Bilder linearer Abbildungen untersucht wurden. Durch ”Verschiebung“ dieser Bildräume in einen vorgegebenen Punkt gelangen wir zum allgemeinen Begriff der Ebene. Wie schon teilweise in Kapitel 2 unterscheiden wir hier nicht zwischen Punkten und Vektoren. Wir wollen uns auch nicht wie dort auf eindimensionale Geraden und zweidimensionale Ebenen im dreidimensionalen Raum R beschränken, sondern allgemein die ”Geometrie“ s-dimensionaler Ebenen in ℝ^{m} studieren. Diese allgemeinen Ebenen sind der einfachste Spezialfall von (im allgemeinen ”gekrümmten“) Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{m}, die in der Regel im dritten Teil des Analysis-Kurses behandelt werden.

Parameterdarstellung

3.7.1 Definition Es sei

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1s} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2s} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{ms} \end{matrix} )

eine m × s-Matrix mit s ≤ m und maximalem Rang; d. h. Rang (A) = s. Ferner sei c⃗ ∈ ℝ^{m} gegeben. Dann heißt

M := {x⃗ ∈ ℝ^{m} : x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗ für ein t⃗ ∈ ℝ^{s}}

s-dimensionale Ebene durch c⃗. Eine nulldimensionale Ebene ist eine einelementige Menge {c⃗} mit c⃗ ∈ ℝ^{m}.

Die Bedingung Rang (A) = s stellt sicher, daß die Spalten von A linear unabhängig sind, sie erzeugen also einen s-dimensionalen Untervektorraum. Die in der Definition gewählte Darstellung heißt Parameterdarstellung der Ebene. Ebenen sind also Bilder eines Vektorraums unter einer affin linearen Abbildung, eine affin lineare Abbildung ist die Summe aus einer linearen Abbildung und einem konstanten Vektor. Wir wollen im Folgenden der Frage nachgehen, ob Ebenen auch auf andere Weise dargestellt werden können.

Ebenen als Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

Sei M eine s-dimensionale Ebene (0 < s < m) in ℝ^{m} durch c⃗ wie in Definition 3.7.1. Da Spaltenumformungen die Bildmenge der zu A gehörigen Abbildung nicht ändern, können wir nach geeigneter Umnumerierung der Komponenten von c⃗, x⃗ ∈ ℝ^{m} (entspricht Zeilenvertauschungen von A) annehmen, daß A die folgende Gestalt hat (siehe Abschnitt 3.4):

A =  ( \begin{matrix}Zeile/ ; Spalte & 1 & 2 & 3 & & s \\ 1 & 1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ s & 0 & 0 & 0 & … & 1 \\ s+1 & ∗ & ∗ & ∗ & … & ∗ \\ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ m & ∗ & ∗ & ∗ & … & ∗ \end{matrix} ).

Dann ist die Gültigkeit der Darstellung x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗ für ein t⃗ ∈ ℝ^{s} und damit x⃗ ∈ M äquivalent zu

\{ \begin{matrix}x_{1} − c_{1} & = & t_{1} \\ x_{2} − c_{2} & = & t_{2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{s} − c_{s} & = & t_{s} \\ x_{s+1} − c_{s+1} & = & a_{s+1,1}t_{1} + … + a_{s+1,s}t_{s} \\ x_{s+2} − c_{s+2} & = & a_{s+2,1}t_{1} + … + a_{s+2,s}t_{s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{m} − c_{m} & = & a_{m,1}t_{1} + … + a_{m,s}t_{s} \end{matrix} für ein t⃗ ∈ ℝ^{s},

⇔ \{ \begin{matrix}x_{s+1} − c_{s+1} & = & a_{s+1,1}(x_{1} − c_{1}) + … + a_{s+1,s}(x_{s} − c_{s}) \\ x_{s+2} − c_{s+2} & = & a_{s+2,1}(x_{1} − c_{1}) + … + a_{s+2,s}(x_{s} − c_{s}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{m} − c_{m} & = & a_{m,1}(x_{1} − c_{1}) + … + a_{m,s}(x_{s} − c_{s}). \end{matrix}

Setzt man nun

d_{i} = −c_{i} + ∑_{j=1}^{s} a_{ij}c_{j} für i = s + 1, …, m,

so werden die Punkte x⃗ der Ebene M genau durch das Gleichungssystem

\{ \begin{matrix}d_{s+1} & = & a_{s+1,1}x_{1} + … + a_{s+1,s}x_{s} − x_{s+1} \\ d_{s+2} & = & a_{s+2,1}x_{1} + … + a_{s+2,s}x_{s} − x_{s+2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ d_{m} & = & a_{m,1}x_{1} + … + a_{m,s}x_{s} − x_{m} \end{matrix}

beschrieben. Die s-dimensionale Ebene M ist also Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems aus (m − s) Gleichungen in m Veränderlichen. Die Koeffizientenmatrix lautet

( \begin{matrix}a_{s+1,1} & … & a_{s+1,s} & −1 & 0 & … & 0 \\ a_{s+2,1} & … & a_{s+2,s} & 0 & −1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m,1} & … & a_{m,s} & 0 & 0 & … & −1 \end{matrix} )

und hat den größtmöglichen Rang m − s. An dieser Stelle ordnen sich nun auch nulldimensionale Ebenen {c⃗} ohne weiteres ein; sie sind genau die eindeutig bestimmten Lösungen des Gleichungssystems

−E^{m,m} ∘ x⃗ = −c⃗.

Zusammenfassend gilt:

3.7.2 Satz Sei M ⊂ ℝ^{m} eine s-dimensionale Ebene, s < m. Dann gibt es eine (m − s) × m-Matrix B mit Rang (B) = m − s und einen Vektor d⃗ ∈ ℝ^{m−s}, so daß M = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B ∘ x⃗ = d⃗} gilt. Die Ebene M ist also die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems aus m − s Gleichungen in m Veränderlichen, dessen Koeffizientenmatrix maximalen Rang hat. Ist M ⊂ ℝ^{m} eine m-dimensionale Ebene, so gilt M = ℝ^{m}.

3.7.3 Beispiele (a) Im Fall s = 1 sprechen wir von Geraden, vgl. auch Abschnitt 2.3. Es ist

A = ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{m} ) =: a⃗ ≠ 0 und M = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : x⃗ = c⃗ + t · a⃗ für ein

t ∈ ℝ}. Geraden werden bei geeigneter Numerierung der Variablen durch die m − 1 Gleichungen

d_{2} = ã_{2}x_{1} − x_{2}
d_{3} = ã_{3}x_{1} − x_{3}
⋮  ⋮
d_{m} = ã_{m}x_{1} − x_{m}

beschrieben. Ist zusätzlich m = 2, so erhält man die vertraute Darstellung von Geraden in ℝ^{2}:

x_{2} = bx_{1} + d mit geeigneten Zahlen b, d ∈ ℝ.

(b) Ebenen der Dimension m − 1 heißen auch Hyperebenen. Sie werden durch eine Gleichung beschrieben:

d = b_{1}x_{1} + … + b_{m−1}x_{m−1} − x_{m}.

Es soll nun umgekehrt untersucht werden, ob durch inhomogene Gleichungssysteme aus m − r Gleichungen in m Veränderlichen stets eine r-dimensionale Ebene gegeben wird. Wir betrachten das Gleichungssystem B ∘ x⃗ = d⃗ mit der (m − r) × m-Matrix B ≠ O und d⃗ ∈ ℝ^{m−r} und untersuchen mit Hilfe der in Abschnitt 3.5bereitgestellten Theorie die Lösungsmenge

L := {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B ∘ x⃗ = d⃗} .

Diese Lösungsmenge ist leer genau dann, wenn Rang (B) < Rang (B, d⃗) ist, wenn

also d⃗ nicht im Bild der zu B gehörigen linearen Abbildung ℝ^{m} → ℝ^{m−r} liegt.

Die leere Menge fassen wir nicht als Ebene auf. Diese Möglichkeit läßt sich gemäß Folgerung 3.5.3jedoch ausschließen, indem man Rang (B) = m − r voraussetzt: Hat B maximalen Rang, so ist die Lösungsmenge stets nichtleer: L ≠ ∅. Für das Folgende setzen wir L ≠ ∅ voraus. Dann existiert ein c⃗ ∈ ℝ^{m} mit B ∘ c⃗ = d⃗, und die Bestimmung von L reduziert sich auf das Lösen eines homogenen Gleichungssystems:

L = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : x⃗ = c⃗ + y⃗ mit B ∘ y⃗ = 0} .

Es sei Rang (B) =: m − s ≤ m − r. Zunächst sei ferner s ≠ 0, auf den Fall s = 0 gehen wir unten kurz ein. Durch elementare Zeilenumformungen und geeigntete Numerierung der Komponenten von y⃗, x⃗, c⃗ (entspricht Spaltenvertauschungen von B) gelangt man für die Lösungen von B ∘ y⃗ = 0 zu folgendem Gleichungssystem (siehe Satz 3.3.11, hier stehen die Nullzeilen oben und die Einheitsmatrix rechts in der Matrix, der Rang m − s von B ersetzt dort die Zahl s):

\begin{aligned}y_{s+1} & = & −b_{s+1,1}y_{1} − … − b_{s+1,s}y_{s} \\ y_{s+2} & = & −b_{s+2,1}y_{1} − … − b_{s+2,s}y_{s} \\ ⋮ & = & ⋮ \\ y_{m} & = & −b_{m,1}y_{1} − … − b_{m,s}y_{s}. \end{aligned}  (∗)

Die Gesamtheit der Lösungen dieses Gleichungssystems erhält man, indem man den Parametervektor t⃗ ∈ ℝ^{s} einführt und damit den ganzen ℝ^{s} durchläuft, y_{1} = t_{1}, …, y_{s} = t_{s} setzt und y_{s+1}, …, y_{m} aus dem Gleichungssystem (∗) bestimmt. Mit der m × s-Matrix:

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \\ −b_{s+1,1} & −b_{s+1,2} & … & −b_{s+1,s} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −b_{m,1} & −b_{m,2} & … & −b_{m,s} \end{matrix} )

ist also L = {x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{s}}. Die Matrix A hat schließlich s linear unabhängige Spalten, es ist also Rang (A) = s. Somit ist L eine s-dimensionale Ebene, dabei ist s = m − Rang (B) ≥ r. Nulldimensionale Ebenen erhält man im Fall s = 0 und Rang (B) = m − s = m, d. h. als Lösungsmenge eines quadratischen Gleichungssystems B ∘ x⃗ = d⃗ mit der regulären Koeffizientenmatrix B = B^{m,m}. Den ganzen Raum, d. h. s = m, erhält man mittels der Nullmatrix B = O und d⃗ = 0, bzw. indem man keine Gleichungen an x⃗ verlangt. □

Ist der Rang von B maximal, so lassen sich unsere Ergebnisse wie folgt zusammenfassen:

3.7.4 Satz Sei B eine (m − s) × m-Matrix mit Rang (B) = m − s. Dann ist die Lösungsmenge

L := {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B ∘ x⃗ = d⃗} für jedes d⃗ ∈ ℝ^{m−s} nichtleer und beschreibt eine sdimensionale Ebene.

Ebenen lassen sich also gleichwertig mit Hilfe von Parameterdarstellungen und als Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme beschreiben.

3.7.5 Beispiele (a) Wir betrachten das Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} + 2x_{2} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} & = & 2, \end{aligned} d. h.B ∘ x⃗ = d⃗ mit B = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) und d⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) .

Zur Bestimmung der Lösungsmenge formen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix (B, d⃗) gemäß Abschnitt 3.5 um, hier allerdings mit dem Ziel, den Einheitsblock rechts unten in der Matrix zu erhalten:

( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}-1 & 0 & −3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

Dieses Gleichungssystem hat die eindeutig bestimmte Lösung x⃗ = (x_{1}, x_{2}) = (3, −1) und beschreibt einen Punkt in ℝ^{2}; es ist Rang (B) = 2.

(b) Sei nun

B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −1 \\ 2 & −1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & −1 \end{matrix} ) und d⃗ = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 7 \end{matrix} ) .

Mit den Bezeichnungen von S. 93 haben wir also m = 4, r = 1. Wir betrachten wieder die erweiterte Koeffizientenmatrix und erhalten auf Grund von

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −1 & 3 \\ 2 & −1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & -1 & 7 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −1 & 3 \\ 2 & −1 & 0 & 1 & 1 \\ −4 & −3 & 0 & 1 & −7 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}−3 & −1 & 0 & 0 & −4 \\ 6 & 2 & 0 & 0 & 8 \\ −4 & −3 & 0 & 1 & −7 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}−3 & −1 & 0 & 0 & −4 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ −4 & −3 & 0 & 1 & −7 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{matrix} ) ,

daß Rang (B) = 2 = m − 2 ist und daß das Gleichungssystem B ∘ x⃗ = d⃗ äquivalent zu

x_{2} = 4 − 3x_{1},
x_{4} = 5 − 5x_{1}

ist. Indem man x_{1} = t_{1}, x_{3} = t_{2} setzt, erhält man alle Lösungen durch

x⃗ = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}t_{1} \\ 4 − 3t_{1} \\ t_{2} \\ 5 − 5t_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −3 & 0 \\ 0 & 1 \\ −5 & 0 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \end{matrix} ) .

Also ist {x⃗ : B ∘ x⃗ = d⃗} eine zweidimensionale Ebene in ℝ^{4}.

Lineare Ausdehnung von Ebenen

Im folgenden Satz wird gezeigt, daß jede (allgemeine) Ebene in eine Ebene vorgegebener höherer Dimension eingebettet werden kann.

3.7.6 Satz Es sei M ⊂ ℝ^{m} eine s-dimensionale Ebene (0 ≤ s ≤ m). Weiter sei eine natürliche Zahl r mit s ≤ r ≤ m gegeben. Dann gibt es eine r-dimensionale Ebene N ⊂ ℝ^{m} mit M ⊂ N. Gilt weiter s < r < m, so ist N nicht eindeutig bestimmt.

Beweis Ist r = s, so setzen wir N = M, während im Falle r = m notwendigerweise N = ℝ^{m} gilt. Wir können uns also auf den Fall s < r < m beschränken. Wir zeigen zunächst die Existenz einer derartigen Ebene N: Die gegebene Ebene M wird definitionsgemäß mit Hilfe einer m × s-Matrix A mit Rang (A) = s und eines ”Aufpunktes“ c⃗ ∈ ℝ^{m} beschrieben:

M = {x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{s}} .

Wie im Anschluß an Definition 3.7.1 können wir nach Umnumerierung der Komponenten von c⃗, x⃗ ∈ ℝ^{m} annehmen, daß A die folgende Gestalt hat:

A = ( E^{s,s} ; Ã^{m−s,s} ) .

Zur Konstruktion der Ebene N ergänzen wir die m × s-Matrix A in der folgenden Weise zu einer m × r-Matrix B:

B = ( \begin{matrix}E^{s,s} & O^{s,r−s} \\ Ã^{m−s,s} & \frac{E^{r−s,r−s}}{B̃^{m−r,r−s}} \end{matrix} ) ,

die Teilmatrix B̃ kann dabei beliebig gewählt werden. Die Betrachtung der ersten r Zeilen liefert Rang (B) = r, also ist

N := {x⃗ = c⃗ + B ∘ τ⃗ : τ⃗ ∈ ℝ^{r}}

eine r-dimensionale Ebene in ℝ^{m}. Wir zeigen noch, daß diese Ebene auch tatsächlich M umfaßt: Sei x⃗ ∈ M, dann gibt es ein t⃗ ∈ ℝ^{s} mit x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗. Für τ⃗ = (t_{1}, …, t_{s}, 0, …, 0)^{t} (transponiert man eine 1 × r-Matrix, d. h. eine Zeile, so erhält man eine r × 1-Matrix, d. h. eine Spalte) gilt:

B ∘ τ⃗ = t_{1} · b⃗_{1} + … + t_{s} · b⃗_{s} = A ∘ t⃗,

wobei b⃗_{j} die j-te Spalte von B bezeichnet. Also ist x⃗ ∈ N. Wir zeigen nun, daß für s < r < m die soeben konstruierte Ebene N nicht eindeutig bestimmt ist: Die (m − r) × (r − s)-Teilmatrix B̃ von B tritt tatsächlich auf. Wir betrachten eine einparametrige Familie derartiger Teilmatrizen

B̃(a) = ( \begin{matrix}0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & a \end{matrix} ) , a ∈ ℝ,

und die entsprechenden Familien B(a) von m × r-Matrizen und von Ebenen N(a). Wir wollen beweisen, daß verschiedene Werte des Parameters a auch verschiedene Ebenen N(a) ergeben. Spaltenumformungen von B(a) ändern N(a) als Bildmenge einer affin-linearen Abbildung nicht; wir können also annehmen, daß

B = B(a) = ( \frac{E^{r,r}}{\begin{aligned}∗ \\ & B̃(a) \end{aligned}})

gilt. Man bemerke, daß die nötigen Spaltenumformungen die (r − s) Spalten rechts in der Matrix, also insbesondere B̃(a), nicht ändern. Wir konstruieren ein Element aus N(a), das in keiner weiteren Ebene N(a′) enthalten ist. Für x⃗(a) := c⃗ + B(a) ∘ e⃗_{r} ∈ N(a) gilt

x_{j}(a) = \{ \begin{matrix}c_{j} & , falls j ≠ r, j ≠ m, \\ c_{j} + 1 & , falls j = r, \\ c_{j} + a & , falls j = m. \end{matrix}

Tatsächlich gilt x⃗(a) ∉ N(a′), falls a ≠ a′. Sonst gäbe es nämlich ein τ⃗ ∈ ℝ^{r} mit x⃗(a) = c⃗ + B(a′) ∘ τ⃗. Ein Vergleich der beiden Darstellungen von x⃗(a) ergäbe c_{j} + τ_{j} = c_{j} für j = 1, …, r − 1 und c_{r} + τ_{r} = c_{r} + 1, also τ⃗ = e⃗_{r}. Man erhielte x_{m}(a) = c_{m} + a = c_{m} + a′, also a = a′ und damit einen Widerspruch! Somit gilt N(a) ≠ N(a′) für a ≠ a′; es gibt also eine ganze Schar von Ebenen mit der gewünschten Eigenschaft. □

Dieser Beweis läßt sich in dem Fall veranschaulichen, daß M eine (eindimensionale) Gerade und N eine (zweidimensionale) Ebene in ℝ^{3} sind. Wir haben angenommen, daß der Richtungsvektor von M nicht in der x_{2}-x_{3}-Ebene liegt und ergänzen M durch einen zweiten Richtungsvektor (0, 1, a)^{t} aus der x_{2}-x_{3}-Ebene zur Ebene N = N(a).

Ebenen durch gegebene Punkte

In dem der anschaulichen Geometrie gewidmeten Abschnitt 2.4 haben wir uns mit der Existenz von Geraden in der anschaulichen Ebene durch vorgegebene Punkte beschäftigt. Wir übersetzen diese Frage in die Sprache der Vektorraumtheorie und betrachten deren Verallgemeinerung auf beliebige Dimensionen.

3.7.7 Satz Es seien (r + 1) Punkte x⃗_{0}, …, x⃗_{r} ∈ ℝ^{m} gegeben, dabei sei r ≤ m. Dann existiert eine r-dimensionale Ebene M durch x⃗_{0}, …, x⃗_{r}.

Beweis Im Fall r = 0 ist die Lösung durch M = \left\{{ \atop x_{0}}\right\} gegeben. Für das Folgende können wir also r > 0 annehmen. Sei A := (x⃗_{1} − x⃗_{0}, x⃗_{2} − x⃗_{0}, …, x⃗_{r} − x⃗_{0}) die m × r-Matrix mit den Spalten x⃗_{j} − x⃗_{0}. Sei s := Rang (A), es ist s ≤ r. Man erkennt, daß die Menge

M̃ := {x⃗ = x⃗_{0} + A ∘ t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{r}}

die vorgegebenen Punkte enthält, indem man nacheinander t⃗ = 0, e⃗_{1}, …, e⃗_{r} betrachtet. Wir zeigen nun: M̃ ist eine s-dimensionale Ebene. Beweis dazu: Da M̃ durch Spaltenumformungen von A nicht geändert wird, kann man nach Umnumerieren der Komponenten der Elemente von ℝ^{m} (Zeilenvertauschungen von A) annehmen, daß A die folgende Gestalt hat:

A = ( \frac{E^{s,s}}{Ã^{m−s,s}} O^{m,r−s} ) = (B| O) .

Dabei ist B die m × s-Matrix, die aus den s linken Spalten von A besteht. Es ist Rang (B) = Rang (A) = s. Für t⃗ = (t_{1}, …, t_{r})^{t} ∈ ℝ^{r} bezeichne τ⃗ = (t_{1}, …, t_{s})^{t} ∈ ℝ^{s}, es gilt

A ∘ t⃗ = (B| O) ∘ t⃗ = B ∘ τ⃗

und damit M̃ = {x⃗ = x⃗_{0} + B ∘ τ⃗ : τ⃗ ∈ ℝ^{s}}. Damit haben wir gezeigt, daß M̃ tatsächlich eine s-dimensionale Ebene ist. Im allgemeinen ist jedoch s ≤ r. Nun stellt allerdings Satz 3.7.6 sicher, daß eine rdimensionale Ebene M ⊂ ℝ^{m} mit M ⊃ M̃ existiert. Diese enthält insbesondere die vorgegebenen Punkte x⃗_{0}, …, x⃗_{r}. □

Der Beweis von Satz 3.7.6 zeigt, daß unter Umständen eine ganze Schar von Ebenen das in Satz 3.7.7formulierte Problem löst. Liegen z. B. drei Punkte auf einer Geraden, so läßt sich der zweite Richtungsvektor der gesuchten Ebene frei wählen. Einer ganz ähnlichen Situation sind wir in Abschnitt 3.3 begegnet: Ein System aus s Vektoren erzeugt einen s-dimensionalen Untervektorraum dann und nur dann, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind. Entsprechend soll ein Begriff eingeführt werden, der gewährleistet, daß eine sdimensionale Ebene durch Vorgabe von (s + 1) geeigneten Punkten eindeutig festgelegt ist.

3.7.8 Definition Wir sagen, daß (s + 1) Punkte x⃗_{0}, …, x⃗_{s} ∈ ℝ^{m} (s ≤ m), in allgemeiner Lage sind, wenn die Vektoren

( x⃗_{0} ; 1 ) , …, ( x⃗_{s} ; 1 ) ∈ ℝ^{m+1}

linear unabhängig sind.

Es sei noch einmal darin erinnert, daß wir zwischen Punkten und Vektoren nicht mehr unterscheiden.

3.7.9 Bemerkung Der Begriff ”allgemeine Lage“ erfährt seine Berechtigung durch folgende Überlegung, dabei sei s ≤ m: Mit Hilfe von topologischen und maßtheoretischen Begriffen und Methoden, die in der Regel im dritten Semester besprochen werden, kann man zeigen, daß die Menge aller (s + 1)-tupel von Punkten, die sich in allgemeiner Lage befinden, den Raum sämtlicher (s + 1)-tupel von Punkten ”fast“ vollständig ausfüllt. Könnte man wirklich ”zufällig“ jeweils (s + 1) Punkte aus ℝ^{m} auswählen, so wäre die ”Wahrscheinlichkeit“, daß diese in allgemeiner Lage sind, gleich 1.

3.7.10 Satz Die Punkte x⃗_{0}, …, x⃗_{s} ∈ ℝ^{m} (s ≤ m) sind genau dann in allgemeiner Lage, wenn die Vektoren x⃗_{1} − x⃗_{0}, …, x⃗_{s} − x⃗_{0} ∈ ℝ^{m} linear unabhängig sind.

Beweis Definitionsgemäß sind x⃗_{0}, …, x⃗_{s} ∈ ℝ^{m} genau dann in allgemeiner Lage, wenn die (m + 1) × (s + 1)-Matrix

( \begin{matrix}x⃗_{0} & … & x⃗_{s} \\ 1 & … & 1 \end{matrix} )

maximalen Rang, d. h. Rang s + 1 hat. Da elementare Umformungen den Rang nicht ändern, ist das äquivalent zu

Rang ( \begin{matrix}x⃗_{0} & x⃗_{1} − x⃗_{0} & … & x⃗_{s} − x⃗_{0} \\ 1 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) = s + 1.

(Die erste Spalte wurde von den übrigen subtrahiert.)

⇔ Rang (\begin{matrix}0 & x⃗_{1} − x⃗_{0} & … & x⃗_{s} − x⃗_{0} \\ 1 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) = s + 1.

(Das −x_{0,j}-fache der letzten Zeile wurde zur j-ten Zeile addiert.)

⇔ (x⃗_{1} − x⃗_{0}), …, (x⃗_{s} − x⃗_{0}) sind linear unabhängig.

Wir zeigen noch die Gültigkeit der letzten Äquivalenz:

”⇒“: Insbesondere sind ( \begin{matrix}x⃗_{1} − x⃗_{0} \\ 0 \end{matrix} ) , …, ( \begin{matrix}x⃗_{s} − x⃗_{0} \\ 0 \end{matrix} ) linear unabhängig. Wegen

∑_{j=1}^{s} a_{j} ( \begin{matrix}x⃗_{j} − x⃗_{0} \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}∑_{j=1}^{s} a_{j}(x⃗_{j} − x⃗_{0}) \\ 0 \end{matrix} )

(a_{j} ∈ ℝ beliebig) sind (x⃗_{1} − x⃗_{0}), …, (x⃗_{s} − x⃗_{0}) linear unabhängig. ”⇐“: Seien a_{0}, …, a_{s} ∈ ℝ mit

0 = a_{0} (0 ; 1 ) + ∑_{j=1}^{s} a_{j} ( \begin{matrix}x⃗_{j} − x⃗_{0} \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}∑_{j=1}^{s} a_{j}(x⃗_{j} − x⃗_{0}) \\ a_{0} \end{matrix} ) .

Die Betrachtung der letzten Komponente liefert a_{0} = 0, aus der linearen Unabhängigkeit von (x⃗_{1} − x⃗_{0}), …, (x⃗_{s} − x⃗_{0}) folgt a_{1} = … = a_{s} = 0. □

Man hätte auch Satz 3.7.10 zur Definition erheben können. Die hier gewählte Definition hat aber den Vorteil, daß im Gegensatz dazu die Formulierung in x⃗_{0}, …, x⃗_{s} symmetrisch ist; kein Vektor ist ausgezeichnet.

3.7.11 Satz Für s ≤ m seien (s + 1) Punkte x⃗_{0}, …, x⃗_{s} ∈ ℝ^{m} in allgemeiner Lage gegeben. Dann existiert genau eine s-dimensionale Ebene M durch diese Punkte. Die Ebene M ist dabei in dem folgenden Sinne minimal: Jede Ebene M̃ ⊂ ℝ^{m}, die x⃗_{0}, …, x⃗_{s} enthält, umfaßt auch die Ebene M: M̃ ⊃ M.

Insbesondere können sich in einer s-dimensionalen Ebene jeweils höchstens s + 1 Punkte in allgemeiner Lage befinden. Zweidimensionale Ebenen (Tischplatten) können nicht vier Punkte (Tischbeine) in allgemeiner Lage enthalten. Zusammen mit der Bemerkung über den Hintergrund des Begriffs ”allgemeine Lage“ bestätigt das die Erfahrung, daß Tische ”im allgemeinen“ wackeln.

Beweis Wegen Satz 3.7.7 reicht es für den Beweis des ersten Teils zu zeigen, daß höchstens eine derartige Ebene existiert. Dazu nimmt man ein derartiges M als gegeben an und zeigt, daß M eine durch x⃗_{0}, …, x⃗_{s} bestimmte Gestalt hat. Sei also M = {x⃗ = c⃗ + A ∘ t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{s}} eine s-dimensionale Ebene durch x⃗_{0}, …, x⃗_{s}, es ist also Rang (A) = s. Da x⃗_{0} in M enthalten ist, gibt es ein t⃗_{0} ∈ ℝ^{s} mit x⃗_{0} = c⃗+A∘t⃗_{0}. Für beliebiges t⃗ folgt c⃗+A∘t⃗ = c⃗+A∘(t⃗ − t⃗_{0})+A∘t⃗_{0} = x⃗_{0}+A∘(t⃗ − t⃗_{0}). Wir können also ohne Einschränkung annehmen, daß M = {x⃗ = x⃗_{0} +A∘t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{s}} gilt. Wir setzen y⃗_{i} = x⃗_{i} − x⃗_{0}, (i = 1, …, s) und V := ℝ · (y⃗_{1}, …, y⃗_{s}). Da x⃗_{0}, …, x⃗_{s} in allgemeiner Lage sind, ist dim V = s. Es gilt: M = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : x⃗ − x⃗_{0} ∈ V }. Beweis dazu: Es sei F : ℝ^{s} → ℝ^{m} die zu A gehörige lineare Abbildung, wegen s = Rang (A) = rg(F) ist im(F) = {A ∘ t⃗: t⃗ ∈ ℝ^{s}} ein s-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{m}. Wegen x⃗_{i} ∈ M gilt y⃗_{i} ∈ im(F), also V ⊂ im(F). Da im(F) und V dieselbe Dimension haben, folgt im(F) = V. Offensichtlich ist aber M = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : x⃗ − x⃗_{0} ∈ im(F)}. Wir zeigen noch den Zusatz über die Minimalität der Ebene M: Sei M̃ eine Ebene in ℝ^{m} mit x⃗_{0}, …, x⃗_{s} ∈ M̃. Wie vorher zeigt man, daß Ṽ := {x⃗ − x⃗_{0} : x⃗ ∈ M̃} ein Untervektorraum von ℝ^{m} ist. Gemäß Voraussetzung enthält

Ṽ die Vektoren y⃗_{i} = x⃗_{i} − x⃗_{0}, i = 1, …, s. Damit ist Ṽ ⊃ V und M̃ ⊃ M. □

3.7.12 Beispiel Wir wollen prüfen, ob die Punkte x⃗_{0} = (1, 0, 2), x⃗_{1} = (0, −3, 2), x⃗_{2} = (−1, 1, 0) ∈ ℝ^{3} in allgemeiner Lage sind. Gemäß Definition 3.7.8 bestimmen wir den Rang der folgenden Matrix:

Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & −3 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) = Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & −3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) = Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

= Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) = Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) = Rang ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 3.

Diese Matrix hat den größtmöglichen Rang, nämlich 3. Damit sind x⃗_{0}, x⃗_{1}, x⃗_{2} in allgemeiner Lage, und es gibt genau eine (zweidimensionale) Ebene durch diese Punkte.

Schnitt zweier Ebenen

Für die als nicht leer angenommene Schnittebene zweier (allgemeiner) Ebenen wird sich herausstellen, daß deren Dimension auch von der Dimension des umgebenden Raumes abhängt: Zwei sich schneidende zweidimensionale Ebenen haben in ℝ^{3} mindestens eine Gerade, in ℝ^{4} jedoch nur mindestens einen Punkt gemeinsam. Deshalb führen wir mit der Codimension eine Maßzahl dafür ein, wieviele freie Richtungen außerhalb einer Ebene im einbettenden Raum existieren.

3.7.13 Definition Für eine s-dimensionale Ebene M ⊂ ℝ^{m} heißt codimM := m − s die Codimension von M.

3.7.14 Satz Ist für Ebenen M_{1} und M_{2} in ℝ^{m} der Durchschnitt nicht leer, dann schneiden sie sich in einer Ebene M := M_{1} ∩ M_{2}, deren Codimension der Abschätzung

codimM ≤ codimM_{1} + codimM_{2}

genügt.

Beweis Bei der Untersuchung von Schnittgebilden von Ebenen ist es naheliegend, deren Beschreibung als Lösungsmengen von Gleichungssystemen zugrundezulegen. Es seien s_{1} und s_{2} die Dimensionen von M_{1} und M_{2}. Wir können ohne Einschränkung 0 < s_{1}, s_{2} < m annehmen. Dann existieren (m − s_{i}) × m-Matrizen B_{i} mit Rang (B_{i}) = m − s_{i} und Vektoren d⃗_{i} ∈ ℝ^{m−s_{i}}, so daß gilt:

M_{i} = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B_{i} ∘ x⃗ = d⃗_{i}} , i = 1, 2.

Wir führen die (m − s_{1} + m − s_{2}) × m-Matrix

B = ( \begin{matrix}B_{1} \\ B_{2} \end{matrix} ) und den Vektor d⃗ = ( d⃗_{1} ; d⃗_{2} ) ∈ ℝ^{2m−s_{1}−s_{2}}

ein, es sei m − s der Rang von B. Wegen x⃗ ∈ M_{1} ∩ M_{2} ⇔ (x⃗ ∈ M_{1} und x⃗ ∈ M_{2}) ⇔ (B_{1} ∘ x⃗ = d⃗_{1} und B_{2} ∘ x⃗ = d⃗_{2}) und wegen

( \begin{matrix}B_{1} \\ B_{2} \end{matrix} ) ∘ x⃗ = ( \begin{matrix}B_{1} ∘ x⃗ \\ B_{2} ∘ x⃗ \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2m−s_{1}−s_{2}}

gilt:

M = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B ∘ x⃗ = d⃗} .

Da voraussetzungsgemäß M ≠ ∅ ist, ist folglich M eine s-dimensionale Ebene. Die offensichtliche Ungleichung Zeilenrang(B) ≤ Zeilenrang(B_{1}) + Zeilenrang(B_{2}) ergibt die Abschätzung für die Codimensionen

m − s ≤ (m − s_{1}) + (m − s_{2}).  □

Dem Beweis entnimmt man auch, daß M_{1} ∩ M_{2} ≠ ∅ folgt und daß man deshalb auf diese Voraussetzung verzichten kann, falls der Rang (B) gleich der Zeilenzahl von B ist, d. h. falls Rang (B) = (m − s_{1}) + (m − s_{2}). Wir widmen die folgende Definition dieser Situation, die sich als ”typisch“ herausstellen wird, solange die Gesamtzahl 2m − (s_{1} + s_{2}) der Gleichungen die Zahl m der Veränderlichen nicht übersteigt.

3.7.15 Definition Die s_{i}-dimensionalen Ebenen M_{i} = {x⃗ ∈ ℝ^{m} : B_{i} ∘ x⃗ = d⃗_{i}} seien mittels der (m − s_{i}) × m-Matrizen B_{i} gegeben, i = 1, 2. Man sagt, daß die Ebenen M_{1} und M_{2} in allgemeiner Lage sind, wenn der Rang m−s der (m − s_{1} + m − s_{2}) × m-Matrix

B = ( \begin{matrix}B_{1} \\ B_{2} \end{matrix} )

gleich der Zeilenzahl von B ist, d. h., wenn die Gleichung

m − s = codimM_{1} + codimM_{2}

gilt.

Die allgemeine Lage von Ebenen ist nicht mit der vorher definierten allgemeinen Lage von Punkten zu verwechseln.

3.7.16 Bemerkung Sind M_{1}, M_{2} in allgemeiner Lage, so gilt insbesondere (m − s_{1}) + (m − s_{2}) = codimM_{1} + codimM_{2} = m − s ≤ m, also

s_{1} + s_{2} ≥ m.

So sind etwa zwei Geraden in ℝ^{3} niemals in allgemeiner Lage.

Unsere bisherigen Überlegungen lassen sich unter Verwendung des neuen Begriffs zusammenfassen:

3.7.17 Satz Genau dann sind die Ebenen M_{1} und M_{2} in allgemeiner Lage, wenn deren Durchschnitt M := M_{1} ∩ M_{2} eine Ebene mit codimM = codimM_{1} + codimM_{2} ist.

Das Schnittgebilde von Ebenen in allgemeiner Lage hat größtmögliche Codimension und damit kleinstmögliche Dimension s = s_{1} + s_{2} − m.

3.7.18 Bemerkung Betrachtet man nun Ebenen M_{1}, M_{2} in ℝ^{m} mit codimM_{1} + codimM_{2} ≤ m, d. h. m ≤ s_{1} + s_{2}, dann kann man entsprechend der Bemerkung 3.7.9 mit den Methoden der Analysis zeigen, daß ”fast alle“ Paare von Ebenen in allgemeiner Lage sind. Insbesondere kann man allgemeine Lage bei Ebenen, die selbst nicht in allgemeiner Lage sind, durch beliebig kleine ”Drehungen“ einer Ebene erreichen. Für die präzise Definition und Untersuchung von Drehungen müssen wir auf die Kapitel 6 und 7 verweisen.

3.7.19 Beispiel Wir betrachten M_{i} := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{2} = a_{i} · x_{1}} mit a_{i} ∈ ℝ, i = 1, 2. Mit den 1 × 2-Matrizen B_{i} = ( −a_{i} 1 ), Rang (B_{i}) = 1, gilt

M_{i} = {x⃗ ∈ ℝ^{2} : B_{i} ∘ x⃗ = 0 ∈ ℝ} .

Also sind die M_{i} eindimensionale Ebenen, d. h. Geraden in ℝ^{2}. Es soll der Durchschnitt

M := M_{1} ∩ M_{2} = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{2} = a_{1}x_{1} = a_{2}x_{1}}

untersucht werden. Sicher ist 0 ∈ M, M ist nach Satz 3.7.14 eine (allgemeine) Ebene. Zur Bestimmung der Dimension von M ist die zusammengesetzte Matrix

B = ( \begin{matrix}B_{1} \\ B_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−a_{1} & 1 \\ −a_{2} & 1 \end{matrix} )

zu untersuchen. Offensichtlich gibt es zwei verschiedene Fälle:

Fall a_{1} ≠ a_{2}: Dann sind die Zeilen von B linear unabhängig, es ist Rang (B) = 2 = 2 − 0. Also ist M eine nulldimensionale Ebene, ein Punkt, und es gilt codimM = 2 = 1 + 1 = codimM_{1} + codimM_{2}, M_{1} und M_{2} sind in allgemeiner Lage.

Fall a_{1} = a_{2}: Dann sind die Zeilen von B gleich, es ist Rang (B) = 1. Also ist M eine Gerade, was man auch direkt aus M_{1} = M_{2} folgern kann. Wegen codimM = 1 < 1 + 1 = codimM_{1} + codimM_{2} = 2 sind M_{1} und M_{2} nicht in allgemeiner Lage. Allerdings kann man durch eine beliebig kleine ”Drehung“, etwa von M_{1} erreichen, daß a_{1} ≠ a_{2} wird und damit M_{1} und M_{2} in allgemeiner Lage sind. Diese Bemerkung stimmt mit der Anschauung überein.

3.7.20 Beispiel Wir betrachten M_{1} := {(x_{1}, …, x_{2n}) ∈ ℝ^{2n} : x_{1} = … = x_{n} = 0}. Das Gleichungssystem wird durch die n × 2n-Matrix

B_{1} = B_{1}^{n,2n} = ( E^{n,n}, O^{n,n})

beschrieben, es ist M_{1} = {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : B_{1} ∘ x⃗ = 0}. Da B_{1} genau n linear unabhängige Spalten besitzt, ist Rang (B_{1}) = n = 2n − n, also ist M_{1} eine n-dimensionale Ebene. Wir betrachten ferner die n-dimensionale Ebene M_{2} := {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : x_{n+1} = … = x_{2n} = 0} = {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : B_{2} ∘ x⃗ = 0}, wobei

B_{2} = B_{2}^{n,2n} = ( O^{n,n}, E^{n,n}) und Rang (B_{2}) = n

ist. Für den Durchschnitt gilt M := M_{1} ∩ M_{2} = {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : x_{1} = … = x_{n} = x_{n+1} = … = x_{2n} = 0\} = \left\{{ \atop 0}\right\}, M ist ein Punkt, d. h. codimM = 2n = codimM_{1} + codimM_{2}. Folglich sind M_{1} und M_{2} in allgemeiner Lage. Durch eine scheinbar kleine Änderung erhalten wir eine ganz andere Situation. Statt M_{2} betrachten wir die n-dimensionale Ebene

M′_{2} := {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : x_{n} = … = x_{2n−1} = 0} = {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : B′_{2} ∘ x⃗ = 0}

mit B′_{2} = ( O^{n,n−1}, E^{n,n}, O^{n,1} ) und Rang (B′_{2}) = n. Eine M′ := M_{1} ∩ M′_{2} = {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : x_{1} = … = x_{2n−1} = 0} beschreibende (2n − 1) × 2n-Matrix ist

B′ = ( E^{2n−1,2n−1}, O^{2n−1,1} ) ,

offensichtlich ist Rang (B′) = 2n − 1. Also ist M′ eine eindimensionale Ebene, eine Gerade. Es gilt 2n − 1 = codimM′ < codimM_{1} + codimM′_{2} = 2n, M_{1} und M′_{2} sind nicht in allgemeiner Lage, die Dimension des Durchschnitts ist zu groß. Wir ”drehen“ nun M′_{2} um einen geeigneten, beliebig kleinen ”Winkel“, um wieder allgemeine Lage herzustellen. Für ε ≠ 0 sei

M′_{2,ε} := {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : x_{n+1} = … = x_{2n−1} = 0, x_{n} = εx_{2n}}
= {x⃗ ∈ ℝ^{2n} : B′_{2,ε} ∘ x⃗ = 0}

mit B′_{2,ε} = ( O^{n,n−1}, E^{n,n}, −ε e⃗_{1} ) und Rang (B′_{2,ε}) = n. Nun folgt wieder aus x⃗ ∈ M′_{ε} := M_{1} ∩ M′_{2,ε}, daß x_{1} = … x_{2n−1} = 0, x_{2n} = \frac{1}{ε}x_{n} = 0 und damit x⃗ = 0

gilt. Es ist M′_{ε} = \left\{{ \atop 0}\right\}, und M_{1} und M′_{2,ε} sind in allgemeiner Lage.

3.8 Spezielle lineare Abbildungen

Wir wollen dieses Kapitel 3 beschließen, indem wir einige Beispiele linearer Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} zusammenstellen, die in zwei und drei Dimensionen sämtlich der anschaulichen Geometrie entstammen. Im ersten Teil dieses Abschnitts stellen wir Projektionsabbildungen als typische Beispiele für nicht-injektive lineare Abbildungen vor. Im zweiten Teil behandeln wir bijektive lineare Abbildungen (Isomorphismen) des ℝ^{n} und stellen zunächst noch einmal die hierzu bislang erzielten theoretischen Resultate zusammen. An Beispielen diskutieren wir insbesondere Homothetien (Streckungen bzw. Stauchungen des Raumes), Dehnungen und Scherungen.

Projektionen

3.8.1 Definition Es sei m ≤ n. Eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{m} heißt Projektion von ℝ^{n} auf ℝ^{m}, falls m Indizes 1 ≤ i_{1} < … < i_{m} ≤ n existieren, so daß für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

F (x⃗) = F (x_{1}, …, x_{n}) = (x_{i_{1}}, …, x_{i_{m}}).

Im Spezialfall m = 1 nennt man

P_{i} : ℝ^{n} → ℝ,  x⃗ = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x_{i}

die i-te Projektion von ℝ^{n} → ℝ.

Offensichtlich sind Projektionen surjektiv und für m < n nicht injektiv.

3.8.2 Beispiele (a) Wir betrachten P_{1} : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}. Die zugehörige Matrix ist ( 1, 0 ). Durch P_{1} werden anschaulich Parallelen zur x_{2}-Achse auf einen Punkt abgebildet.

[figure: O; x_{2}; x_{1}; Projektion auf die x_{1}-Achse]

(b) Auch durch F : ℝ^{3} → ℝ^{2}, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ (x_{1}, x_{2}) werden Geraden auf einen Punkt ”projiziert“.

[figure: O; x_{2}; x_{3}; x_{1}; Projektion ℝ^{3} → ℝ^{2}]

(c) Durch die zweite Koordinatenprojektion P_{2} : ℝ^{3} → ℝ, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x_{2} werden Ebenen auf Punkte abgebildet.

[figure: x_{3}; x_{2}; x_{1}; O; Projektion ℝ^{3} → ℝ]

Umkehrbar lineare Abbildungen

Da bijektive lineare Abbildungen nur zwischen Vektorräumen derselben Dimension existieren, betrachten wir im Rest dieses Abschnitts nur noch Abbildungen F : ℝ^{n} → ℝ^{n}. Um die Tatsache hervorzuheben, daß Urbild- und Wertebereich übereinstimmen, definieren wir:

3.8.3 Definition Unter einer umkehrbar linearen oder invertierbaren linearen Abbildung des ℝ^{n} verstehen wir eine bijektive lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n}, also einen Isomorphismus F : ℝ^{n} → ℝ^{n}.

Im folgenden Satz stellen wir eine Vielzahl von Kriterien dafür zusammen, ob eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} umkehrbar linear ist. Auch hier wollen wir wieder Nutzen aus dem Matrizenkalkül ziehen.

3.8.4 Satz Es sei F : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung und A die zugehörige n × n-Matrix. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) F ist umkehrbar linear.

(b) A ist nichtsingulär.

(c) Es gibt eine n × n-Matrix B mit B ∘ A = E.

(d) Es gibt eine n × n-Matrix B mit A ∘ B = E.

(e) Rang (A) = n.

(f) Alle Spalten von A sind linear unabhängig.

(g) Alle Zeilen von A sind linear unabhängig.

(h) Die Spalten von A erzeugen ℝ^{n}.

(i) Die Zeilen von A erzeugen ℝ^{n}.

(j) F ist injektiv.

(k) F ist surjektiv.

Beweis Wir brauchen nur soviele Äquivalenzen zu beweisen, daß sich die übrigen mit Hilfe der Transitivität von ”⇔“ ergeben. ”(a) ⇔ (b)“: Diese Äquivalenz haben wir bereits in Folgerung 3.6.13 im Zusammenhang mit der Definition nichtsingulärer Matrizen erläutert. ”(j) ⇔ (k)“: Siehe Folgerung 3.4.5. ”(a) ⇔ (j)“: Folgt dann unmittelbar. ”(b) ⇒ (c)“: Offensichtlich.

”(c) ⇒ (j)“: Sei F \binom{}{x} = 0. Nach (c) folgt x⃗ = E ∘ x⃗ = (B ∘ A) ∘ x⃗ = B ∘ (A ∘ x⃗) = B ∘ 0 = 0. Wir wissen bereits ”(j) ⇔ (b)“, und damit haben wir ”(b) ⇔ (c)“ und ”(c) ⇔ (j) “. ”(b) ⇒ (d)“: Offensichtlich. ”(d) ⇒ (k)“: Sei y⃗ ∈ ℝ^{n} gegeben. Mit B gemäß (d) setze x⃗ := B ∘ y⃗; es folgt

y⃗ = E ∘ y⃗ = (A ∘ B) ∘ y⃗ = A ∘ (B ∘ y⃗) = A ∘ x⃗, also ist y⃗ = F \binom{}{x}.

Indem wir hier ”(k) ⇔ (b) “ verwenden, folgt damit wie oben ”(b) ⇔ (d)“ und ”(d) ⇔ (k) “. ”(h) ⇔ (k)“: Die Spalten von A erzeugen im(F). Die übrigen Äquivalenzen folgen aus Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A) = Rang (A) und Satz 3.3.18, wonach ein System aus n Vektoren in ℝ^{n}, das linear unabängig ist oder den ℝ^{n} erzeugt, bereits eine Basis ist. □

Es liegt nahe, auf der mit der Matrizenmultiplikation versehenen Menge der nichtsingulären Matrizen eine Gruppenstruktur zu vermuten.

3.8.5 Definition Die Menge GL(n, ℝ) := {A : A ist nichtsinguläre (reelle) n × n-Matrix} heißt allgemeine lineare Gruppe vom Rang n über ℝ. Die Elemente von GL(n, ℝ) heißen auch reguläre oder invertierbare Matrizen.

Die Abkürzung GL erklärt sich durch die englische Bezeichnung ”general linear group“.

3.8.6 Satz Bezüglich der Matrizenmultiplikation ist GL(n, ℝ) eine Gruppe. Für n ≥ 2 ist diese Gruppe nicht kommutativ.

Beweis Die Einheitsmatrix ist nichtsingulär, also ist GL(n, ℝ) ≠ ∅. In Folgerung 3.6.14hatten wir festgestellt, daß das Produkt nichtsingulärer Matrizen ebenfalls nichtsingulär ist. Also ist GL(n, ℝ) gegenüber der Matrizenmultiplikation abgeschlossen.

(1) Die Assoziativität der Matrizenmultiplikation wurde in Satz 3.6.11gezeigt.

(2) Die Einheitsmatrix E ist nichtsingulär, und für alle A ∈ GL(n, ℝ) gilt A ∘ E = A.

(3) Die Existenz jeweils eines (Rechts-)Inversen zu jeder Matrix aus GL(n, ℝ) wird durch die Definition 3.6.12der nichtsingulären Matrizen gesichert.

Zum Nachweis der Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation bauen wir auf Beispiel 3.6.10auf: Dort hatten wir reguläre 2 × 2-Matrizen A, B mit A ∘ B ≠ B ∘ A gefunden. Für n ≥ 2 setzen wir

Ã = ( \begin{matrix}A^{2,2} & O^{2,n−2} \\ O^{n−2,2} & E^{n−2,n−2} \end{matrix} )

und entsprechend B̃. Die so entstehenden Matrizen haben maximalen Rang n und sind folglich ebenfalls regulär. Man erhält

Ã ∘ B̃ = ( \begin{matrix}A ∘ B & O \\ O & E \end{matrix} ) ,  B̃ ∘ Ã = ( \begin{matrix}B ∘ A & O \\ O & E \end{matrix} )

und damit Ã ∘ B̃ ≠ B̃ ∘ Ã. □

Man beachte, daß die Summe invertierbarer Matrizen im allgemeinen nicht invertierbar ist. Um die Invertierbarkeit einer gegebenen n × n-Matrix A zu prüfen, verwendet man in der Regel Kriterium (d) aus Satz 3.8.4. Die Existenz einer n × n-Matrix B mit A ∘ B = E ist gleichbedeutend damit, daß die Gleichungssysteme A ∘ b⃗_{j} = e⃗_{j} für j = 1, …, n eine Lösung b⃗_{j} besitzen. Dabei ist b⃗_{j} die j-te Spalte der gesuchten Matrix B. Anstatt diese n Gleichungssysteme nacheinander zu behandeln und immer wieder dieselben Umformungen durchzuführen, werden diese Gleichungssysteme simultan betrachtet. Man gelangt so zu der folgenden Variante des Gaußschen Algorithmus’: Man schreibt gleichzeitig alle rechten Seiten in die erweiterte Koeffizientenmatrix, man beginnt also mit der n × 2n-Matrix (A, E). Durch Zeilenumformungen gelangt man zu einer Matrix (Ã, B).

Ist Rang (A) = n, so läßt sich Ã = E erreichen, die Matrix A ist invertierbar, A ∈ GL(n, ℝ), und es ist B = A^{−1}. Ist dagegen Rang (A) < n, so erhält man eine Matrix Ã, die mindestens eine Nullzeile enthält. In diesem Fall besitzt A keine inverse Matrix, A ∉ GL(n, ℝ).

3.8.7 Beispiele (a) Wir wollen untersuchen, ob die Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ −3 & 4 & 3 \\ −4 & 6 & 5 \end{matrix} )

nichtsingulär ist und eine inverse Matrix besitzt.

Wir erhalten durch Zeilenumformungen:

(A, E) = ( \begin{matrix}-1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ −3 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ −4 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & −4 & 0 & 1 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & −2 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & −3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & −2 & 1 \end{matrix} )
= (E, B).

Also ist Rang (A) = 3 und A invertierbar, A ∈ GL(3, ℝ), es gilt

A^{−1} = ( \begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ −3 & 1 & 0 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} ) .

Es mag zunächst überraschen, daß sowohl A als auch A^{−1} nur ganzzahlige Komponenten haben. Dieses ”Rätsel“ werden wir im Abschnitt über die Cramersche Regel, Beispiel 5.5.7, auflösen.

(b) Entsprechend wollen wir

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ −2 & 3 & 0 \\ −1 & 4 & 2 \end{matrix} )

auf Invertierbarkeit untersuchen:

\begin{aligned}(A, E) & = & ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ −2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) & → & ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) \\ & → & ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} ) & = & (Ã, B) . \end{aligned}

Es ist Rang (A) = Rang \binom{}{Ã} = 2 < 3, also besitzt A keine inverse Matrix, A ∉ GL(3, ℝ).

3.8.8 Beispiel Wir betrachten die n × n-Matrix

A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & 1 \\ 0 & 0 & … & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ 1 & 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} )

mit

a_{ij} = \{ \begin{matrix}1, & fallsi + j = n + 1, \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Durch A wird die lineare Abbildung

F : ℝ^{n} → ℝ^{n}, (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (x_{n}, …, x_{1})

gegeben. Man berechnet A ∘ A = E, entsprechend gilt F ∘ F = id. Nach Satz 3.8.4 ist F umkehrbar linear. Zur anschaulichen Interpretation sei nun speziell n = 2. Es ist F (x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1}). Obwohl der Begriff ”Spiegelung an einer beliebigen Achse“ und die zugrundeliegende Orthogonalität erst in Kapitel 6 streng eingeführt werden, sei erwähnt, daß F eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{1} = x_{2}} ist.

[figure: x_{1}; x_{2}; M; Spiegelung an der Winkelhalbierenden]

Zugleich ist M die Menge der Fixpunkte {x⃗ ∈ ℝ^{2} : F (x⃗) = x⃗} von F, denn F (x⃗) = x⃗ ist äquivalent zu x_{1} = x_{2}.

Spezielle umkehrbar lineare Abbildungen

Im Folgenden wollen wir einige Klassen spezieller linearer Abbildungen bzw. spezieller Matrizen als Untergruppen von GL(n, ℝ) betrachten. Dabei ist eine Untergruppe ganz analog dem Untervektorraum definiert, vgl. Definition 1.2.5.

3.8.9 Definition Es sei (G, ∘) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, falls gilt:

(1) H ≠ ∅.

(2) Für alle x, y ∈ H ist auch x ∘ y ∈ H.

(3) Für alle x ∈ H ist x^{−1} ∈ H.

Es gilt wieder: Eine Untergruppe H von G ist mit derselben Operation wie auf G eine Gruppe.

Homothetien

3.8.10 Definition Eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt Homothetie, falls eine reelle Zahl a ≠ 0 existiert, so daß für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

F (x⃗) = a · x⃗.

Wegen F (e⃗_{i}) = ae⃗_{i} ist A = ( \begin{matrix}a & 0 & … & 0 \\ 0 & a & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a \end{matrix} ) = a · E die zu F gehörige Matrix.

3.8.11 Satz Die Menge aller eine Homothetie beschreibenden n × n-Matrizen

H := {A : A = a · E^{n,n}, a ∈ ℝ \ {0}}

ist eine Untergruppe von GL(n, ℝ).

Beweis Wir verwenden die Rechenregeln aus Abschnitt 3.6 für Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation. Sei A = a·E ∈ H. Wegen (\frac{1}{a} · E)∘(a · E) = (a · E)∘(\frac{1}{a} · E) = (a · \frac{1}{a})·(E ∘ E) = E ist A nichtsingulär. Damit gilt H ⊂ GL(n, ℝ) und H enthält mit jedem Element auch sein Inverses. Offenbar ist H ≠ ∅, schließlich gilt für A = a·E, B = b·E ∈ H: A ∘ B = (a · E) ∘ (b · E) = (a · b) · (E ∘ E) = (ab) · E, also A ∘ B ∈ H. Die Menge H ist also bezüglich der Gruppenoperation ”∘“ abgeschlossen. □

Wir präzisieren noch die offensichtliche Ähnlichkeit der Multiplikation in H und der Multiplikation reeller Zahlen.

3.8.12 Definition Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt Gruppenisomorphismus.

3.8.13 Bemerkung Die Menge der von 0 verschiedenen Zahlen ℝ^{∗} := ℝ \ {0} ist mit der gewöhnlichen Multiplikation eine abelsche Gruppe. Durch h : ℝ^{∗} → H, a ↦ a · E wird offensichtlich ein Gruppenisomorphismus ℝ^{∗} → H definiert. Daher ist H eine abelsche Untergruppe der nichtabelschen Gruppe GL(n, ℝ).

3.8.14 Beispiel Zur Veranschaulichung betrachten wir für a ∈ ℝ^{∗} die Homothetie F : ℝ^{2} → ℝ^{2}, F (x⃗) = ax⃗.

Fall 1: a > 0. Die Strahlensätze zeigen, daß ein Dreieck durch die Streckung unter H in ein ähnliches Dreieck (mit denselben Längenverhältnissen) überführt wird.

[figure: O; Δ′′(0 < a < 1); Δ; Δ′′(a > 1); Streckung/Stauchung]

Fall 2: a = −1. Die Abbildung F ist eine Spiegelung am Nullpunkt. In Kapitel 6 werden wir sehen, daß (nur) im ℝ^{2} diese Spiegelung auch als Drehung um 180^{∘} aufgefaßt werden kann.

[figure: O; Δ′; Δ; Spiegelung am Nullpunkt]

Fall 3: a < 0. Dann ist −a > 0 und F (x⃗) = (−1) · ((−a) · x⃗) = H ∘ G (x⃗) mit G(x⃗) = (−a) · x⃗ und H(x⃗) = (−1) · x⃗. In diesem Falle ist F Zusammensetzung von einer Streckung und einer Spiegelung am Nullpunkt.

[figure: O; Δ′′(a < −1); Δ; Δ′(−1 < a < 0); Zusammensetzung einer Spiegelung und einer Streckung]

In jedem Fall bleiben die Längenverhältnisse in Dreiecken erhalten, Homothetien sind also spezielle Ähnlichkeitstransformationen. Zudem sind hier die Seiten der Bilddreiecke und der Urbilddreiecke parallel.

Dehnungen

3.8.15 Definition Eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt Dehnung, falls n reelle Zahlen a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ^{∗} existieren, so daß F (e⃗_{i}) = a_{i} · e⃗_{i} für i = 1, …, n gilt.

Zu F gehört also die Matrix ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n} \end{matrix} ) .

3.8.16 Satz Die Menge D := {A ∈ ℝ^{n×n} : A beschreibt eine Dehnung des ℝ^{n}} ist eine Untergruppe von GL(n, ℝ).

Beweis Jede Homothetie ist insbesondere eine Dehnung, H ⊂ D, also ist D nicht leer.

Für A = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n} \end{matrix} ) ∈ D existiert wegen a_{i} ≠ 0, i = 1, …, n,

Umkehrbar lineare Abbildungen 115

stets die inverse Matrix A^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{a_{1}} & 0 & … & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2}} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & \frac{1}{a_{n}} \end{matrix} ), es folgt D ⊂ GL(n, ℝ).

Außerdem beschreibt A^{−1} ebenfalls eine Dehnung. Schließlich ist D gegenüber der Matrizenmultiplikation abgeschlossen, denn mit

A = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n} \end{matrix} ) ∈ D, B = ( \begin{matrix}b_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & b_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & b_{n} \end{matrix} ) ∈ D

ist auch stets

A ∘ B = ( \begin{matrix}a_{1}b_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{2}b_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n}b_{n} \end{matrix} ) ∈ D.

□

3.8.17 Bemerkung Die Menge der Homothetien H ist auch eine Untergruppe der Gruppe D der Dehnungen.

3.8.18 Beispiel Dieses Beispiel soll den Begriff ”Dehnung“ erläutern. Die Abbildung F : ℝ^{2} → ℝ^{2}

werde durch ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) gegeben, sie führt den Einheitskreis in eine Ellipse über.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; x_{1}; x_{2}; Dehnung]

3.8.19 Beispiel

Durch A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) wird eine Spiegelung an der x_{1}-Achse (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, −x_{2})

beschrieben.

Scherungen

3.8.20 Definition Eine lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt Scherung, falls Zahlen a_{2}, …, a_{n} ∈ ℝ existieren, so daß für die zu F gehörige n × n-Matrix A gilt:

A = A_{a_{2},...,a_{n}} := ( \begin{matrix}1 & a_{2} & … & a_{n} \\ 0 \\ ⋮ & & E^{n−1,n−1} \\ 0 \end{matrix} ) .

Für das Produkt derartiger ”Schermatrizen“ gilt:

\begin{aligned}A_{a_{2},...,a_{n}} ∘ A_{a′_{2},...,a′_{n}} & = & ( \begin{matrix}1 & a_{2} & … & a_{n} \\ 0 \\ ⋮ & & E^{n−1,n−1} \\ 0 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & a′_{2} & … & a′_{n} \\ 0 \\ ⋮ & & E^{n−1,n−1} \\ 0 \end{matrix} ) \\ & = & ( \begin{matrix}1 & a_{2} + a′_{2} & … & a_{n} + a′_{n} \\ 0 \\ ⋮ & & E^{n−1,n−1} \\ 0 \end{matrix} ) , \end{aligned}

also

A_{a_{2},...,a_{n}} ∘ A_{a′_{2},...,a′_{n}} = A_{a_{2}+a′_{2},...,a_{n}+a′_{n}}.  (∗)

Die Zusammensetzung zweier Scherungen ist also wieder eine Scherung. Diese Formel zeigt ferner A_{a_{2},...,a_{n}} ∘ A_{−a_{2},...,−a_{n}} = E. Schermatrizen sind also invertierbar, und die inverse Matrix beschreibt ebenfalls eine Scherung. Also haben wir das folgende Resultat:

3.8.21 Satz Die Menge der zu Scherungen des ℝ^{n} gehörigen Matrizen

S := {A_{a_{2},...,a_{n}} ∈ ℝ^{n×n} : a_{2}, …, a_{n} ∈ ℝ}

ist eine Untergruppe von GL(n, ℝ).

Auch diese Untergruppe von GL(n, ℝ) können wir mit einer bereits bekannten Gruppe identifizieren:

3.8.22 Satz Die Abbildung f : ℝ^{n−1} → S, (a_{2}, …, a_{n}) ↦ A_{a_{2},...,a_{n}} ist ein Gruppenisomorphismus von (ℝ^{n−1}, +) auf (S, ∘). Insbesondere ist (S, ∘) abelsch.

Beweis Die Bijektivität von f ist offensichtlich. Es ist also nur die Gruppenhomomorphismuseigenschaft

f ((a_{2}, …, a_{n}) + (a′_{2}, …, a′_{n})) = f(a_{2}, …, a_{n}) ∘ f(a_{2}, …, a_{n})

zu zeigen. Diese ist aber gleichbedeutend mit der oben bewiesenen Identität (∗). □

Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine Scherung und A = A_{a_{2},...,a_{n}} ∈ S die zugehörige Matrix. Für x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt A ∘ x⃗ = (x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n}, x_{2}, …, x_{n}). Die Abbildung F läßt die letzten (n − 1) Komponenten unverändert. Hält man (x_{2}, …, x_{n}) fest, so wird x_{1} durch F auf einer zur x_{1}-Achse parallelen Geraden durch (0, x_{2}, …, x_{n}) um a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} verschoben. Für die Menge der Fixpunkte M := {x⃗ ∈ ℝ^{n} : A ∘ x⃗ = x⃗} gilt:

M = {x⃗ ∈ ℝ^{n} : A ∘ x⃗ − E ∘ x⃗ = 0} = {x⃗ ∈ ℝ^{n} : (A − E) ∘ x⃗ = 0} .

Die Matrix

A − E = ( \begin{matrix}0 & a_{2} & … & a_{n} \\ 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

hat

Rang (A − E) = \{ \begin{matrix}0, & fallsa_{2} = … = a_{n} = 0; \\ 1, & falls eina_{i} ≠ 0. \end{matrix}

Daher ist M eine (n − 1)-dimensionale Ebene, d. h. eine Hyperebene, sofern wenigstens ein a_{i} ≠ 0 ist, und eine n-dimensionale Ebene, d. h. M = ℝ^{n}, falls a_{2} = … = a_{n} = 0.

3.8.23 Beispiel Sei n = 2 und A = A_{1}, d. h. A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Die Menge der Fixpunkte ist

M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{2} = 0}, also die x_{1}-Achse. Das Einheitsquadrat geht durch die entsprechende Abbildung in ein Parallelogramm über, indem zwei Seiten parallel zur x_{1}-Achse verschoben und die anderen zwei Seiten um −45 Grad gedreht und entsprechend verlängert werden.

[figure: x_{2}; x_{1}; 0; 1; 2; −1; −1; Scherung]

4 Vektorraumkonstruktionen

Häufig ist mit der Untersuchung von Vektorräumen und linearen Abbildungen in ganz naheliegender Weise die Betrachtung daraus hervorgehender Vektorräume und Abbildungen verbunden. In der Mechanik wird die Position eines Massepunktes durch Vektoren aus ℝ^{3} (≈ physikalischer Raum) beschrieben, für die Beschreibung der Zeit verwendet man ℝ. Oft sind aber Raum und Zeit gleichzeitig zu betrachten und zu einem Vektorraum, der ”direkten Summe ℝ^{3} ⊕ ℝ“, zusammenzufügen. Für die Geschwindigkeit eines Massepunktes verwendet man ebenfalls Vektoren aus ℝ^{3}. Da in der Mechanik aber stets Position und Geschwindigkeit (Impuls) und im allgemeinen eine Anzahl n von Massepunkten gleichzeitig betrachtet werden, möchte man ”Orts-“ und ”Impulsraum“ zu ”ℝ^{3} ⊕ ℝ^{3}“ und für das Gesamtsystem n Kopien derselben zusammensetzen. Mit diesem ”Zusammensetzen“ und umgekehrt auch dem ”Zerlegen“ von Vektorräumen befassen wir uns in Abschnitt 4.2. In Abschnitt 3.8 hatten wir u. a. Projektionsabbildungen und insbesondere Projektionen auf jeweils eine Koordinatenrichtung vorgestellt. Das ganze Architektur- und Ingenieurwesen basiert auf der intensiven Verwendung von Projektionen, und das schon bei der Beschreibung dreidimensionaler Objekte. Um so mehr sind Projektionsabbildungen geeignet, um höher- oder unendlichdimensionale Vektorräume zu studieren. Wie wichtig solche unendlichdimensionalen Vektorräume sind, wird in Abschnitt 4.1an Hand einiger Beispiele (Folgen- und Funktionenräume) erläutert werden. In solchen Räumen wird beispielsweise Gleichheit zweier Elemente häufig so gezeigt, daß man die Gleichheit deren Werte unter allen bzw. hinreichend vielen Projektionsabbildungen zeigt. Da wir hier über den Begriff der Orthogonalität noch nicht verfügen und dieser in vielen wichtigen Beispielen unendlichdimensionaler (normierter) Vektorräume nicht eingeführt werden kann, lösen wir uns von der damit verbundenen speziellen Vorstellung von Projektionsabbildungen und gelangen zum allgemeineren Begriff der ”Linearform“, deren Gesamtheit den zum ursprünglichen Vektorraum V ”dualen Vektorraum“ V^{∗} bildet. Diesen ”Dualräumen“ widmen wir den zweiten Teil dieses Kapitels.

4.1 Beispiele unendlichdimensionaler Vektorräume

Gerade die in den folgenden Abschnitten einzuführenden Zerlegungen von Vektorräumen in direkte Summen sowie die Dual- und Bidualräume spielen in der Theorie der ”unendlichdimensionalen normierten Vektorräume“ (Funktionalanalysis) eine wesentliche Rolle. Um schon hier den Blickwinkel ein wenig in diese Richtung öffnen zu können, diskutieren wir detailliert zwei Beispiele unendlichdimensionaler Vektorräume und dabei insbesondere die Begriffe ”Basis“ und ”Dimension“. Wir erinnern zunächst an Definition 1.3.14.

4.1.1 Definition Sei V ein reeller Vektorraum und M ⊂ V eine Teilmenge.

(a) Die Menge M heißt linear unabhängig, wenn jedes endliche System x_{1}, …, x_{n} (n ∈ ℕ) paarweise verschiedener Vektoren aus M linear unabhängig ist.

(b) Man sagt, daß V von M erzeugt wird, wenn zu jedem x ∈ V eine endliche Anzahl n ∈ ℕ von Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ M und von reellen Zahlen a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} existiert.

(c) Man nennt M eine Basis von V, wenn M linear unabhängig ist und V erzeugt.

In der Funktionalanalysis tritt ein anderer Basisbegriff (Schauderbasis, Hilbertbasis) in den Vordergrund. Man läßt dort auch die Darstellung mittels konvergenter Reihen statt nur endlicher Linearkombinationen zu. Um dann Verwechslungen zu vermeiden, nennt man Basen im oben erklärten Sinne auch Basen im Sinne der (linearen) Algebra oder Hamelbasen. Wie bereits nach Satz 1.3.17erläutert, kann man allgemein beweisen:

4.1.2 Satz Jeder Vektorraum hat eine Basis.

Aus Satz 3.3.15 folgt auch: Ein unendlichdimensionaler Vektorraum kann keine endliche Basis besitzen. Auch wenn man ”∞“ als Maßzahl für die Länge einer Basis hinzunimmt, bleibt also richtig: Die Dimension ist gleich der Basislänge. Wie in der Differential- und Integralrechnung gezeigt wird, gibt es jedoch ”verschiedene Stufen von Unendlichkeit“. So gibt es abzählbar unendliche Mengen wie ℕ und überabzählbare Mengen wie etwa ℝ oder Intervalle der Form

[a, b] := {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} mit a < b.

Die folgenden Beispiele zeigen, daß bei verschiedenen Vektorräumen linear unabhängige Mengen verschiedener ”Mächtigkeit“ auftreten können. Bei der Dimensionszahl ∞ könnte also weiter differenziert werden. Wegen des großen Aufwandes wollen wir hier jedoch nicht in die Theorie der ”Kardinalzahlen“ einsteigen.

4.1.3 Beispiel Wir erinnern an den in Kapitel 1.3 eingeführten Vektorraum V der reellen Polynome. Dort wurden die Monome als Einheitsvektoren e_{0} = 1, e_{1} = z, e_{2} = z^{2}, … ausgezeichnet. Diese Monome erzeugen V, und je endlich viele (paarweise verschiedene) von ihnen sind linear unabhängig. Also ist M := {e_{i} : i ∈ ℕ_{0}} eine Basis von V. Die Elemente von M können mit Indizes aus ℕ durchnumeriert werden, M ist eine abzählbar unendliche Basis von V.

4.1.4 Beispiel Für zwei reelle Zahlen a < b betrachten wir das Intervall I := [a, b] und den Vektorraum V := {f : I → ℝ} aller reellen Funktionen. Auf V ist ganz analog wie zu Beginn von Abschnitt 3.6 eine Addition durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) und eine Skalarmultiplikation durch (c · f)(x) := c · f(x), x ∈ I, gegeben. Zwei Funktionen f, g ∈ V sind gleich, wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ I gilt. Die Vektorraumeigenschaften von V folgen dann direkt aus den entsprechenden Gesetzen für die reellen Zahlen. Das Nullelement O ∈ V ist die Nullfunktion: x ↦ 0. Zu jedem f ∈ V existiert mit (−f)(x) := −(f(x)), x ∈ I, ein negatives Element. Gemäß dem obigen Satz besitzt V eine Basis, die man allerdings nicht explizit konstruieren kann. Es kann aber eine sehr große linear unabhängige Menge angegeben werden. Für beliebiges, aber festes y ∈ I definieren wir f_{y} ∈ V durch

f_{y}(x) = \{ \begin{matrix}1, & falls x = y, \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Die Menge M = {f_{y} : y ∈ I} enthält wie I überabzählbar viele Elemente und ist linear unabhängig. Seien nämlich f_{y_{1}}, …, f_{y_{n}} ∈ M paarweise verschieden, d. h. y_{i} ≠ y_{j} für i ≠ j; dann folgt aus

∑_{i=1}^{n} a_{i}f_{y_{i}} = O (Nullfunktion!), a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ,

daß für alle x ∈ I gilt:

0 = O(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}f_{y_{i}}(x) = \{ \begin{matrix}a_{j}, & fallsx = y_{j}, \\ 0, & fallsx ∉ \{y_{1}, …, y_{n}\}. \end{matrix}

Also ist a_{1} = … = a_{n} = 0. Gleichzeitig wird V aber nicht von M erzeugt: Sei dazu A ⊂ [a, b] eine unendliche Menge und

1_{A} : [a, b] → ℝ, 1_{A}(x) = \{ \begin{matrix}1, & falls x ∈ A, \\ 0, & falls x ∉ A, \end{matrix}

die charakteristische Funktion der Menge A. Diese Funktion ist nicht (endliche!)

Linearkombination der Elemente von M. Durch Hinzunahme dieser Funktion erhält man mit M ∪ {1_{A}} eine weitere linear unabhängige Menge in V. Der Vektorraum der reellen Funktionen ist also ”höherdimensional“ (in dem vor Beispiel 4.1.3angedeuteten Sinne) als der Vektorraum der reellen Polynome. In Verallgemeinerung zu Satz 4.1.2 gilt auch in dieser Situation der Basisergänzungssatz: es existiert eine Basis von V, die die Menge M enthält (ebenfalls ohne Beweis). So erhält man die Existenz einer überabzählbaren Basis von V.

4.2 Direkte Summen

Mit V, V_{1}, V_{2}, …, W, W_{1}, W_{2}, … werden reelle Vektorräume bezeichnet.

Zuammensetzen

Vermutlich haben die einleitenden Bemerkungen zu Beginn dieses Kapitels schon den Gedanken nahegelegt, die Elemente der jeweiligen Vektorräume als ℓ-tupel zu einem Element der ”direkten Summe“ zusammenzufügen.

4.2.1 Definition Es heißt V := V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ} := ⊕_{i=1}^{ℓ}V_{i} := {(x_{1}, …, x_{ℓ}) : x_{i} ∈ V_{i} für i = 1, …, ℓ} die direkte Summe von V_{1}, …, V_{ℓ}. Auf V wird durch

(x_{1}, …, x_{ℓ}) + (y_{1}, …, y_{ℓ}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{ℓ} + y_{ℓ})

eine Addition und durch

c · (x_{1}, …, x_{ℓ}) := (c · x_{1}, …, c · x_{ℓ})

eine Skalarmultiplikation erklärt. Zwei Elemente (x_{1}, …, x_{ℓ}), (y_{1}, …, y_{ℓ}) ∈ V sind gleich, wenn x_{i} = y_{i} für alle i = 1, …, ℓ gilt.

Die Definition von V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ} entspricht der Definition von ℝ^{ℓ} in Kapitel 1. Ganz analog wie dort zeigt man, daß V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ} ein Vektorraum ist. Das Nullelement ist durch

0_{V_{1}⊕...⊕V_{ℓ}} = (0_{V_{1}}, …, 0_{V_{ℓ}})

und das zu (x_{1}, …, x_{ℓ}) ∈ ⊕_{i=1}^{ℓ}V_{i} negative Element durch

−(x_{1}, …, x_{ℓ}) = (−x_{1}, …, −x_{ℓ})

gegeben. Offensichtlich gilt

ℝ^{ℓ} = \underbrace{ℝ ⊕ … ⊕ ℝ}_{ℓ-mal}  und  ℝ^{ℓ+n} = ℝ^{ℓ} ⊕ ℝ^{n}.

Die Konstruktion der kanonischen Basis in ℝ^{ℓ} gibt die Idee, wie man aus Basen der (nun als endlichdimensional angenommenen) Vektorräume V_{1}, …, V_{ℓ} zu einer Basis der direkten Summe gelangt.

4.2.2 Satz Es seien {x_{i}^{(1)}, …, x_{i}^{(n_{i})}} ⊂ V_{i} Basen von V_{i}, n_{i} ∈ ℕ, i = 1, …, ℓ. Dann ist

M := \{(0, … \underbrace{, x_{i}^{(j)},}_{i-te Stelle}…, 0) : j = 1, …, n_{i}, i = 1, …, ℓ\}

= {(x_{1}^{(1)}, 0, …, 0) , …, (x_{1}^{(n_{1})}, …, 0) , …,
(0, …, 0, x_{ℓ}^{(1)}) , …, (0, …, 0, x_{ℓ}^{(n_{ℓ})})}

eine Basis von V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ}. Insbesondere hat V die Dimension

dim(V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ}) = n_{1} + … + n_{ℓ}.

{Beweis \atop (1)} Die Elemente von M sind linear unabhängig: Sei nämlich das Nullelement der direkten Summe eine Linearkombination aus Elementen von M:

∑_{i=1}^{ℓ} ∑_{j=1}^{n_{i}} a_{i}^{(j)} (0, …, x_{i}^{(j)}, …, 0) = ∑_{i=1}^{ℓ} (0, …, ∑_{j=1}^{n_{i}} a_{i}^{(j)}x_{i}^{(j)}, …, 0)
= (0, …, 0) = 0_{V}

mit a_{i}^{(j)} ∈ ℝ. Die Betrachtung der i-ten Komponente liefert

∑_{j=1}^{n_{i}} a_{i}^{(j)}x_{i}^{(j)} = 0 ∈ V_{i}, i = 1, …, ℓ.

Aus der linearen Unabhängigkeit von x_{i}^{(1)}, …, x_{i}^{(n_{i})} in V_{i} folgt schließlich

a_{i}^{(1)} = … = a_{i}^{(n_{i})} = 0, i = 1, …, ℓ.

(2) Die Elemente von M erzeugen V: Sei nämlich ein beliebiges Element der direkten Summe (x_{1}, …, x_{ℓ}) ∈ V gegeben. Da V_{i} von x_{i}^{(1)}, …, x_{i}^{(n_{i})} erzeugt wird, gibt es reelle Zahlen a_{i}^{(1)}, …, a_{i}^{(n_{i})} mit

x_{i} = ∑_{j=1}^{n_{i}} a_{i}^{(j)}x_{i}^{(j)}, i = 1, …, ℓ.

Es folgt die Darstellbarkeit mittels der Elemente aus M:

(x_{1}, …, x_{ℓ}) = ∑_{i=1}^{ℓ} ∑_{j=1}^{n_{i}} a_{i}^{(j)} (0, …, x_{i}^{(j)}, …, 0) .

Die Dimension von V ergibt sich nun als die Länge der Basis M, vgl. Satz 3.3.15. □

Auch lineare Abbildungen von den direkten Summanden in einen gemeinsamen Wertevorrat lassen sich zu einer auf der direkten Summe definierten linearen Abbildung zusammenfügen:

4.2.3 Definition Seien F_{i} : V_{i} → W (i = 1, …, ℓ) lineare Abbildungen, es sei V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{ℓ}. Die Abbildung F : V → W, F (x_{1}, …, x_{ℓ}) := F_{1}(x_{1}) + … + F_{ℓ}(x_{ℓ}) heißt von F_{1}, …, F_{ℓ} erzeugte lineare Abbildung oder direkte Summe von F_{1}, …, F_{ℓ}. Man schreibt F =: F_{1} ⊕ … ⊕ F_{ℓ} =: ⊕_{i=1}^{ℓ}F_{i}.

4.2.4 Bemerkung Auf Grund der Linearität der einzelnen Abbildungen F_{i} ist F tatsächlich linear, denn für c ∈ ℝ, (x_{1}, …, x_{ℓ}), (y_{1}, …, y_{ℓ}) ∈ V gilt:

F ((x_{1}, …, x_{ℓ}) + (y_{1}, …, y_{ℓ})) = F (x_{1} + y_{1}, …, x_{ℓ} + y_{ℓ})

= ∑_{i=1}^{ℓ} F_{i}(x_{i} + y_{i}) = ∑_{i=1}^{ℓ} (F_{i}(x_{i}) + F_{i}(y_{i}))

= ∑_{i=1}^{ℓ} F_{i}(x_{i}) + ∑_{i=1}^{ℓ} F_{i}(y_{i}) = F (x_{1}, …, x_{ℓ}) + F (y_{1}, …, y_{ℓ});

F (c · (x_{1}, …, x_{ℓ})) = F (c · x_{1}, …, c · x_{ℓ}) = ∑_{i=1}^{ℓ} F_{i}(c · x_{i})

= ∑_{i=1}^{ℓ} c · F_{i}(x_{i}) = c · (∑_{i=1}^{ℓ} F_{i}(x_{i})) = c · F (x_{1}, …, x_{ℓ}).
□

Seien nun speziell F_{i} : ℝ^{n_{i}} → ℝ^{m}, i = 1, …, ℓ, lineare Abbildungen mit zugehörigen m × n_{i}-Matrizen A_{i}. Im Rahmen des Matrizenkalküls schreiben wir für die Elemente der direkten Summe ⊕_{i=1}^{ℓ}ℝ^{n_{i}} alle ”Komponenten“ aus ℝ^{n_{i}} untereinander, d. h. in eine Spalte der Länge ∑_{i=1}^{ℓ} n_{i}. Dann gehört zu der direkten Summe F = ⊕_{i=1}^{ℓ}F_{i} die m × (∑_{i=1}^{ℓ} n_{i})-Matrix

A := (A_{1}, …, A_{ℓ}),

diese nennt man auch die direkte Summe der Matrizen A_{1}, …, A_{ℓ}. In dem Fall, daß bei den linearen Abbildungen F_{i} : V_{i} → W_{i}, i = 1, …, ℓ die Wertevorräte nicht notwendig übereinstimmen, lassen sich diese in ganz ähnlicher Weise zu einer Abbildung zwischen den entsprechenden direkten Summen der Vektorräume zusammensetzen:

F̂ : ⊕_{i=1}^{ℓ}V_{i} → ⊕_{i=1}^{ℓ}W_{i}, F̂(x_{1}, …, x_{ℓ}) := (F_{1}(x_{1}), …, F_{ℓ}(x_{ℓ})) .

Sind speziell V_{i} = ℝ^{n_{i}}, W_{i} = ℝ^{m_{i}}, i = 1, …, ℓ und A_{i} die zu F_{i} gehörigen m_{i} × n_{i}- Matrizen, so gehört zu F̂ die (∑_{i=1}^{ℓ} m_{i}) × (∑_{i=1}^{ℓ} n_{i})-Matrix

Â = ( \begin{matrix}A_{1} & O & … & O \\ O & A_{2} & … & O \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ O & O & … & A_{ℓ} \end{matrix} ) .

Zerlegen

Wir kehren nun unseren Standpunkt um: Gegeben sei ein Vektorraum W, der auf ”geeignete“ Weise als direkte Summe zweier – oder, was bis auf eine Iteration auf dasselbe hinausläuft, endlich vieler – Untervektorräume V_{1}, V_{2} dargestellt werden soll. Dabei wird noch zu erklären sein, unter welchen Umständen man V_{1} ⊕ V_{2} als Untervektorraum von W selbst auffassen kann. Da die Darstellung von Elementen x ∈ V_{1} ⊕ V_{2} mittels ihrer Komponenten x_{i} ∈ V_{i}, x = (x_{1}, x_{2}), eindeutig ist, läßt sich die Darstellung als direkte Summe W = V_{1} ⊕ V_{2} als Weiterentwicklung bzw. als eine (im jeweiligen Kontext erwünschte) Vergröberung des Basisbegriffs ansehen, vgl. Satz 4.2.7. Gerade bei unendlichdimensionalen Vektorräumen, für die man häufig keine Basis explizit angeben kann (dazu vgl. den vorhergehenden Abschnitt 4.1), kommt solchen Zerlegungen eine große Bedeutung zu. Häufig ist neben W bereits ein Untervektorraum V_{1} gegeben, und es wird ein geeignetes ”Komplement“ V_{2} mit W = V_{1} ⊕ V_{2} gesucht. So waren wir z. B. beim Beweis der Dimensionsformel in endlichdimensionalen Vektorräumen vorgegangen, wo wir V_{1} als Kern einer linearen Abbildung F gewählt haben und dazu ein Komplement konstruiert haben, auf dem (die Einschränkung von) F injektiv geworden ist.

4.2.5 Satz Seien V_{1}, V_{2} Untervektorräume von W mit V_{1} ∩ V_{2} = {0}. Wir betrachten die kanonischen Injektionsabbildungen F_{i} : V_{i} → W, F_{i}(x) = x. Dann ist F := F_{1}⊕F_{2} : V_{1} ⊕ V_{2} → W, F (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2} injektiv.

Beweis Weil F linear ist, reicht es zu zeigen: ker(F) = {0_{V_{1}⊕V_{2}}} = {(0, 0)}. Sei also (x_{1}, x_{2}) ∈ ker(F) ⊂ V_{1} ⊕ V_{2}. Es ist 0 = F (x_{1} + x_{2}) = F_{1}(x_{1}) + F_{2}(x_{2}) = x_{1} + x_{2}. Folglich ist x_{1} = −x_{2} ∈ V_{1} ∩ V_{2} = {0}, d. h. (x_{1}, x_{2}) = (0, 0). □

Unter der Voraussetzung V_{1} ∩ V_{2} = {0} können wir also V_{1} ⊕ V_{2} und das Bild unter der kanonischen Abbildung F : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + x_{2} identifizieren und somit V_{1} ⊕ V_{2} als Untervektorraum von W auffassen. Ist diese Abbildung F zusätzlich surjektiv, so erhält man einen kanonischen Isomorphismus V_{1} ⊕ V_{2} ↔ W und V_{1} ⊕ V_{2} und W werden identifiziert. Dieses fassen wir in der folgenden Definition zusammen:

4.2.6 Definition Seien V_{1}, V_{2} Untervektorräume von W mit V_{1} ∩ V_{2} = {0}. Die kanonische Abbildung F : V_{1} ⊕ V_{2} → W, F (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2} sei surjektiv. Dann heißt W direkte Summe von V_{1} und V_{2}, und man schreibt W = V_{1} ⊕ V_{2}.

4.2.7 Satz Es sei W = V_{1} ⊕ V_{2}. Zu jedem x ∈ V existieren eindeutig bestimmte Vektoren x_{1} ∈ V_{1}, x_{2} ∈ V_{2} mit x = x_{1} + x_{2}.

Beweis Sei x ∈ W beliebig. Da F bijektiv ist, existiert genau ein Paar (x_{1}, x_{2}) ∈ V_{1} ⊕ V_{2} mit x = F (x_{1}, x_{2}) = F_{1}(x_{1}) + F_{2}(x_{2}) = x_{1} + x_{2}. □

4.2.8 Beispiele (a) Seien V_{1} = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{2} = a_{3} = 0} und V_{2} = {a⃗ : a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} = 0}.

Dann ist ganz offensichtlich V_{1} ∩ V_{2} = \left\{{ \atop 0}\right\}. Zu beliebigem x⃗ ∈ ℝ^{3} bestimmt man ferner a⃗_{1} = (x_{1}+2x_{2}+3x_{3}, 0, 0) ∈ V_{1} und a⃗_{2} = (−2x_{2}−3x_{3}, x_{2}, x_{3}) ∈ V_{2} mit x⃗ = a⃗_{1} + a⃗_{2} = F (a⃗_{1}, a⃗_{2}). Also ist ℝ^{3} = V_{1} ⊕ V_{2}.

(b) Sei V = {f : [−1, 1] → ℝ} der Vektorraum aller reellen Funktionen auf dem Intervall [−1, 1], vgl. Beispiel 4.1.4. Wir betrachten die Untervektorräume

V_{1} = {f ∈ V : für alle x ist f(x) = f(−x)}

der geraden und

V_{2} = {f ∈ V : für alle x ist f(x) = −f(−x)}

der ungeraden Funktionen.

Ist f ∈ V_{1} ∩ V_{2}, also gleichzeitig gerade und ungerade, so ist für alle x ∈ [−1, 1]: f(x) = f(−x) = −f(x), folglich f(x) = 0. Wir haben V_{1} ∩ V_{2} = {O}.

Eine beliebige Funktion f ∈ V läßt sich in einen geraden Anteil f_{1}(x) := \frac{1}{2}(f(x) + f(−x)) und einen ungeraden Anteil f_{2}(x) := \frac{1}{2}(f(x) − f(−x)) zerlegen: Es ist f = f_{1} + f_{2}, f_{i} ∈ V_{i}. Insgesamt folgt V = V_{1} ⊕ V_{2}.

Wir wenden uns nun der schon oben angeschnittenen Frage nach der Existenz von ”Komplementen“ zu: Gegeben sei ein Vektorraum W und ein Untervektorraum V_{1}, gesucht ist ein weiterer Untervektorraum V_{2} derart, daß W direkte Summe von V_{1} und V_{2} wird: W = V_{1} ⊕ V_{2}. Es liegt auf der Hand, daß bei der Lösung dieses Problems geeignete Basen hilfreich sein werden. Damit die folgenden Beweise elementar bleiben und wir auf das Zornsche Lemma als transzendentes Hilfsmittel verzichten können, beschränken wir uns im Folgenden auf endlichdimensionale Vektorräume. Die Resultate gelten jedoch entsprechend auch im Unendlichdimensionalen. Wir erinnern an den Basisergänzungssatz, den wir bereits beim Beweis der Dimensionsformel (s. Satz 3.4.4) gezeigt haben:

4.2.9 Satz (Basisergänzungssatz) Sei W ein endlichdimensionaler Vektorraum, dim W = n, und es seien linear unabhängige Vektoren x_{1}, …, x_{s} ∈ W gegeben. Dann existieren Vektoren x_{s+1}, …, x_{n} ∈ W derart, daß {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von W ist.

4.2.10 Satz (Existenz eines Komplements) Es sei W ein endlichdimensionaler Vektorraum und V_{1} ⊂ W ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Untervektorraum V_{2} ⊂ W derart, daß W = V_{1} ⊕ V_{2} gilt.

Beweis Da mit W auch V_{1} endlichdimensional ist, existiert nach Satz 1.3.17 eine Basis {x_{1}, …, x_{s}} von V_{1}. Diese werde gemäß Satz 4.2.9zu einer Basis {x_{1}, …, x_{s}, x_{s+1}, …, x_{n}} von W ergänzt. Wir setzen V_{2} := ℝ · (x_{s+1}, …, x_{n}) und zeigen zunächst V_{1} ∩ V_{2} = {0}: Sei dazu x ∈ V_{1} ∩ V_{2}. Wegen x ∈ V_{1} bzw. x ∈ V_{2} existieren a_{1}, …, a_{s} ∈ ℝ bzw. a_{s+1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = a_{1}x_{1} + … + a_{s}x_{s} = a_{s+1}x_{s+1} + … + a_{n}x_{n}. Also ist 0 = a_{1}x_{1} + … + a_{s}x_{s} − a_{s+1}x_{s+1} − … − a_{n}x_{n}. Die lineare Unabhängigkeit von x_{1}, …, x_{n} liefert a_{1} = … = a_{n} = 0 und damit x = 0. Umgekehrt gilt offensichtlich 0 ∈ V_{1} ∩ V_{2}. Sei nun F wie in Satz 4.2.5. Wir weisen die Gültigkeit von F (V_{1} ⊕ V_{2}) = W nach: Sei ein beliebiges x ∈ W gegeben, es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit x = a_{1}x_{1} +…+ a_{n}x_{n}. Setze y_{1} := a_{1}x_{1} + … + a_{s}x_{s} ∈ V_{1}, y_{2} := a_{s+1}x_{s+1} + … + a_{n}x_{n} ∈ V_{2}. Es ist x = y_{1} + y_{2} = F (y_{1}, y_{2}); also ist F surjektiv. □

Das folgende Beispiel zeigt, daß das Komplement V_{2} von V_{1} (außer im Fall V_{1} = W oder V_{1} = {0}) im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist:

4.2.11 Beispiel Wir kommen auf das Beispiel 4.2.8 (a) zurück. Seien W = ℝ^{3} und V_{1} = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{2} = a_{3} = 0}. Dann sind V_{2} = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} = 0} und auch V̂_{2} = {a⃗ ∈ ℝ^{3} : a_{1} = 0} Komplemente von V_{1} im Sinne des vorhergehenden Satzes: W = V_{1} ⊕ V_{2} = V_{1} ⊕ V̂_{2}.

Beim Verzicht auf die Voraussetzung V_{1} ∩ V_{2} = {0} können wir V_{1} ⊕ V_{2} zwar nicht mehr als Untervektorraum von W ansehen, es ergibt sich aber dennoch eine wichtige Begriffsbildung:

4.2.12 Definition Seien V_{1}, V_{2} Untervektorräume von W und F : V_{1} ⊕ V_{2} → W die durch F (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2} gegebene kanonische Abbildung. Dann heißt V_{1} + V_{2} := F (V_{1} ⊕ V_{2}) = {x = x_{1} + x_{2} : x_{1} ∈ V_{1}, x_{2} ∈ V_{2}} der von V_{1} und V_{2} aufgespannte Untervektorraum von W.

Weil F linear ist, ist V_{1} + V_{2} tatsächlich ein Untervektorraum. Im Gegensatz zur Situation von Satz 4.2.7 ist die Zerlegung der Elemente von V_{1} + V_{2} im allgemeinen nicht mehr eindeutig. Die Eindeutigkeit ist eine Folge der Bedingung V_{1} ∩ V_{2} = {0}. Diese Bildung V_{1}+V_{2} tritt an die Stelle der in der Vektorraumtheorie wenig sinnvollen Vereinigungsmenge, im allgemeinen ist nämlich V_{1} ∪ V_{2} kein Untervektorraum. Der kleinste Untervektorraum, der V_{1} ∪ V_{2} enthält, ist gerade der von V_{1} und V_{2} aufgespannte Untervektorraum V_{1} + V_{2}.

4.3 Linearformen und Dualräume

Auch hier bezeichnen V, V_{1}, V_{2}, … wieder stets reelle Vektorräume.

Duale Vektorräume

4.3.1 Definition (a) Eine Linearform ist eine lineare reelle Funktion L : V → ℝ.

(b) Es heißt V^{∗} := {L : V → ℝ : L ist Linearform} der zu V duale Vektorraum oder Dualraum von V.

4.3.2 Bemerkung Wir erinnern an den ersten Teil von Abschnitt 3.6. Danach erhält man für L_{1}, L_{2} ∈ V^{∗},

c ∈ ℝ durch (L_{1} + L_{2})(x) =^{def} L_{1}(x) + L_{2}(x), (c · L_{1})(x) =^{def} c · L_{1}(x) lineare reelle Funktionen V → ℝ, also Elemente des Dualraums: L_{1} + L_{2} ∈ V^{∗}, c · L_{1} ∈ V^{∗}, und V^{∗} ist tatsächlich ein Vektorraum. Das Nullelement von V^{∗} ist die Nullform O : V → ℝ, x ↦ 0. Das zu L ∈ V^{∗} negative Element ist durch (−L)(x) = −(L(x)) gegeben.

4.3.3 Beispiel Sei V der Vektorraum der reellen Polynome (siehe Beispiel 4.1.3) mit der kanonischen Basis {e_{0} = 1, e_{1} = z, …}. Daher ist V vermöge der Abbildung (a_{0}, …, a_{n}) ↦ ∑_{i=0}^{n} a_{i}z^{i} kanonisch isomorph zum Vektorraum aller endlichen reellen Folgen {(a_{0}, …, a_{n}) : n ∈ ℕ_{0}, a_{i} ∈ ℝ}. Um den Dualraum V^{∗} zu charakterisieren, erinnern wir an Satz 3.2.10, der entsprechend auch für unendlichdimensionale Vektorräume gilt. Demnach ist jede Linearform L ∈ V^{∗} durch die Werte a_{i} = L(e_{i}), i ∈ ℕ_{0}, eindeutig bestimmt. Also ist V^{∗} isomorph zum Vektorraum aller unendlichen reellen Folgen W := {(a_{i})_{i∈ℕ_{0}} : a_{i} ∈ ℝ} und damit wesentlich ”größer“ als V. Genauer gilt, daß V eine abzählbar unendliche Basis hat, daß aber jede Basis von W und damit von V^{∗} überabzählbar ist. Wir orientieren uns am Beweis der Überabzählbarkeit von ℝ und nehmen dazu an, es gäbe eine abzählbare Basis

{(b_{i}^{(j)})_{i∈ℕ_{0}} : j ∈ ℕ_{0}}

von W. Zunächst wählen wir Zahlen (ν_{k})_{k∈ℕ_{0}} , ν_{k} < ν_{k+1}, so daß für k ∈ ℕ die Betrachtung der ersten ν_{k−1} + 1 Komponenten bereits die lineare Unabhängigkeit der ersten k Basiselemente zeigt:

dim (ℝ · ((b_{0}^{(j)}, …, b_{ν_{k−1}}^{(j)}) , j = 0, …, k − 1)) = k.

Es ist ν_{k} ≥ k. Wir begründen am Ende dieses Beweises, daß man derartige Indizes ν_{k} tatsächlich finden kann. Wir konstruieren induktiv die Glieder einer Folge (c_{i})_{i∈ℕ_{0}} ∈ W, die nicht Linearkombination der Basiselemente ist und erhalten so einen Widerspruch. Im ersten Schritt wählen wir c_{0}, …, c_{ν_{1}} und im k-ten (k ≥ 2) Schritt c_{ν_{k−1}+1}, …, c_{ν_{k}}, so daß für alle k ∈ ℕ gilt:

(c_{0}, …, c_{ν_{k}}) ∉ ℝ · ((b_{0}^{(j)}, …, b_{ν_{k}}^{(j)}) , j = 0, …, k − 1) .  (∗)

Die Wahl von c_{0}, c_{1}, …, c_{ν_{1}} ist trivial, da man mit mindestens zwei freien Parametern lediglich einen eindimensionalen Raum meiden muß. Seien also bereits (c_{0}, …, c_{ν_{k}}) gemäß (∗) gewählt. Wir nehmen nun (b_{i}^{(k)})_{i∈ℕ_{0}} als Erzeuger hinzu. Gilt auch

(c_{0}, …, c_{ν_{k}}) ∉ ℝ · ((b_{0}^{(j)}, …, b_{ν_{k}}^{(j)}) , j = 0, …, k − 1, k) ,

so können wir c_{ν_{k}+1}, …, c_{ν_{k+1}} beliebig wählen. Ist dagegen

(c_{0}, …, c_{ν_{k}}) ∈ ℝ · ((b_{0}^{(j)}, …, b_{ν_{k}}^{(j)}) , j = 0, …, k − 1, k) ,

so existieren eindeutig bestimmte a_{0}, …, a_{k} ∈ ℝ mit

c_{i} = ∑_{j=0}^{k} a_{j}b_{i}^{(j)}, i = 0, …, ν_{k}.

Hier benutzen wir, daß schon die ersten ν_{k} + 1 Komponenten die lineare Unabhängigkeit der ersten (k + 1)-Basisvektoren zeigen. In diesem Fall wählen wir

c_{ν_{k}+1} ≠ ∑_{j=0}^{k} a_{j}b_{ν_{k}+1}^{(j)}

und ggfs. c_{ν_{k}+2}, …, c_{ν_{k+1}} beliebig. In jedem Fall ist dann (∗) erfüllt, wobei k durch k + 1 ersetzt ist. Für jedes k ∈ ℕ ergibt sich damit

(c_{i})_{i∈ℕ_{0}} ∉ ℝ · ((b_{i}^{(j)})_{i∈ℕ_{0}} , j = 0, …, k − 1)

allein schon aus der Betrachtung der ersten (ν_{k} + 1) Folgenglieder. Wir haben also ein Element von W gefunden, das nicht als Linearkombination der Elemente einer als abzählbar angenommenen Basis dargestellt werden kann. Wäre nämlich (c_{i})_{i∈ℕ_{0}} (endliche!) Linearkombination der Elemente (b_{i}^{(j)})_{i∈ℕ_{0}} , j ∈ ℕ_{0}, so wäre (c_{i})_{i∈ℕ_{0}}

für eine hinreichend große Zahl k auch Linearkombination der Elemente (b_{i}^{(j)})_{i∈ℕ_{0}} ,

j = 0, …, k − 1. Dieser Widerspruch zeigt die Überabzählbarkeit jeder Basis von W und damit von V^{∗}. Wir haben noch die Existenz geeigneter Zahlen ν_{k} zu zeigen, und nehmen dazu bei festgehaltenem k an, daß

(b_{0}^{(j)}, …, b_{ν}^{(j)}) , j = 0, …, k − 1,

für jedes ν ∈ ℕ linear abhängig sind. Dann existieren also Zahlen a_{j}^{(ν)}, j =

0, …, k − 1, die wir durch max_{j=0,...,k−1} |a_{j}^{(ν)}| = 1 normiert annehmen können,

so daß für i ≤ ν gilt: ∑_{j=0}^{k−1} a_{j}^{(ν)}b_{i}^{(j)} = 0. Indem man für die k Folgen (a_{j}^{(ν)})_{ν∈ℕ} gemäß dem Satz von Bolzano-Weierstraß sukzessive k-mal Teilfolgen auswählt, kann man simultan Konvergenz erreichen: lim_{ℓ→∞} a_{j}^{(ν_{ℓ})} = a_{j} für eine geeignete Teilfolge

ν_{ℓ}. Für wenigstens ein j gilt unendlich oft |a_{j}^{(ν_{ℓ})}| = 1, also sind nicht alle a_{j} = 0.

Wir erhalten ∑_{j=0}^{k−1} a_{j}b_{i}^{(j)} = 0 für alle i und damit einen Widerspruch zur linearen

Unabhängigkeit von (b_{i}^{(j)})_{i∈ℕ_{0}} , j = 0, …, k − 1. □

Direkte Summen in Dualräumen

Am Ende von Abschnitt 4.2 hatten wir ausführlich die Zerlegung von Vektorräumen in direkte Summen V = V_{1} ⊕ V_{2} diskutiert. Wir zeigen nun, daß sich die Existenz derartiger Zerlegungen unmittelbar in entsprechenden Zerlegungen des Dualraums V^{∗} niederschlägt.

4.3.4 Satz Es seien V_{1}, V_{2} Untervektorräume von V mit V = V_{1} ⊕ V_{2}. Dann gilt V^{∗} = V_{1}^{∗} ⊕ V_{2}^{∗}.

Beweis Zunächst ist zu klären, in welchem Sinne V_{i}^{∗}, i = 1, 2, als Untervektorräume von V^{∗} aufgefaßt werden können. Es wird V_{1}^{∗} behandelt, für V_{2}^{∗} gilt Entsprechendes. Wir betrachten den Untervektorraum

W := {L ∈ V^{∗} : L(x_{2}) = 0 für alle x_{2} ∈ V_{2}}

und die lineare Abbildung G : W → V_{1}^{∗}, L ↦ L|V_{1}. Dabei ist L|V_{1} die Einschränkung von L auf V_{1}. Diese Abbildung ist injektiv, denn für L ∈ W folgt aus L|V_{1} = O, daß für alle x ∈ V, x = x_{1} + x_{2} mit x_{i} ∈ V_{i}, gilt:

L(x) = L(x_{1}) + L(x_{2}) = 0 + 0 = 0.

Folglich ist L = O. Außerdem ist G auch surjektiv, denn jedes L ∈ V_{1}^{∗} kann zu einem L̂ ∈ W mit G(L̂) = L fortgesetzt werden: Jedes x ∈ V gestattet eine eindeutige Zerlegung x = x_{1} + x_{2}, x_{i} ∈ V_{i} (siehe Satz 4.2.7). Wir setzen L̂(x) = L(x_{1}), L̂ ist wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung wohldefiniert. Es ist L̂ ∈ V^{∗}, L̂|V_{2} = 0 und damit L̂ ∈ W. Weiter ist G(L̂) = L̂|V_{1} = L. Also sind V_{1}^{∗} und W kanonisch isomorph und werden identifiziert. Die Gültigkeit von V_{1}^{∗} ∩ V_{2}^{∗} = {O} läßt sich nun leicht einsehen: Ist L ∈ V_{1}^{∗} ∩ V_{2}^{∗} und damit sowohl L|V_{2} = O als auch L|V_{1} = O, so ergibt sich für alle x ∈ V:

x = x_{1} + x_{2}, x_{i} ∈ V_{i} ⇒ L(x) = L(x_{1}) + L(x_{2}) = 0 + 0 = 0.

Zu jedem L ∈ V^{∗} existieren schließlich L_{1} ∈ V_{1}^{∗}, L_{2} ∈ V_{2}^{∗} mit L = L_{1} + L_{2}: Jedes x ∈ V gestattet nämlich eine eindeutige Zerlegung x = x_{1} + x_{2}, x_{i} ∈ V_{i}. Durch die Setzung L_{1}(x) := L(x_{1}), L_{2}(x) := L(x_{2}) erhalten wir das Gewünschte. □

Duale Abbildungen

Wir betrachten nun auch lineare Abbildungen F : V_{1} → V_{2} und wollen untersuchen, ob diese auf kanonische Weise Abbildungen zwischen den Dualräumen V_{1}^{∗} und V_{2}^{∗} erzeugen (”induzieren“): Das Diagramm

[figure: V_{1}; V_{2}; ℝ; F; L_{2}; F^{∗}(L_{2}) := L_{1} := L_{2} ∘ F; Duale Abbildung]

zeigt, daß mit Hilfe der linearen Abbildung F jede Linearform L_{2} ∈ V_{2}^{∗} zu einer Linearform L_{1} ∈ V_{1}^{∗} zusammengesetzt werden kann.

4.3.5 Definition Sei F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann heißt

F^{∗} : V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗}, F^{∗}(L_{2}) := L_{2} ∘ F (L_{2} ∈ V_{2}^{∗}),

die zu F duale Abbildung.

Die duale Abbildung F^{∗} wirkt in ”umgekehrter Richtung“ wie F, sie ”holt Linearformen auf V_{2} nach V_{1} zurück“. Im Spezialfall V_{1} = ℝ^{n}, V_{2} = ℝ^{m} steht diese Definition der dualen Abbildung neben Definition 3.4.7. Deren Übereinstimmung zeigen wir unten in Satz 4.4.3.

4.3.6 Satz Sei F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung. Dann ist die duale Abbildung F^{∗} : V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗} ebenfalls linear.

4.3 Linearformen und Dualräume 133 Beweis Seien L_{2}, L̂_{2} ∈ V_{2}^{∗}, c ∈ ℝ gegeben. Wir gehen ganz analog wie beim Beweis der Sätze 3.6.18und 3.6.19vor. Für alle x ∈ V_{1} gilt:

F^{∗} (L_{2} + L̂_{2}) (x) = ((L_{2} + L̂_{2}) ∘ F ) (x) = (L_{2} + L̂_{2}) (F (x))
= L_{2} (F (x)) + L̂_{2} (F (x)) = L_{2} ∘ F (x) + L̂_{2} ∘ F (x)
= (L_{2} ∘ F + L̂_{2} ∘ F ) (x) = (F^{∗}(L_{2}) + F^{∗} \binom{}{L̂_{2}}) (x)

und

F^{∗} (c · L_{2}) (x) = ((c · L_{2}) ∘ F) (x) = (c · L_{2}) (F (x)) = c · L_{2} (F (x))
= c · ((L_{2} ∘ F) (x)) = (c · (L_{2} ∘ F)) (x) = (c · F^{∗} (L_{2})) (x) .

Also gilt

F^{∗} (L_{2} + L̂_{2}) = F^{∗}(L_{2}) + F^{∗} \binom{}{L̂_{2}}

und

F^{∗} (c · L_{2}) = c · F^{∗} (L_{2}) .  □

{4.3.7 Satz \atop (a)} (id_{V})^{∗} = id_{V^{∗}}.

(b) Es seien F_{1} : V_{1} → V_{2}, F_{2} : V_{2} → V_{3} lineare Abbildungen. Dann gilt für

(F_{2} ∘ F_{1})^{∗} : V_{3}^{∗} → V_{1}^{∗}:

(F_{2} ∘ F_{1})^{∗} = F_{1}^{∗} ∘ F_{2}^{∗}.  (Transitives Gesetz)

(c) Ist F : V_{1} → V_{2} bijektiv, so ist auch F^{∗} : V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗} bijektiv, und es gilt: (F^{∗})^{−1} = (F^{−1})^{∗} .

{Beweis \atop (a)} Für L ∈ V^{∗} gilt L ∘ id = L.

(b) Auf Grund der Definition der dualen Abbildung gilt für alle L ∈ V_{3}^{∗}:

(F_{2} ∘ F_{1})^{∗}(L) = L ∘ (F_{2} ∘ F_{1}) = (L ∘ F_{2}) ∘ F_{1} = F_{2}^{∗}(L) ∘ F_{1}
= F_{1}^{∗}(F_{2}^{∗}(L)) = (F_{1}^{∗} ∘ F_{2}^{∗}) (L).

[figure: ℝ; V_{1}; F_{1}; F_{2}; L; V_{2}; V_{3}; F_{2}^{∗}(L); F_{1}^{∗}(F_{2}^{∗}(L)); Transitives Gesetz]

(c) Gemäß (a) und (b) ist

id_{V_{2}^{∗}} = (id_{V_{2}})^{∗} = (F ∘ F^{−1})^{∗} = (F^{−1})^{∗} ∘ F^{∗}

und

id_{V_{1}^{∗}} = (id_{V_{1}})^{∗} = (F^{−1} ∘ F )^{∗} = F^{∗} ∘ (F^{−1})^{∗} ,

woraus sich zusammen die Behauptung ergibt. □

Der Bidualraum

Das Verfahren der Dualraumbildung läßt sich iterieren.

4.3.8 Definition Der Dualraum des Dualraums V^{∗∗} := (V^{∗})^{∗} heißt Bidualraum des Vektorraums V.

Diese Begriffsbildung mag zunächst sehr abstrakt und willkürlich erscheinen. Der nächste Satz wird allerdings zeigen, daß jeder Vektorraum auf kanonische Weise als Untervektorraum seines Bidualraums aufgefaßt werden kann. Ist diese kanonische Injektion auch surjektiv, so kann man V = V^{∗∗} identifizieren: V ist dann ebenso Dualraum von V^{∗} wie umgekehrt, die Dualraumbildung verliert ihre ursprüngliche Asymmetrie. Um wieviel der Bidualraum größer ist als der Vektorraum selbst (bzw. sein Bild unter der kanonischen Injektion) und man damit von dem symmetrischen Idealbild entfernt ist, ist ein Maß für die ”Kompliziertheit“ des Vektorraums V. Im nächsten Abschnitt werden sich die endlichdimensionalen Vektorräume als die in diesem Sinne idealen Vektorräume herausstellen. Entsprechende Überlegungen, dann unter Einbeziehung von Norm und Stetigkeit, sind z. B. in der Funktionalanalysis von zentraler Wichtigkeit.

4.3.9 Satz und Definition Durch Φ(x)(L) := L(x), x ∈ V, L ∈ V^{∗} wird eine injektive lineare Abbildung Φ : V ↪ V^{∗∗}, die kanonische Injektion erklärt.

{Beweis \atop (a)} Wir zeigen zunächst, daß Φ in V^{∗∗} abbildet, daß also Φ(x) für beliebiges x ∈ V eine Linearform auf V^{∗} ist. Tatsächlich gilt für L_{1}, L_{2} ∈ V^{∗}, c ∈ ℝ auf Grund der Definition der Summe und der Skalarmultiplikation von Abbildungen:

Φ(x)(L_{1} + L_{2}) = (L_{1} + L_{2})(x) = L_{1}(x) + L_{2}(x) = Φ(x)(L_{1}) + Φ(x)(L_{2});

Φ(x)(c · L_{1}) = (c · L_{1})(x) = c · L_{1}(x) = c · Φ(x)(L_{1}).

(b) Wir zeigen nun die Linearität der Abbildung Φ, daß also für alle x, y ∈ V, c ∈ ℝ

gilt:

Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), Φ(c · x) = c · Φ(x).

Die Gültigkeit dieser Gleichungen wird für alle Argumente L ∈ V^{∗} gezeigt:

Φ(x + y)(L) =^{def} L(x + y) =^{L linear} L(x) + L(y)
=^{def} Φ(x)(L) + Φ(y)(L) =^{def} (Φ(x) + Φ(y))(L);
Φ(c · x)(L) =^{def} L(c · x) =^{L linear} c · L(x)
=^{def} c · (Φ(x)(L)) =^{def} (c · Φ(x))(L).

(c) Wegen der Linearität von Φ erhalten wir die Injektivität aus dem Nachweis von x ≠ 0 ⇒ x ∉ ker(Φ). Sei also x ∈ V \ {0}. Um Φ(x) ≠ O (Nullabbildung!) zu zeigen, konstruieren wir ein L ∈ V^{∗} mit 0 ≠ Φ(x)(L) = L(x). Der Basisergänzungssatz 4.2.9 gilt (ohne daß wir das hier beweisen) auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen. Wir ergänzen also hier das linear unabhängige Element x zu einer Basis M von V. Mit Hilfe dieser Basis können wir genauso wie in Satz 3.2.10 eine lineare reelle Funktion L : V → ℝ konstruieren, indem wir die Werte von L auf der Basis M vorgeben und die Funktion linear von M nach V fortsetzen. Also gibt es eine Linearform L ∈ V^{∗} mit L(x) = 1 und L(y) = 0 für y ∈ M \ {x}. Es folgt

Φ(x)(L) = L(x) = 1 ≠ 0.  □

Die Beweisteile sind sehr verschieden. Der Nachweis von Φ(V) ⊂ V^{∗∗} und der Linearität von Φ erfordert nur geschicktes Anwenden einiger Definitionen, kann also als ”leicht“ erachtet werden. Für den Nachweis der Injektivität muß dagegen ein tieferliegender Satz über die Existenz geeigneter Basen verwendet werden, der hier so nicht bewiesen wurde.

4.3.10 Beispiel Seien V, V^{∗} wie in Beispiel 4.3.3, V ist isomorph zum Vektorraum aller endlichen und V^{∗} isomorph zum Vektorraum aller unendlichen reellen Folgen. Außerdem haben wir gezeigt, daß V^{∗} eine überabzählbare Basis besitzt, also ist V^{∗∗} mit Hilfe ”überabzählbar langer Folgen“ zu beschreiben. In einem hier nicht weiter zu präzisierenden Sinne ist also V^{∗∗} noch einmal wesentlich ”größer“ als V^{∗} und damit insbesondere auch als V.

Im Falle endlichdimensionaler Vektorräume ist die Situation jedoch einfacher.

4.4 Dualräume endlichdimensionaler Vektorräume

Bei endlichdimensionalen Vektorräumen V wird es auf naheliegende Weise gelingen, aus einer Basis von V eine entsprechende Basis des Dualraums V^{∗} zu konstruieren. Daraus werden wir den auf dem Hintergrund der dieses Kapitel einleitenden Bemerkungen wohl nicht sonderlichüberraschenden Schluß ziehen, daß endlichdimensionale Vektorräume und ihre Dualräume und damit auch ihre Bidualräume isomorph sind. Als Folgerung werden wir den Matrizenkalkül auf die dualen Abbildungen ausdehnen können. In diesem Abschnitt bezeichnen V, V_{1}, V_{2}, … stets endlichdimensionale Vektorräume, für die Dimension von V schreiben wir dim V =: n < ∞.

Duale Basen

Wir erinnern an die Definition des Kroneckersymbols

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1, & falls i = j, \\ 0, & falls i ≠ j. \end{matrix}

4.4.1 Satz und Definition Es sei {x_{1}, …, x_{n}} ⊂ V eine Basis von V. Dann gibt es Linearformen x_{1}^{∗}, …, x_{n}^{∗} : V → ℝ mit

x_{i}^{∗}(x_{j}) = δ_{ij}, i, j = 1, …, n,

und {x_{1}^{∗}, …, x_{n}^{∗}} ist eine Basis von V^{∗}. Sie heißt die zu {x_{1}, …, x_{n}} duale Basis.

Beweis Gemäß Satz 3.2.10existieren derartige Linearformen, deren Werte auf einer Basis von V vorgegeben werden.

(1) Wir zeigen zunächst die lineare Unabhängigkeit. Ist a_{1}x_{1}^{∗} + … + a_{n}x_{n}^{∗} = O (Nullform!) mit a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ, so folgt für alle x ∈ V:

0 = O(x) = a_{1}x_{1}^{∗}(x) + … + a_{1}x_{1}^{∗}(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{∗}(x).

Wählt man spziell x = x_{j}, j = 1, …, n, so erhält man auf Grund der Definition der x_{i}^{∗}:

0 = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{∗}(x_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}δ_{ij} = a_{j}, also a_{1} = … = a_{n} = 0.

(2) Die Linearformen x_{1}^{∗}, …, x_{n}^{∗} erzeugen auch V^{∗}: Sei dazu L ∈ V^{∗} beliebig. Mit der Setzung a_{i} := L(x_{i}) ∈ ℝ, i = 1, …, n folgt auf Grund der Definition von Summe und skalaren Vielfachen von Linearformen für j = 1, …, n:

L(x_{j}) = a_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}δ_{ij} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{∗}(x_{j}) = (∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{∗}) (x_{j}).

Die Übereinstimmung beider Linearformen auf einer Basis von V ergibt:

L = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{∗}.  □

4.4.2 Folgerungen (a) dim V = dim V^{∗} = dim V^{∗∗} = n.

(b) Die kanonische Injektion Φ : V → V^{∗∗} ist sogar ein Isomorphismus, V und V^{∗∗} können identifiziert werden.

{Beweis \atop (a)} Klar wegen Satz 4.4.1und V^{∗∗} = (V^{∗})^{∗}.

(b) Die Surjektivität von Φ folgt unmittelbar aus der Dimensionsformel Satz 3.4.4. □

Wegen dim V = dim V^{∗} sind V und V^{∗} isomorph, im allgemeinen aber nicht kanonisch isomorph. Der durch Satz 4.4.1 nahegelegte Isomorphismus mit x_{i} ↦ x_{i}^{∗} hängt von der Wahl der Basis ab, ist also im allgemeinen nicht kanonisch. Nur wenn V mit einer kanonischen Basis {e_{1}, …, e_{n}} versehen ist (wie etwa der ℝ^{n}), so wird durch e_{i} ↦ e_{i}^{∗} ein kanonischer Isomorphismus gegeben, und man kann V = V^{∗} schreiben.

Duale Abbildungen in den Koordinaten

Um lineare Abbildungen H : V_{1} → V_{2} zwischen beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen dem Matrizenkalkül zugänglich zu machen, haben wir am Ende von Abschnitt 3.2 erläutert, wie man zu den Abbildungen in den Koordinaten gelangt. Sei dazu {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von V_{1} und {y_{1}, …, y_{m}} eine Basis von V_{2}, G_{1} : ℝ^{n} → V_{1} der durch G_{1}(e⃗_{i}) = x_{i} und G_{2} : ℝ^{m} → V_{2} der durch G_{2}(e⃗_{j}) = y_{j} gegebene Isomorphismus (Karte, mit Umkehrabbildung als Koordinatensystem). Dann ist F := G_{2}^{−1} ∘ H ∘ G_{1} die lineare Abbildung H in den Koordinaten.

[figure: ℝ^{n}; ℝ^{m}; V_{1}; V_{2}; F = H in den Koordinaten; H; G_{1}; G_{2}^{−1}]

Mit Hilfe von Satz 4.3.7 über die duale Abbildung von Kompositionen und Umkehrabbildungen erhält man daraus unmittelbar das dazu duale kommutative Diagramm:

[figure: (ℝ^{m})^{∗}; (ℝ^{n})^{∗}; V_{2}^{∗}; V_{1}^{∗}; F^{∗}; H^{∗}; (G_{2}^{∗})^{−1}; G_{1}^{∗}]

Wir wollen noch den Zusammenhang des dualen Koordinatensystems G_{1}^{∗} : V_{1}^{∗} → (ℝ^{n})^{∗} mit den dualen Basen {x_{1}^{∗}, …, x_{n}^{∗}} von V_{1}^{∗} und {e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗}} von (ℝ^{n})^{∗} ≅ ℝ^{n} studieren, für G_{2}^{∗} : V_{2}^{∗} → (ℝ^{m})^{∗} ≅ ℝ^{m} gilt Entsprechendes. Für i, j = 1, …, n ist

G_{1}^{∗}(x_{i}^{∗})(e⃗_{j}) = (x_{i}^{∗} ∘ G_{1})(e⃗_{j}) = x_{i}^{∗}(G_{1}(e⃗_{j})) = x_{i}^{∗}(x_{j}) = δ_{ij} = e_{i}^{∗}(e⃗_{j}),

also

G_{1}^{∗}(x_{i}^{∗}) = e_{i}^{∗}, i = 1, …, n; G_{1}^{∗}(y_{j}^{∗}) = e_{j}^{∗}, j = 1, …, m.

Bis auf die Umkehr der Richtung gehen also die dualen Koordinatensysteme G_{1}^{∗}, G_{2}^{∗} auf dieselbe Weise aus den dualen Basen hervor wie die ursprünglichen Koordinatensysteme aus den Basen der ursprünglichen Vektorräume. Wegen (ℝ^{m})^{∗} ≅ ℝ^{m}, (ℝ^{n})^{∗} ≅ ℝ^{n} ist also F^{∗} die duale Abbildung H^{∗} in den dualen Koordinaten. In diesem Sinne spezialisieren wir nun auf lineare Abbildungen F : ℝ^{n} → ℝ^{m} und deren duale Abbildungen F^{∗} : ℝ^{m} → ℝ^{n}.

Duale Abbildungen ℝ^{m} → ℝ^{n}

Wir betrachten ℝ^{n} bzw. (ℝ^{n})^{∗} mit der kanonischen Basis {e⃗_{1}, …, e⃗_{n}} bzw. {e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗}} und beschreiben die durch e⃗_{i} ↦ e_{i}^{∗}, i = 1, …, n, gegebenen kanonischen Isomorphismen G : ℝ^{n} → (ℝ^{n})^{∗} und G^{−1} : (ℝ^{n})^{∗} → ℝ^{n} explizit. Ist L ∈ (ℝ^{n})^{∗}, so gilt gemäß dem Beweis von Satz 4.4.1:

L = ∑_{i=1}^{n} b_{i}e_{i}^{∗} mit b_{i} = L \binom{}{e_{i}} , i = 1, …, n.

Also gilt

G : (b_{1}, …, b_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n} b_{i}e_{i}^{∗} und G^{−1} : L ↦ (L \binom{}{e_{1}} , …, L \binom{}{e_{n}}) .

Im Folgenden sind unter Linearformen auf ℝ^{n} immer n-tupel (b_{1}, …, b_{n}) zu verstehen. Die Anwendung von (b_{1}, …, b_{n}) auf ein Argument x⃗ ∈ ℝ^{n} ergibt:

(b_{1}, …, b_{n})(x⃗) =^{def} ∑_{i=1}^{n} b_{i}e_{i}^{∗}(x⃗) = ∑_{i,j=1}^{n} b_{i}x_{j}e_{i}^{∗}(e⃗_{j}) = ∑_{i=1}^{n} b_{i}x_{i}.

Sei nun F : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung, A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} die zugehörige m × n-Matrix. Wir wollen jetzt zeigen, daß zu der dualen Abbildung F^{∗} : ℝ^{m} → ℝ^{n} (im Sinne von Definition 4.3.5) die transponierte Matrix A^{t} gehört und sich so eine Übereinstimmung mit der bereits für den Spezialfall getroffenen Definition 3.4.7 ergibt.

Sei b⃗ = (b_{1}, …, b_{m}) ∈ ℝ^{m} = (ℝ^{m})^{∗} gegeben. Für die i-te Komponente (F^{∗}(b_{1}, …, b_{m}))_{i} von F^{∗}(b_{1}, …, b_{m}) ∈ ℝ^{n} gilt:

(F^{∗}(b_{1}, …, b_{m}))_{i} = F^{∗}(b_{1}, …, b_{m}) \binom{}{e_{i}} = (b_{1}, …, b_{m}) (F \binom{}{e_{i}})
= ∑_{j=1}^{m} b_{j} · F (e⃗_{i})_{j} = ∑_{j=1}^{m} b_{j} · a_{ji}.

Also ist

F^{∗} \binom{}{b} = (a_{ji})_{{i=1,...,n \atop j=1,...m}} ∘ b⃗ = A^{t} ∘ b⃗.

4.4.3 Satz Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung und A die zugehörige m × n-Matrix. Dann gehört zur (im Sinne von Definition 4.3.5) dualen Abbildung F^{∗} : ℝ^{m} → ℝ^{n} die transponierte n × m-Matrix A^{t}.

In Kapitel 7 werden wir den Abbildungen F besondere Aufmerksamkeit widmen, bei denen Urbildraum und Wertevorrat gleich sind und die mit ihrer dualen Abbildung F^{∗} übereinstimmen, die also durch symmetrische Matrizen gegeben werden.

4.4.4 Folgerungen (a) Sei A eine m × n-Matrix, B eine ℓ × m-Matrix. Dann gilt (B ∘ A)^{t} = A^{t} ∘ B^{t}.

(b) Stets gilt Rang (A) = Rang (A^{t}).

{Beweis \atop (a)} Sei F : ℝ^{n} → ℝ^{m} bzw. G : ℝ^{m} → ℝ^{ℓ} die zu A bzw. B gehörige lineare Abbildung. Dann gehört B ∘ A zu G ∘ F, (B ∘ A)^{t} zu (G ∘ F)^{∗}, A^{t} ∘ B^{t} zu F^{∗} ∘ G^{∗}. Die Behauptung folgt nun aus (G ∘ F)^{∗} = F^{∗} ∘ G^{∗}, siehe Satz 4.3.7.

(b) Siehe Satz 3.4.14. □

In Verallgemeinerung hiervon und von Folgerung 3.4.15erhält man durch Betrachtung von Koordinatensystemen:

4.4.5 Folgerung Es seien V_{1}, V_{2} endlichdimensionale Vektorräume, F : V_{1} → V_{2} eine lineare Abbildung und F^{∗} : V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗} die dazu duale Abbildung. Dann gilt:

rg(F) = rg(F^{∗}).

Für die in Abschnitt 3.6 eingeführte Matrizenaddition und Skalarmultiplikation haben wir schließlich:

4.4.6 Satz Seien m × n-Matrizen A, B und eine reelle Zahl a gegeben. Dann gilt (A + B)^{t} = A^{t} + B^{t}, (a · A)^{t} = a · A^{t}.

Beweis Der Beweis folgt sofort aus der Definition der transponierten Matrix. Entsprechendes gilt gemäß Satz 4.4.3 für die zugehörigen linearen Abbildungen, dabei beachte man: Gehört F : ℝ^{n} → ℝ^{m} zu A und G : ℝ^{n} → ℝ^{m} zu B, so gehört F + G zu A + B und a · F zu a · A. Es folgt:

(F + G)^{∗} = F^{∗} + G^{∗},  (a · F)^{∗} = a · F^{∗}.  □

Die Abbildung F ↦ F^{∗} ist also ebenfalls linear.

4.5 Weitere spezielle lineare Abbildungen

In diesem Abschnitt werden die Ausführungen von Kapitel 3.8 um solche Beispiele ergänzt, deren Behandlung intensiven Gebrauch transponierter Matrizen und der in Abschnitt 4.4 hergeleiteten Gesetze erfordert.

Die orthogonale Gruppe

Die Anschauung von Länge, Winkel und insbesondere Orthogonalität behandeln wir erst in Kapitel 6. Mit der Betrachtung der ”dualen Paare“ (ℝ^{n}, (ℝ^{n})^{∗}) ≅ (ℝ^{n}, ℝ^{n}) und vor allem der Auszeichnung der kanonischen Basen {e⃗_{1}, …, e⃗_{n}} bzw. {e⃗_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗}} haben wir implizit bereits einen abstrakten Orthogonalitätsbegriff eingeführt. Dazu vgl. man unten die Definition 4.5.5 des kanonischen Skalarprodukts und die Wirkung einer Linearform (b_{1}, …, b_{n}) ∈ (ℝ^{n})^{∗} ≅ ℝ^{n} auf einen Vektor x⃗ ∈ ℝ^{n}: (b_{1}, …, b_{n})(x⃗) = ∑_{i=1}^{n} b_{i}x_{i}. In abstrakten Situationen kann man häufig kein Skalarprodukt einführen. Dann ist tatsächlich oft die Betrachtung ”dualer Paare“ (V, V^{∗}) und ”dualer Paarungen“ ⟨x, L⟩ := L(x), (x ∈ V, L ∈ V^{∗}) ein hinreichender Ersatz für die fehlende Orthogonalität.

4.5.1 Definition Eine n × n-Matrix A heißt orthogonal, wenn A^{t} ∘ A = E gilt. Die Menge aller orthogonalen Matrizen O(n) := O(n, ℝ) := {A : A ist orthogonale n × n-Matrix} heißt orthogonale Gruppe vom Rang n über ℝ.

Letztere Bezeichnung ist gerechtfertigt durch:

4.5.2 Satz O(n, ℝ) ist eine Untergruppe von GL(n, ℝ).

Beweis Zunächst ist jedes A ∈ O(n, ℝ) nichtsingulär mit A^{−1} = A^{t}, dazu beachte man Satz 3.8.4. Folglich gilt O(n, ℝ) ⊂ GL(n, ℝ). Offensichtlich ist E ∈ O(n, ℝ) und deshalb ∅ ≠ O(n, ℝ). Die orthogonale Gruppe ist bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen, denn für A, B ∈ O(n, ℝ) gilt nach Folgerung 4.4.4:

(A ∘ B)^{t} ∘ (A ∘ B) = B^{t} ∘ (A^{t} ∘ A) ∘ B = B^{t} ∘ E ∘ B = B^{t} ∘ B = E.

Schließlich ist auch das Inverse jeder orthogonalen Matrix A wieder orthogonal. Denn für A^{−1} gilt wegen A^{−1} = A^{t}:

(A^{−1})^{t} ∘ A^{−1} = (A^{t})^{t} ∘ A^{t} = A ∘ A^{t} = A ∘ A^{−1} = E.  □

Die orthogonalen 2 × 2-Matrizen lassen sich auf elementare Weise explizit beschreiben:

4.5.3 Satz Sei

M_{1} := \{( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) : a, b ∈ ℝ, a^{2} + b^{2} = 1\}

und

M_{2} := \{( \begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix} ) : a, b ∈ ℝ, a^{2} + b^{2} = 1\} .

Dann gilt:

(a) O(2, ℝ) = M_{1} ∪ M_{2}.

(b) M_{1} ist eine Untergruppe von O(2, ℝ).

Wegen E ∉ M_{2} ist M_{2} dagegen keine Untergruppe von O(2, ℝ).

{Beweis \atop (a)} Für A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2×2} gilt A^{t} ∘ A = ( \begin{matrix}a^{2} + c^{2} & ab + cd \\ ab + cd & b^{2} + d^{2} \end{matrix} ). Also ist

A ∈ O(2, ℝ) genau dann, wenn die Orthogonalitätsbedingungen

a^{2} + c^{2} = 1,  (1)
b^{2} + d^{2} = 1,  (2)
ab + cd = 0  (3)

gelten.

Die Inklusion ”M_{1} ∪ M_{2} ⊂ O(2, ℝ)“ gilt dann ganz offensichtlich, und es bleibt der Nachweis von ”M_{1} ∪ M_{2} ⊃ O(2, ℝ)“. Dazu untersuchen wir für

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ O(2, ℝ) das nichtlineare Gleichungssytem (1)-(3).

1. Fall: a ≠ 0. Aus (3) folgt b = −\frac{cd}{a}. Einsetzen in (2) liefert unter Verwendung von (1):

1 = b^{2} + d^{2} = \frac{d^{2}(a^{2} + c^{2})}{a^{2}} = \frac{d^{2}}{a^{2}} .

Ist a = d, so folgt aus (3) c = −b und damit A = ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) und

a^{2} + b^{2} = a^{2} + c^{2} = 1, also A ∈ M_{1}. Ist hingegen a = −d, so gilt

b = c und folglich A = ( \begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix} ), also A ∈ M_{2}.

2. Fall: a = 0. Es folgt c^{2} = 1, c · d = 0, d. h. d = 0 und 1 = b^{2} + d^{2} = b^{2}. Also gilt c ∈ {−1, 1} und b ∈ {−1, 1}. Es gibt vier Möglichkeiten, diese Werte für b und c zu kombinieren:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{1}, ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{2}.

(b) Offenbar enthält M_{1} die Matrix E und mit A auch A^{−1} = A^{t}. Für A =

( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) ∈ M_{1}, A′ = ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ −b′ & a′ \end{matrix} ) ∈ M_{1} gilt

A ∘ A′ = ( \begin{matrix}aa′ − bb′ & ab′ + a′b \\ −ab′ − a′b & aa′ − bb′ \end{matrix} )  (∗)

und

(aa′ − bb′)^{2} + (ab′ + a′b)^{2}
= a^{2}a^{′2} − 2aa′bb′ + b^{2}b^{′2} + a^{2}b^{′2} + 2aa′bb′ + a^{′2}b^{2}
= a^{2}(a^{′2} + b^{′2}) + b^{2}(a^{′2} + b^{′2}) = a^{2} + b^{2} = 1,

also A ∘ A′ ∈ M_{1}. □

4.5.4 Bemerkungen (a) O(2, ℝ) ist nicht abelsch, denn es ist

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

An der Gleichung (∗) aus dem obigen Beweis erkennt man, daß dagegen die Untergruppe M_{1} von O(2, ℝ) abelsch ist.

(b) Die Elemente der Untergruppe M_{1} sind genau von der Form:

A = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) .  (+)

In Kapitel 6 werden wir sehen, daß diese Matrizen genau den Drehungen der anschaulichen Ebene entsprechen.

Beweis Matrizen von der Form (+) sind offenbar Elemente von M_{1}.

Sei umgekehrt A = ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) ∈ M_{1}, insbesondere gilt |a| ≤ 1. Also gibt es

ein α̃ ∈ ℝ mit cos α̃ = a; es folgt 1 = cos^{2} α̃ + b^{2}, also b^{2} = sin^{2} α̃. Im Fall b = − sin α̃ wählen wir α := α̃. Im Fall b = sin α̃ setzen wir α := −α̃ und erhalten wegen cos α = cos(−α), sin(−α) = − sin α die gewünschte Form (+) für A. □

(c) In Abschnitt 3.8 wurde erwähnt, daß durch C := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) eine Spiegelung

an der Winkelhalbierenden {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{1} = x_{2}} gegeben ist. Für

A = ( \begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix} ) ∈ M_{2} gilt C ∘ A = ( \begin{matrix}b & −a \\ a & b \end{matrix} ), also C ∘ A ∈ M_{1}. Wegen

C^{2} = E folgt A = C ∘ (C ∘ A) mit C ∘ A ∈ M_{1}. Jede Matrix aus M_{2} beschreibt also die Zusammensetzung einer Drehung und einer Spiegelung, also eine Drehspiegelung.

Zum Abschluß wollen wir die für den zweidimensionalen Fall formulierten ”Orthogonalitätsbedingungen“ aus dem Beweis von Satz 4.5.3 auf beliebige Dimensionen ausdehnen. Dazu definieren wir (ganz formal) das kanonische Skalarprodukt.

4.5.5 Definition Durch x⃗ · y⃗ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}, x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n}, wird das kanonische Skalarprodukt ℝ^{n} ⊕ ℝ^{n} → ℝ gegeben.

Da wir die Anschauung von Orthogonalität noch nicht besprochen haben, interpretieren wir das Skalarprodukt hier als Auswertung der Linearform x⃗ im Punkte y⃗.

4.5.6 Bemerkung Für jede orthogonale n × n-Matrix A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) hat man

E = A^{t} ∘ A = ( a_{1}^{t} ; ⋮ ; a_{n}^{t} ) ∘ (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = (a⃗_{i} · a⃗_{j})_{{i=1,...,n \atop j=1,...,n}} ,

das heißt, es gelten die Orthogonalitätsbedingungen

a⃗_{i} · a⃗_{j} = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1, & falls i = j, \\ 0, & falls i ≠ j. \end{matrix}

Die Spalten von A bilden ein sogenanntes ”Orthonormalsystem“. Entsprechendes gilt für die Zeilen, da A^{−1} = A^{t} auch eine orthogonale Matrix ist.

Die Lorentzgruppe

4.5.7 Definition Sei

H := ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

Dann heißt L := {A ∈ ℝ^{4×4} : A^{t} ∘ H ∘ A = H} Lorentzgruppe. Die linearen Abbildungen x⃗ ↦ A ∘ x⃗, A ∈ L, heißen Lorentztransformationen.

4.5.8 Satz Die Lorentzgruppe L ist eine Untergruppe von GL(4, ℝ).

Beweis Sicher ist E ∈ L, also ist L nichtleer.

Wir verwenden im Folgenden wiederholt H = H^{t} und H^{2} = E, d. h. H^{−1} = H. Für A ∈ L ist A^{t} ∘ H ∘ A = H und folglich

(H ∘ A^{t} ∘ H) ∘ A = H ∘ (A^{t} ∘ H ∘ A) = H ∘ H = E.

Somit ist A auf Grund von Satz 3.8.4nichtsingulär mit

A^{−1} = H ∘ A^{t} ∘ H.

Insbesondere ist die Lorentzgruppe Teilmenge von GL(4, ℝ). Diese ist auch bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen, denn für A, B ∈ L gilt (A ∘ B)^{t} ∘ H ∘ (A ∘ B) = B^{t} ∘ A^{t} ∘ H ∘ A ∘ B = B^{t} ∘ H ∘ B = H, das heißt A ∘ B ∈ L. Schließlich ist mit A ∈ L auch A^{−1} = H ∘ A^{t} ∘ H ∈ L, denn man hat

(A^{−1})^{t} ∘ H ∘ A^{−1} = (H ∘ A^{t} ∘ H)^{t} ∘ H ∘ (H ∘ A^{t} ∘ H)
= H ∘ A ∘ H ∘ H ∘ H ∘ A^{t} ∘ H = H ∘ A ∘ (H ∘ A^{t} ∘ H)
= H ∘ A ∘ A^{−1} = H.
□

Die Lorentzgruppe ist in der Relativitätstheorie von Bedeutung. Im physikalischen Raum sei ein ”ruhendes“ Bezugssystem (Inertialsystem) K gegeben. Jedem Punkt P des physikalischen Raums sind dann bezüglich K Koordinaten t, x_{1}, x_{2}, x_{3} zugeordnet, dabei ist t die Zeitkoordinate und x_{1}, x_{2}, x_{3} sind die Ortskoordinaten. In der Relativitätstheorie erweist es sich als nützlich, statt t das Vielfache x_{0} = ct als ”Zeitkoordinate“ zu nehmen, wobei c ≈ 3 · 10^{8}m/secdie Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Vermöge K haben wir eine bijektive Abbildung

physikalischer Raum → ℝ^{4}, P ↦ (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}).

Sei jetzt K′ ein anderes Koordinatensystem, das sich relativ zu K mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt. Einem Punkt P sind dann bzgl. K′ Koordinaten (y_{0}, y_{1}, y_{2}, y_{3}) zugeordnet.

In der speziellen Relativitätstheorie gilt nun, anders als in der klassischen Mechanik:

y⃗ = A ∘ x⃗ mit einer geeigneten Matrix A ∈ L,

wobei x⃗ = (x_{0}, …, x_{3}) die Koordinaten von P bzgl. K und y⃗ = (y_{0}, …, y_{3}) die Koordinaten von P bzgl. K′ sind. Man betrachte etwa den Fall, daß sich K′ mit der Geschwindigkeit v relativ zu K in x_{1}-Richtung bewegt und die y_{i}-Achse jeweils parallel zur x_{i}-Achse ist (i = 1, 2, 3). Dann hat A die Gestalt

A = ( \begin{matrix}A^{′2,2} & O^{2,2} \\ O^{2,2} & E^{2,2} \end{matrix} ) ,

wobei

A′ = \frac{1}{\sqrt{1 − β^{2}}} ( \begin{matrix}1 & −β \\ −β & 1 \end{matrix} ) mit β = \frac{v}{c}

ist. Wegen |v| < c ist β^{2} < 1, und \sqrt{1 − β^{2}} existiert als reelle Zahl. Eine Herleitung dieses Ergebnisses findet man etwa in M. v. Laue, Die Relativitätstheorie, Erster Band, 7. Auflage, Kapitel III, § 7.

5 Determinantentheorie

Mit der Determinante werden wir eine Abbildung von dem Raum der n-reihigen quadratischen Matrizen ℝ^{n×n} in die reellen Zahlen ℝ einführen, mit deren Hilfe wir entscheiden können, ob gegebene Matrizen singulär oder nichtsingulär (regulär, invertierbar) sind. Zwar sind wir zu Beginn des Abschnitts ”Umkehrbar lineare Abbildungen“ in Kapitel 3.8bereits ausführlich auf die Frage nach der Invertierbarkeit quadratischer Matrizen eingegangen und haben dort mit dem Gaußschen Algorithmus ein sehr effizientes Verfahren angegeben, wie man die Invertierbarkeit einer fest vorgegebenen Matrix prüfen und ggfs. deren inverse Matrix berechnen kann. Für subtilere Fragen vor allem auch analytischer Natur wie z. B.

• Bleibt die Invertierbarkeit einer Matrix bei ”kleinen“ Änderungen der Komponenten der Matrix erhalten?

• Hängt im Falle der Existenz die inverse Matrix A^{−1} stetig von den Komponenten von A ab?

• Wie sieht die ”Mannigfaltigkeit der singulären Matrizen“ in der Menge aller quadratischen Matrizen ℝ^{n×n} aus und welchen Raum nimmt sie dort ein?

ist der Gaußsche Algorithmus nicht (ohne weiteres) geeignet. Dazu werden wir mit der Determinante als Polynom in den n^{2} Matrixkomponenten ein adäquates Instrument vorstellen. Wir werden in Kapitel 6 zeigen, daß der Determinante neben dieser analytischen auch eine große anschaulich geometrische Bedeutung zukommt (im Zusammenhang mit Flächeninhalt bzw. allgemein Volumen, Kreuzprodukt, Orientierung, …). Mit Hilfe von Karten und des überaus wichtigen Multiplikationssatzes lassen sich Determinanten schließlich leicht für lineare Abbildungen F : V → V von endlichdimensionalen Vektorräumen in sich erklären.

5.1 Allgemeines Kroneckersymbol

Wie bereits einleitend angedeutet, werden wir die Determinante als Polynom in den Matrixkomponenten erklären. In diesem Abschnitt führen wir eine Vorzeichenfunktion für die einzelnen Summanden dieses Determinanten-Polynoms ein.

Dazu betrachten wir das folgende reelle Polynom in den n Veränderlichen x_{1}, …, x_{n}:

D(x_{1}, …, x_{n}) := ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}), fallsn ≥ 2,
D(x_{1}) := 1,  fallsn = 1.

Dabei bedeutet das Produktzeichen (großes Pi) ∏_{1≤i<j≤n}, daß das Produkt über alle Indexpaare i, j ∈ {1, …, n} zu erstrecken ist, für die i < j gilt. Wie in Beispiel 1.3.13 sind x_{1}, …, x_{n} Veränderliche (Unbestimmte, Variable), und wir können die algebraische Definition dieses Polynoms gleichwertig neben der analytischen verwenden. Indem man für x_{1}, …, x_{n} reelle Zahlen einsetzt, erhält man eine Funktion D : ℝ^{n} → ℝ. Für n = 2 lautet beispielsweise

D(x_{1}, x_{2}) = x_{2} − x_{1}

und für n = 3:

D(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{3} − x_{2}) · (x_{3} − x_{1}) · (x_{2} − x_{1}).

5.1.1 Satz Sei k ∈ {1, …, n − 1}, dann gilt:

D(x_{1}, …, x_{n}) = −D(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1}, x_{k}, x_{k+2}, …, x_{n}).

Bei Vertauschung zweier benachbarter Veränderlicher ändert D das Vorzeichen.

Beweis Die beiden Polynome bestehen aus derselben Anzahl von Faktoren. Wir werden jedem Faktor von D(x_{1}, …, x_{n}) einen Faktor von D(x_{1}, …, x_{k+1}, x_{k}, …, x_{n}) zuordnen.

Mit P = ∏_{{i<j \atop (i,j)≠(k,k+1)}}(x_{j} − x_{i}) gilt D(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{k+1} − x_{k}) · P. Wir betrachten

sämtliche Faktoren (x_{j} − x_{i}) von D(x_{1}, …, x_{n}):

Fall 1: i ∉ {k, k + 1}, j ∉ {k, k + 1}. Die Veränderlichen x_{i}, x_{j} sind von der Vertauschung nicht betroffen.

Fall 2: i < k, j = k oder i < k, j = k + 1. Der Faktor (x_{k} −x_{i}) geht durch Vertauschung über in (x_{k+1} − x_{i}), der Faktor (x_{k+1} − x_{i}) in (x_{k} − x_{i}). Beide Faktoren treten jeweils in beiden Produkten auf.

Fall 3: i = k, j = k + 1. Der Faktor (x_{k+1} − x_{k}) geht durch Vertauschung über in (x_{k} − x_{k+1}), es findet ein Vorzeichenwechsel statt.

Fall 4: i = k, j > k + 1 oder i = k + 1, j > k + 1. Der Faktor x_{j} − x_{k} geht über in x_{j} −x_{k+1}, x_{j} −x_{k+1} in x_{j} −x_{k}. Beide Faktoren treten jeweils in beiden Produkten

auf.

Insgesamt gilt:

D(x_{1}, …, x_{k+1}, x_{k}, …, x_{n}) = (x_{k} − x_{k+1}) · P = −D(x_{1}, …, x_{n}).  □

Ein entsprechender Satz gilt auch für allgemeine Vertauschungen zweier Variabler.

5.1.2 Satz Für alle Indizes k, ℓ ∈ {1, …, n} mit k < ℓ gilt:

D(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{ℓ}, x_{k+1}, …, x_{ℓ−1}, x_{k}, x_{ℓ+1}, …, x_{n}) = −D(x_{1}, …, x_{n}).

Beweis Wir erhalten dieses Ergebnis durch eine hinreichend häufige Anwendung des vorhergehenden Satzes. Ausgehend von D(x_{1}, …, x_{n}) wird x_{k} (ℓ − k)-mal mit seinem jeweiligen Nachfolger vertauscht:

D(x_{1}, …, x_{n}) = (−1)^{ℓ−k}D(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1}, …, x_{ℓ}, x_{k}, x_{ℓ+1}, …, x_{n}).

Nun wird x_{ℓ} ((ℓ − 2) − (k − 1))-mal mit seinem jeweiligen Vorgänger vertauscht:

\begin{matrix}D(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1}, …, x_{ℓ}, x_{k}, x_{ℓ+1}, …, x_{n}) \\ = (−1)^{ℓ−k−1}D(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{ℓ}, x_{k+1}, …, x_{ℓ−1}, x_{k}, x_{ℓ+1}, …, x_{n}). \end{matrix}

Wegen (−1)^{ℓ−k+ℓ−k−1} = (−1)^{2(ℓ−k)−1} = −1 folgt die Behauptung. □

5.1.3 Definition Die Signum-Funktion sgn : ℝ → ℝ wird durch

sgn (x) = \{ \begin{matrix}1, & fallsx > 0, \\ 0, & fallsx = 0, \\ −1, & fallsx < 0, \end{matrix}

erklärt.

5.1.4 Definition Für jeweils n reelle Zahlen r_{1}, …, r_{n} definieren wir das allgemeine Kroneckersymbol durch δ(r_{1}, …, r_{n}) := sgn (D(r_{1}, …, r_{n})).

Ist speziell n = 2, so erhalten wir für (i, j) ∈ ℕ × ℕ:

δ(i, j) = sgn (j − i) = \{ \begin{matrix}1, & fallsj > i, \\ 0, & fallsj = i, \\ −1, & fallsj < i, \end{matrix}

und damit für das vorher eingeführte (spezielle) Kroneckersymbol

δ_{ij} = 1 − |δ(i, j)|.

Wir wollen den Zusammenhang zwischen der Anordnung der Zahlen r_{1}, …, r_{n} und dem allgemeinen Kroneckersymbol δ(r_{1}, …, r_{n}) studieren. Dazu zeichnen wir eine spezielle Anordnung dieser Zahlen aus:

5.1.5 Definition Es seien r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ paarweise verschiedene reelle Zahlen, d. h. es gelte r_{i} ≠ r_{j} für i ≠ j. Wir sagen, daß r_{1}, …, r_{n} in natürlicher Anordnung sind, wenn r_{1} < r_{2} < … < r_{n} gilt.

5.1.6 Bemerkung (a) Genau dann ist δ(r_{1}, …, r_{n}) = 0, wenn für mindestens ein Indexpaar i ≠ j gilt: r_{i} = r_{j}.

(b) Sind r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ in natürlicher Anordnung, so gilt für j > i stets r_{j} − r_{i} > 0, also δ(r_{1}, …, r_{n}) = 1.

5.1.7 Satz Die reellen Zahlen r_{1}, …, r_{n} seien paarweise verschieden. Dann gilt:

(a) Durch eine endliche Anzahl (≤ n−1) von Vertauschungen je zweier Zahlen kann man für r_{1}, …, r_{n} natürliche Anordnung erreichen.

(b) Genau dann wird die natürliche Anordnung durch eine gerade bzw. ungerade Anzahl von Vertauschungen erreicht, wenn

δ(r_{1}, …, r_{n}) = 1 bzw. δ(r_{1}, …, r_{n}) = −1

gilt.

{Beweis \atop (a)} Zunächst wird r_{1} mit der kleinsten Zahl vertauscht. In der neuen Anordnung wird r_{2} mit der zweitkleinsten Zahl vertauscht, usw. Nach maximal (n − 1) Schritten hat man erreicht, daß r_{n−1} die zweitgrößte und damit r_{n} die größte Zahl geworden ist.

(b) Folgt aus Satz 5.1.2und Bemerkung 5.1.6(b). □

Insbesondere ist es unmöglich, daß natürliche Anordnung sowohl durch eine gerade als auch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen erreicht werden kann.

5.1.8 Beispiel (a) (3, 1, 2) → (2, 1, 3) → (1, 2, 3), zwei Vertauschungen.

(3, 1, 2) → (3, 2, 1) → (2, 3, 1) → (1, 3, 2) → (1, 2, 3), vier Vertauschungen.

(b) (2, 1, 3) → (1, 2, 3), eine Vertauschung.

(2, 1, 3) → (2, 3, 1) → (3, 2, 1) → (1, 2, 3), drei Vertauschungen.

5.1.9 Definition Es seien r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ paarweise verschiedene reelle Zahlen in natürlicher Anordnung. Sind i_{1}, …, i_{n} ∈ {1, …, n} paarweise verschiedene Indizes, so heißt die Anordnung r_{i_{1}}, …, r_{i_{n}} eine Permutation von r_{1}, …, r_{n}. Die Permutation heißt gerade, wenn δ(r_{i_{1}}, …, r_{i_{n}}) = 1 ist, und ungerade, wenn δ(r_{i_{1}}, …, r_{i_{n}}) = −1 ist. Man nennt δ(r_{i_{1}}, …, r_{i_{n}}) auch das Vorzeichen der Permutation.

Die Wahl der Bezeichnungen ”gerade“ und ”ungerade“ erklärt sich unmittelbar durch Satz 5.1.7. Permutationen können auch als bijektive Abbildungen π : {r_{1}, …, r_{n}} → {r_{1}, …, r_{n}} erklärt werden. Durch π(r_{1}), …, π(r_{n}) wird eine Anordnung gegeben. Liegt umgekehrt eine Anordnung r_{i_{1}}, …, r_{i_{n}} vor, kann π durch π(r_{j}) = r_{i_{j}} gewonnen werden.

5.1.10 Definition Die Fakultätsfunktion ℕ → ℕ, n ↦ n! wird induktiv durch 1! := 1, (n + 1)! := n! · (n + 1) erklärt.

Offensichtlich gilt auch n! = ∏_{j=1}^{n} j.

5.1.11 Satz Es gibt genau n! Permutationen von 1, …, n oder allgemeiner von n reellen Zahlen r_{1} < … < r_{n}.

Beweis Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion nach n. Der Induktionsanfang n = 1 ist trivial, denn die Zahl 1 kann auf genau eine Art angeordnet werden. Um den Induktionsschritt durchzuführen, wählen wir n ∈ ℕ beliebig und nehmen an, die Behauptung sei bereits für 1, …, n bewiesen. Zu jeder der folgenden (n + 1) Anordnungen gibt es durch Permutation von 1, …, n je n! verschiedene Anordnungen, die die Zahl n + 1 fest lassen:

n + 1, 1, 2, …, n,
1, n + 1, 2, …, n,
⋮
1, 2, …, n, n + 1.

Insgesamt gibt es n! · (n + 1) = (n + 1)! verschiedene Anordnungen. □

Die Fakultätsfunktion wächst außerordentlich schnell: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, … Für große n ist daher zur Berechnung von n! eine Näherungsformel zweckmäßig. Gemäß der Stirlingschen Formel, die in vielen Lehrbüchern der Analysis hergeleitet wird, ist

n! ≈ \sqrt{\frac{2π}{n + 1}} (\frac{n + 1}{e})^{n+1} .

Die Zahlen π = 3,14 … und e = 2,718 … werden in der Analysis eingeführt. Für n = 100 ergibt sich beispielsweise

100! ≈ 9,3 · 10^{157}.

5.2 Determinanten

5.2.1 Definition Die Determinante der quadratischen Matrix A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} wird durch

det(A) := ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n}

definiert.

Das n-fach indizierte Summenzeichen ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} steht abkürzend für n Summenzeichen

∑_{i_{1}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n}, auf deren Reihenfolge es wegen des allgemeinen Kommutativgesetzes

nicht ankommt. In der Formel für det(A) treten n^{n} Summanden auf. Wenn allerdings i_{1}, …, i_{n} nicht paarweise verschieden sind, so ist δ(i_{1}, …, i_{n}) = 0; die Summe ist also letztlich ”nur“ über die n! Permutationen von 1, …, n zu erstrecken. Die Determinante ist ein Polynom in den Matrixkomponenten im folgenden Sinne: Ein reelles Polynom in m Veränderlichen ist ein Ausdruck der Form

p(x_{1}, …, x_{m}) = ∑_{⋮_{im=0,...,km}^{i_{1}=0,...,k_{1}}} c_{i_{1},...,i_{m}}x_{1}^{i_{1}} · . . . · x_{m}^{i_{m}}

mit c_{i_{1},...,i_{m}} ∈ ℝ, k_{1}, …, k_{m} ∈ ℕ_{0}; dabei wird x_{i}^{0} = 1 vereinbart. Für x_{1}, …, x_{m} können reelle Zahlen eingesetzt werden, p ist dann eine Funktion ℝ^{m} → ℝ.

Sei nun A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} eine n×n-Matrix, dann fassen wir die a_{ij} als Veränderliche auf:

(x_{1}, …, x_{m}) := (a_{11}, …, a_{1n}, a_{21}, …, a_{2n}, …, a_{n1}, …, a_{nn})

mit m = n^{2}. Die Determinante

det(A) = ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n}

ist also ein Polynom in m = n^{2} Veränderlichen mit ganzzahligen Koeffizienten.

5.2.2 Beispiel Im Fall n = 1 hat die Matrix A eine Komponente, A = (a_{11}), und es ist

det(A) = ∑_{i_{1}=1}^{1} δ(i_{1}) · a_{i_{1}1} = δ(1) · a_{11} = a_{11}.

Für die 2-reihige Matrix A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ergibt die Definition

det(A) = ∑_{i_{1},i_{2}=1}^{2} δ(i_{1}, i_{2})a_{i_{1}1}a_{i_{2}2} = δ(1, 2)a_{11}a_{22} + δ(2, 1)a_{21}a_{12}.

Die Zahlen 1, 2 sind in natürlicher Anordnung; 2, 1 gehen durch eine Vertauschung in natürliche Anordnung über, also ist δ(1, 2) = 1, δ(2, 1) = −1. Folglich ist

det(A) = a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12}.

Im Fall n = 3 kann man die schon etwas unübersichtliche Formel von Sarrus

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23}
−a_{31}a_{22}a_{13} − a_{21}a_{12}a_{33} − a_{11}a_{32}a_{23}

herleiten.

Für größere n wird Definition 5.2.1für die Berechnung von Determinanten schnell zu aufwendig. Im Folgenden werden deshalb Eigenschaften der Determinante hergeleitet, auf Grund derer dafür der Gaußsche Algorithmus eingesetzt werden kann. Wir fassen die Determinante nun als Funktion \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{n-mal} → ℝ der Spalten

der Matrix A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) auf und stellen deren charakteristische Eigenschaften zusammen.

5.2.3 Definition Eine Funktion f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{m-mal} → ℝ heißt multilinear oder genauer m-fach

multilinear, falls sie in jeder Komponente linear ist, d. h. falls für jedes k = 1, …, m stets gilt:

(1) f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k} +a⃗_{k}′, …, a⃗_{m}) = f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{m})+f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}′, …, a⃗_{m}),

(2) f(a⃗_{1}, …, c · a⃗_{k}, …, a⃗_{m}) = c · f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{m}). Eine multilineare Funktion heißt Multilinearform, im Falle m = 2 spricht man von Bilinearformen.

Im Fall m = 1 erhält man die Definition einer Linearform, siehe Kapitel 4.3.

5.2.4 Satz Die Determinantenfunktion

f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{n-mal} → ℝ, f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) := det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n})

ist eine n-fache Multilinearform.

Beweis Sei k ∈ {1, …, n} beliebig. Für a⃗_{k}′, a⃗_{1}, …, a⃗_{n} ∈ ℝ^{n}, c ∈ ℝ gilt:

det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k} + a⃗_{k}′, …, a⃗_{n})

= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · (a_{i_{k}k} + a′_{i_{k}k}) · . . . · a_{i_{n}n}
= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{k}k} · . . . · a_{i_{n}n}

+ ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a′_{i_{k}k} · . . . · a_{i_{n}n}

= det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{n}) + det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}′, …, a⃗_{n});

det(a⃗_{1}, …, c · a⃗_{k}, …, a⃗_{n})

= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · (c · a_{i_{k}k}) · . . . · a_{i_{n}n}
= c · ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{k}k} · . . . · a_{i_{n}n}
= c · det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{n}). □

5.2.5 Satz Sei f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{m-mal} → ℝ eine m-fache Multilinearform. Gilt für ein Argument

a⃗_{j} = 0, so ist f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = 0.

Beweis Wir halten die Vektoren a⃗_{1}, …, a⃗_{j−1} und a⃗_{j+1}, …, a⃗_{n} fest und betrachten f als lineare Abbildung ℝ^{n} → ℝ allein im j-ten Spaltenvektor. Jede solche lineare Abbildung bildet aber 0 auf 0 ab. □

5.2.6 Definition Eine m-fache Multilinearform f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{m-mal} → ℝ heißt alternierend, wenn für

je zwei Indizes 1 ≤ k < ℓ ≤ m stets gilt:

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, … a⃗_{ℓ}, …, a⃗_{n}) = −f(a⃗_{1}, … \underbrace{, a⃗_{ℓ},}_{k-te Stelle}… \underbrace{, a⃗_{k},}_{ℓ-te Stelle} …, a⃗_{n}).

5.2.7 Satz Die Determinantenfunktion det : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{n-mal} → ℝ ist alternierend.

Beweis Seien 1 ≤ k < ℓ ≤ n zwei Indizes. Der Beweis beruht auf der entsprechenden Eigenschaft des allgemeinen Kroneckersymbols, vgl. Satz 5.1.2.

det(a⃗_{1}, … \underbrace{, a⃗_{ℓ},}_{k-te Stelle}… \underbrace{, a⃗_{k},}_{ℓ-te Stelle} …, a⃗_{n})

= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{k}ℓ} · . . . · a_{i_{ℓ}k} · . . . · a_{i_{n}n}

(Umbenennung: der Index i_{k} heißt nun i_{ℓ} und i_{ℓ} heißt nun i_{k})

= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{ℓ}, …, i_{k}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{ℓ}ℓ} · . . . · a_{i_{k}k} · . . . · a_{i_{n}n}

= − ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{k}, …, i_{ℓ}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n}
= − det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}).
□

5.2.8 Satz Für die Einheitsmatrix ist det(E) = det(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) = 1.

Beweis In diesem Falle besteht die Summe aus Definition 5.2.1 aus einem nicht verschwindenden Summanden, für diesen ist i_{1} = 1, …, i_{n} = n:

det(E) = ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n})δ_{i_{1}1} · . . . · δ_{i_{n}n} = δ(1, …, n) = 1.  □

Gemäß Satz 5.2.4bis Satz 5.2.8ist det eine alternierende, normierte^{1} n-fache Multilinearform. Es soll nun gezeigt werden, daß die Determinante durch diese Eigenschaften bereits vollkommen bestimmt ist. Man hätte die Determinante auch gleich auf diese Weise definieren können, dann hätte man allerdings die vorhergehenden Überlegungen zum Nachweis der Existenz einer solchen Funktion nachtragen müssen. Zunächst benötigen wir allerdings noch einen Hilfssatz:

5.2.9 Satz Es sei f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{m-mal} → ℝ eine alternierende m-fache Multilinearform.

(a) Sind a⃗_{1}, …, a⃗_{m} ∈ ℝ^{n} nicht paarweise verschieden, so gilt f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = 0.

(b) Für je m Indizes 1 ≤ i_{1}, …, i_{m} ≤ m und m Vektoren a⃗_{1}, …, a⃗_{m} ∈ ℝ^{n} gilt:

f(a⃗_{i_{1}}, …, a⃗_{i_{m}}) = δ(i_{1}, …, i_{m}) · f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}).

{Beweis \atop (a)} Sind a⃗_{1}, …, a⃗_{m} ∈ ℝ^{n} nicht paarweise verschieden, so gibt es zwei Indizes 1 ≤ k < ℓ ≤ m mit a⃗_{k} = a⃗_{ℓ}. Da f alternierend ist, folgt

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = −f(a⃗_{1}, … \underbrace{, a⃗_{ℓ},}_{k-te Stelle}… \underbrace{, a⃗_{k},}_{ℓ-te Stelle} …, a⃗_{n}) = −f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}),

also 2 · f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = 0.

(b) Wir können ohne Einschränkung annehmen, daß a⃗_{1}, …, a⃗_{m} paarweise verschieden sind; andernfalls reduziert sich die Behauptung wegen (a) auf 0 = 0. Weiter seien i_{1}, …, i_{m} ohne Einschränkung paarweise verschieden, i_{1}, …, i_{m} ist also eine Permutation von 1, …, m. Damit ist δ(i_{1}, …, i_{m}) = ±1. Wegen δ(i_{1}, …, i_{m}) = \frac{1}{δ(i_{1},...,i_{m})} reicht es zu zeigen:

δ(i_{1}, …, i_{m}) · f(a⃗_{i_{1}}, …, a⃗_{i_{m}}) = f(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}).

1 D. h. det(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) = 1.

Bei Vertauschung zweier Indizes ändert sich die linke Seite nicht, δ und f ändern nämlich jeweils ihr Vorzeichen. Durch endlich viele Vertauschungen erreicht man natürliche Reihenfolge von i_{1}, …, i_{m}, d. h. 1, …, m. Dabei ist δ(1, …, m) = 1.

□

5.2.10 Satz Sei f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{n-mal} → ℝ eine alternierende n-fache Multilinearform. Dann gilt

für alle a⃗_{1}, …, a⃗_{n} ∈ ℝ^{n}:

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = f(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) · det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}).

Hat man zusätzlich f(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) = 1, so ist f = det.

Beweis Wegen a⃗_{k} = ∑_{i=1}^{n} a_{ik}e⃗_{i} ergibt sich unter Benutzung von Satz 5.2.9:

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}f(e⃗_{i_{1}}, a⃗_{2}, …, a⃗_{n})

= ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1} ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}f(e⃗_{i_{1}}, e⃗_{i_{2}}, a⃗_{3}, …, a⃗_{n})

⋮
= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n} · f(e⃗_{i_{1}}, …, e⃗_{i_{n}})

= ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n} · δ(i_{1}, …, i_{n}) · f(e⃗_{1}, …, e⃗_{n})
= det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) · f(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}).
□

5.3 Weitere Eigenschaften der Determinante

Nachdem wir im vorherigen Abschnitt die Determinante eingeführt und als alternierende n-fache Multilinearform charakterisiert haben, wollen wir hier daraus zwei der wichtigsten Sätze der Determinantentheorie herleiten: die Gleichheit der Determinanten von A und A^{t} und den Multiplikationssatz für Determinanten.

Determinanten transponierter Matrizen

5.3.1 Satz Für jede n × n-Matrix A gilt det(A) = det(A^{t}).

Beweis Definitionsgemäß gilt

det(A^{t}) =  ∑_{\underbrace{j_{1}, …, j_{n}}_{paarweise verschieden} =1}^{n} δ(j_{1}, …, j_{n}) · a_{1j_{1}} · . . . · a_{nj_{n}},  (∗)

denn das allgemeine Kroneckersymbol verschwindet, sobald zwei Indizes übereinstimmen. Wir betrachten zunächst einen festen Summanden, der durch eine Anordnung j_{1}, …, j_{n} von 1, …, n gegeben ist. Jeder Faktor ist durch ein Indexpaar (i, j_{i}) gegeben, das Produkt kann durch die Abfolge (1, j_{1}), …, (n, j_{n}) beschrieben werden. Die Vertauschung zweier Faktoren entspricht der Vertauschung der zugehörigen Indexpaare. Man kann durch eine Anzahl von Vertauschungen erreichen, daß die jeweils zweiten Indizes j_{1}, …, j_{n} natürliche Anordnung einnehmen, die jeweils ersten Indizes 1, …, n treten nun in der Anordnung i_{1}, …, i_{n} auf. Aufgrund des Kommutativgesetzes in ℝ gilt

a_{1j_{1}} · . . . · a_{nj_{n}} = a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n}.

Da nach Konstruktion j_{1}, …, j_{n} und i_{1}, …, i_{n} aus 1, …, n durch dieselbe Anzahl von Vertauschungen hervorgehen, gilt auch

δ(i_{1}, …, i_{n}) = δ(j_{1}, …, j_{n}).

Damit erhalten wir eine Abbildung Φ : (j_{1}, …, j_{n}) ↦ (i_{1}, …, i_{n}) von M in M, wobei M die Menge aller Permutationen von 1, …, n bezeichnet. Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn jedes k taucht in den Indexpaaren (1, j_{1}), …, (n, j_{n}) genau einmal als zweiter Index auf, der entsprechende erste Index ist dann i_{k}. Um die Summation in (∗) statt über j_{1}, …, j_{n} über i_{1}, …, i_{n} erstrecken zu können, ist zu zeigen, daß die Zuordnung Φ bijektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien zwei Permutationen (j_{1}, …, j_{n}) und (ĵ_{1}, …, ĵ_{n}) von 1, …, n mit

Φ(j_{1}, …, j_{n}) =: (i_{1}, …, i_{n}) = (î_{1}, …, î_{n}) := Φ(ĵ_{1}, …, ĵ_{n})  (∗∗)

gegeben. Die Abfolge der zugehörigen Indexpaare ist

(i_{1}, 1), …, (i_{n}, n) bzw. (î_{1}, 1), …, (î_{n}, n),

gemäß unserer Annahme (∗∗) stimmen diese Abfolgen überein. Durch umgekehrte Anwendung der Vertauschungen, die

(1, j_{1}), …, (n, j_{n}) bzw. (1, ĵ_{1}), …, (n, ĵ_{n})

in

(i_{1}, 1), …, (i_{n}, n) bzw. (î_{1}, 1), …, (î_{n}, n)

überführt haben, gelangt man zu

(1, j_{1}), …, (n, j_{n}) bzw. (1, ĵ_{1}), …, (n, ĵ_{n}).

Beide Abfolgen bestehen aus denselben Indexpaaren, also gilt

j_{1} = ĵ_{1}, …, j_{n} = ĵ_{n}.

Folglich ist Φ eine injektive Abbildung der endlichen Menge M in sich und damit auch surjektiv. Da nun Φ : M → M bijektiv ist, können wir in (∗) über die Permutationen i_{1}, …, i_{n} summieren und erhalten:

det(A^{t}) =  ∑_{\underbrace{j_{1}, …, j_{n}}_{paarweise verschieden} =1}^{n} δ(j_{1}, …, j_{n}) · a_{1j_{1}} · . . . · a_{nj_{n}}

= ∑_{\underbrace{i_{1}, …, i_{n}}_{paarweise verschieden} =1}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n} = det(A).

□

5.3.2 Bemerkung Folglich gelten alle Aussagen über Determinanten, die mit Spalten formuliert werden, auch für Zeilen. Faßt man etwa det als Funktion von den je n Zeilen der Matrizen auf, so ist det eine alternierende n-fache Multilinearform in den Zeilen.

Mit dieser Bemerkung erhalten wir beispielsweise aus Satz 5.2.5:

5.3.3 Satz Hat eine Matrix A eine Nullzeile oder eine Nullspalte, so ist det(A) = 0.

Ebenso folgt aus Satz 5.2.9:

5.3.4 Satz Sei A eine n × n-Matrix. Sind in A zwei Spalten gleich, so gilt det(A) = 0. Entsprechendes gilt auch für Zeilen.

Es ist nun leicht, die Änderungen der Determinante unter elementaren Matrixumformungen zu beschreiben. Multiplikation einer Zeile bzw. einer Spalte mit dem Faktor c ∈ ℝ ver-c-facht den Wert der Determinante, denn die Determinante ist n-fach linear und damit insbesondere n-fach homogen. Bei Vertauschungen zweier Spalten bzw. Zeilen ändert die (alternierende!) Determinante ihr Vorzeichen. Schließlich gilt noch:

5.3.5 Satz Es sei A eine n × n-Matrix, und es seien j, k ∈ {1, …, n} zwei verschiedene Indizes: j ≠ k. Addiert man ein Vielfaches der j-ten Spalte von A zur k-ten Spalte, so ändert sich die Determinante nicht. Entsprechendes gilt auch für Zeilen.

Beweis Sind a⃗_{1}, …, a⃗_{n} die Spalten von A, so lautet die k-te Spalte der umgeformten Matrix: a⃗_{k} + c · a⃗_{j} mit einem c ∈ ℝ, die übrigen Spalten werden nicht geändert. Da die Determinante multilinear und alternierend ist, gilt:

det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k} + c · a⃗_{j}, …, a⃗_{n})
= det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) + c · det(a⃗_{1}, … \underbrace{, a⃗_{j},}_{k-te Stelle}…, a⃗_{n}) = det(A) + 0,

denn in der zweiten Matrix stimmen zwei Spalten überein. □

Multiplikationssatz

5.3.6 Satz (Multiplikationssatz) Für alle n × n-Matrizen A, B gilt det(B ∘ A) = det(B) · det(A).

Beweis Wir führen den Beweis mit Hilfe unserer axiomatischen Charakterisierung der Determinante als alternierende n-fache Multilinearform. Sei B eine beliebige, aber im Folgenden feste n × n-Matrix. Wir definieren eine Funktion

f : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{n-mal} → ℝ,

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) := det(B ∘ a⃗_{1}, …, B ∘ a⃗_{n}) = det(B ∘ A),

wobei wir A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) schreiben.

Diese Funktion f ist multilinear, denn die Linearität der zu B gehörigen Abbildung (man vgl. auch Folgerung 3.3.5) und die Multilinearität von det ergeben

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k} + a⃗_{k}′, …, a⃗_{n}) = det(B ∘ a⃗_{1}, …, B ∘ (a⃗_{k} + a⃗_{k}′), …, B ∘ a⃗_{n})
= det(B ∘ a⃗_{1}, …, B ∘ a⃗_{k} + B ∘ a⃗_{k}′, …, B ∘ a⃗_{n})
= det(B ∘ a⃗_{1}, …, B ∘ a⃗_{k}, …, B ∘ a⃗_{n})
+ det(B ∘ a⃗_{1}, …, B ∘ a⃗_{k}′, …, B ∘ a⃗_{n})
= f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{n}) + f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}′, …, a⃗_{n})

und entsprechend

f(a⃗_{1}, …, c · a⃗_{k}, …, a⃗_{n}) = c · f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}, …, a⃗_{n}).

Außerdem ist f alternierend, denn det ist alternierend. Die Anwendung von Satz 5.2.10liefert nun für alle n×n-Matrizen A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}):

det(B ∘ A) = f(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = det(a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) · f(e⃗_{1}, …, e⃗_{n})
= det(A) · det(B ∘ e⃗_{1}, …, B ∘ e⃗_{n}) = det(A) · det(B).

□

5.3.7 Satz Für eine n × n-Matrix A gilt det(A) ≠ 0 genau dann, wenn A nichtsingulär ist. In diesem Fall gilt det(A^{−1}) = \frac{1}{det(A)}.

Die Determinante legt fest (determiniert), ob eine Matrix singulär oder nichtsingulär (regulär, invertierbar) ist.

Beweis ”⇐“: Sei A nichtsingulär. Dann existiert die Umkehrmatrix A^{−1}, und es gilt

1 = det(E) = det(A ∘ A^{−1}) = det(A) · det(A^{−1}).

Es folgt det(A) ≠ 0 und det(A^{−1}) = \frac{1}{det(A)}.

”⇒“: Sei nun A singulär, nach Satz 3.8.4 sind die Spalten linear abhängig. Gegebenenfalls nach einer Spaltenvertauschung, die nur das Vorzeichen von det(A) ändert, kann man annehmen, daß die erste Spalte Linearkombination der übrigen ist:

a⃗_{1} = ∑_{j=2}^{n} c_{j}a⃗_{j}, c_{j} ∈ ℝ,

und wir erhalten aus Satz 5.3.4:

det(A) = det (∑_{j=2}^{n} c_{j} · a⃗_{j}, a⃗_{2}, …, a⃗_{n})

= ∑_{j=2}^{n} c_{j} · det (a⃗_{j}, a⃗_{2}, … \underbrace{, a⃗_{j},}_{j-te Stelle}…, a⃗_{n}) = 0.

Wir haben also gezeigt:

A singulär ⇒ det(A) = 0

und damit

det(A) ≠ 0 ⇒ A nichtsingulär.  □

Matrizen mit Null-Blöcken

Der Definition der Determinante hatten wir für 2 × 2-Matrizen det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) =

a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12} = det(a_{11}) det(a_{22}) − det(a_{21}) det(a_{12}) entnommen. Wir wollen nun der Frage nachgehen, ob eine entsprechende Gleichung auch für größere Matrizen gilt, wenn a_{11}, …, a_{22} durch Untermatrizen geeigneter Formate ersetzt werden. Das folgende Beispiel zeigt, daß die Frage in dieser Allgemeinheit nicht positiv beantwortet werden kann:

5.3.8 Beispiel Es ist

det ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 2 \end{matrix} ) = 0,

da zwei Spalten übereinstimmen, und dagegen

det ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · det ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) − det ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) · det ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = 3.

Auch der naheliegende Gedanke, aus Gründen des Matrizenformats das Minuszeichen durch ein Pluszeichen zu ersetzen, führt auf 2 + (−1) und damit auf ein falsches Ergebnis.

Unter geeigneten, recht einschränkenden Voraussetzungen haben wir aber tatsächlich derartige Gesetze.

5.3.9 Satz Es seien Matrizen E = E^{k,k}, A = A^{ℓ,ℓ}, B = B^{ℓ,k} und O = O^{k,ℓ} gegeben. Dann gilt

det ( \begin{matrix}E & O \\ B & A \end{matrix} ) = det(A).

Beweis Wir verwenden wieder die Charakterisierung der Determinante als alternierende Multilinearform aus Satz 5.2.10. Sei A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ}) und f : \underbrace{ℝ^{ℓ} ⊕ … ⊕ ℝ^{ℓ}}_{ℓ-mal} → ℝ

durch f(a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ}) := det ( \begin{matrix}E & 0 \\ B & A \end{matrix} ) gegeben. Die Spalten von A werden nach

oben durch Nullen zu Spalten aus ℝ^{k+ℓ} ergänzt. Daher haben die entsprechenden Eigenschaften der Determinante zur Folge, daß f ℓ-fach multilinear und alternierend ist. Der oben zitierte Satz liefert

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ}) = f(e⃗_{1}, …, e⃗_{ℓ}) · det(a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ}).

Es ist also noch zu zeigen: f(e⃗_{1}, …, e⃗_{ℓ}) = 1. Tatsächlich gilt

f(e⃗_{1}, …, e⃗_{ℓ}) = det ( \begin{matrix}1 & & 0 & 0 & … & 0 \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & & 1 & 0 & … & 0 \\ b_{11} & … & b_{1k} & 1 & & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ b_{ℓ1} & … & b_{ℓk} & 0 & & 1 \end{matrix} ) = det(E^{k+ℓ,k+ℓ}).

Letzteres folgt auf Grund von Satz 5.3.5, denn b_{ij} kann durch Addition des −b_{ij}- fachen der (k + i)-ten Spalte zur j-ten Spalte durch 0 ersetzt werden. Der Rest der Matrix bleibt jeweils unverändert. Wegen det(E) = 1 ist der Satz bewiesen. □

Durch Anwendung von det(A) = det(A^{t}) auf Satz 5.3.9gelangt man zu:

5.3.10 Satz Es seien Matrizen E = E^{k,k}, A = A^{ℓ,ℓ}, B = B^{k,ℓ}, O = O^{ℓ,k} gegeben. Dann gilt

det ( \begin{matrix}E & B \\ O & A \end{matrix} ) = det(A).

5.3.11 Satz Es seien Matrizen A = A^{k,k}, B = B^{ℓ,ℓ}, C = C^{k,ℓ}, D = D^{ℓ,k} gegeben. Dann gilt

det ( \begin{matrix}A & C \\ O & B \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}A & O \\ D & B \end{matrix} ) = det(A) · det(B).

Beweis Wir gehen wie im Beweis von Satz 5.3.9 vor. Es sei wieder A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{k}) und

f : \underbrace{ℝ^{k} ⊕ … ⊕ ℝ^{k}}_{k-mal} → ℝ durch

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}) := det ( \begin{matrix}A & C \\ O & B \end{matrix} )

gegeben. Diese Funktion f ist k-fach multilinear und alternierend, es folgt

f(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}) = det(a⃗_{1}, …, a⃗_{k}) · f(e⃗_{1}, …, e⃗_{k})
= det(A) · det ( \begin{matrix}E & C \\ O & B \end{matrix} ) = det(A) · det(B)

wegen Satz 5.3.10. Die zweite Gleichung folgt aus der ersten durch Betrachtung der transponierten Matrizen. □

Man kann für n×n-Matrizen A, B, C, D unter geeigneten Voraussetzungen wie etwa, daß D regulär ist und die Vertauschbarkeitsrelation C∘D = D∘C gilt, zwar Identitäten

der Art det ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = det(A ∘ D − B ∘ C) zeigen, weitere Aussagen sind aber

im allgemeinen nicht möglich, da det als Funktion in den Matrizen ℝ^{n×n} → ℝ nicht linear ist.

5.4 Berechnung von Determinanten

In diesem Abschnitt werden einander zwei Verfahren zur Berechnung von Determinanten gegenübergestellt. Zunächst werden wir sehen, daß wir wie schon bei der Bestimmung der Invertierbarkeit, der Berechnung der inversen Matrizen und wie bei der Auflösung linearer Gleichungssysteme den Gaußschen Algorithmus einsetzen können, die Grundlage dafür ist Satz 5.3.5. Das zweite Verfahren gründet sich auf den Laplaceschen Entwicklungssatz und ist von größerem theoretischen Interesse.

Gaußsches Verfahren zur Berechnung von Determinanten

5.4.1 Definition Eine n × n-Matrix A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} heißt (obere) Dreiecksmatrix, wenn in A unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen (d. h. a_{ij} = 0 für i > j), und (untere) Dreiecksmatrix, wenn in A oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen (d. h. a_{ij} = 0 für i < j).

Der folgende Satz zeigt, daß wir in diesem Zusammenhang die gegebene Matrix A mittels des Gaußschen Algorithmus’ nicht in die Einheitsmatrix unformen müssen, sondern daß es reicht, Dreiecksgestalt anzustreben.

5.4.2 Satz Es sei A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} eine Dreiecksmatrix. Dann gilt

det(A) = ∏_{i=1}^{n} a_{ii}.

Die Determinante von Dreiecksmatrizen ist das Produkt der Diagonalelemente.

Beweis Es reicht, wegen det(A) = det(A^{t}) untere Dreiecksmatrizen zu betrachten, für die also a_{ij} = 0 ist, falls i < j. Der Beweis wird durch vollständige Induktion nach n geführt. Die Induktionsbasis n = 1 ist trivial. Für den Induktionsschritt nehmen wir an, die Behauptung sei für 1, …, n bereits gezeigt. Sei A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n+1} eine (n + 1) × (n + 1)-Dreiecksmatrix. Durch Zuhilfenahme von Satz 5.3.11 folgt aus der Induktionsannahme

det(A) = det ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 & ⋮ \\ a_{n1} & … & … & a_{nn} & 0 \\ a_{n+1,1} & … & … & a_{n+1,n} & a_{n+1,n+1} \end{matrix} )

= det(a_{n+1,n+1}) · det ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & 0 & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 \\ a_{n1} & … & … & a_{nn} \end{matrix} )

= a_{n+1,n+1} · (a_{11} · . . . · a_{nn}) = ∏_{i=1}^{n+1} a_{ii}.
□

Damit stehen alle Hilfsmittel bereit, um den Gaußschen Algorithmus zur Berechnung von Determinanten darzustellen:

5.4.3 Satz Es sei A eine beliebige n × n-Matrix. Durch die elementaren Umformungen (1) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile,

(2) Spaltenvertauschungen kann man eine der beiden folgenden Situationen herstellen:

(a) Eine Zeile von A geht in die Nullzeile über, in diesem Fall gilt det(A) = 0.

(b) Die Matrix A geht in eine Dreiecksmatrix mit den Diagonalelementen d_{1}, …, d_{n} über. Ist k die Anzahl der durchgeführten Spaltenvertauschungen, dann gilt det(A) = (−1)^{k} · d_{1} · . . . · d_{n}.

Beweis Hat die Matrix A selbst eine Nullzeile, so ist det(A) = 0, wie wir schon in Satz 5.3.3 festgehalten hatten. Sei nun A eine n × n-Matrix ohne Nullzeilen. Gegebenenfalls nach einer Spaltenvertauschung kann man a_{11} ≠ 0 erreichen. Durch Addition geeigneter Vielfacher der ersten Zeile zu den darunterliegenden Zeilen geht A in eine Matrix der Form

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ 0 \\ ⋮ & & A′ \\ 0 \end{matrix} )

über. Enthält A′ eine Nullzeile, so auch die gesamte Matrix; das Verfahren wird mit dem Ergebnis det(A) = 0 beendet. Enthält auch A′ keine Nullzeile, so wird das oben beschriebene Verfahren auf A′ angewandt. Umformungen des Typs (1) werden innerhalb von A′ durchgeführt, wegen der Nullen links in der Matrix sind es automatisch Umformungen der gesamten Matrix. Umformungen vom Typ (2) sind stets auf die gesamte Matrix zu erstrecken. Ist im Laufe des Verfahrens keine Nullzeile aufgetreten, so hat man nach höchstens (n − 1) Wiederholungen eine Dreiecksmatrix erhalten, deren Wert wir gemäß Satz 5.4.2 berechnen. Die Behauptung für det(A) folgt, weil gemäß Satz 5.3.5 Umformungen vom Typ (1) den Wert der Determinante nicht ändern. Umformungen vom Typ (2) ändern das Vorzeichen der Determinante. □

Laplacescher Entwicklungssatz

Hier werden Determinanten von ”Streichungsmatrizen“ eine zentrale Rolle spielen.

5.4.4 Definition Es seien A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n} eine n × n-Matrix und k, ℓ ∈ {1, …, n} zwei Indizes. Durch Streichen der k-ten Zeile und ℓ-ten Spalte entsteht eine (n−1)×(n−1)-Matrix, die mit A_{kℓ} bezeichnet wird. Deren Determinante d_{kℓ} := det(A_{kℓ}) heißt (k, ℓ)-ter Cofaktor von A.

5.4.5 Satz (Laplacescher Entwicklungssatz) Für die Determinante jeder n × n-Matrix A gilt die

(1) Entwicklung nach einer beliebigen Spalte: Für jeden Index ℓ ∈ {1, …, n} ist

det(A) = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{kℓ}.

(2) und die Entwicklung nach einer beliebigen Zeile: Für jeden Index k ∈ {1, …, n} ist

det(A) = ∑_{ℓ=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{kℓ}.

Beweis Wir betrachten zunächst die Entwicklung nach der ersten Spalte, sei also ℓ = 1. Nach Definition gilt

det(A) = ∑_{i_{1},...,in=1 paarweise verschieden}^{n} δ(i_{1}, …, i_{n}) · a_{i_{1}1} · . . . · a_{i_{n}n}

= ∑_{k=1}^{n} a_{k1} · ( ∑_{i_{2},...,in=1 paarweise verschieden ungleich k}^{n} δ(k, i_{2}, …, i_{n}) · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n}).

Zur Berechung von δ(k, i_{2}, …, i_{n}): Die Anordnung i_{2}, …, i_{n} geht durch eine Anzahl a einfacher Vertauschungen in natürliche Anordnung 1, …, k − 1, k + 1, …, n über. Die Anordnung k, 1, …, k − 1, k + 1, …, n kann durch (k − 1)-maliges Vertauschen von k mit seinem jeweiligen Nachfolger in natürliche Anordnung 1, …, n überführt werden. Für k, i_{2}, …, i_{n} kann natürliche Anordnung durch a + k − 1 einfache Vertauschungen erreicht werden. Zusammenfassend gilt:

δ(k, i_{2}, …, i_{n}) = (−1)^{a+k−1} = (−1)^{k−1} · (−1)^{a}
= (−1)^{k+1} · (−1)^{a} = (−1)^{k+1} · δ(i_{2}, …, i_{n}),

und folglich

det(A) = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1}a_{k1} · ( ∑_{{i_{2},...,in=1 \atop alle i_{j} ≠ k}}^{n} δ(i_{2}, …, i_{n})a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n})

= ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1}a_{k1}d_{k1},

denn es ist

d_{k1} = det(A_{k1}) = det(a_{ij})_{{i=1,...,k−1,k+1,...,n \atop j=2,...,n}} .

Sei nun ℓ ∈ {1, …, n} beliebig, A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}). Durch (ℓ−1)-maliges Vertauschen von a⃗_{ℓ} mit seinem jeweiligen Vorgänger folgt

det(A) = (−1)^{ℓ−1} · det(a⃗_{ℓ}, a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ−1}, a⃗_{ℓ+1}, …, a⃗_{n}).

Sei d̃_{k1} der (k, 1)-te Cofaktor von Ã = (a⃗_{ℓ}, a⃗_{1}, …, a⃗_{ℓ−1}, a⃗_{ℓ+1}, …, a⃗_{n}). Diese Matrix geht durch Streichen der k-ten Zeile und der ersten Spalte in A_{kℓ} über, also ist d̃_{k1} = d_{kℓ}. Durch Entwicklung von det(Ã) nach der ersten Spalte folgt:

det(A) = (−1)^{ℓ−1} det(Ã) = (−1)^{ℓ−1} (∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1}a_{kℓ}d̃_{k1}) = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{kℓ}.

Da transponierte Matrizen jeweils dieselbe Determinante haben, läßt sich unser Ergebnis über die Entwicklung nach Spalten schnell auf die Entwicklung nach Zeilen ausdehnen. Sei d_{ℓk}^{t} der (ℓ, k)-te Cofaktor von A^{t}, wegen (A^{t})_{ℓk} = (A_{kℓ})^{t} gilt d_{ℓk}^{t} = d_{kℓ}. Durch Entwicklung von det(A^{t}) nach der k-ten Spalte erhält man:

det(A) = det(A^{t}) = ∑_{ℓ=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{ℓk}^{t} = ∑_{ℓ=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{kℓ}.  □

5.4.6 Beispiel Wir berechnen die Determinante der 3 × 3-Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} )

mittels

(a) des Gaußschen Verfahrens:

A → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −1 & −5 \\ 0 & −5 & −7 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −1 & −5 \\ 0 & 0 & 18 \end{matrix} )

Da keine Spaltenvertauschungen durchgeführt wurden, gilt:

det(A) = 1 · (−1) · 18 = −18.

(b) und des Entwicklungssatzes: Wir entwickeln nach der ersten Spalte.

det ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) = 1 · det ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) − 2 · det ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) + 3 · det ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} )
= (3 · 2 − 1 · 1) − 2 · (2 · 2 − 1 · 3) + 3 · (2 · 1 − 3 · 3)
= 5 − 2 − 21 = −18.

Zur Berechnung konkret angegebener Determinanten ist der Gaußsche Algorithmus wesentlich einfacher und schneller. Bei (n − 1)-maliger Anwendung des Entwicklungssatzes auf die jeweils entstehenden quadratischen Untermatrizen von A mit n, n − 1, …, 2 Zeilen gelangt man letztlich wieder zu der Definition 5.2.1 der Determinante. Für das nächste Beispiel erinnern wir an die Definition des Polynoms

D(r_{1}, …, r_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(r_{j} − r_{i})

zu Beginn von Abschnitt 5.1.

5.4.7 Satz (Vandermondesche Determinante)

det ( \begin{matrix}1 & r_{1} & r_{1}^{2} & … & r_{1}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & r_{n} & r_{n}^{2} & … & r_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = D(r_{1}, …, r_{n}).

Beweis Durch Induktion nach n ≥ 2. Für n = 2 ist

det ( \begin{matrix}1 & r_{1} \\ 1 & r_{2} \end{matrix} ) = r_{2} − r_{1} = D(r_{1}, r_{2}).

Sei nun n ≥ 3 und die Behauptung für n − 1 bewiesen. Wir ziehen in

A = ( \begin{matrix}1 & r_{1} & r_{1}^{2} & … & r_{1}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & r_{n} & r_{n}^{2} & … & r_{n}^{n−1} \end{matrix} )

das r_{1}-fache der (n − 1)-ten Spalte von der n-ten Spalte ab. In dieser neuen Matrix subtrahieren wir das r_{1}-fache der (n − 2)-ten Spalte von der (n − 1)-ten. So fahren wir fort und erhalten schließlich:

A → B = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 1 & r_{2} − r_{1} & … & r_{2}^{n−1} − r_{1}r_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & r_{n} − r_{1} & … & r_{n}^{n−1} − r_{1}r_{n}^{n−2} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 1 & r_{2} − r_{1} & … & (r_{2} − r_{1})r_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & r_{n} − r_{1} & … & (r_{n} − r_{1})r_{n}^{n−2} \end{matrix} ) .

Folglich gilt auf Grund von Satz 5.3.9 über Determinanten mit einem O-Block, der Multilinearität von det und der Induktionsannahme

det(A) = det(B)
= (r_{2} − r_{1}) · . . . · (r_{n} − r_{1}) · det ( \begin{matrix}1 & r_{2} & r_{2}^{2} & … & r_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & r_{n} & r_{n}^{2} & … & r_{n}^{n−2} \end{matrix} )
= (r_{2} − r_{1}) · . . . · (r_{n} − r_{1}) · ∏_{n≥j>i≥2}(r_{j} − r_{i})
= ∏_{n≥j>i≥1}(r_{j} − r_{i}) = D(r_{1}, …, r_{n}).
□

5.5 Cramersche Regel

In diesem Paragraphen werden wir aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz einige insbesondere für die reine Mathematik wichtige Sätze herleiten. So wird etwa in Satz 5.5.4 eine explizite Formel zur Bestimmung von A^{−1} angegeben, aus der u. a. hervorgeht, daß im Falle der Existenz die Komponenten von A^{−1} rationale Funktionen der Komponenten von A sind. Damit kann man beispielsweise quantitativ angeben, inwiefern ”kleine“ Änderungen bei A ”kleine“ Änderungen bei A^{−1} nach sich ziehen.

Die Adjunkte

5.5.1 Definition Für n × n-Matrizen A ist die Adjunkte adA die transponierte, mit alternierendem Vorzeichen versehene Cofaktormatrix

adA := (((−1)^{k+ℓ}d_{kℓ})_{k,ℓ=1,...,n})^{t} .

5.5 Cramersche Regel 171 5.5.2 Beispiel Für

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

lautet

adA = ( \begin{matrix}(−3) & −(−6) & (−3) \\ −(−6) & (−12) & −(−6) \\ (−3) & −(−6) & (−3) \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}−3 & 6 & −3 \\ 6 & −12 & 6 \\ −3 & 6 & −3 \end{matrix} ) .

5.5.3 Satz Für alle n × n-Matrizen A gilt:

adA ∘ A = A ∘ adA = det(A) · E.

Beweis Wir zeigen zunächst A ∘ adA = det(A) · E, d. h., daß für alle i, k = 1, …, n gilt:

∑_{ℓ=1}^{n} a_{iℓ}((−1)^{k+ℓ}d_{kℓ}) = δ_{ik} det(A).

Für i = k liefert die Entwicklung nach der k-ten Zeile die Behauptung:

det(A) = ∑_{ℓ=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{kℓ}d_{kℓ}.

Sei nun i ≠ k. Wir betrachten die Matrix A′, die in der k-ten Zeile die i-te Zeile von A und sonst dieselben Zeilen wie A enthält:

A′ =  ( \begin{matrix}& a_{11} & … & a_{1n} \\ & ⋮ & & ⋮ \\ i-te Zeile & a_{i1} & … & a_{in} \\ & ⋮ & & ⋮ \\ k-te Zeile & a_{i1} & … & a_{in} \\ & ⋮ & & ⋮ \\ & a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} )

Da A′ zwei gleiche Zeilen enthält, ist det(A′) = 0 = δ_{ik} det(A). Andererseits liefert die Entwicklung von det(A′) nach der k-ten Zeile:

det(A′) = ∑_{ℓ=1}^{n}(−1)^{k+ℓ}a_{iℓ} · d_{kℓ}.

Damit haben wir die Gültigkeit von A ∘ adA = det(A) · E gezeigt. Durch Transponieren folgt daraus (adA)^{t} ∘ A^{t} = det(A) · E und, indem man A durch A^{t} ersetzt, (adA^{t})^{t} ∘ A = det(A) · E. Im Beweis des Laplaceschen Entwicklungssatzes hatten wir gezeigt, daß der (k, ℓ)-te Cofaktor von A^{t} der (ℓ, k)-te Cofaktor von A ist, daß also adA^{t} = (adA)^{t} gilt. Es folgt adA ∘ A = det(A) · E. □

5.5.4 Satz Für alle nichtsingulären n × n-Matrizen A gilt:

A^{−1} = \frac{1}{det(A)} · adA.

Beweis Da voraussetzungsgemäß A^{−1} existiert, kann man in Satz 5.5.3mit A^{−1} und mit \frac{1}{det(A)} multiplizieren. □

Im Anschluß an die Definition 5.2.1 hatten wir erläutert, daß die Determinante als Polynom mit den n^{2}-Matrixkomponenten als Veränderlichen angesehen werden kann. Ebenso sind die Cofaktoren d_{ij} (Unter-) Determinanten und damit Polynome. Wegen Satz 5.5.4 ist also jede Komponente von A^{−1} eine rationale Funktion in den m = n^{2} Veränderlichen (x_{1}, …, x_{m}) = (a_{11}, …, a_{1n}, …, a_{n1}, …, a_{nn}) gemäß der folgenden Definition.

5.5.5 Definition Seien P, Q Polynome in m Veränderlichen, Q sei nicht das Nullpolynom. Der Quotient \frac{P}{Q} heißt rationale Funktion.

5.5.6 Beispiel Die zweireihige Matrix A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) =: ( \begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{matrix} ) sei nichtsingulär, es ist also

det(A) = x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3} ≠ 0. Für die Cofaktoren berechnet man d_{11} = x_{4}, d_{12} = x_{3}, d_{21} = x_{2}, d_{22} = x_{1}, die Adjunkte lautet

adA = ( \begin{matrix}x_{4} & −x_{3} \\ −x_{2} & x_{1} \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}x_{4} & −x_{2} \\ −x_{3} & x_{1} \end{matrix} ) .

Für

A^{−1} =: ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ c′ & d′ \end{matrix} )

erhält man also aus Satz 5.5.4:

a′ = \frac{x_{4}}{x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}} , b′ = \frac{−x_{2}}{x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}} , c′ = \frac{−x_{3}}{x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}} , d′ = \frac{x_{1}}{x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}} .

5.5.7 Beispiel In Beispiel 3.8.7hatten wir für

A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ −3 & 4 & 3 \\ −4 & 6 & 5 \end{matrix} )

die inverse Matrix mit

A^{−1} = ( \begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ −3 & 1 & 0 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} )

berechnet. Daß sowohl A als auch A^{−1} nur ganzzahlige Komponenten haben, erklärt sich aus Satz 5.5.4und

det(A) = det ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ −3 & 1 & 0 \\ −4 & 2 & 1 \end{matrix} ) = −1.

Hier haben wir die erste Spalte von A zur zweiten und zur dritten Spalte addiert. Allgemein gilt sogar umgekehrt: Haben A und A^{−1} ganzzahlige Komponenten, so sind det(A), det(A^{−1}) ∈ ℤ, da det ein Polynom in den Matrixkomponenten mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Es folgt 1 = det(A) · det(A^{−1}), und diese Gleichung hat in ℤ nur die Lösungen det(A), det(A^{−1}) = ±1.

Auflösung von Gleichungssystemen

Der Zusammenhang zwischen Adjunkten und inversen Matrizen führt zu einem weiteren Verfahren zur Auflösung von linearen Gleichungssystemen A ∘ x⃗ = b⃗, wobei A = A^{n,n} eine n × n-Matrix und b⃗ ∈ ℝ^{n} ein (Spalten-) Vektor ist. Für das Folgende setzen wir stets voraus, daß die Matrix A nichtsingulär (invertierbar) ist. Dann wird durch A ein Isomorphismus F : ℝ^{n} → ℝ^{n} gegeben, zu jedem b⃗ ∈ ℝ^{n} existiert also genau eine Lösung x⃗ ∈ ℝ^{n} von A ∘ x⃗ = b⃗, für diese gilt x⃗ = A^{−1} ∘ b⃗. Durch Verwendung von Satz 5.5.4ergibt sich:

174 5 Determinantentheorie 5.5.8 Satz (Cramersche Regel) Es sei A eine nichtsinguläre n × n-Matrix mit den Spalten a⃗_{1}, …, a⃗_{n}, ferner sei b⃗ ∈ ℝ^{n}. Für j = 1, …, n setze man

B_{j} := (a⃗_{1}, …, a⃗_{j−1}, b⃗, a⃗_{j+1}, …, a⃗_{n}).

Dann gilt für die eindeutig bestimmte Lösung x⃗ ∈ ℝ^{n} des linearen Gleichungssystems A ∘ x⃗ = b⃗:

x_{j} = \frac{det(B_{j})}{det(A)}, j = 1, …, n.

Beweis Es bezeichne (c_{ji})_{{j=1,...,n \atop i=1,...,n}} := A^{−1}, gemäß Satz 5.5.4gilt

c_{ji} = (−1)^{i+j} \frac{d_{ij}}{det(A)}.

Die Lösung des Gleichungssystems ist durch x⃗ = A^{−1} ∘ b⃗ gegeben, also folgt:

x_{j} = ∑_{i=1}^{n} c_{ji}b_{i} = \frac{1}{det(A)} · ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}d_{ij} = \frac{det(B_{j})}{det(A)},

denn die Entwicklung von det(B_{j}) nach der j-ten Spalte ergibt:

det(B_{j}) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}d_{ij}.  □

5.5.9 Beispiel Sei

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) und b⃗ = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) .

Es gilt det(A) = 4 − 6 = −2, die Cramersche Regel kann also verwendet werden. Es ist B_{1} = ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) , B_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix} ) , det(B_{1}) = 2, det(B_{2}) = −3, wir erhalten

x_{1} = \frac{2}{−2} = −1 und x_{2} = \frac{−3}{−2} = \frac{3}{2}.

Somit löst (−1, \frac{3}{2}) das Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} + 2x_{2} & = & 2 \\ 3x_{1} + 4x_{2} & = & 3. \end{aligned}

Unterdeterminanten und Rang einer Matrix

Es wird ein Zusammenhang zwischen dem Rang einer nicht notwendig quadratischen Matrix und deren größtmöglichen quadratischen nichtsingulären Untermatrizen hergestellt.

5.5.10 Definition Sei A = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} eine m × n-Matrix. Eine d × d-Matrix C mit d ≤ min(m, n) heißt d-dimensionale Untermatrix von A, wenn d Zeilenindizes 1 ≤ i_{1} < i_{2} < … < i_{d} ≤ m und d Spaltenindizes 1 ≤ j_{1} < … < j_{d} ≤ n existieren, so daß gilt:

C = ( \begin{matrix}a_{i_{1}j_{1}} & … & a_{i_{1}j_{d}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{i_{d}j_{1}} & … & a_{i_{d}j_{d}} \end{matrix} ) .

Unter einer d-dimensionalen Unterdeterminante von A versteht man die Determinante einer d-dimensionalen Untermatrix von A.

Die Untermatrix C geht aus A hervor, indem man die m − d Zeilen von A mit Index i ≠ {i_{1}, …, i_{d}} und die n − d Spalten von A mit Index j ∉ {j_{1}, …, j_{d}} streicht. Die in Definition 5.4.4für n-reihige quadratische Matrizen A erklärten ”Sreichungs“- Matrizen A_{ij} sind (n−1)-dimensionale Untermatrizen von A, die Cofaktoren d_{ij} sind (n − 1)-dimensionale Unterdeterminanten von A.

5.5.11 Definition Es sei A eine m×n-Matrix. Ist A nicht die Nullmatrix, so bezeichnen wir mit d(A) die größte Zahl d ∈ ℕ, für die eine von 0 verschiedene d-dimensionale Unterdeterminante von A existiert. Für die Nullmatrix setzen wir d(O^{m,n}) := 0.

5.5.12 Satz Für jede m × n-Matrix A gilt Rang (A) = d(A).

Beweis Es bezeichnen a⃗_{1}, …, a⃗_{n} die Spalten von A, d := d(A) und r := Rang (A). Wegen der Äquivalenz r = 0 ⇔ A = O ⇔ d = 0 können wir ohne Einschränkung r > 0 und d > 0 annehmen. ”d ≤ r “: Dieser Beweisteil ist einfach und beruht darauf, daß die lineare Unabhängigkeit von Vektoren aus ℝ^{d} durch Hinzufügen weiterer Komponenten nicht verlorengeht. Durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen werden r und d nicht geändert wir können also ohne Einschränkung

det ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1d} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{d1} & … & a_{dd} \end{matrix} ) ≠ 0

annehmen. Die Spalten dieser Matrix sind linear unabhängig und damit a⃗_{1}, …, a⃗_{d} ∈ ℝ^{m} ebenfalls. Folglich ist r ≥ d. ”r ≤ d “: Da Spaltenvertauschungen den Rang einer Matrix nicht ändern, können wir annehmen, daß a⃗_{1}, …, a⃗_{r} linear unabhängig sind. Wir bezeichnen A′ := (a⃗_{1}, …, a⃗_{r}) und d′ := d(A′), offenbar ist d′ ≤ r ≤ m. Da jede Unterdeterminante von A′ auch Unterdeterminante von A ist, gilt d′ ≤ d. Es reicht also zu zeigen: r ≤ d′. Dazu wird ein Widerspruchsbeweis geführt. Angenommen, es wäre r > d′. Da wir nur den Fall r ≥ 1 betrachten, ist offensichtlich auch d′ ≥ 1. Wir können, gegebenenfalls wieder nach Zeilen- und Spaltenvertauschungen, ohne Einschränkung von

det ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1d′} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{d′1} & … & a_{d′d′} \end{matrix} ) ≠ 0  (∗)

ausgehen. Für i = 1, …, m setzen wir

B_{i} := B_{i}^{d′+1,d′+1} := ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1d′} & a_{1,d′+1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{d′1} & … & a_{d′d′} & a_{d′,d′+1} \\ a_{i1} & … & a_{id′} & a_{i,d′+1} \end{matrix} ) .

Wegen der Annahme d′ < r ist diese Setzung möglich, und es gilt stets det(B_{i}) = 0. Die Entwicklung von det(B_{i}) nach der (d′ + 1)-ten Zeile ergibt:

0 = det(B_{i}) = ∑_{j=1}^{d′+1}(−1)^{d′+1+j}a_{ij} · d_{j}, i = 1, …, m,

mit

d_{j} = det ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & a_{1,j+1} & … & a_{1,d′+1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{d′1} & … & a_{d′,j−1} & a_{d′,j+1} & … & a_{d′,d′+1} \end{matrix} ) .

Diese m Gleichungen werden zu einer Vektorgleichung zusammengefaßt:

∑_{j=1}^{d′+1}(−1)^{d′+1+j}d_{j}a⃗_{j} = 0_{ℝ^{m}} .

Gemäß (∗) ist d_{d′+1} ≠ 0; die Spalten a⃗_{1}, …, a_{d′+1} sind linear abhängig. Wir erhalten einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von a⃗_{1}, …, a⃗_{r}. Also gilt r ≤ d′ und folglich r ≤ d. □

5.6 Die Determinante einer linearen Abbildung F : V → V 177

5.5.13 Beispiel Mit Hilfe dieses Satzes soll der Rang der Matrix

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

bestimmt werden, vgl. Beispiel 3.6.15. Mit einem der in Abschnitt 5.4 entwickelten Verfahren berechnet man det(A) = 0, es ist also d(A) ≤ 2. Für die zweidimensionale

Untermatrix A′ = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) gilt: det(A′) = −3 ≠ 0, folglich ist d(A) ≥ 2. Man

erhält 2 = d(A) = Rang (A).

5.6 Die Determinante einer linearen Abbildung F : V → V

In den Kapiteln 3 und 4 haben wir stets die Theorie linearer Abbildungen und den Matrizenkalkül simultan entwickelt. In diesem Sinne soll nun die Determinantendefinition auf lineare Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume in sich ausgedehnt werden. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und F : V → V eine lineare Abbildung. Wir betrachten eine Karte H : ℝ^{n} →^{∼} V, das entsprechende Koordinatensystem H^{−1} : V →^{∼} ℝ^{n} und die lineare Abbildung F in den Koordinaten: H^{−1} ∘ F ∘ H : ℝ^{n} → ℝ^{n}, (vgl. Kapitel 3.2). Es liegt nahe, die Determinante von F als Determinante der zur Abbildung in den Koordinaten H^{−1} ∘ F ∘ H gehörigen n × n-Matrix A zu erklären: det(F) := det(A). Zuvor ist allerdings zu zeigen, daß diese Setzung nicht von der Wahl der Karte H abhängt. Zur Klärung der Wohldefiniertheit betrachten wir eine weitere Karte Ĥ : ℝ^{n} →^{∼} V. In diesen Koordinaten gehört zu Ĥ^{−1} ∘ F ∘ Ĥ eine Matrix Â. Die zur Koordinatenwechselabbildung H^{−1} ∘ Ĥ : ℝ^{n} → ℝ^{n} gehörige reguläre n × n-Matrix werde mit B bezeichnet. Wie im Abschnitt ”Koordinatenwechsel“ in Kapitel 3.6 berechnet man:

\begin{aligned}Ĥ^{−1} ∘ F ∘ Ĥ & = & Ĥ^{−1} ∘ H ∘ H^{−1} ∘ F ∘ H ∘ H^{−1} ∘ Ĥ = \\ & = & (H^{−1} ∘ Ĥ)^{−1} ∘ (H^{−1} ∘ F ∘ H) ∘ (H^{−1} ∘ Ĥ), \end{aligned}

also Â = B^{−1} ∘ A ∘ B. Der Determinanten-Multiplikationssatz zeigt schließlich:

det(Â) = det(B^{−1}) · det(A) · det(B) = \frac{det(B)}{det(B)} · det(A) = det(A).

Die folgende Definition ist also sinnvoll:

5.6.1 Definition Es sei F : V → V eine lineare Abbildung des n-dimensionalen Vektorraums V in sich. Sei H : ℝ^{n} →^{∼} V eine beliebige Karte und A die zu H^{−1} ∘ F ∘ H gehörige n × n-Matrix. Die Determinante von F wird durch det(F) := det(A) erklärt.

Mit dieser Definition finden alle Gesetze für Determinanten von Matrizen ihre Entsprechung bei Determinanten von linearen Abbildungen. Im folgenden Satz wird davon eine Auswahl zusammengestellt:

5.6.2 Satz Es seien F, G : V → V lineare Abbildungen des n-dimensionalen Vektorraums V in sich. Dann gilt:

(a) det(id_{V}) = 1.

(b) det(F ∘ G) = det(F) · det(G).

(c) Genau dann ist F ein Isomorphismus, wenn det(F) ≠ 0 gilt.

Beweis Sei H : ℝ^{n} →^{∼} V eine Karte und A bzw. B die zu H^{−1} ∘ F ∘ H bzw. H^{−1} ∘ G ∘ H gehörige Matrix.

(a) Folgt aus H^{−1} ∘ id_{V} ∘ H = id_{ℝ^{n}} .

(b) Die Matrix A ∘ B gehört zu H^{−1} ∘ F ∘ H ∘ H^{−1} ∘ G ∘ H = H^{−1} ∘ (F ∘ G) ∘ H, d. h. zur Abbildung F ∘ G in den Koordinaten. Der Determinanten-Multiplikationssatz 5.3.6ergibt det(F ∘ G) =^{def} det(A ∘ B) = det(A) · det(B) =^{def} det(F) · det(G).

(c) Unter Verwendung von Satz 5.3.7 erhalten wir die folgende Kette äquivalenter Aussagen: F ist ein Isomorphismus ⇔ H^{−1} ∘ F ∘ H ist ein Isomorphismus ⇔ A ist nichtsingulär ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ det(F) ≠ 0. □

6 Orthogonalität

6.1 Die euklidische Ebene

Wir knüpfen hier an Kapitel 2 an. Es sei wieder E die anschauliche Ebene und O ∈ E der Basispunkt. Wir haben den Vektorraum der von O ausgehenden Pfeilvektoren in E : V = {(O, P) : P ∈ E}. Bislang sind in Kapitel 2 zwölf Axiome für V aufgestellt worden. Wir übernehmen sie. Aus ihnen wurde abgeleitet:

V ist ein 2-dimensionaler Vektorraum.

Bislang hat V nur die lineare Geometrie. Es fehlt der Abstandsbegriff, der Winkelbegriff, das Senkrechtstehen. Wir müssen deshalb das Axiomensystem ergänzen. Wir werden V nicht sogleich mit einem Skalarprodukt versehen, sondern den Begriff des Winkels zugrundelegen. Dann kann man auf V auch ein Skalarprodukt festlegen. Es ist bis auf eine Eichtransformation bestimmt. Wir gehen vom anschaulichen Begriff der Drehung aus.

Axiome der Drehungen

In der räumlichen Anschauung ist evident, daß es Drehungen um O ∈ E gibt. Wir werden für diese sechs weitere Axiome aufstellen.

Axiom XIII Zu jedem Θ ∈ ℝ ist eine Abbildung D_{Θ} : E → E mit O ↦ O definiert.

In der räumlichen Anschauung bedeutet die Abbildung D_{Θ} die Drehung von E um O mit dem Winkel Θ. Wir wollen den Winkel in gewöhnlichen Grad messen. Die Drehung um 360 Grad ist also gerade wieder die Identität. Ist Θ > 0 so erfolgt die Drehung im mathematisch positiven Sinn, ist Θ < 0, so geschieht sie negativ, also wie bei einer Uhr. Natürlich ist durch die Drehung Θ nicht eindeutig festgelegt. Man kann ein Vielfaches von 360 dazu addieren oder davon abziehen. Die Abbildung D_{Θ} ergibt auch immer eine Abbbildung der Vektoren. Wir setzen einfach D̂_{Θ}(P, Q) = (D_{Θ}(P), D_{Θ}(Q)) für P, Q ∈ E. Wir erhalten D̂_{Θ}(O, P) =

(O, D_{Θ}(P)) ∈ V. Also wirft die Abbildung D̂_{Θ} den Vektorraum V in sich selbst.

Es ist auch evident, daß D̂_{Θ} ”parallel“ invariant läßt: Axiom XIV Ist (P, Q) ∥ (P_{0}, Q_{0}), so folgt D̂_{Θ}(P, Q) ∥ D̂_{Θ}(P_{0}, Q_{0}).

[figure: ∗; Drehung paralleler Vektoren um 45^{∘}; O]

Die Vergrößerung mit einem Faktor a vor der Drehung ergibt eine Vergrößerung mit a nach der Drehung. Axiom XV Wenn a ∈ ℝ_{0}^{+} ist, folgt D̂_{Θ}(a · (O, P)) = a · D̂_{Θ}(O, P).

[figure: ∗; O; Verlängerung eines Vektors, Drehung]

Wir beweisen nun, daß alle Drehungen lineare Abbildungen V → V sind. 6.1.1 Satz Jede Drehung D̂_{Θ} : V → V ist eine lineare Abbildung. {Beweis \atop (1)} Wir müssen zeigen, daß D̂_{Θ}((O, P) + (O, Q)) = D̂_{Θ}(O, P) + D̂_{Θ}(O, Q)

ist. Es gibt genau einen Punkt R ∈ E mit (O, Q) ∥ (P, R). Das folgt aus Axiom III. Wir erhalten (O, P) + (O, Q) = (O, P) + (P, R) = (O, R). Weiter haben wir (O, D(Q)) ∥ (D(P), D(R)) = D̂(P, R). Das bedeutet D̂(O, P) + D̂(O, Q) = (O, D(P)) + (D(P), D(R)) = (O, D(R)) = D̂(O, R). Also ist D̂ : (V, +) → (V, +) ein Gruppenhomomorphismus.

[figure: O; Vektoraddition, Drehung um 45^{∘}]

(2) Wir müssen weiter beweisen: Für a ∈ ℝ ist a·D̂(O, P) = D̂(a·(O, P)). Wenn a ≥ 0 ist, ist das gerade Axiom XV. Also setzen wir a < 0 voraus. Dann folgt: D̂(a·(O, P)) = D̂(− ((−a) · (O, P))) = −D̂((−a)·(O, P)), da D̂ ein Gruppenhomomorphismus ist. Das heißt D̂(a · (0, P)) = − ((−a) · D̂(O, P)) = a · D̂(O, P). □

In der räumlichen Anschauung ist evident:

(a) Wenn wir eine Drehung um den Winkel Θ_{2} ausführen und dann eine Drehung um den Winkel Θ_{1}, so erhalten wir eine Drehung um den Winkel Θ_{1} + Θ_{2}.

(b) Zwei Drehungen D_{Θ_{1}} und D_{Θ_{2}} sind genau dann gleich, wenn Θ_{2} − Θ_{1} = k · 360 mit k ∈ ℤ ist.

Wir haben also noch die folgenden Axiome:

Axiom XVI D_{Θ_{1}} ∘ D_{Θ_{2}} = D_{Θ_{1}+Θ_{2}}.

Axiom XVII Die Abbildung D_{0} ist die Identität. Es gilt D_{Θ_{1}} = D_{Θ_{2}} dann und nur dann, wenn Θ_{2} = Θ_{1} + k · 360 (k ∈ ℤ).

Es gelten die gleichen Aussagen für die Abbildungen D̂_{Θ}. Man hat: D̂_{Θ_{1}} ∘ D̂_{Θ_{2}} = D̂_{Θ_{1}+Θ_{2}}, D̂_{0} = id : V → V, D̂_{Θ_{1}} = D̂_{Θ_{2}} dann und nur dann, wenn Θ_{2} = Θ_{1}+k·360.

6.1.2 Satz Für jedes Θ ∈ ℝ ist D̂_{Θ} : V → V ein Isomorphismus.

Beweis Es muß gezeigt werden: D̂_{Θ} hat eine lineare Umkehrabbildung. Es ist aber D̂_{−Θ} ∘ D̂_{Θ} = D̂_{Θ} ∘ D̂_{−Θ} = id : V → V. □

Da V ein 2-dimensionaler Vektorraum ist, gibt es Isomorphismen α : ℝ^{2} →^{∼} V. Wir nennen wie in Kapitel 3.2 ein solches α stets eine Karte von V und die Punkte von ℝ^{2} Koordinaten in V. Jede Drehung D̂ : V → V wird in ℝ^{2} zu einer linearen Abbildung φ = α^{−1} ∘ D̂ ∘ α : ℝ^{2} → ℝ^{2}. Wir nennen sie die Drehung D̂ in den Koordinaten von V. Diese Abbildung φ wird durch eine Matrix gegeben:

A_{α}(Θ) = ( \begin{matrix}a_{α}(Θ) & c_{α}(Θ) \\ b_{α}(Θ) & d_{α}(Θ) \end{matrix} ) .

Es soll nun der aus der Differentialrechnung für Funktionen ℝ → ℝ bekannte Stetigkeitsbegriff verwendet werden:

Axiom XVIII Es gibt eine Karte α : ℝ^{2} →^{∼} V, so daß a_{α}(Θ), …, d_{α}(Θ) stetig in Θ sind.

Natürlich ist die Stetigkeit unabhängig von der Karte:

6.1.3 Satz Ist β : ℝ^{2} →^{∼} V eine andere Karte von V, so sind auch a_{β}(Θ), …, d_{β}(Θ) stetig in Θ.

Beweis Es gilt φ_{β} = β^{−1} ∘ D̂ ∘ β = β^{−1} ∘ α ∘ α^{−1} ∘ D̂ ∘ α ∘ α^{−1} ∘ β = γ^{−1} ∘ φ_{α} ∘ γ mit γ = α^{−1} ∘ β : ℝ^{2} →^{∼} ℝ^{2}. Die Abbildung γ ist die Koordinatentransformation. Sie transformiert die neuen Koordinaten, die durch β gegebenen, in die alten. Sie wird durch eine Matrix C gegeben, die der folgenden Gleichung genügt (man vgl. dazu auch Abschnitt 3.6):

A_{β} = C^{−1} ∘ A_{α} ∘ C.

Ist A_{α} stetig in Θ, so ist auch A_{β} stetig in Θ. □

Die Determinante

6.1.4 Satz Für alle Θ ∈ ℝ gilt det(D̂_{Θ}) =^{def} det(α^{−1} ∘ D̂_{Θ} ∘ α) = 1.

Beweis Wir betrachten die Funktion f(Θ) = det(D̂_{Θ}). Sie hat folgende drei Eigenschaften:

(1) f ist stetig in Θ; denn es ist f (Θ) = det (A_{α} (Θ)) = a_{α} (Θ) d_{α} (Θ) − b_{α} (Θ) c_{α} (Θ).

(2) Es ist f (Θ_{1} + Θ_{2}) = f (Θ_{1}) · f (Θ_{2}):

wegen det \binom{}{D̂_{Θ_{1}+Θ_{2}}} = det (D̂_{Θ_{1}} ∘ D̂_{Θ_{2}}) = det \binom{}{D̂_{Θ_{1}}} · det \binom{}{D̂_{Θ_{2}}} , auf Grund von Axiom XVI.

(3) Für ein a ≠ 0 ist f (a) = 1, wegen det (360) = det (id) = 1 nach Axiom XVII.

Unser Satz ergibt sich also aus der folgenden Behauptung:

6.1.5 Satz Die Funktion f(Θ) : ℝ → ℝ habe die Eigenschaften (1)-(3). Dann ist f(Θ) ≡ 1.

Beweis Aus 1 = f(a) = f(a + 0) = f(a) · f(0) = 1 · f(0) folgt f(0) = 1. Wir zeigen mit vollständiger Induktion nach n = 0, 1, 2, …, daß f(a/2^{n}) = 1. Die Induktionsbasis n = 0 folgt wegen 2^{0} = 1 aus Eigenschaft (3). Ist nun die Behauptung für n − 1 bewiesen, so folgt mit Eigenschaft (2):

1 = f(a/2^{n−1}) = f(a/2^{n} + a/2^{n}) = (f(a/2^{n}))^{2}.

Also ist f(a/2^{n}) = ±1. Es ist auch f(a/2^{n}) = (f(a/2^{n+1}))^{2} ≥ 0. Folglich ist f(a/2^{n}) = 1. Durch eine einfache Induktion folgt aus Eigenschaft (2), daß f(m · Θ) = (f(Θ))^{m} für m = 0, 1, 2, . . .. Ferner hat man f(−Θ) · f(Θ) = f(0) = 1, also f(−Θ) = 1/f(Θ). Das ergibt f(±(m/2^{n}) · a) = 1 für n, m ∈ ℕ_{0}. Die Menge {±(m/2^{n})a} ist aber ”dicht“ in ℝ: Sind δ > 0, Θ reelle Zahlen, so gibt es immer ein ±(m/2^{n})a mit | ± (m/2^{n})a − Θ| < δ. Wegen der Stetigkeit von f kann man zu beliebig kleinem ϵ > 0 ein δ > 0 finden, so daß in dem ganzen Intervall um Θ mit Radius δ die Ungleichung |f(x) − f(Θ)| < ϵ gilt. Das Intervall enthält aber eine Einsstelle von f. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender solcher Stellen ist ja höchstens |a|/2^{n} und n kann beliebig groß sein. Es muß daher |f(Θ) − 1| < ϵ für beliebig kleines ϵ sein. Dann kann nur f(Θ) = 1 sein. Unser Satz ist bewiesen. □

Spezielle lineare Gruppen

Im Folgenden müssen Eigenschaften von einigen Gruppen von reellen Matrizen dargestellt werden.

6.1.6 Definition Die spezielle lineare Gruppe SL(n, ℝ) ist die mit der Matrizenmultiplikation versehene Menge {C ∈ ℝ^{n×n} : det(C) = 1}.

Es gilt:

(a) SL(n, ℝ) ⊂ GL(n, ℝ) ist eine Untergruppe.

(b) A_{α} ∈ SL(2, ℝ) (nach Satz 6.1.4). Ist O(n, ℝ) die in Kapitel 4.5eingeführte orthogonale Gruppe, so ist für A ∈ O(n, ℝ):

1 = det(A^{t} ∘ A) = det(A^{t}) · det(A) = (det(A))^{2}, also det(A) = ±1.

6.1.7 Definition Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, ℝ) ist die Menge SL(n, ℝ) ∩ O(n, ℝ) = {C ∈ O(n, ℝ) : det(C) = 1}.

Wir werden später sehen, daß SO(2, ℝ) gerade aus den Drehungen der anschaulichen Ebene besteht. SO(n, ℝ) ist eine Untergruppe von O(n, ℝ).

6.1.8 Satz Es gilt

SO(2, ℝ) = \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) : a^{2} + b^{2} = 1\} ,  (∗)

und SO(2, ℝ) ist eine abelsche Gruppe.

Beweis Nach Satz 4.5.3ist jede orthogonale 2 × 2-Matrix in der Form (∗) oder als

( \begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix} )

darstellbar. Die Determinante ist im zweiten Fall aber nicht positiv. Es wurde in Bemerkung 4.5.4auch gezeigt, daß die Multiplikation in SO(2, ℝ) abelsch ist. □

Die Aussage dieses Satzes gilt hinsichtlich der Kommutativität von SO(n, ℝ) nicht mehr, wenn n ≥ 3. Häufig lassen wir das ℝ in der Bezeichnung dieser Gruppen fort, da wir auch in diesem Abschnitt weiterhin nur reelle Matrizen betrachten. Der folgende Satz behandelt ”Quadratwurzeln“ orthogonaler Matrizen und dient der genaueren Untersuchung der Matrizen A_{α}(Θ).

{6.1.9 Satz \atop (a)} Ist A ∈ SO(2), A ≠ −E, dann gibt es genau zwei Matrizen B_{1}, B_{2} ∈ SL(2) mit B_{1}^{2} = B_{2}^{2} = A. Dabei ist B_{1} = −B_{2}, B_{1}, B_{2} ∈ SO(2).

(b) Für B ∈ SL(2) gilt B^{2} = −E genau dann, wenn

B = ( \begin{matrix}r & u \\ s & −r \end{matrix} ) , det(B) = −r^{2} − us = 1.

Beweis Es sei A ∈ SO(2), B ∈ SL(2), also

A = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) , a^{2} + b^{2} = 1, B = ( \begin{matrix}r & u \\ s & t \end{matrix} ) , rt − us = 1.

Unter Benutzung von us = rt − 1 errechnet man:

B^{2} = ( \begin{matrix}r(r + t) − 1 & u(r + t) \\ s(r + t) & t(r + t) − 1 \end{matrix} ) .

Daher gilt B^{2} = A genau dann, wenn die folgenden Gleichungen erfüllt sind:

a = r(r + t) − 1 = t(r + t) − 1;  (∗)
b = s(r + t) = −u(r + t).  (∗∗)

(a) Es sei nun A ≠ −E, B^{2} = A. Dann ist a+1 ≠ 0, also wegen (∗) auch r+t ≠ 0. Es folgt r = t, s = −u und r^{2} + s^{2} = 1 wegen det(B) = 1, mithin B ∈ SO(2). Weiter folgt mit (∗) und (∗∗): 2r^{2} = a + 1, s = b/2r. Wegen a ≠ −1 ist r^{2} > 0, und es existieren zwei verschiedene Lösungen r_{1}, r_{2} von r^{2} = \frac{a+1}{2}. Dagegen ist s durch r festgelegt. Also sind

B_{1} = ( \begin{matrix}\sqrt{\frac{a+1}{2}} & −\frac{b}{2} · \sqrt{\frac{2}{a+1}} \\ \frac{b}{2} · \sqrt{\frac{2}{a+1}} & \sqrt{\frac{a+1}{2}} \end{matrix} ) , B_{2} = −B_{1}

die Lösungen (Man kann leicht nachrechnen, daß diese Bedingungen auch hinreichend für B^{2} = A sind).

(b) Ist A = −E, so lauten (∗) und (∗∗):

r(r + t) = t(r + t) = 0,
s(r + t) = u(r + t) = 0.

Wäre r + t ≠ 0, so wäre im Widerspruch dazu r = u = s = t = 0. Also gilt r = −t und

B = ( \begin{matrix}r & u \\ s & −r \end{matrix} ) , det(B) = −r^{2} − us = 1.

Alle diese B erfüllen die Gleichung B^{2} = −E. □

Orthogonale Karten

Es sei α : ℝ^{2} → V eine Karte in unserem Vektorraum der Pfeilvektoren. Die Drehungen D̂_{Θ} werden in den Koordinaten durch die Matrizen A_{α}(Θ) ∈ SL(2) beschrieben. Auf Grund von Axiom XVI besitzt die Abbildung Θ ↦ A_{α}(Θ) die multiplikative Eigenschaft:

A_{α}(Θ_{1} + Θ_{2}) = A_{α}(Θ_{1}) ∘ A_{α}(Θ_{2}) für Θ_{1}, Θ_{2} ∈ ℝ.

Insbesondere gilt nach Axiom XVII:

E = A_{α}(360) = A_{α}(180) ∘ A_{α}(180).

Gerade die Matrizen B = E, −E lösen die Gleichung B^{2} = E in SL(2). Folglich ist A_{α}(180) = ±E. Aber +E kommt wegen Axiom XVII nicht in Frage. Also ist A_{α}(180) = −E unabhängig von α. Jedoch kann man nicht A_{α}(90) bestimmen. Wir erhalten nur:

A_{α}(90) = ( \begin{matrix}r & u \\ s & −r \end{matrix} ) mit − r^{2} − us = 1.

Das ist aber auch selbstverständlich, da die aufspannenden Vektoren

x_{1} := α(e⃗_{1}), x_{2} := α(e⃗_{2})

in beliebigem Winkel aufeinander stehen können.

6.1.10 Definition Eine Karte heißt orthogonal, wenn x_{2} = D̂_{90}(x_{1}).

Die Existenz von orthogonalen Karten ist beinahe trivial. Wir wählen einfach einen beliebigen Vektor x_{1} ≠ O und setzen dann x_{2} = D̂_{90}(x_{1}). Dann sind beide Vektoren linear unabhängig. Aus x_{2} = a · x_{1} folgt nämlich

−x_{1} = D̂_{180}(x_{1}) = D̂_{90}(x_{2}) = D̂_{90}(ax_{1}) = aD̂_{90}(x_{1}) = ax_{2} = a^{2}x_{1}.

Also ist a^{2} = −1. Das ist nicht möglich. Man hat in x_{1}, x_{2} eine Basis von V. Die zugehörige Abbildung α : ℝ^{2} → V ist eine Karte.

6.1.11 Satz Bei einer orthogonalen Karte gilt:

A_{α}(0) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , A_{α}(90) = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,

A_{α}(180) = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , A_{α}(270) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) .

Beweis Nach Axiom XVII gilt A_{α}(0) = E, A_{α}(180) = −E wurde soeben gezeigt. Es ist

A_{α}(90) = ( \begin{matrix}r & u \\ s & −r \end{matrix} )

und

( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = A_{α}(90) ∘ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ,

mithin r = 0, s = 1. Man hat det(A_{α}(90)) = 1. Also muß u = −1 sein. Es ist A_{α}(270) = A_{α}(90 + 180) = A_{α}(90) ∘ (−E) = −A_{α}(90). Damit ist alles gezeigt. □

6.1.12 Satz Bei einer orthogonalen Karte ist immer A_{α}(Θ) ∈ SO(2).

Wir schreiben immer A_{α}(Θ) = ( \begin{matrix}a_{α}(Θ) & c_{α}(Θ) \\ b_{α}(Θ) & d_{α}(Θ) \end{matrix} ) .

Beweis Weil die Determinante der Abbildung immer gleich 1 ist, muß man nur die Orthogonalität beweisen.

(a) Durch vollständige Induktion über n = 0, 1, 2, … zeigen wir: Es ist stets A_{α}(90/2^{n}) ≠ ±E und orthogonal. Der Induktionsanfang n = 0 ist klar. Sei nun die Behauptung für n − 1 bewiesen. Dann folgt mit Satz 6.1.9 aus (A_{α}(90/2^{n}))^{2} = A_{α}(90/2^{n−1}), daß A_{α}(90/2^{n}) ≠ ±E und wieder orthogonal ist.

(b) Für Θ = q · 90, q = m/2^{n} ∈ [0, 1], m, n ∈ ℕ_{0}, gelten die Gleichungen

a_{α}(Θ) = d_{α}(Θ), b_{α}(Θ) = −c_{α}(Θ),  (∗)

denn Potenzen orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal. Diese Zahlen q·90 liegen wieder ”dicht“ im Intervall zwischen 0 und 90. Weil die Funktionen stetig sind, folgt dann wie beim Beweis von Satz 6.1.5, daß die Orthogonalitätsbedingungen (∗) im ganzen Intervall gelten. Man kann nun jedes D̂_{Θ} durch Multiplikation einer Drehung D̂_{Θ_{1}} zu einem Θ_{1} aus dem Intervall [0, 90] mit D̂_{90}, D̂_{180}, D̂_{270} erreichen. Durch Multiplikation der zugehörigen Matrizen sieht man, daß immer orthogonale Matrizen entstehen. □

6.1.13 Satz Es sei α eine orthogonale Karte. Dann sind im Intervall {Θ : 0 ≤ Θ < 360} die Nullstellen von a_{α}(Θ) die Zahlen 90 und 270, die von b_{α}(Θ) die Zahlen 0 und 180. (Echt) zwischen 0 und 90 sowie zwischen 270 und 360 gilt a_{α}(Θ) > 0, zwischen 90 und 270 ist a_{α}(Θ) < 0, die Funktion b_{α}(Θ) ist positiv zwischen 0 und 180 und negativ zwischen 180 und 360.

Beweis Daß die angegebenen Zahlen Nullstellen sind, ersieht man aus Satz 6.1.11. Ist umgekehrt Θ eine Nullstelle von a_{α}, so folgt 1 = (a_{α}(Θ))^{2} + (b_{α}(Θ))^{2} = (b_{α}(Θ))^{2}, also b_{α}(Θ) = ±1 und folglich A_{α}(Θ) = A_{α}(90) oder A_{α}(Θ) = A_{α}(270). Axiom XVII liefert dann Θ = 90 oder 270. Entsprechend untersucht man b_{α}(Θ). Die Vorzeichenaussagen folgen wegen a_{α}(0) = −a_{α}(180) = a_{α}(360) = 1 und b_{α}(90) = −b_{α}(270) = 1 und der Nullstellenaussagen aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen. Wäre etwa zwischen 0 und 90 ein a_{α} ≤ 0, so müßte in diesem Intervall eine weitere Nullstelle von a_{α} vorliegen, was nicht der Fall ist. □

Es folgt jetzt, daß A_{α}(Θ) unabhängig von α ist.

6.1.14 Satz Bei orthogonalen Karten α, β gilt für alle Θ ∈ ℝ : A_{α}(Θ) = A_{β}(Θ).

Wir schreiben deshalb fortan

A_{α}(Θ) = A(Θ) = ( \begin{matrix}a(Θ) & −b(Θ) \\ b(Θ) & a(Θ) \end{matrix} ) .

Beweis Wir führen ihn wie bei Satz 6.1.12durch vollständige Induktion über n = 0, 1, 2, …, indem wir die Werte der beiden Matrixfunktionen für alle Θ = 90/2^{n} ausrechnen. Beim Übergang von Θ = 90/2^{n−1} zu Θ = 90/2^{n} haben wir zwei Möglichkeiten, die sich jedoch nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Es muß aber a_{α}(Θ) > 0 und a_{β}(Θ) > 0 gelten. Dadurch ist der Übergang festgelegt. Wir erhalten die Gleichheit von a_{α}(90/2^{n}) und a_{β}(90/2^{n}) für alle n und durch anschließendes Potenzieren die Gleichheit von a_{α}(q · 90) = a_{β}(q · 90), q = m/2^{n} ∈ [0, 1]. Wegen der Stetigkeit folgt dann a_{α}(Θ) = a_{β}(Θ) und ganz entsprechend b_{α}(Θ) = b_{β}(Θ) für das ganze Intervall zwischen 0 und 90. Wieder durch Multiplikation mit A(90), A(180), A(270) ergibt sich die Gleichheit dann überall. □

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 1; |; 180; |; 360; Funktion a(Θ); Θ; 0; −1]

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In Kapitel 4.5 wurden bereits die trigonometrischen Funktionen sin, cos benutzt. Es gibt für sie eine analytische Definition durch unendliche Potenzreihen. Diese wird meist in der Differential- und Integralrechnung gebracht. Wir geben jetzt eine exakte geometrische Definition. Die Gleichheit beider Definitionen (bis auf Umrechnungen der Winkel von Grad in Bogenmaß und umgekehrt) folgt dann später, weil der ℝ^{2} mit der analytischen Definition von sin, cos auch zu einem euklidischen Vektorraum gemacht werden kann, dazu s. man unten S. 198.

6.1.15 Definition Für Θ ∈ ℝ sei cos(Θ) := a(Θ), sin(Θ) := b(Θ).

Die trigonometrischen Funktionen

(a) Die Funktionen sin und cos sind stetig.

Der Beweis folgt aus Satz 6.1.3. □

(b) Für k ∈ ℤ, Θ ∈ ℝ gilt cos(Θ + k · 360) = cos(Θ), sin(Θ + k · 360) = sin(Θ), d. h. sin und cos haben die Periode 360. Der Beweis folgt aus Axiom XVII. □

(c) Im abgeschlossenen Intervall zwischen 0 und 360 sind 0, 180, 360 die Nullstellen von sin und 90, 270 die Nullstellen von cos . Der Beweis dazu ist Satz 6.1.13. Er ist es auch für die folgenden beiden Aussagen:

(d) sin(90) = − sin(270) = 1, cos(0) = − cos(180) = 1.

(e) cos(Θ) > 0 in den offenen Intervallen zwischen 0, 90 und zwischen 270 und 360. cos(Θ) < 0 im offenen Intervall zwischen 90, 270. sin(Θ) > 0 im offenen Intervall zwischen 0, 180. sin(Θ) < 0 im offenen Intervall zwischen 180, 360.

(f) Für alle Θ ∈ ℝ gilt cos^{2}(Θ) + sin^{2}(Θ) = 1.

Der Satz folgt, weil 1 = det(A(Θ)) = a^{2}(Θ) + b^{2}(Θ). □

(g) Für alle Θ ∈ ℝ gilt cos(−Θ) = cos(Θ), sin(−Θ) = − sin(Θ).

Beweis Es ist A(Θ) ∘ A(−Θ) = E und damit A(−Θ) die Umkehrmatrix von A(Θ). Wegen A(Θ) ∈ SO(2) bedeutet das:

( \begin{matrix}cos(Θ) & sin(Θ) \\ − sin(Θ) & cos(Θ) \end{matrix} ) = A(Θ)^{t} = A(−Θ) = ( \begin{matrix}cos(−Θ) & − sin(−Θ) \\ sin(−Θ) & cos(−Θ) \end{matrix} ) .

Das ist die Behauptung. □

(h) Zu jedem x⃗ = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} mit x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 existiert genau ein Θ mit 0 ≤ Θ < 360 und x⃗ = (cos(Θ), sin(Θ)).

Beweis Es gilt |x_{1}| ≤ 1. Also gibt es ein Θ_{1} : 0 ≤ Θ_{1} ≤ 90, so daß |x_{1}| = cos(Θ_{1}). Es ist dann x_{2} = ± sin(Θ_{1}). Es ist auch x_{1} = ± cos(Θ_{1}). Durch Übergang zu Θ = Θ_{1} + 180, Θ = 360 − Θ_{1}, Θ = 180 − Θ_{1} folgt die Existenz einer Lösung. Gilt aber (cos(Θ_{1}), sin(Θ_{1})) = (cos(Θ_{2}), sin(Θ_{2})), so folgt A(Θ_{1}) = A(Θ_{2}) und nach Axiom XVII auch Θ_{1} = Θ_{2}, weil 0 ≤ Θ_{1} < 360 und 0 ≤ Θ_{2} < 360.

□

(i) Es gelten die Additiontheoreme:

sin(Θ_{1} + Θ_{2}) = sin(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) + cos(Θ_{1}) · sin(Θ_{2}),
cos(Θ_{1} + Θ_{2}) = cos(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) − sin(Θ_{1}) · sin(Θ_{2})

für Θ_{i} ∈ ℝ.

Beweis Auf Grund von Axiom XVI gilt:

A(Θ_{1} + Θ_{2}) = A(Θ_{1}) ∘ A(Θ_{2})
= ( \begin{matrix}cos(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) − sin(Θ_{1}) · sin(Θ_{2}) \\ sin(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) + cos(Θ_{1}) · sin(Θ_{2}) \end{matrix}

\begin{matrix}− sin(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) − cos(Θ_{1}) · sin(Θ_{2}) \\ cos(Θ_{1}) · cos(Θ_{2}) − sin(Θ_{1}) · sin(Θ_{2}) \end{matrix} ) .

Das ist die Behauptung. □

6.2 Die Länge eines Vektors

Zunächst wird im n-dimensionalen reellen Zahlenraum ℝ^{n} abstrakt mathematisch die euklidische Norm eingeführt. Im anschaulichen Vektorraum V läßt sich aber die Länge auch anschaulich definieren. Bei Wahl einer geeigneten rechtwinkligen Karte im ℝ^{2} stimmen beide Definitionen überein. Etwas Analoges gilt für den Winkelbegriff. Im Folgenden können deshalb alle Probleme der anschaulichen Geometrie in V mit den üblichen mathematischen Methoden des ℝ^{2} behandelt werden. Im Kapitel 4.5 wurde das sogenannte kanonische Skalarprodukt im ℝ^{n} abstrakt mathematisch eingeführt. Es gilt für x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n}, wenn wir sie als Spalten schreiben:

x⃗ · y⃗ =^{def} ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = x⃗^{t} ∘ y⃗

als Matrixprodukt. Mitunter läßt man den Skalarproduktpunkt auch weg. Man hat die folgenden typischen Eigenschaften (Axiome) des Skalarproduktes:

6.2.1 Satz Für alle a, b ∈ ℝ, x⃗, y⃗, x⃗′, y⃗′ ∈ ℝ^{n} gilt:

(1) (a · x⃗ + b · x⃗′) · y⃗ = a · x⃗ · y⃗ + b · x⃗′ · y⃗, x⃗ · (a · y⃗ + b · y⃗′) = a · x⃗ · y⃗ + b · x⃗ · y⃗′; (Bilinearität)

(2) x⃗ · y⃗ = y⃗ · x⃗; (Kommutativität, Symmetrie)

(3) x⃗ · x⃗ > 0, wenn x⃗ ≠ 0. (Positive Definitheit)

Von besonderer Wichtigkeit ist:

6.2.2 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Für alle x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} gilt |x⃗ · y⃗ | ≤ \sqrt{(x⃗ · x⃗)} · \sqrt{(y⃗ · y⃗)}.

Beweis Es werden allein die Ergebnisse von Satz 6.2.1benutzt. Ferner sei x⃗ ≠ 0, y⃗ ≠ 0. Sonst wäre die Behauptung trivial. Für alle t ∈ ℝ gilt:

0 ≤ (x⃗ + ty⃗) · (x⃗ + ty⃗) = x⃗ · x⃗ + 2t x⃗ · y⃗ + t^{2} y⃗ · y⃗.

Setzt man t = −(x⃗ · y⃗)/(y⃗ · y⃗), so folgt

0 ≤ x⃗ x⃗ − 2\frac{(x⃗ y⃗)^{2}}{y⃗ y⃗} + \frac{(x⃗ y⃗)^{2}}{y⃗ y⃗} = x⃗ x⃗ − \frac{(x⃗ y⃗)^{2}}{y⃗ y⃗} .

Multiplikation mit y⃗ y⃗ und Wurzelziehen liefert die Behauptung, denn die Wurzel ist eine monotone Funktion. □

6.2.3 Definition Die (mathematische) euklidische Norm eines Vektors x⃗ ∈ ℝ^{n} ist definiert durch:

∥ x⃗ ∥ = \sqrt{x⃗ · x⃗}

Wir zeigen, daß die typischen Eigenschaften einer Norm erfüllt sind:

6.2.4 Satz Für alle a ∈ ℝ, x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} gilt:

(1) ∥ x⃗ ∥ ≥ 0 und ∥ x⃗ ∥ > 0, falls x⃗ ≠ 0; (Positive Definitheit)

(2) ∥ a · x⃗ ∥ = |a| · ∥ x⃗ ∥; (Multiplikatives Gesetz)

(3) ∥ x⃗ + y⃗ ∥ ≤ ∥ x⃗ ∥ + ∥ y⃗ ∥. (Dreiecksungleichung)

Beweis Die Eigenschaften (1) und (2) folgen unmittelbar aus Satz 6.2.1. Die Dreiecksungleichung (3) folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

∥ x⃗ + y⃗ ∥^{2} = (x⃗ + y⃗) · (x⃗ + y⃗) = x⃗ x⃗ + 2x⃗ y⃗ + y⃗ y⃗
≤ ∥ x⃗ ∥^{2} + 2∥ x⃗ ∥ ∥ y⃗ ∥ + ∥ y⃗ ∥^{2} = (∥ x⃗ ∥ + ∥ y⃗ ∥)^{2}.

Wurzelziehen liefert die Behauptung. □

6.2.5 Satz Multiplikation mit orthogonalen Matrizen ändert die Norm eines Vektors nicht.

Beweis In Matrizenschreibweise gilt:

∥ A ∘ x⃗ ∥^{2} = (A ∘ x⃗)^{t} ∘ (A ∘ x⃗) = x⃗^{t} ∘ (A^{t} ∘ A) ∘ x⃗ = x⃗^{t} ∘ E ∘ x⃗ = ∥ x⃗ ∥^{2}

wegen A^{t} ∘ A = E. □

Wie schon angedeutet, ist in allgemeinen Vektorräumen W der Normbegriff definiert. Wir sagen es möglichst einfach:

6.2.6 Definition Eine Abbildung ∥ · ∥ : W → ℝ heißt eine Norm, wenn gilt:

(1) für x ∈ W, x ≠ 0 ist immer ∥ x ∥ ≠ 0;

(2) es ist stets ∥ a · x ∥ = |a| · ∥ x ∥;

(3) man hat die Dreiecksungleichung: ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥. Ein Vektorraum, der eine Norm trägt, heißt ein normierter Vektorraum.

Wegen (2) ist klar, daß ∥ 0 ∥ = 0 gilt, wegen 0 = ∥ x − x ∥ ≤ 2∥ x ∥ ist auch stets ∥ x ∥ ≥ 0.

Der Längenbegriff

Man kann nun anschaulich den Begriff der Länge der Vektoren in der anschaulichen Ebene E einführen. Parallele Vektoren sollen gleiche Länge haben. Es sei O ∈ E der Basispunkt. Es genügt dann, die Länge von Vektoren aus V = {(O, P) : P ∈ E} zu definieren. Man nimmt einen Maßvektor z ∈ V \ {O} und gibt ihm die Länge 1. Von dem Längenbegriff wird man fordern, daß er invariant unter Drehungen ist. Wir haben in V die orthogonale Karte α : ℝ^{2} → V mit α(e⃗_{1}) = z, α(e⃗_{2}) = D̂_{90}(z). Die nach ℝ^{2} übertragenen Drehungen α^{−1} ∘ D̂_{Θ} ∘ α werden durch Matrizen A(Θ) =

( \begin{matrix}cos(Θ) & − sin(Θ) \\ sin(Θ) & cos(Θ) \end{matrix} ) , Θ ∈ ℝ, gegeben. Es sei x ∈ V \ \{O\} und x⃗ = (x_{1}, x_{2}) =

α^{−1}(x). Wir wählen t ∈ ℝ^{+} so, daß t^{−2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 1. Die Zahl t ist eindeutig bestimmt. Nach (h) am Ende von Kapitel 6.1 gibt es dann ein Θ, 0 ≤ Θ < 360, mit t^{−1}x_{1} = cos(Θ), t^{−1}x_{2} = sin(Θ). Die Drehung A(Θ) wirft dann e⃗_{1} auf t^{−1}x⃗, und mithin dreht D̂_{Θ} den Vektor z auf t^{−1}x. Die Drehung D̂_{Θ} ist eindeutig bestimmt.

6.2.7 Definition Es sei ∥ x ∥ := t, ∥ O ∥ := 0.

Bei x = z ist die Drehung die Identität. Also ist auch nach der Definition ∥ z ∥ = 1. Es gilt ∥ x ∥ = t = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}. Also haben wir eine Norm wie in ℝ^{2}. Wir nennen ∥ x ∥ auch die Länge des Vektors x. Diese Länge hängt wesentlich von der Auswahl des Maßvektors z ab. Wir brauchen ein ”Urmeter“. Ersetzen wir z durch ein D̂_{Θ_{1}}(z), so ändert sich die Norm nicht. Wird dagegen z durch az mit a > 0 ersetzt, so multipliziert sich die Norm mit a^{−1}.

6.2.8 Definition Der Abstand zweier Punkte P, Q ∈ E ist dist(P, Q) := ∥ (O, Q) − (O, P) ∥.

Wir haben das folgende Bild:

[figure: O; P; Q; ∥ zu (O, Q) − (O, P); Entfernung von P und Q]

Die Dreiecksungleichung besagt, daß ∥ (O, Q) − (O, P) ∥ ≤ ∥ (O, Q) ∥ + ∥ (O, P) ∥, also dist(P, Q) ≤ dist(O, P) + dist(O, Q). Das heißt: Bei einem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen nicht kleiner als die dritte Seitenlänge. Das erklärt den Ausdruck!

Der Winkelbegriff

Wir haben gesehen: Sind y, x ∈ V \ {O} Vektoren, so gibt es genau ein Θ : 0 ≤ Θ < 360 mit ∥ x ∥^{−1}x = D̂_{Θ} (∥ y ∥^{−1}y) . Dabei haben wir ∥ y ∥^{−1}y als Maßvektor anstelle des ursprünglichen Maßvektors z betrachtet; die Norm ändert sich dadurch nicht. Allerdings brauchen wir die Norm bzgl. des Maßvektors auch gar nicht zu verwenden: Äquivalent ist, daß x positives Vielfaches von D̂_{Θ}(y) ist. Dadurch ist Θ schon bestimmt.

6.2.9 Definition Θ = ∠(y, x) heißt der Winkel zwischen y und x.

Wenn wir y oder x mit einer positiven reellen Zahl multiplizieren, so ändert sich der Winkel nicht. Es gilt ∠(y, x) = −∠(x, y) mod(360), d. h. man muß evtl. ein ganzzahliges Vielfaches von 360 addieren. Es sei V mit einer Norm versehen, die von einem Maßvektor z herkommt. Wir haben dann eine orthogonale Karte α : ℝ^{2} → V und α^{−1} : V → ℝ^{2} mit α(e⃗_{1}) = z. Sind dann x, y ∈ V Vektoren und ist x⃗ = α^{−1}(x), y⃗ = α^{−1}(y), so definieren wir als Skalarprodukt: (x, y) = x⃗ · y⃗. Es verschwindet, wenn einer der Vektoren gleich O ist. Im anderen Falle sei Θ = ∠(x, y). Es gilt dann \frac{1}{∥ y ∥}y = \frac{1}{∥ x ∥} D̂_{Θ}(x)

und damit \frac{1}{∥ y⃗ ∥} y⃗ = A ∘ (\frac{1}{∥ x⃗ ∥} x⃗) mit A = ( \begin{matrix}cos(Θ) & − sin(Θ) \\ sin(Θ) & cos(Θ) \end{matrix} ) . Man hat dann

(\frac{1}{∥ x⃗ ∥} x⃗) · (\frac{1}{∥ y⃗ ∥} y⃗) = ((x_{1}^{2} + x_{2}^{2})/∥ x⃗ ∥^{2}) cos(Θ) = cos(Θ). Das Skalarprodukt ist also insofern unabhängig von z definiert, als nur der durch den Maßvektor gegebene Längenbegriff eingeht.

6.2.10 Satz Es seien x, y ∈ V beliebige Vektoren. Dann gilt (x, y) = ∥ x ∥ · ∥ y ∥ · cos(Θ). Dabei ist Θ der eingeschlossene Winkel. Im Falle x = O oder y = O kann er beliebig sein. Es folgt (x, x) = ∥ x ∥^{2}.

Wir betrachten jetzt das Senkrechtstehen.

6.2.11 Definition Zwei Vektoren x, y ∈ V stehen senkrecht aufeinander (sind orthogonal, x ⊥ y), wenn einer von ihnen O ist oder wenn der eingeschlossene Winkel 90 oder 270 ist.

6.2.12 Satz Die Vektoren x, y sind genau dann orthogonal, wenn das Skalarprodukt (x, y) = 0 ist.

Beweis Der Satz ist trivial, wenn einer der Vektoren O ist. Das sei nun nicht der Fall. Dann gilt (x, y) = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos(Θ), wobei Θ der eingeschlossene Winkel ist. Es ist aber cos(Θ) genau dann gleich 0, wenn Θ = 90 oder Θ = 270. Das beweist alles. □

Diese Eigenschaft benutzen wir, um im ℝ^{n} die Orthogonalität zu definieren.

6.2.13 Definition Zwei Vektoren x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} heißen orthogonal (x⃗ ⊥ y⃗), wenn x⃗ · y⃗ = 0.

Klassische Sätze

Die bekannten klassischen Sätze der euklidischen Geometrie werden meistens nicht exakt bewiesen. Das soll hier geschehen.

6.2.14 Satz (von Pythagoras) Es seien x = (O, P), y = (O, Q) ∈ V \ {O} orthogonale Vektoren. Dann gilt

dist^{2}(Q, P) = dist^{2}(O, P) + dist^{2}(O, Q).

Beweis Es ist dist^{2}(Q, P) = (x − y, x − y) = (x, x) − 2(x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) = dist^{2}(O, P) + dist^{2}(O, Q). Dabei haben wir Satz 6.2.12verwendet. □

[figure: Hypotenusenquadrat = Summe der beiden Kathetenquadrate; O; P; Q]

6.2.15 Satz (von Thales) Es seien P, Q zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden durch O, R ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Es gelte dist(O, P) = dist(O, Q) = dist(O, R). Dann sind (P, R) und (Q, R) zueinander orthogonal.

Beweis Es sei x = (O, Q), y = (O, R). Dann gilt (O, P) = −x, (P, R) = y + x, (Q, R) = y − x. Das Skalarprodukt (y − x, y + x) = (y, y) − (x, x) ist aber 0. Also stehen (P, R), (Q, R) senkrecht aufeinander. □

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P; O; Q; R; Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter]

Das Fällen des Lotes

Es seien G = {x = x_{1} + t · x_{0} : t ∈ ℝ} und G′ = {x = x′_{1} + t · x′_{0} : t ∈ ℝ} Geraden in V mit x_{0} ≠ O, x′_{0} ≠ O wie in Kapitel 2.3.

6.2.16 Definition Die Geraden G, G′ sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn das Skalarprodukt (x′_{0}, x_{0}) = 0 ist.

Offenbar ist diese Definition unabhängig von der Auswahl der Richtungsvektoren.

6.2.17 Satz und Definition Es sei y ∈ V \ G ein Punkt. Dann gibt es genau eine Gerade G′ durch y, die auf G senkrecht steht. Wir nennen G′ das Lot von y auf G.

Beweis Wir betrachten die Abstandsfunktion t ↦ (y − x_{1} − t · x_{0}, y − x_{1} − t · x_{0}) = (y −x_{1}, y −x_{1})−2t(y −x_{1}, x_{0})+t^{2}(x_{0}, x_{0}). Diese positive Parabel hat ein Minimum in einem t_{0}. Hier verschwindet die Ableitung nach t. Es ist also −2(y − x_{1}, x_{0}) + 2t_{0}(x_{0}, x_{0}) = 0. Das Minimum wird also in x′_{1} = x_{1} + ((y − x_{1}, x_{0})/(x_{0}, x_{0}))x_{0} angenommen. Der Richtungsvektor der Geraden durch y, x′_{1} ist dann x′_{0} := y − x′_{1} = y − x_{1} − ((y − x_{1}, x_{0})/(x_{0}, x_{0}))x_{0}. Das Skalarprodukt dieses Vektors mit x_{0} verschwindet. Die Verbindungsgerade von y und x′_{1} steht also senkrecht auf G. Wir nehmen diese für G′. Wählt man t_{0} irgendwie anders, ist die Gleichung y − x′_{1} = y − x_{1} − ((y − x_{1}, x_{0})/(x_{0}, x_{0}))x_{0} nicht mehr erfüllt, es ist dann y − x′_{1} = a_{1} (y − x_{1} − ((y − x_{1}, x_{0})/(x_{0}, x_{0}))x_{0}) + a_{0}x_{0} mit reellen Zahlen a_{0} ≠ 0 und a_{1}. Das Skalarprodukt mit x_{0} ist dann ≠ 0. Also ist G′ die einzige senkrechte Gerade durch y. Das Lot ist eindeutig bestimmt. □

[figure: y; ∗; Lot von y auf G; G]

Deutung von cos und sin

Wir haben (orthogonale) Isomorphismen α^{−1} : V → ℝ^{2}, so daß die Drehungen D̂_{Θ}

in die Multiplikationen der Vektoren mit den Matrizen A(Θ) = ( \begin{matrix}cos(Θ) & − sin(Θ) \\ sin(Θ) & cos(Θ) \end{matrix} )

übergehen. Dann ist A(Θ) ∘ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) gleich ( \begin{matrix}cos(Θ) \\ sin(Θ) \end{matrix} ), also cos(Θ) die Länge der

Ankathete des Dreiecks zur x-Achse unter dem Bildvektor und sin(Θ) die Länge der Gegenkathete.

[figure: O; cos(Θ); sin(Θ); Θ; Die Definitionen nach der Schulmathematik]

Der �^{2} als euklidische Ebene

Die Mathematik ist formal. Es kommt nie darauf an, was die behandelten Objekte eigentlich sind, sondern nur auf die Relationen, die zwischen ihnen bestehen. In unserem Falle spielt es keine Rolle, daß die Elemente der Menge E anschauliche Punkte sind. Wir wählen jetzt für E den ℝ^{2} und nehmen in E den Basispunkt 0. Wir identifizieren stets (0, x⃗) mit x⃗ und haben dann auch V = ℝ^{2}. In E nennen wir zwei Vektoren (x⃗, y⃗), (x⃗′, y⃗′) (voll) parallel, wenn y⃗′ − x⃗′ = y⃗ − x⃗. Gilt (x⃗, y⃗) ∥ (x⃗′, y⃗′), so folgt auch (x⃗, x⃗′) ∥ (y⃗, y⃗′). Es sind deshalb die Axiome I bis V erfüllt. Als Multiplikation mit reellen Zahlen übernehmen wir die Skalarenmultiplikation in ℝ^{2}. Bekanntlich sind Addition und Multiplikation stetig im Sinne der Differentialrechnung. Es gilt deshalb das Axiom X. Die übrigen Axiome bis XII einschließlich sind trivial. Wir nehmen nun irgendeine Definition von cos(Θ), sin(Θ), etwa die mit den Potenzreihen, so daß folgende Eigenschaften gelten:

(1) cos(Θ) und sin(Θ) sind stetig in Θ;

(2) das Paar (cos(Θ), sin(Θ)) hat genau die Periode 360;

(3) es gelten die Additionstheoreme:

cos(Θ_{1} + Θ_{2}) = cos(Θ_{1}) cos(Θ_{2}) − sin(Θ_{1}) sin(Θ_{2}),
sin(Θ_{1} + Θ_{2}) = sin(Θ_{1}) cos(Θ_{2}) + cos(Θ_{1}) sin(Θ_{2}).

Wir setzen A(Θ) = ( \begin{matrix}cos(Θ) & − sin(Θ) \\ sin(Θ) & cos(Θ) \end{matrix} ) . Es sei D_{Θ}(x⃗, y⃗) = (A(Θ) ∘ x⃗, A(Θ) ∘ y⃗).

Es folgt dann D̂_{Θ}(x⃗) = A(Θ)∘x⃗. Da es sich um lineare Abbildungen handelt, sind die Axiome bis XV erfüllt. Axiom XVI und XVII folgen aus den Eigenschaften (2) und (3), Axiom XVIII ist die Eigenschaft (1). Somit trägt ℝ^{2} die euklidische Geometrie. Die Karte α = id : ℝ^{2} → V = ℝ^{2} ist orthogonal. Die Koeffizienten a, b der Matrix A(Θ) sind eindeutig bestimmt. Somit gilt (wie bei Satz 6.1.14):

cos(Θ) = a(Θ), sin(Θ) = b(Θ).

Das heißt, daß die neue Definition der trigonometrischen Funktionen mit unserer geometrischen übereinstimmt.

6.3 Orthogonale k-Beine

6.3 Orthogonale k-Beine 199

Die Ausführungen von Kapitel 4.5 sollen ergänzt werden. Es gibt zwei Typen orthogonaler Matrizen. Für A ∈ O(n) kann det(A) = 1 oder gleich −1 sein. Gilt det(A) = 1, so heißt A, motiviert durch die Betrachtungen der beiden vorhergehenden Paragraphen, eine Drehung. Gilt dagegen det(A) = −1, so nennen wir A eine Drehspiegelung. Dann ist A Produkt einer Drehung und der Spiegelung:

S = ( \begin{matrix}−1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) .

Dabei ist S eine Spiegelung an der Hyperebene {x⃗ ∈ ℝ^{n} : x_{1} = 0}. Es gilt: S = S^{t}, S^{t} ∘S = E, det(S) = −1, S ∈ O(n). Für B := S ∘A ist: det(B) = (−1)·(−1) = 1. Also ist B eine Drehung. Man hat A = E ∘ A = S^{2} ∘ A = S ∘ (S ∘ A) = S ∘ B. Unter Verwendung der folgenden Definition kann eine Anzahl von äquivalenten Kriterien für die Orthogonalität von Matrizen hergeleitet werden.

6.3.1 Definition Ein k-tupel (x⃗_{1}, …, x⃗_{k}) von Vektoren x⃗_{i} ∈ ℝ^{n} heißt ein orthogonales k-Bein, wenn für i, j = 1, …, k gilt:

x⃗_{i} · x⃗_{j} = δ_{ij}.

6.3.2 Satz Es sei A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) eine n × n-Matrix. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) A ist orthogonal;

(b) für alle x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} gilt (A ∘ x⃗) · (A ∘ y⃗) = x⃗ · y⃗;

(c) für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} gilt ∥ A ∘ x⃗ ∥ = ∥ x⃗ ∥;

(d) (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) ist ein orthogonales n-Bein.

Die orthogonale Matrix A bildet also das orthogonale n-Bein (e⃗_{1}, …, e⃗_{n}), die kanonische Basis des ℝ^{n}, auf das orthogonale n-Bein (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) ab.

Beweis ”(a) ⇒ (c)“: Siehe Satz 6.2.5. ”(c) ⇒ (b)“: Es sei C = A^{t} ∘ A. Dann ist C^{t} = A^{t} ∘ (A^{t})^{t} = C. Nach Voraussetzung gilt für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} die Gleichung x⃗·x⃗ = (x⃗^{t} ∘A^{t})∘A∘x⃗ = x⃗^{t} ∘C ∘x⃗. Für x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} folgt:

x⃗ · x⃗ + 2x⃗ · y⃗ + y⃗ · y⃗ = (x⃗ + y⃗) · (x⃗ + y⃗) = (x⃗^{t} + y⃗^{t}) ∘ C ∘ (x⃗ + y⃗)
= x⃗^{t} ∘ C ∘ x⃗ + x⃗^{t} ∘ C ∘ y⃗ + y⃗^{t} ∘ C ∘ x⃗ + y⃗^{t} ∘ C ∘ y⃗
= x⃗ · x⃗ + x⃗^{t} ∘ C ∘ y⃗ + y⃗^{t} ∘ C ∘ x⃗ + y⃗ · y⃗

und damit

2x⃗ · y⃗ = x⃗^{t} ∘ C ∘ y⃗ + y⃗^{t} ∘ C ∘ x⃗.

Wegen der Symmetrie von C ist die reelle Zahl y⃗^{t} ∘C ∘x⃗ = (y⃗^{t} ∘C ∘x⃗)^{t} = x⃗^{t} ∘C ∘y⃗. Also folgt:

x⃗ · y⃗ = x⃗^{t} ∘ C ∘ y⃗ = (A ∘ x⃗) · (A ∘ y⃗).

”(b) ⇒ (d)“: Es seien wieder e⃗_{i} ∈ ℝ^{n}, i = 1, …, n, die Einheitsvektoren. Für i, j = 1, …, n gilt dann:

δ_{ij} = e⃗_{i} · e⃗_{j} = (A ∘ e⃗_{i}) · (A ∘ e⃗_{j}) = a⃗_{i} · a⃗_{j}.

”(d) ⇒ (a)“: Die Gleichung a⃗_{i} · a⃗_{j} = δ_{ij} ergibt, daß :

A^{t} ∘ A = ( a⃗_{1}^{t} ; ⋮ ; a⃗_{n}^{t} ) ∘ (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = (a⃗_{i} · a⃗_{j})_{i,j=1,...,n} = (δ_{ij})_{i,j=1,...,n} = E. □

Dieser Satz enthält auch, daß jedes orthogonale n-Bein linear unabhängig ist. Allgemeiner gilt:

6.3.3 Satz Es sei (x⃗_{1}, …, x⃗_{k}) ein orthogonales k-Bein im ℝ^{n}. Dann sind die Vektoren x⃗_{1}, …, x⃗_{k} linear unabhängig. Insbesondere ist k ≤ n.

Beweis Gilt etwa ∑_{i=1}^{k} a_{i} · x⃗_{i} = 0 mit a_{i} ∈ ℝ, so folgt:

0 = (∑_{i=1}^{k} a_{i} · x⃗_{i}) · x⃗_{j} = ∑_{i=1}^{k} a_{i} · (x⃗_{i} · x⃗_{j}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i} · δ_{ij} = a_{j}.  □

Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

6.3.4 Satz Es sei V ⊂ ℝ^{n} ein Untervektorraum und (x⃗_{1}, …, x⃗_{k}) ein orthogonales k-Bein in V mit k < dim V. Dann gibt es ein x⃗_{k+1} ∈ V, so daß (x⃗_{1}, …, x⃗_{k+1}) ein orthogonales (k + 1)-Bein ist.

Beweis Der von x⃗_{1}, …, x⃗_{k} aufgespannte Vektorraum W ⊂ V hat kleinere Dimension als V. Es gibt daher einen Vektor y⃗ ∈ V \ W. Wir setzen y⃗′ = y⃗ − ∑_{i=1}^{k}(y⃗ · x⃗_{i})x⃗_{i} und erhalten y⃗′ ≠ 0. Sonst wäre ja y⃗ Linearkombination von x⃗_{1}, …, x⃗_{k}. Der Vektor x⃗_{k+1} = \frac{1}{∥ y⃗′ ∥} · y⃗′ ist dann ein Einheitsvektor. Es gilt für j = 1, …, k :

x⃗_{k+1} · x⃗_{j} = \frac{1}{∥ y⃗′ ∥} (y⃗ · x⃗_{j} − ∑_{i=1}^{k}(y⃗ · x⃗_{i})(x⃗_{i} · x⃗_{j})) = \frac{1}{∥ y⃗′ ∥} (y⃗ · x⃗_{j} − y⃗ · x⃗_{j}) = 0.

□

6.3.5 Satz Es sei V ⊂ ℝ^{n} ein ℓ-dimensionaler Untervektorraum und (x⃗_{1}, …, x⃗_{k}) ein orthogonales k-Bein in V mit k < ℓ. Dann gibt es Vektoren x⃗_{k+1}, …, x⃗_{ℓ} ∈ V, so daß (x⃗_{1}, …, x⃗_{ℓ}) ein orthogonales ℓ-Bein ist. Dieses ist dann eine Basis von V. Im Falle V = ℝ^{n} kann man det(x⃗_{1}, …, x⃗_{n}) = 1 erreichen.

Beweis Wiederholte Anwendung von Satz 6.3.4 liefert die Existenz. Die Vektoren x⃗_{1}, …, x⃗_{ℓ} sind dann linear unabhängig. Da aber ℓ = dim V ist, erzeugen sie auch V. Im Falle ℓ = n ist det = ±1. Ersetzt man ggfs. einen Vektor durch sein Negatives, erhält man det = +1. □

In den Beweisen dieser beiden Sätze wird ein explizites Konstruktionsverfahren gegeben. Es ist in der höheren Analysis von großer Bedeutung.

Das orthogonale Komplement

Es sei V ein k-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n}. Wir setzen

V^{⊥} = {y⃗ ∈ ℝ^{n} : y⃗ · x⃗ = 0 für alle x⃗ ∈ V }.

Die Vektorenmenge V^{⊥} ist dann gegenüber Addition und Skalarenmultiplikation abgeschlossen und ein Untervektorraum von ℝ^{n}. Wir nennen ihn das orthogonale Komplement von V.

6.3.6 Satz Es ist dim V^{⊥} = n−k. Nimmt man ein orthogonales k-Bein in V und ein orthogonales (n − k)-Bein in V^{⊥}, so ist das aus diesen Vektoren zusammengesetzte n-tupel ein orthogonales n-Bein im ℝ^{n}.

Beweis Wir beginnen mit einem orthogonalen k-Bein (x⃗_{1}, …, x⃗_{k}) in V. Wir bilden die Matrix

A = ( x⃗_{1}^{t} ; ⋮ ; x⃗_{k}^{t} ) .

Es ist y⃗ · x⃗ = 0 für alle x⃗ ∈ V, wenn das für alle x⃗ = x⃗_{i}, i = 1, …, k gilt, da alle x⃗ Linearkombination der x⃗_{i} sind. Genau dann ist y⃗ ∈ V^{⊥}. Also ist V^{⊥} = {y⃗ : A ∘ y⃗ = 0} . Die Matrix A hat k linear unabhängige Zeilen und damit den Rang k. Dieser Rang ist gleich dem Spaltenrang nach Kapitel 3.4. Das Bild unter der linearen Abbildung y⃗ ↦ A ∘ y⃗ ist also der ganze ℝ^{k}. Der Kern dieser linearen Abbildung ist aber V^{⊥}. Er hat damit die Dimension n − k. Wählt man nun irgendein orthogonales (n − k)-Bein (y⃗_{1}, …, y⃗_{n−k}) in V^{⊥}, so gilt immer x⃗_{i} · y⃗_{j} = 0 für i = 1, …, k und j = 1, …, n − k. Also sind diese Vektoren paarweise zueinander orthogonal. Wir haben ein orthogonales n-Bein im ℝ^{n}. □

Man hat nun zwei unmittelbar einsichtige Folgerungen:

(a) Es ist V ∩ V^{⊥} = \left\{{ \atop 0}\right\};

(b) jeder Vektor aus ℝ^{n} ist eindeutig bestimmte Summe eines Vektors aus V und eines Vektors aus V^{⊥}.

Das heißt: ℝ^{n} = V ⊕ V^{⊥}.

6.4 Das Kreuzprodukt

Wir wollen in diesem Abschnitt das Kreuzprodukt von n − 1 Vektoren des ℝ^{n} definieren. Im Falle n = 3 hängt es anschaulich eng mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms zusammen, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Wir machen folgende Betrachtung: Es seien x⃗_{2}, …, x⃗_{n} linear unabhängige Vektoren des ℝ^{n}. Dann ist der von diesen n − 1 Vektoren aufgespannte Vektorraum V (n − 1)-dimensional und damit V^{⊥} eindimensional. Es gibt zwei Einheitsvektoren ± y⃗, die auf V senkrecht stehen. Wir setzen

d⃗:= det(± y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) · (± y⃗).

Dieser Vektor ist unabhängig von der Auswahl des Vorzeichens von y⃗ bestimmt.

6.4.1 Definition Das Kreuzprodukt x⃗_{2} × … × x⃗_{n} ist ein Vektor des ℝ^{n}. Sind die Vektoren x⃗_{2}, …, x⃗_{n} linear abhängig, so ist es 0. Im anderen Falle ist es d⃗.

Wir definieren nun für i = 1, …, n:

z_{i} = −(−1)^{i} · det ( \begin{matrix}x_{12} & … & x_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{i2} & nicht & x_{in} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{n2} & … & x_{nn} \end{matrix} ) .

Bei der Determinante wird also die i-te Zeile ausgelassen. Es gilt:

6.4.2 Satz Für das Kreuzprodukt ist: d_{i} = z_{i}.

Beweis Nach dem Entwicklungssatz aus Kapitel 5.4 hat man für alle x⃗ ∈ ℝ^{n}

x⃗ · z⃗ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}z_{i} = det(x⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n})  (∗)

und insbesondere z⃗ · x⃗_{i} = det(x⃗_{i}, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) = 0 für i = 2, …, n. Der Vektor z⃗ ist also in V^{⊥}. Es folgt det(z⃗, x⃗_{2}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} z_{i}^{2} = ∥ z⃗ ∥^{2}. Wir zeigen, daß z⃗ ≠ 0 ist. Dazu ergänzen wir das linear unabhängige System x⃗_{2}, …, x⃗_{n} durch einen geeigneten Vektor x⃗_{1} ∈ ℝ^{n} zu einer Basis. Auf Grund von (∗) gilt x⃗_{1} · z⃗ = det(x⃗_{1}, x⃗_{2}, … x⃗_{n}) ≠ 0, also z⃗ ≠ 0. Das bedeutet für den Einheitsvektor y⃗ = (1/∥ z⃗ ∥) · z⃗ die Gleichung ∥ z⃗ ∥ = det(y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) und z⃗ = ∥ z⃗ ∥ · y⃗ = det(y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) · y⃗. Also ist z⃗ das Kreuzprodukt. □

6.4.3 Satz Die Abbildung × : \underbrace{ℝ^{n} ⊕ … ⊕ ℝ^{n}}_{(n − 1)-mal} → ℝ^{n} hat folgende Eigenschaften:

(a) es gilt x⃗_{i} ⊥ (x⃗_{2} × … × x⃗_{n}) für i = 2, …, n;

(b) × ist multilinear, d. h. man hat für alle i:

x⃗_{2} × … × (x⃗_{i} + x⃗_{i}′) × … × x⃗_{n}
= (x⃗_{2} × … × x⃗_{i} × … × x⃗_{n}) + (x⃗_{2} × … × x⃗_{i}′ × … × x⃗_{n})

und für alle a ∈ ℝ:

x⃗_{2} × … × (a · x⃗_{i}) × … × x⃗_{n} = a · (x⃗_{2} × … × x⃗_{i} × … × x⃗_{n});

(c) × ist alternierend, d. h. das Kreuzprodukt ändert beim Vertauschen zweier Vektoren das Vorzeichen;

(d) es gilt x⃗_{2} × … × x⃗_{n} = 0 genau dann, wenn x⃗_{2}, …, x⃗_{n} linear abhängig sind.

{Beweis \atop (a)} Gilt nach Definition.

(b) Wir verwenden Satz 6.4.2. Determinanten sind multilinear!

(c) Ebenso folgt ”alternierend“.

(d) Nach Definition ist das Kreuzprodukt gleich 0, wenn die Vektoren linear abhängig sind. Sei nun umgekehrt das Kreuzprodukt gleich 0. Wir nehmen an, daß die Vektoren nicht linear abhängig sind. Wir hatten dann den orthogonalen Einheitsvektor y⃗ konstruiert. Er ist ≠ 0. Es muß jedoch det(y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) = y⃗ · (x⃗_{2} × … × x⃗_{n}) = 0 sein. Dann sind aber die Vektoren y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n} linear abhängig. Da aber y⃗ senkrecht auf x⃗_{2}, …, x⃗_{n} steht, kann y⃗ nicht Linearkombination von x⃗_{2}, …, x⃗_{n} sein. In der Kombination des Nullvektors durch y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n} muß also der Koeffizient bei y⃗ gleich 0 sein. Es sind also x⃗_{2}, …, x⃗_{n} doch linear abhängig. Das ist ein Widerspruch! □

Das Kreuzprodukt ist invariant gegenüber Drehungen:

6.4.4 Satz Für A ∈ SO(n) gilt stets:

(A ∘ x⃗_{2}) × … × (A ∘ x⃗_{n}) = A ∘ (x⃗_{2} × … × x⃗_{n}).

Beweis Das Senkrechtstehen und die Länge eines Vektors sind invariant gegenüber Drehungen und sogar gegenüber allgemeinen orthogonalen Transformationen. Also wird y⃗ auf A ∘ y⃗ abgebildet. Nach der Determinantentheorie ist det(A ∘ y⃗, A ∘ x⃗_{2}, …, A ∘ x⃗_{n}) = det(A ∘ (y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n})) = det(A) · det(y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}) = det(y⃗, x⃗_{2}, …, x⃗_{n}), wenn A eine Drehung ist. □

Ist dagegen A eine Drehspiegelung, so ist die Determinante gleich −1. Das neue Kreuzprodukt ist dann −A ∘ (x⃗_{2} × … × x⃗_{n}).

Im anschaulichen �^{3}

Wir betrachten nun nur noch den Fall n = 3. Es ist hier × : ℝ^{3} ⊕ ℝ^{3} → ℝ^{3} ein Produkt im ℝ^{3}. Man hat folgende Rechenregeln:

(a) Distributivgesetze:

(x⃗ + y⃗) × z⃗ = x⃗ × z⃗ + y⃗ × z⃗, x⃗ × (y⃗ + z⃗) = x⃗ × y⃗ + x⃗ × z⃗.

(b) Für a ∈ ℝ gilt: (a · x⃗) × y⃗ = x⃗ × (a · y⃗) = a · (x⃗ × y⃗).

(c) Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: x⃗ × y⃗ = −(y⃗ × x⃗).

(d) x⃗ · (y⃗ × z⃗) = det(x⃗, y⃗, z⃗).

Beweis Es sei d⃗ = y⃗ × z⃗ wieder dargestellt als ±Unterdeterminanten der Matrix (y⃗, z⃗). Dann ist nach dem Entwicklungssatz x⃗ · (y⃗ × z⃗) = ∑_{i=1}^{3} x_{i} · d_{i} = det(x⃗, y⃗, z⃗).

□ (e) Ist A ∈ SO(3) eine Drehung, so gilt: A ∘ (x⃗ × y⃗) = (A ∘ x⃗) × (A ∘ y⃗). Es sei hier auf eine Besonderheit des ×-Produktes hingewiesen. Es ist nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel lehrt:

e⃗_{3} × (e⃗_{1} × (1, 1, 0)) = e⃗_{3} × e⃗_{3} = 0, (e⃗_{3} × e⃗_{1}) × (1, 1, 0) = −e⃗_{3}.

Es gibt ein komplizierteres Gesetz, das hier ohne Beweis angegeben wird. Es gilt die Jacobi-Identität:

(x⃗ × y⃗) × z⃗ + (y⃗ × z⃗) × x⃗ + (z⃗ × x⃗) × y⃗ = 0.

Um eine anschauliche Deutung des Kreuzproduktes zu geben, gehen wir wie folgt vor.

6.4.5 Satz Es seien x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{3} linear unabhängig, V die von e⃗_{1}, e⃗_{2} aufgespannte Ebene. Dann gibt es eine Drehung A ∈ SO(3), so daß gilt:

(a) A ∘ x⃗ = a · e⃗_{1} mit einem a > 0;

(b) A ∘ y⃗ ∈ V;

(c) die zweite Komponente von A ∘ y⃗ ist positiv.

Beweis Es sei W die von x⃗, y⃗ aufgespannte Ebene. Wir setzen x⃗_{1} = (1/∥ x⃗ ∥) · x⃗. Wegen Satz 6.3.4 gibt es ein x⃗_{2} ∈ W, so daß (x⃗_{1}, x⃗_{2}) ein orthogonales 2-Bein in W ist. Nach Satz 6.3.5 existiert dann ein x⃗_{3} ∈ ℝ^{3}, so daß (x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}) ein orthogonales 3-Bein mit det(x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}) = 1 ist. Es ist also B = (x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}) ∈ SO(3). Es sei A = B^{−1} ∈ SO(3). Man hat B ∘ e⃗_{1} = x⃗_{1}, also A ∘ x⃗_{1} = e⃗_{1} und damit A ∘ x⃗ = ∥ x⃗ ∥ · e⃗_{1}. Genauso folgt A ∘ x⃗_{2} = e⃗_{2}, A ∘ x⃗_{3} = e⃗_{3}. Bei der Linearkombination y⃗ von x⃗_{1}, x⃗_{2} liegt A∘y⃗ in V. Ist nun die zweite Komponente dieses Vektors negativ, so ersetzen wir x⃗_{2} → −x⃗_{2}, x⃗_{3} → −x⃗_{3}. Die Determinante ist dann 1 geblieben, aber die zweite Komponente von A ∘ y⃗ ist nun positiv, da eine Spiegelung in V an der ersten Koordinatenachse stattgefunden hat. □

Wir benutzen hier, ohne ausführlich auf eine präzise Definition einzugehen, einen Begriff des Flächeninhaltes, der insbesondere bei Drehungen und Translationen nicht verändert wird. Ist P ⊂ W das Parallelogramm {z⃗ = t_{1}x⃗ + t_{2}y⃗ : 0 ≤ t_{1} ≤ 1, 0 ≤ t_{2} ≤ 1} und Q ⊂ V das Bildparallelogramm von P unter der Drehung A gemäß Satz 6.4.5, so haben beide gleichen Flächeninhalt. Es sei A ∘ x⃗ = v⃗_{1} = ae⃗_{1}, A ∘ y⃗ = v⃗_{2} = be⃗_{2} + ce⃗_{1}. Dann gilt a > 0, b > 0 und (A ∘ x⃗) × (A ∘ y⃗) = (ae⃗_{1}) × (be⃗_{2} + ce⃗_{1}) = abe⃗_{3}. Andererseits ist der Flächeninhalt von Q auch gleich ab, wie man an der folgenden Zeichnung sieht.

[figure: O; a · e⃗_{1}; b · e⃗_{2} + c · e⃗_{1}; R; Parallelogramm und Rechteck]

Das Rechteck R hat den Flächeninhalt ab. Die beiden Dreiecke links und rechts in der Zeichnung gehen durch Parallelverschiebung auseinander hervor. Sie haben deswegen den gleichen Inhalt. Nimmt man von R das linke Dreieck und fügt das rechte hinzu, so erhält man aus R das Parallelogramm Q. Also hat auch Q den Inhalt ab. – Das Parallelogramm P hat also den Flächeninhalt ab. Es gilt auch ab = ∥ x⃗ × y⃗ ∥.

Die Orientierung

Wir betrachten nun linear unabhängige Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3}. Diese bilden ein Rechtssystem, wenn gilt: Legt man den Daumen der rechten Hand in Richtung v⃗_{1}, den Zeigefinger in Richtung v⃗_{2}, so zeigt der Mittelfinger in Richtung v⃗_{3}. Würde man die linke Hand verwenden, spräche man von einem Linkssystem. Es gibt Rechts- und Linkssysteme.

6.4.6 Satz Bei einer Drehung um eine Achse geht ein Rechtssystem in ein Rechtssystem über.

Beweis Die Achse werde durch einen Einheitsvektor v⃗ bezeichnet. Die Drehungen um v⃗ erhält man auf folgendem Wege. Man ergänzt v⃗ zu einem orthogonalen 3-Bein mit Determinante 1 und faßt dann dieses Dreibein als Drehung B auf, die (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) auf dieses 3-Bein abbildet. Die Drehungen um v⃗ sind dann die Abbildungen B ∘ C ∘ B^{−1}, wobei C die Drehungen um e⃗_{1}, also die konstant in Richtung e⃗_{1} fortgesetzten Drehungen der (e⃗_{2}, e⃗_{3})-Ebene um einen Winkel Θ sind. Man kann diesen Winkel stetig auf 0 verkleinern und dadurch die Drehung um v⃗ stetig auf die Identität deformieren. Durch die inverse Deformation erhält man eine Schar von 3-Beinen, wenn man anfangs ein (nicht notwendig orthogonales) 3-Bein vorgegeben hat. Ist dieses ein Rechtssystem, so besteht die ganze Schar aus Rechtssystemen, da diese wegen der Stetigkeit nicht plötzlich auf Linkssysteme springen können. Ein Rechtssystem geht also durch eine Drehung um v⃗ in eine Rechtssystem über. □

Wir werden auch benutzen:

6.4.7 Satz Jede Drehung ist das Produkt von zwei Drehungen um jeweils eine Achse.

Beweis Die Drehung möge das orthogonale 3-Bein (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) auf das orthogonale 3-Bein (x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}) abbilden. Wir drehen zunächst um einen Einheitsvektor v⃗, der zu e⃗_{1}, x⃗_{1} orthogonal ist, den Vektor e⃗_{1} auf x⃗_{1} und danach weiter den mitgedrehten Vektor e⃗_{2} um x⃗_{1} auf x⃗_{2}. Nach den beiden Drehungen gilt x⃗_{3} = ± x⃗_{3}′, wobei x⃗_{3}′ der Vektor e⃗_{3} nach den beiden Drehungen ist. Es muß dann aber die Gleichheit gelten, da det(x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}) = det(x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}′) = 1 ist. □

Man kann allerdings auch zeigen, z. B. mit Hilfe der Eigenwerttheorie aus dem nächsten Kapitel, daß jede Drehung (in ℝ^{3}!) eine Drehung um eine einzige Achse ist. Dazu vgl. man Satz 7.3.21und die Erläuterungen auf S. 257. Durch eine beliebige Drehung geht also ein Rechtssystem in ein Rechtssystem über. Man hat also, indem man die Sätze 6.4.5–6.4.7kombiniert und beachtet, daß für A∘x⃗, A ∘ y⃗ aus Satz 6.4.5das Kreuzprodukt (A ∘ x⃗) × (A ∘ y⃗) in e⃗_{3}-Richtung zeigt:

6.4.8 Satz Es ist x⃗, y⃗, x⃗ × y⃗ ein Rechtssystem. Die Länge des Produktvektors ist der Inhalt des von x⃗, y⃗ aufgespannten Parallelogramms P. Der Produktvektor steht senkrecht auf den beiden Vektoren x⃗, y⃗.

Ebenso sind auch x⃗ × y⃗, x⃗, y⃗ und y⃗, x⃗ × y⃗, x⃗ Rechtssysteme. Wir nennen die Gesamtheit der Rechtssysteme im ℝ^{3} eine Orientierung des ℝ^{3}. Spiegelungen verwandeln Rechtssysteme in Linkssysteme. Das ×-Produkt ist also nicht gegen Spiegelungen (an Ebenen) invariant. Es ist im ℝ^{3} nur dann koordinatenunabhängig definiert, wenn dieser mit einem Längenbegriff und einer Orientierung versehen ist. Wir erhalten die Orientierung durch den Körper des Menschen: linke Hand – rechte Hand. Seit den fünfziger Jahren ist aber bekannt, daß die Physik nicht invariant gegen Spiegelungen ist. 1957 erhielten Yang und Lee dafür den Nobelpreis (Kobalt-60-Experiment). Später wurde gezeigt, daß die Invarianz auch nicht nach nachfolgender Vertauschung von Teilchen und Antiteilchen gilt. Der physikalisch wirkliche Raum ist also auch ohne menschliche Festlegung orientiert. (Wir kennen nun drei Arten von Räumen: den realen physikalischen Raum, den anschaulichen Raum und die vielen mathematischen Räume.)

7 Eigenwerte und Hauptachsentransformation

In diesem Kapitel werden wir eingehend die am Ende von Abschnitt 3.6aufgeworfene Frage studieren: Sei F : V → V eine lineare Abbildung des n-dimensionalen Vektorraums V in sich, G : ℝ^{n} → V eine Karte, G^{−1} : V → ℝ^{n} das entsprechende Koordinatensystem und A die zur Abbildung in den Koordinaten G^{−1}∘F ∘G gehörige n × n-Matrix. Für welche Matrizen A läßt sich eine Koordinatenwechselabbildung G^{−1} ∘ Ĝ : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit zugehöriger n×n-Matrix B finden, so daß Â := B^{−1} ∘A∘B Diagonalgestalt

Â = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & … & … & λ_{n} \end{matrix} )

hat? Wir wollen uns hier auf den Fall beschränken, daß die Karten G und Ĝ auseinander durch Drehungen hervorgehen, daß die Transformationsmatrix B also orthogonal ist. In diesem Fall sagt man, daß B die Hauptachsentransformation für die Matrix A vermittelt. Man ist deshalb so an einer Diagonalform interessiert, weil diese einerseits eine besonders naheliegende Interpretation der entsprechenden Abbildungen gestattet und weil so andererseits Matrizen auf einfache Weise auch komplexen Berechnungen wie Potenzieren oder unendlichen Reihenbildungen zugänglich gemacht werden. Hat Â Diagonalgestalt, so gilt Â ∘ e⃗_{j} = λ_{j}e⃗_{j} und deshalb für die Basiselemente x̂_{j} := Ĝ(e⃗_{j}) von V:

F (x̂_{j}) = λ_{j}x̂_{j}.

Derartige Vektoren x̂_{j} heißen Eigenvektoren zum jeweiligen Eigenwert λ_{j}, diese werden unter der Anwendung von F lediglich um den Faktor λ_{j} gestreckt. Solche Eigenvektoren werden beim Aufsuchen der Diagonalform Â von A eine grundlegende Rolle spielen, dazu vgl. man den Abschnitt 7.3. Es wird sich herausstellen, daß eine geschlossene Behandlung der angesprochenen Fragen für reelle Vektorräume im allgemeinen nicht möglich ist. Deshalb werden wir im folgenden Abschnitt zunächst den Körper der komplexen Zahlen und komplexe Vektorräume einführen und in Abschnitt 7.2 die unitären Matrizen als Verallgemeinerung der orthogonalen Matrizen behandeln. In Abschnitt 7.4 werden wir, zunächst im Komplexen, für die ”größtmögliche“ Klasse der ”normalen“ Matrizen Diagonalisierungsresultate herleiten. Ein entsprechendes reelles Resultat können wir daraus im allgemeinen nur für die wesentlich speziellere Klasse der ”symmetrischen (selbstadjungierten)“ Matrizen folgern, da nur in diesem Fall stets die Existenz hinreichend vieler reeller Eigenwerte gesichert ist.

7.1 Der allgemeine Körperbegriff, komplexe Vektorräume

Allgemeine Körper

7.1.1 Definition Eine Menge K, die mit einer Addition

+ : K × K → K

und einer Multiplikation

· : K × K → K

versehen ist, heißt Körper, falls gilt:

(1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe.

(2) Es bezeichne 0 das Nullelement von (K, +) und K^{∗} := K\{0}. Dann ist (K^{∗}, ·) ebenfalls eine abelsche Gruppe.

(3) Die Distributivgesetze gelten, d. h. für alle a, b, c, d ∈ K ist

(a + b) · c = a · c + b · c, a · (c + d) = a · c + a · d.

Das neutrale Element bzgl. der Multiplikation wird mit 1 bezeichnet und die inversen Elemente bzgl. der Addition mit (−a) und bzgl. der Multiplikation mit a^{−1} oder \frac{1}{a}. In jedem Körper gelten insbesondere sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation die Regeln, wie wir sie in Abschnitt 1.1 für (abelsche) Gruppen zusammengestellt haben. Darüber hinaus haben wir für die Verknüpfung additiver und multiplikativer Eigenschaften folgende Gesetze:

7.1.2 Satz Sei K ein Körper, dann gilt für alle a, b ∈ K:

(a) a · 0 = 0 · a = 0, (b) aus a · b = 0 folgt a = 0 oder b = 0, (Nullteilerfreiheit)

(c) (−a) · b = a · (−b) = −(a · b), (−a) · (−b) = a · b.

Für den Beweis sowie für weitere Folgerungen aus den Körperaxiomen verweisen wir auf die Lehrbücher der Analysis etwa von O. Forster [4, § 2] und von H. Grauert, I. Lieb [6, § 3]. Der Körper der reellen Zahlen verfügt zudem über einen Abstandsbegriff (Betrag), bzgl. dessen er vollständig ist, und über eine archimedische Anordnung (≤, ≥).

Der Körper der komplexen Zahlen

Der für das Folgende außerordentlich wichtige Körper ℂ der komplexen Zahlen wird im allgemeinen in der Differentialrechnung definiert. Daher werden hier manche Eigenschaften nur skizziert und einige Beweise übergangen. Zur weiteren Information sei wieder auf O. Forster [4, § 13] verwiesen. Wir führen ℂ als den zweidimensionalen reellen Vektorraum

ℂ := ℝ^{2} = {(x, y) : x, y ∈ ℝ}

ein. Damit ist ℂ bereits eine additive abelsche Gruppe. Eine Multiplikation

· : ℂ × ℂ → ℂ

wird durch

(x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu)

erklärt. Damit wird ℂ zum Körper: das neutrale Element ist bzgl. der Addition 0 = (0, 0) und bzgl. der Multiplikation 1 = (1, 0). Das Negative von (x, y) ist (−x, −y), für (x, y) ≠ 0 gilt (x, y)^{−1} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} (x, −y).

Die reellen Zahlen werden folgendermaßen in den komplexen Zahlkörper eingebettet: Die Abbildung

Φ : ℝ → ℂ, x ↦ (x, 0)

ist ein injektiver Körperhomomorphismus, d. h. stets ist

Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) und Φ(x · y) = Φ(x) · Φ(y).

Infolgedessen ist Φ(ℝ) ein Teilkörper von ℂ, d. h. eine Teilmenge von ℂ und, mit denselben Verknüpfungen wie ℂ versehen, ein Körper. Man identifiziert

ℝ = Φ(ℝ) = {(x, 0) : x ∈ ℝ}.

Für a ∈ ℝ, (x, y) ∈ ℂ gilt a · (x, y) = (a, 0) · (x, y) = (a · x, a · y), die Skalarmultiplikation auf ℝ^{2} ist also ein Spezialfall der Multiplikation auf ℂ.

Durch Einführung der imaginären Einheit i := (0, 1) mit i^{2} = −1 gelangt man zur üblichen Darstellung komplexer Zahlen

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x · 1 + y · i = x + iy.

Da jetzt i stets die imaginäre Einheit bezeichnet, steht es als Summationsindex nicht mehr zur Verfügung. Deshalb ersetzen wir fortan die bisherigen Standard-Summationsindizes i, j durch μ, ν. Für z = x + iy ∈ ℂ ist Re(z) := x der Realteil und Im(z) := y der Imaginärteil von z. Zu jeder komplexen Zahl z = x + iy wird die konjugiert komplexe Zahl z̄ = x − iy erklärt. Wegen ¯ z̄ = z ist die Konjugation eine bijektive Abbildung. Ferner gilt \overline{z_{1} + z_{2}} = z̄_{1} + z̄_{2} und \overline{z_{1} · z_{2}} = z̄_{1} · z̄_{2}, die Konjugation ist also ein Körperisomorphismus. Da reelle Zahlen durch die Konjugation nicht verändert werden, ist diese insbesondere eine bijektive lineare Abbildung des ℝ-Vektorraums ℂ in sich, eine umkehrbar ℝlineare Abbildung. Sie ist anschaulich eine Spiegelung an der x-Achse. Die Elemente iy, y ∈ ℝ, der y-Achse heißen rein imaginär; es gilt: ℝ = {(x, 0) : x ∈ ℝ} = {z : z = z̄} und iℝ := {iy : y ∈ ℝ} = {(0, y) : y ∈ ℝ} = {z : z = −z̄}. Mittels der Konjugation erhält man geschlossene Formeln für Real- und Imaginärteil:

Re(z) = \frac{1}{2}(z + z̄), Im(z) = \frac{1}{2i}(z − z̄).

Betrag einer komplexen Zahl

Für z = x + iy ∈ ℂ wird entsprechend der euklidischen Länge in ℝ^{2} durch

|z| := \sqrt{x^{2} + y^{2}}

der Betrag erklärt, offensichtlich ist |z|^{2} = z · z̄. Damit erhält man für z ≠ 0 eine einfache Formel zur Bestimmung der komplexen Kehrwerte:

\frac{1}{z} = \frac{z̄}{|z|^{2}} .

Es gelten die typischen Eigenschaften eines Betrages, für alle z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ ist:

(1) |z| = 0 ⇔ z = 0,

(2) |z_{1} · z_{2}| = |z_{1}| · |z_{2}|,

(3) |z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}|. (Dreiecksungleichung) Die erste und die dritte Eigenschaft folgen unmittelbar daraus, daß der Betrag der komplexen Zahl z = x + iy mit der euklidischen Länge des Vektors (x, y) ∈ ℝ^{2} übereinstimmt. Für die multiplikative Eigenschaft berechnet man

|z_{1} · z_{2}| = |(x_{1} + iy_{1}) · (x_{2} + iy_{2})| = |(x_{1}x_{2} − y_{1}y_{2}) + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})|

= \sqrt{x_{1}^{2}x_{2}^{2} + y_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{2}^{2}y_{1}^{2}} = \sqrt{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) · (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})} = |z_{1}| · |z_{2}|.

Da Konvergenz einer komplexen Zahlenfolge (z_{k})_{k∈ℕ} = (x_{k} + iy_{k})_{k∈ℕ} äquivalent zur Konvergenz der beiden reellen Zahlenfolgen (x_{k})_{k∈ℕ} und (y_{k})_{k∈ℕ} ist, erhält man aus der Vollständigkeit von ℝ:

Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist vollständig.

Im Gegensatz zu ℝ ist jedoch ℂ nicht angeordnet, man kann also nicht von ”größeren“ und ”kleineren“ komplexen Zahlen sprechen.

Komplexe Vektorräume

7.1.3 Definition Auf einer nichtleeren Menge V sei eine Addition

+ : V × V → V

und eine Skalarmultiplikation

· : ℂ × V → V

gegeben. Es sei (V, +) eine abelsche Gruppe, es gelten also die Eigenschaften (1)-(4) aus Definition 1.1.3. Ferner gelte für alle c, d ∈ ℂ und x, y ∈ V:

(5) 1 · x = x, (Unitäres Gesetz)

(6) (c · d) · x = c · (d · x), (Assoziativgesetz)

(7) (c + d) · x = c · x + d · x und c · (x + y) = c · x + c · y. (Distributivgesetze) Dann heißt V ein komplexer Vektorraum oder �-Vektorraum.

Man beachte die nahezu wörtliche Übereinstimmung mit der Definition 1.2.1, es wird nur der Skalarenkörper ℝ durch ℂ ersetzt. Mit Ausnahme der Abschnitte, in denen Orthogonalität eine Rolle spielt (d. h. Kapitel 4.5und Kapitel 6), kann im gesamten Buch ℝ ohne weiteres durch ℂ ersetzt werden. Hinsichtlich der Orthogonalität werden wir unten zeigen, daß sich die Definition des Skalarproduktes in geeigneter Weise modifizieren läßt. Zur Vermeidung von Mißverständnissen bezüglich des zugrundeliegenden Skalarenkörpers (man vgl. Satz 7.1.6) spricht man von linearer (Un-) Abhängigkeit über ℂ, ℂ-Dimension (man schreibt dim_{ℂ} ), usw. Der n-dimensionale komplexe Zahlenraum

ℂ^{n} := {(z_{1}, …, z_{n}) : z_{ν} ∈ ℂ}

ist mit den Verknüpfungen

z⃗ + w⃗ := (z_{1} + w_{1}, …, z_{n} + w_{n}) und c · z⃗ := (c · z_{1}, …, c · z_{n})

ein komplexer Vektorraum mit der ℂ-Basis

{e⃗_{1} = (1, 0, …, 0), …, e⃗_{n} = (0, …, 0, 1)}.

In derselben Weise, wie ℝ als Teilmenge von ℂ aufgefaßt werden kann, ist auch der n-dimensionale reelle Zahlenraum ℝ^{n} in ℂ^{n} enthalten; für z⃗ ∈ ℂ^{n} schreiben wir z⃗ = x⃗ + iy⃗ mit x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n}. Es gilt wörtlich wie in Satz 3.3.14:

7.1.4 Satz dim_{ℂ} ℂ^{n} = n.

Da ℝ ein Teilkörper von ℂ ist, wird jeder komplexe Vektorraum V durch Einschränkung der Skalarmultiplikation von ℂ × V auf ℝ × V zu einem reellen Vektorraum. Im Folgenden stellen wir dar, wie die Eigenschaften von V als ℝ-Vektorraum und als ℂ-Vektorraum zusammenhängen.

7.1.5 Satz Es sei V ein ℂ-Vektorraum und {z_{1}, …, z_{n}} eine Basis von V über ℂ. Dann ist {z_{1}, i · z_{1}, …, z_{n}, i · z_{n}} eine ℝ-Basis von V.

Beweis Wir zeigen zunächst die lineare Unabhängigkeitüber ℝ. Seien a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ ℝ mit

∑_{ν=1}^{n} a_{ν}z_{ν} + ∑_{ν=1}^{n} b_{ν}(i · z_{ν}) = 0.

Für c_{ν} := a_{ν} + ib_{ν} folgt ∑_{ν=1}^{n} c_{ν}z_{ν} = 0. Die lineare Unabhängigkeit über ℂ liefert c_{1} = ⋯ = c_{n} = 0, also

a_{1} = … = a_{n} = b_{1} = … = b_{n} = 0.

Andererseits wird V auch von dem angegebenen System über ℝ erzeugt. Da {z_{1}, …, z_{n}}über ℂ ein Erzeugendensystem von V ist, existieren zu beliebigem z ∈ V komplexe Zahlen c_{ν} = a_{ν} + ib_{ν} ∈ ℂ, a_{ν}, b_{ν} ∈ ℝ, ν = 1, …, n, mit

z = ∑_{ν=1}^{n} c_{ν}z_{ν} = ∑_{ν=1}^{n}(a_{ν} + ib_{ν})z_{ν} = ∑_{ν=1}^{n} a_{ν}z_{ν} + ∑_{ν=1}^{n} b_{ν}(iz_{ν}).  □

Eine unmittelbare Folgerung ist

7.1.6 Satz Sei V ein komplexer Vektorraum mit dim_{ℂ} V = n. Dann gilt dim_{ℝ} V = 2n.

Die Isomorphie von ℂ^{n} und ℝ^{2n} über ℝ sieht man am deutlichsten, indem man im n-tupel z⃗ = (z_{1}, …, z_{n}), z_{ν} = x_{ν} + iy_{ν} jede Komponente als Zahlenpaar (x_{ν}, y_{ν}) schreibt: ((x_{1}, y_{1}), …, (x_{n}, y_{n})). Gemäß Satz 7.1.5 erhält man eine ℝ-Basis von ℂ^{n} durch

{e⃗_{1}, i · e⃗_{1}, …, e⃗_{n}, i · e⃗_{n}}
= {((1, 0), (0, 0), …, (0, 0)), ((0, 1), (0, 0), …, (0, 0)), …
…, ((0, 0), …, (0, 0), (1, 0)), ((0, 0), …, (0, 0), (0, 1))} .

Komplex lineare Abbildungen

7.1.7 Definition Unter einer komplex linearen oder ℂ-linearen Abbildung F : V → W zwischen den komplexen Vektorräumen V und W versteht man eine Abbildung, die mit den Vektorraumoperationen verträglich ist, so daß für alle x, y ∈ V, c ∈ ℂ gilt:

F (x + y) = F (x) + F (y), F (c · x) = c · F (x).

Sei nun F : ℂ^{n} → ℂ^{n} eine ℂ-lineare Abbildung, die durch die komplexe n × n-Matrix

C = ( \begin{matrix}c_{11} & … & c_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ c_{n1} & … & c_{nn} \end{matrix} ) , c_{μν} = a_{μν} + ib_{μν}, a_{μν}, b_{μν} ∈ ℝ,

gegeben wird. Man kann F insbesondere auch als ℝ-lineare Abbildung ℝ^{2n} → ℝ^{2n} auffassen. Wir wollen untersuchen, wie die zugehörige reelle 2n × 2n-Matrix A aus C hervorgeht. Dazu sind die Bilder der Einheitsvektoren e⃗_{1}, i · e⃗_{1}, …, e⃗_{n}, i · e⃗_{n} zu bestimmen. Für ν = 1, …, n gilt:

F (e⃗_{ν}) = (c_{1ν}, …, c_{nν}) = ((a_{1ν}, b_{1ν}), …, (a_{nν}, b_{nν})),
F (ie⃗_{ν}) = i · (c_{iν}, …, c_{nν}) = (i · c_{1ν}, …, i · c_{nν})
= ((−b_{1ν}, a_{1ν}), …, (−b_{nν}, a_{nν})),

und man erhält:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & −b_{11} & … & a_{1n} & −b_{1n} \\ b_{11} & a_{11} & … & b_{1n} & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & −b_{n1} & … & a_{nn} & −b_{nn} \\ b_{n1} & a_{n1} & … & b_{nn} & a_{nn} \end{matrix} ) .

Also geht die reelle Matrix A aus der komplexen Matrix C hervor, indem man jede komplexe Komponente c_{μν} = a_{μν} + ib_{μν} von C durch das reelle 2 × 2-Kästchen

\begin{matrix}a_{μν} & −b_{μν} \\ b_{μν} & a_{μν} \end{matrix}

ersetzt. Auch die Determinantentheorie für komplexe Matrizen läßt sich genauso wie im reellen Fall durchführen. Insbesondere gilt:

7.1.8 Satz Es sei F : ℂ^{n} → ℂ^{n} eine ℂ-lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix C = C^{n,n}. Dann sind äquivalent:

(a) Die Abbildung F ist bijektiv.

(b) Die Matrix C ist nichtsingulär.

(c) det(C) ≠ 0.

Nach diesen Vorbereitungen definieren wir genauso wie in 3.8.5:

7.1.9 Definition Die Menge aller nichtsingulären komplexen n × n-Matrizen

GL(n, ℂ) := {C : C ist komplexe n × n-Matrix mit det(C) ≠ 0}

heißt allgemeine lineare Gruppe vom Rang n über ℂ.

7.1.10 Bemerkung Im Zusammenhang mit der Determinantentheorie ℂ-linearer Abbildungen ist Vorsicht geboten, da sich hier der Wert der Determinante ändern kann, wenn man zu der Interpretation derselben Abbildung als ℝ-linearer Abbildung zwischen ℝ-Vektorräumen mit doppelt so großer ℝ-Dimension wechselt. Als Beispiel betrachten wir F : ℂ → ℂ, F (z) = −z; die entsprechende komplexe 1 × 1-Matrix lautet C = ( −1 ), det(C) = −1. Zu F : ℝ^{2} → ℝ^{2}, F (x, y) = −(x, y) gehört dagegen die reelle 2 × 2-Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) mit det(A) = 1.

Ein komplexes Skalarprodukt

Um auch ℂ^{n} mit einem Skalarprodukt zu versehen, geht man von der Idee aus, daß ℂ^{n} die euklidische Norm ∥ z⃗ ∥ = \sqrt{|z_{1}|^{2} + … + |z_{n}|^{2}} tragen soll und daß diese von

dem gesuchten Skalarprodukt erzeugt werden soll: (z⃗, z⃗) =^{!} ∥ z⃗ ∥^{2}. Indem man noch das bereits erwähnte Gesetz |z_{ν}|^{2} = z̄_{ν} · z_{ν} beachtet, gelangt man zu der Setzung

(z⃗, w⃗) := ∑_{ν=1}^{n} z̄_{ν} · w_{ν}.

Es stellt sich heraus, daß die axiomatische Beschreibung des Skalarproduktes in ℂ^{n} oder allgemeiner in komplexen Vektorräumen gegenüber der Charakterisierung in Satz 6.2.1 für den ℝ^{n} bzw. für reelle Vektorräume hinsichtlich der Linearitäts- und Symmetrieeigenschaften zu modifizieren ist.

7.1.11 Satz Für das durch (z⃗, w⃗) = ∑_{ν=1}^{n} z̄_{ν} · w_{ν} auf ℂ^{n} gegebene kanonische komplexe Skalarprodukt gilt:

(1) Es ist konjugiert linear in der ersten Komponente, d. h. für c ∈ ℂ, z⃗, z⃗′, w⃗ ∈ ℂ^{n}

gilt:

(z⃗ + z⃗′, w⃗) = (z⃗, w⃗) + (z⃗′, w⃗), (c · z⃗, w⃗) = c̄ · (z⃗, w⃗).

(2) Es ist linear in der zweiten Komponente, d. h. für c ∈ ℂ, z⃗, w⃗, w⃗′ ∈ ℂ^{n} gilt:

(z⃗, w⃗ + w⃗′) = (z⃗, w⃗) + (z⃗, w⃗′), (z⃗, c · w⃗) = c · (z⃗, w⃗).

(3) Es ist Hermitesch (konjugiert symmetrisch), d. h. für z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} gilt:

(z⃗, w⃗) = \overline{(w⃗, z⃗)}.

(4) Es ist positiv definit, d. h. für z⃗ ∈ ℂ^{n} ist (z⃗, z⃗) reell, und es gilt:

(z⃗, z⃗) ≥ 0 und (z⃗, z⃗) > 0, falls z⃗ ≠ 0.

Beweis Der Beweis folgt durch elementares Nachrechnen aus der Definition des Skalarprodukts. □

Abbildungen ℂ^{n}⊕ℂ^{n} → ℂ mit den Eigenschaften (1) und (2) nennt man sesquilinear. Das kanonische komplexe Skalarprodukt ist also eine Hermitesche, positiv definite Sesquilinearform. Es wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt, ob das Skalarprodukt in der ersten oder in der zweiten Komponente als konjugiert linear definiert wird. Häufig wird z. B. das Skalarprodukt in ℂ^{n} auch durch ∑_{ν=1}^{n} z_{ν}w̄_{ν} eingeführt.

7.1.12 Satz Durch die Setzung

∥ z⃗ ∥ := \sqrt{(z⃗, z⃗)} = \sqrt{∑_{ν=1}^{n} z̄_{ν} · z_{ν}}

wird ℂ^{n} zu einem normierten komplexen Vektorraum. Die Abbildung ∥ . ∥ : ℂ^{n} → ℝ hat also die typischen Eigenschaften einer Norm; für alle c ∈ ℂ, z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} gilt:

(1) ∥ z⃗ ∥ = 0 ⇔ z⃗ = 0,

(2) ∥ c · z⃗ ∥ = |c| · ∥ z⃗ ∥,

(3) ∥ z⃗ + w⃗ ∥ ≤ ∥ z⃗ ∥ + ∥ w⃗ ∥.

Beweis Man könnte zunächst die auch in ℂ^{n} gültige Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

|(z⃗, w⃗)| ≤ ∥ z⃗ ∥ · ∥ w⃗ ∥

herleiten und anschließend genauso wie im Beweis von Satz 6.2.4verfahren. Hier wollen wir allerdings direkt auf das dort erzielte Resultat zurückgreifen und verwenden, daß ℂ^{n} und ℝ^{2n} als ℝ-Vektorräume kanonisch isomorph sind. Wie bereits vorher bemerkt, stimmen für

z⃗ = (z_{1}, …, z_{n}) = (x_{1} + iy_{1}, …, x_{n} + iy_{n}) = ((x_{1}, y_{1}), …, (x_{n}, y_{n}))

die euklidische Norm in ℝ^{2n} und die euklidische Norm in ℂ^{n} überein:

∥ (x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}) ∥^{2} = ∑_{ν=1}^{n} (x_{ν}^{2} + y_{ν}^{2}) = ∑_{ν=1}^{n} z̄_{ν} · z_{ν} = ∥ z⃗ ∥^{2}.

Die Eigenschaften (1) und (3) folgen also direkt aus dem reellen Resultat. Für c ∈ ℂ, z⃗ ∈ ℂ^{n} gilt weiter:

∥ c · z⃗ ∥^{2} = (c · z⃗, c · z⃗) = c̄ · (z⃗, c · z⃗) = c̄ · c · (z⃗, z⃗) = |c|^{2} · ∥ z⃗ ∥^{2}.  □

7.2 Unitäre und adjungierte Abbildungen

Die unitäre Gruppe

Die unitären Abbildungen sind die komplexen Verallgemeinerungen der orthogonalen Abbildungen. Zwar könnte man die folgende Theorie auch allgemein in endlichdimensionalen Vektorräumen mit Skalarprodukt (diese nennt man unitär bzw. im reellen Fall euklidisch) durchführen, wir beschränken uns aber der Einfachheit halber auf Abbildungen ℂ^{n} → ℂ^{n}. Zudem kann man sich, ganz ähnlich wie bei allgemeinen linearen Abbildungen in Kapitel 3, durch die Einführung unitärer Karten stets auf diesen Fall zurückziehen. Zur Definition wählen wir eine der Eigenschaften aus Satz 6.3.2.

7.2.1 Definition Eine komplexe n × n-Matrix C heißt unitär, falls ∥ C ∘ z⃗ ∥ = ∥ z⃗ ∥ für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} gilt. Eine lineare Abbildung F : ℂ^{n} → ℂ^{n} heißt unitär, falls die zugehörige Matrix unitär ist. Wir nennen

U(n) := {C : C ist unitäre n × n-Matrix}

die unitäre Gruppe vom Rang n.

Tatsächlich ist die Bezeichnung ”unitäre Gruppe“ gerechtfertigt:

7.2.2 Satz U(n) ist eine Untergruppe von GL(n, ℂ).

Beweis Offenbar ist die zu C ∈ U(n) gehörige lineare Abbildung injektiv. Wie in Kapitel 3 folgt daraus, daß C nichtsingulär ist und C^{−1} ∈ GL(n, ℂ) existiert. Es folgt U(n) ⊂ GL(n, ℂ) und auf Grund von ∥ z⃗ ∥ = ∥ C ∘ C^{−1} ∘ z⃗ ∥ = ∥ C^{−1} ∘ z⃗ ∥ auch C^{−1} ∈ U(n). Wegen E^{n,n} ∈ U(n) ist U(n) ≠ ∅. Schließlich ist U(n) auch gegenüber der Matrizenmultiplikation abgeschlossen, denn mit C_{1}, C_{2} ∈ U(n) ist wegen ∥ C_{1} ∘ C_{2} ∘ z⃗ ∥ = ∥ C_{2} ∘ z⃗ ∥ = ∥ z⃗ ∥ auch C_{1} ∘ C_{2} ∈ U(n). □

Wir studieren zunächst die Verbindungen mit dem reellen Begriff der orthogonalen Matrix. Eine reelle Matrix C ∈ ℝ^{n×n} ist natürlich auch eine komplexe Matrix C ∈ ℂ^{n×n} und vermittelt damit sowohl Abbildungen F_{ℝ} : ℝ^{n} → ℝ^{n} als auch F_{ℂ} : ℂ^{n} → ℂ^{n}. Die komplexe Abbildung F_{ℂ} geht dabei aus F_{ℝ} hervor, indem man für z⃗ = x⃗ + iy⃗ ∈ ℂ^{n}, x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n} beachtet:

F_{ℂ} (z⃗) = F_{ℂ} (x⃗ + iy⃗) = F_{ℂ} (x⃗) + iF_{ℂ} (y⃗) = C ∘ x⃗ + i C ∘ y⃗ = F_{ℝ} (x⃗) + iF_{ℝ} (y⃗).

Dieses Verfahren, das man auch unabhängig vom Matrizenkalkül durchführen kann, heißt Komplexifizierung.

7.2.3 Satz O(n) ⊂ U(n).

Beweis Sei C ∈ O(n) und z⃗ = x⃗ + iy⃗, x⃗, y⃗ ∈ ℝ^{n}. Die Eigenschaften der euklidischen Norm in ℂ^{n} ergeben:

∥ z⃗ ∥^{2} = ∥ x⃗ ∥^{2} + ∥ y⃗ ∥^{2} = ∥ C ∘ x⃗ ∥^{2} + ∥ C ∘ y⃗ ∥^{2}
= ∥ C ∘ x⃗ + i C ∘ y⃗ ∥^{2} = ∥ C ∘ (x⃗ + iy⃗) ∥^{2} = ∥ C ∘ z⃗ ∥^{2}.
□

Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt erläutert, können wir ℂ^{n} und ℝ^{2n} als ℝ-Vektorräume identifizieren und entsprechend ℂ-lineare Abbildungen ℂ^{n} → ℂ^{n} als ℝ-lineare Abbildungen ℝ^{2n} → ℝ^{2n} auffassen. In diesem Sinne ist der folgende Satz zu verstehen.

7.2.4 Satz U(n) ist eine Untergruppe von O(2n).

Beweis Es sei Φ : U(n) → ℝ^{2n×2n} die in Abschnitt 7.1 beschriebene Abbildung: Für C = (c_{μν})_{μ,ν=1,...,n} erhält man A = Φ(C), indem man jede komplexe Komponente

c_{μν} = a_{μν} + ib_{μν} durch das reelle 2 × 2-Kästchen ( \begin{matrix}a_{μν} & −b_{μν} \\ b_{μν} & a_{μν} \end{matrix} ) ersetzt.

Wir haben also zu zeigen, daß Φ : U(n) → O(2n) ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Da C und A = Φ(C) dieselbe Abbildung beschreiben und die euklidische Norm in ℂ^{n} mit der in ℝ^{2n} übereinstimmt, folgt Φ(U(n)) ⊂ O(2n) aus Satz 6.3.2. Wir zeigen nun, daß Φ ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien C_{1}, C_{2} ∈ U(n). Die durch C_{1} ∘ C_{2} gegebene Abbildung ℂ^{n} → ℂ^{n} stimmt mit der durch Φ(C_{1}) ∘ Φ(C_{2}) gegebenen Abbildung ℝ^{2n} → ℝ^{2n} überein, denn die Komposition der Abbildungen ist unabhängig davon, ob man ℂ^{n} als komplexen oder reellen Vektorraum interpretiert. Also gilt Φ(C_{1} ∘ C_{2}) = Φ(C_{1}) ∘ Φ(C_{2}). Die Injektivität von Φ ergibt sich schließlich aus

Φ(C) = E^{2n,2n} ⇒ C = E^{n,n}.  □

Im Spezialfall n = 1 läßt sich Genaueres aussagen:

7.2.5 Satz U(1) ≅ SO(2).

Beweis Für die im vorherigen Beweis betrachtete Abbildung Φ : U(1) → O(2) bleibt zu zeigen:

Φ(U(1)) ⊂ SO(2), Φ : U(1) → SO(2) ist surjektiv.

Sei c ∈ U(1), es ist also insbesondere |c|^{2} = |c · c̄| = |c̄| = |c| und damit |c| = 1. Mit

c = a + ib gilt a^{2} + b^{2} = 1 und Φ(c) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ), also Φ(c) ∈ SO(2).

Um noch die Surjektivität von Φ zu zeigen, sei A ∈ SO(2) gegeben. Gemäß Satz 6.1.8

existieren dann a, b ∈ ℝ mit a^{2} + b^{2} = 1 und A = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ). Für c := a + ib gilt |c| = 1 und damit für alle d ∈ ℂ: |c · d| = |c| · |d| = |d|, d. h. c ∈ U(1). Ferner ist Φ(c) = A und folglich im(Φ) = SO(2). □

Eine Drehung des ℝ^{2} ist also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl c, deren Betrag |c| = 1 ist. Das nächste Ziel ist die komplexe Entsprechung des Satzes 6.3.2, es sollen also einige äquivalente und für das Folgende grundlegende Charakterisierungen unitärer Matrizen zusammengestellt werden. Dazu sind vorbereitend einige aus Kapitel 6 bekannte Begriffe auf den ℂ^{n} auszudehnen und einige Hilfsresultate zu beweisen.

Komplexe Orthogonalität

7.2.6 Definition Die Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} heißen (komplex) orthogonal, wenn (z⃗, w⃗) = 0 gilt. Unter dem orthogonalen Komplement des Untervektorraums V ⊂ ℂ^{n} verstehen wir

V^{⊥} := {z⃗ ∈ ℂ^{n} : (z⃗, w⃗) = 0 für alle w⃗ ∈ V } .

7.2.7 Satz Die Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} seien (komplex) orthogonal, z⃗ = x⃗ + iy⃗, w⃗ = u⃗ + iv⃗ mit x⃗, y⃗, u⃗, v⃗ ∈ ℝ^{n}. Dann sind die entsprechenden Vektoren (x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}), (u_{1}, v_{1}, …, u_{n}, v_{n}) ∈ ℝ^{2n} (reell) orthogonal.

Beweis Aus der komplexen Orthogonalität folgt

0 = (z⃗, w⃗) = ∑_{ν=1}^{n}(x_{ν} − i y_{ν})(u_{ν} + i v_{ν})

= ∑_{ν=1}^{n}(x_{ν}u_{ν} + y_{ν}v_{ν}) + i · ∑_{ν=1}^{n}(x_{ν}v_{ν} − y_{ν}u_{ν})

und damit durch Betrachtung des Realteils die Behauptung. □

Der Beweis zeigt, daß komplexe Orthogonalität in ℂ^{n} eine wesentlich stärkere Eigenschaft als reelle Orthogonalität in ℝ^{2n} ist, denn das entsprechende reelle Skalarprodukt ist lediglich der Realteil des komplexen Skalarprodukts. Dazu geben wir folgendes einfache Beispiel:

7.2.8 Beispiel Die komplexen Zahlen 1 und i sind in ℂ natürlich nicht orthogonal, die entsprechenden reellen Vektoren (1, 0) und (0, 1) in ℝ^{2} hingegen schon.

7.2.9 Satz Für jeden Untervektorraum V ⊂ ℂ^{n} gilt

V^{⊥⊥} := (V^{⊥})^{⊥} = V.

Beweis Offensichtlich ist (V^{⊥})^{⊥} = {z⃗ ∈ ℂ^{n} : (z⃗, w⃗) = 0 für alle w⃗ ∈ V^{⊥}} ⊃ V. Die umgekehrte Inklusion beweist man mit Hilfe eines Dimensionsarguments. Sei k = dim_{ℂ} V, wie in Satz 6.3.6 zeigt man dim_{ℂ} V^{⊥} = n − k. Eine Wiederholung dieses Schlusses ergibt dim_{ℂ} (V^{⊥})^{⊥} = n − (n − k) = k und damit wegen V ⊂ V^{⊥⊥} die behauptete Gleichheit. □

In unendlichdimensionalen (unitären) Vektorräumen kann das Dimensionsargument nicht verwendet werden. Tatsächlich behält der obige Satz dort nur unter zusätzlichen Voraussetzungen seine Gültigkeit.

7.2.10 Definition Man nennt ein k-tupel (z⃗_{1}, …, z⃗_{k}) von Vektoren aus ℂ^{n} ein (komplexes) orthogonales k-Bein, wenn für μ, ν = 1, …, k gilt:

(z⃗_{μ}, z⃗_{ν}) = δ_{μν}.

Ist ein orthogonales k-Bein gleichzeitig auch Erzeugendensystem eines Untervektorraums V von ℂ^{n}, so spricht man von einer Orthonormalbasis von V.

Eine Orthonormalbasis von V ist also eine Basis aus paarweise orthogonalen, normierten (d. h. mit Länge 1) Vektoren. Wie im Reellen stehen nun das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren, Projektionen auf orthogonale k-Beine etc. zur Verfügung. Wir bezeichnen mit C̄^{t} die zur m × n-Matrix C konjugiert transponierte n × m-Matrix, die also aus C = (c_{μν})_{{μ=1,...,m \atop ν=1,...,n}} durch Transponieren und komponentenweises Konjugieren hervorgeht:

C̄^{t} = ( \begin{matrix}c̄_{11} & c̄_{21} & … & c̄_{m1} \\ c̄_{12} & c̄_{22} & … & c̄_{m2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ c̄_{1n} & c̄_{2n} & … & c̄_{mn} \end{matrix} ) .

Wir betrachten nun wieder ausschließlich quadratische Matrizen.

7.2.11 Satz Für jede n × n-Matrix C und alle Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} gilt:

(w⃗, C ∘ z⃗) = (C̄^{t} ∘ w⃗, z⃗).

Beweis Das komplexe Skalarprodukt lautet in Matrizenschreibweise:

(z⃗, w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ w⃗,

daraus erhält man:

(C̄^{t} ∘ w⃗, z⃗) = \overline{(C̄^{t} ∘ w⃗)}^{t} ∘ z⃗ = ( ¯C̄^{t} ∘ ¯ w⃗)^{t} ∘ z⃗ = ¯ w⃗^{t} ∘ (C ∘ z⃗) = (w⃗, C ∘ z⃗). □

7.2.12 Satz Ist D eine komplexe n × n-Matrix derart, daß ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ = 0 für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} gilt, dann folgt: D = O^{n,n}.

Beweis Wir zeigen zunächst, daß die Sesquilinearform, die je zwei Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} die komplexe Zahl (z⃗, D ∘ w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ zuordnet, bereits durch die Werte der quadratischen Form z⃗ ↦ ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ bestimmt ist. Bei dem folgenden Verfahren der Polarisierung setzt man geeignete Kombinationen der beliebig vorgegebenen Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} ein:

\overline{(z⃗ + w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ + ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗,
\overline{(z⃗ − w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ − ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ − ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗,
\overline{(z⃗ + iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + iw⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + i¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ − i¯w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + ¯ w⃗^{t}∘ D ∘ w⃗,
\overline{(z⃗ − iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − iw⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ − i¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ + i¯w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ + ¯ w⃗^{t}∘ D ∘ w⃗.

Indem man jeweils die ersten und letzten beiden Gleichungen voneinander subtrahiert, erhält man:

¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ + ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗
= \frac{1}{2} (\overline{(z⃗ + w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + w⃗) − \overline{(z⃗ − w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − w⃗));
¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ − ¯ w⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗
= \frac{1}{2i} (\overline{(z⃗ + iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + iw⃗) − \overline{(z⃗ − iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − iw⃗)) .

Diese Gleichungen werden zueinander addiert, und es folgt:

¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ = \frac{1}{4} (\overline{(z⃗ + w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + w⃗) − \overline{(z⃗ − w⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − w⃗))

+\frac{1}{4i} (\overline{(z⃗ + iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ + iw⃗) − \overline{(z⃗ − iw⃗)}^{t} ∘ D ∘ (z⃗ − iw⃗)) .

Wir setzen nun in dieses auch an sich interessante Zwischenergebnis unsere Voraussetzung ein, daß stets ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗ = 0 ist. Dadurch erhalten wir für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n}:

¯z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ = 0.

Indem wir für z⃗ und w⃗ die Elemente e⃗_{μ} und e⃗_{ν} der kanonischen Basis des ℂ^{n} einsetzen, folgt schließlich für D = (d_{μν})_{μ,ν=1,...,n}:

d_{μν} = e⃗_{μ}^{t} ∘ D ∘ e⃗_{ν} = 0.  □

7.2.13 Bemerkung Die komplexe n × n-Matrix D und damit die entsprechende Sesquilinearform S : ℂ^{n} ⊕ ℂ^{n} → ℂ, S(z⃗, w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ w⃗ = (z⃗, D ∘ w⃗) sind durch die quadratische Form z⃗ ↦ ¯ z⃗^{t} ∘ D ∘ z⃗, d. h. durch die Werte der Sesquilinearform auf der ”Diagonalen“ z⃗ = w⃗ eindeutig bestimmt. Ein entsprechendes Resultat gilt im Reellen nur unter Zusatzvoraussetzungen, wie et-

wa der Symmetrie (man vgl. den Beweis von Satz 6.3.2), wie das Beispiel ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )

zeigt.

Unitäre Matrizen

7.2.14 Satz Für alle komplexen n × n-Matrizen A = (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) sind äquivalent:

(a) Ā^{t} ∘ A = E;

(b) für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} gilt (A ∘ z⃗, A ∘ w⃗) = (z⃗, w⃗);

(c) A ist unitär;

(d) (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) ist ein komplexes orthogonales n-Bein.

Beweis ”(a) ⇒ (c)“: Für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} gilt in Matrizenschreibweise:

∥ z⃗ ∥^{2} = ¯ z⃗^{t} ∘ z⃗ = ¯ z⃗^{t} ∘ E ∘ z⃗ = (¯z⃗^{t} ∘ Ā^{t}) ∘ (A ∘ z⃗)
= \overline{(A ∘ z⃗)}^{t} ∘ (A ∘ z⃗) = ∥ A ∘ z⃗ ∥^{2}.

”(c) ⇒ (b)“: In diesem Beweisteil können wir von den in Satz 7.2.12 geleisteten Vorarbeiten profitieren. Wir wollen zeigen, daß die Sesquilinearform

S : ℂ^{n} ⊕ ℂ^{n} → ℂ, S(z⃗, w⃗) = (A ∘ z⃗, A ∘ w⃗) − (z⃗, w⃗)  (∗)

stets den Wert 0 ergibt. Gemäß Voraussetzung (c) ist der Wert dieser Form auf der ”Diagonalen“ z⃗ = w⃗ stets 0. Indem man noch beachtet, daß für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n}

(A ∘ z⃗, A ∘ w⃗) − (z⃗, w⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ (Ā^{t} ∘ A) ∘ w⃗ − ¯ z⃗^{t} ∘ w⃗
= ¯ z⃗^{t} ∘ (Ā^{t} ∘ A − E) ∘ w⃗

gilt, daß also die Sesquilinearform S in (∗) durch die Matrix Ā^{t} ∘ A − E gegeben wird, ergibt Satz 7.2.12 tatsächlich, daß es sich bei dieser Matrix um die Nullmatrix handelt. Mithin verschwindet die Sesquilinearform S in (∗) identisch, und wir haben gleichzeitig auch ”(c) ⇒ (a)“ mitbewiesen. ”(b) ⇒ (d)“: Gemäß Voraussetzung (b) ist die Matrix A ”längen-“ und ”winkeltreu“, das gilt insbesondere auch für die Elemente der kanonischen Basis des ℂ^{n}:

δ_{μν} = (e⃗_{μ}, e⃗_{ν}) = (A ∘ e⃗_{μ}, A ∘ e⃗_{ν}) = (a⃗_{μ}, a⃗_{ν}).

”(d) ⇒ (a)“: Dieser Schluß basiert allein auf der Definition der Matrizenmultiplikation:

Ā^{t} ∘ A = ( ¯ a⃗_{1}^{t} ; ⋮ ; ¯a⃗_{n}^{t} ) ∘ (a⃗_{1}, …, a⃗_{n}) = (¯a⃗_{μ}^{t} ∘ a⃗_{ν})_{μ,ν=1,...,n}

= ((a⃗_{μ}, a⃗_{ν}))_{μ,ν=1,...,n} = (δ_{μν})_{μ,ν=1,...,n} = E.
□

Adjungierte Abbildungen

Wiederholt hat die zur komplexen n × n-Matrix A konjugiert transponierte Matrix Ā^{t} eine Rolle gespielt, nicht zuletzt als Umkehrmatrix unitärer Matrizen. Deshalb werden wir nun die entsprechenden Abbildungen eingehender studieren.

7.2.15 Definition Sei A eine komplexe n × n-Matrix und F : ℂ^{n} → ℂ^{n} die zugehörige ℂ-lineare Abbildung.

(a) Die zur konjugiert transponierten Matrix Ā^{t} gehörige ℂ-lineare Abbildung ℂ^{n} → ℂ^{n} heißt die zu F adjungierte Abbildung.

(b) Gilt Ā^{t} = A, so heißt A Hermitesch und F selbstadjungiert.

Ein Spezialfall hiervon ist die entsprechende reelle Definition:

7.2.16 Definition Sei A eine reelle n × n-Matrix und F : ℝ^{n} → ℝ^{n} die zugehörige ℝ-lineare Abbildung.

(a) Die zur transponierten Matrix A^{t} gehörige ℝ-lineare Abbildung ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt die zu F adjungierte Abbildung.

(b) Ist A symmetrisch, d. h. A = A^{t}, so nennen wir F selbstadjungiert.

7.2.17 Bemerkung Bei reellen Matrizen A ∈ ℝ^{n×n} und zugehörigen linearen Abbildungen F : ℝ^{n} → ℝ^{n} fallen die adjungierte und die duale Abbildung zusammen. Im Komplexen dagegen wird die duale Abbildung F^{∗} unverändert durch A^{t}, die adjungierte Abbildung F^{adjungiert} dagegen durch Ā^{t} gegeben. Hier besteht bei den Abbildungen der Zusammenhang: F^{adjungiert}(z⃗) = \overline{F^{∗} \binom{}{¯z⃗}}.

Um im Folgenden nicht unnötig komplizierte Bezeichnungen verwenden zu müssen, werden wir mitunter die zur Matrix A gehörige lineare Abbildung ebenfalls mit A bezeichnen und beispielsweise von Ā^{t} als der zu A adjungierten Abbildung sprechen.

7.2.18 Satz Eine komplexe n × n-Matrix A ist genau dann Hermitesch, wenn für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} die Zahl (z⃗, A ∘ z⃗) reell ist.

Beweis Grundlegend ist die folgende, auf den Eigenschaften konjugiert transponierter Matrizen beruhende Gleichheit:

(z⃗, Ā^{t} ∘ z⃗) = (A ∘ z⃗, z⃗) = \overline{(z⃗, A ∘ z⃗)}.

Ist A Hermitesch, so gilt für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} also (z⃗, A ∘ z⃗) = \overline{(z⃗, A ∘ z⃗)}, demgemäß sind diese Zahlen stets reell. Ist dagegen (z⃗, A∘z⃗) stets reell, d. h. (z⃗, A∘z⃗) = \overline{(z⃗, A ∘ z⃗)}, so verschwindet die von Ā^{t} − A gegebene quadratische Form identisch, es ist also stets (z⃗, (Ā^{t} − A) ∘ z⃗) = 0. Der schon wiederholt zitierte Satz 7.2.12zeigt Ā^{t} −A = O und damit die Hermitizität von A. □

Auch um die Symmetrie einer reellen n × n-Matrix zu prüfen, ist die quadratische Form (z⃗, A ∘ z⃗) für alle komplexen Vektoren z⃗ ∈ ℂ^{n} zu betrachten.

7.2.19 Satz Für die zur komplexen n × n-Matrix A gehörige lineare Abbildung gilt:

(a) ker(A) = im(Ā^{t})^{⊥},

(b) im(A) = ker(Ā^{t})^{⊥}.

Beweis Sei z⃗ ∈ ker(A), d. h. A ∘ z⃗ = 0. Für alle Ā^{t} ∘ w⃗ ∈ im(Ā^{t}), w⃗ ∈ ℂ^{n}, folgt mit Satz 7.2.11

(z⃗, Ā^{t} ∘ w⃗) = (A ∘ z⃗, w⃗) = (0, w⃗) = 0.

Somit ist ker(A) ⊂ im(Ā^{t})^{⊥}.

Sei nun umgekehrt z⃗ ∈ im(Ā^{t})^{⊥}, für alle w⃗ ∈ ℂ^{n} haben wir also

0 = (z⃗, Ā^{t} ∘ w⃗) = (A ∘ z⃗, w⃗).

Indem man speziell w⃗ = A ∘ z⃗ wählt, ergibt sich A ∘ z⃗ = 0, z⃗ ∈ ker(A), im(Ā^{t})^{⊥} ⊂ ker(A) und damit insgesamt Behauptung (a). Indem man in (a) zu den orthogonalen Komplementen übergeht, die Matrix A durch Ā^{t} ersetzt und \overline{Ā^{t}}^{t} = A beachtet, erhält man

ker(Ā^{t})^{⊥} = im(A)^{⊥⊥}.

Vorher hatten wir schon für beliebige Untervektorräume V ⊂ ℂ^{n} die Gültigkeit von V^{⊥⊥} = V gezeigt, und folglich ist auch Behauptung (b) bewiesen. □

Bei selbstadjungierten Abbildungen können wir mit Hilfe dieses Satzes durch Abspaltung des Kerns zu Isomorphismen übergehen.

7.2.20 Satz Die lineare Abbildung F : ℂ^{n} → ℂ^{n} sei selbstadjungiert, es bezeichne V = ker(F)^{⊥}. Dann ist die Einschränkung von F auf V

F |V : V → V

ein Isomorphismus.

Beweis Gemäß dem vorhergehenden Satz ist im(F |V) ⊂ im(F) = ker(F)^{⊥} = V. Die Abbildung F |V ist offensichtlich injektiv und damit auf Grund der Dimensionsformel auch surjektiv. □

Normale Abbildungen

Unitäre und selbstadjungierte Abbildungen scheinen zunächst wenig miteinander zu tun zu haben: Unitäre Abbildungen sind längentreu, mithin stets Isomorphismen. Selbstadjungierte Abbildungen können durchaus einen nichttrivialen Kern haben und die eingesetzten Vektoren strecken oder stauchen. Dennoch teilen diese Abbildungen eine Eigenschaft, die sich in Abschnitt 7.4 als entscheidend für die Diagonalisierbarkeit erweisen wird.

7.2.21 Definition Wir nennen eine n × n-Matrix A und die zugehörige lineare Abbildung F : ℂ^{n} → ℂ^{n} normal, wenn die Abbildung und ihre adjungierte kommutieren, falls also die Bedingung

Ā^{t} ∘ A = A ∘ Ā^{t}

erfüllt ist.

7.2.22 Satz Eine n × n-Matrix A ist normal genau dann, wenn für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} gilt:

(Ā^{t} ∘ z⃗, Ā^{t} ∘ w⃗) = (A ∘ z⃗, A ∘ w⃗).  (∗)

Beweis Ist A normal, so folgt für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n}

(A ∘ z⃗, A ∘ w⃗) = (z⃗, Ā^{t} ∘ A ∘ w⃗) = (z⃗, A ∘ Ā^{t} ∘ w⃗)
= (Ā^{t} ∘ z⃗, Ā^{t} ∘ w⃗).

Gilt nun umgekehrt (∗) für alle z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n}, so folgt

(z⃗, (Ā^{t} ∘ A) ∘ w⃗) = (A ∘ z⃗, A ∘ w⃗) = (Ā^{t} ∘ z⃗, Ā^{t} ∘ w⃗)
= (z⃗, (A ∘ Ā^{t}) ∘ w⃗) ,
0 = (z⃗, (Ā^{t} ∘ A − A ∘ Ā^{t}) ∘ w⃗) .

Indem man bei beliebigem w⃗ für z⃗ = (Ā^{t} ∘ A − A ∘ Ā^{t}) ∘ w⃗ einsetzt, erhält man (Ā^{t} ∘ A − A ∘ Ā^{t}) ∘ w⃗ = 0 und damit

Ā^{t} ∘ A − A ∘ Ā^{t} = O;

die Matrix A ist normal. □

7.3 Eigenwerte

Wir haben stets die Theorie linearer Abbildungen und den Matrizenkalkül simultan und gleichberechtigt entwickelt und haben häufig mit Gewinn zwischen diesen beiden Standpunkten gewechselt. In diesem Abschnitt stellen wir den ”Abbildungsstandpunkt“ in den Vordergrund. Es bezeichne V stets einen n-dimensionalen komplexen Vektorraum und F : V → V eine ℂ-lineare Abbildung.

Eigenräume

7.3.1 Definition Ein Vektor z ∈ V \ {0} heißt Eigenvektor von F zum Eigenwert λ ∈ ℂ, wenn die Eigenwertgleichung

F (z) = λ · z

erfüllt ist.

Da gleichzeitig Eigenwert λ und Eigenvektor z gesucht werden und die Abbildung ℂ× V → V, (λ, z) ↦ λ · z nicht linear ist, handelt es sich bei der Eigenwertbestimmung um ein nichtlineares Problem. Diese Begriffe stehen ebenso wie die im Folgenden noch zu definierenden auch für beliebige n × n-Matrizen zur Verfügung, indem man die entsprechende ℂ-lineare Abbildung betrachtet. So ist z⃗ ∈ ℂ^{n} \ {0} Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ ℂ, falls A ∘ z⃗ = λ · z⃗ gilt. Das Bestehen dieser Eigenwertgleichung ist äquivalent zu (A − λE) ∘ z⃗ = 0, bzw. auf Abbildungsebene zu (F − λ · id)(z) = 0. Also gilt

{z ∈ V : z ist Eigenvektor von F : V → V zu λ ∈ ℂ} ∪ {0}
= {z : (F − λ · id)(z) = 0} = ker(F − λ · id).

7.3.2 Definition Für λ ∈ ℂ heißt die Menge aller Eigenvektoren zu λ, ergänzt um den Nullvektor,

V_{λ} := V_{λ}(F) := ker(F − λ · id)

Eigenraum von F zum Eigenwert λ ∈ ℂ.

7.3.3 Bemerkung Als Kern einer linearen Abbildung ist V_{λ} ein ℂ-Untervektorraum von V. Genau dann ist λ Eigenwert von F, wenn dim V_{λ} ≠ 0 gilt. Ist z Eigenvektor zu λ von F, so auch jedes komplexe Vielfache c · z, c ∈ ℂ.

7.3.4 Satz Es seien z_{1}, …, z_{k} Eigenvektoren von F zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℂ:

F (z_{ν}) = λ_{ν}z_{ν}, z_{ν} ≠ 0, λ_{μ} ≠ λ_{ν} für μ ≠ ν.

Dann sind z_{1}, …, z_{k} linear unabhängig. Insbesondere hat F höchstens n paarweise verschiedene Eigenwerte.

Beweis Wir führen den Beweis durch Induktion nach der Anzahl k der Eigenvektoren. Der Fall k = 1 ist offensichtlich, denn Eigenvektoren sind definitionsgemäß vom Nullvektor verschieden. Sei nun die Behauptung für k − 1 gezeigt, und es seien z_{1}, …, z_{k} Eigenvektoren zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{k}. Wir betrachten Linearkombinationen des Nullvektors aus z_{1}, …, z_{k}:

∑_{ν=1}^{k} a_{ν}z_{ν} = 0, a_{ν} ∈ ℂ.

Man erhält durch Multiplikation mit λ_{k}:

∑_{ν=1}^{k} a_{ν}λ_{k}z_{ν} = 0

und durch die Anwendung von F:

0 = F (0) = F (∑_{ν=1}^{k} a_{ν}z_{ν}) = ∑_{ν=1}^{k} a_{ν}F (z_{ν}) = ∑_{ν=1}^{k} a_{ν}λ_{ν}z_{ν}.

Durch Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:

∑_{ν=1}^{k} a_{ν}(λ_{k} − λ_{ν})z_{ν} = ∑_{ν=1}^{k−1} a_{ν}(λ_{k} − λ_{ν})z_{ν} = 0.

Nach Induktionsvoraussetzung sind z_{1}, …, z_{k−1} linear unabhängig und somit a_{ν}(λ_{k}− λ_{ν}) = 0. Da die Eigenwerte als paarweise verschieden vorausgesetzt sind, erhalten wir a_{1} = … = a_{k−1} = 0. Aus der ursprünglichen Linearkombination des Nullvektors wird 0 = a_{k}z_{k}, hieraus folgt schließlich auch a_{k} = 0. □

Das charakteristische Polynom

Die Bestimmung von Eigenwerten soll auf die Bestimmung der Nullstellen eines komplexen Polynoms reduziert werden. Wir fassen hier komplexe Polynome im Sinne der analytischen Definition als Funktionen ℂ → ℂ auf. Sei G : ℂ^{n} → V eine Karte, d. h. ein ℂ-Vektorraumisomorphismus. Die Abbildung F in den Koordinaten, G^{−1} ∘ F ∘ G, wird durch eine n × n-Matrix A gegeben. Wegen der Linearität des Koordinatensystems G^{−1} lautet die Abbildung F − λ · id in den Koordinaten: G^{−1}∘(F −λ·id)∘G = G^{−1}∘(F ∘G−λ·G) = G^{−1}∘F ∘G−λ·G^{−1}∘G = G^{−1} ∘ F ∘ G − λ · id_{ℂ^{n}} , sie wird also durch die Matrix A − λ · E beschrieben. Da die komplexe Zahl λ Eigenwert von A bzw. F genau dann ist, wenn A − λE singulär (nicht invertierbar) ist, liegt es nahe, die entsprechende Determinante zu betrachten:

det(A − λE) = ∑_{ν_{1},...,ν_{n}=1}^{n} δ(ν_{1}, …, ν_{n})(a_{ν_{1}1} − λδ_{ν_{1}1}) · . . . · (a_{ν_{n}n} − λδ_{ν_{n}n})
= (−1)^{n} · (λ^{n} + Q(λ)) ,

dabei ist Q(λ) ein Polynom in λ vom Grade ≤ n−1. Es handelt sich bei det(A−λE) also um ein Polynom n-ten Grades in λ mit höchtem Koeffizienten (−1)^{n}. Auf Grund der Überlegungen aus Kapitel 5.6 ist det(A − λE) = det(F − λ · id) unabhängig von der Wahl der Karte G.

7.3.5 Definition Wir nennen P (λ) := P_{F} (λ) := (−1)^{n}·det(F −λ·id) das charakteristische Polynom der linearen Abbildung F.

Das charakteristische Polynom ist normiert, besitzt also höchsten Koeffizienten 1.

7.3.6 Satz Sei P (λ) das charakteristische Polynom einer ℂ-linearen Abbildung F : V → V. Dann ist λ ∈ ℂ Eigenwert von F genau dann, wenn P (λ) = 0 gilt.

Beweis Die komplexe Zahl λ ∈ ℂ ist Eigenwert von F genau dann, wenn die Abbildung F − λ · id nicht injektiv und damit nicht invertierbar ist. Letzteres ist jedoch äquivalent zum Verschwinden der Determinante: P (λ) = det(F − λ id) = 0. □

Das charakteristische Polynom ist invariant gegenüber ℂ-Isomorphismen:

7.3.7 Satz Sei P (λ) das charakteristische Polynom einer ℂ-linearen Abbildung F : V → V. Sei W ein weiterer n-dimensionaler ℂ-Vektorraum und H : W →^{∼} V ein ℂ-Vektorraumisomorphismus. Für das charakteristische Polynom P̂(λ) der Abbildung F̂ := H^{−1} ∘ F ∘ H gilt P̂(λ) = P (λ).

Beweis Sei G : ℂ^{n} → V eine Karte. Dann ist H^{−1} ∘ G eine Karte von W und F̂ lautet in diesen Koordinaten

(H^{−1} ∘ G)^{−1} ∘ F̂ ∘ (H^{−1} ∘ G) = G^{−1} ∘ H ∘ H^{−1} ∘ F ∘ H ∘ H^{−1} ∘ G = G^{−1} ∘ F ∘ G,

das ist auch die Abbildung F in den Koordinaten G. Das charakteristische Polynom ist aber von der Wahl der Karte unabhängig. □

Als Folgerung erhalten wir die Existenz einer weiteren Matrixinvariante:

7.3.8 Definition Unter der Spur einer quadratischen Matrix A = (a_{μν})_{μ,ν=1,...,n} verstehen wir die Summe der Diagonalelemente:

Sp(A) := ∑_{ν=1}^{n} a_{νν}.

7.3.9 Satz Sei A ∈ ℂ^{n×n} beliebig, B ∈ ℂ^{n×n} invertierbar. Dann haben A und B^{−1} ∘ A ∘ B dieselbe Spur.

Beweis Eine genaue Inspektion der Definition des charakteristischen Polynoms ergibt

P_{A}(λ) = (−1)^{n} det(A − λE)
= (−1)^{n} ∑_{ν_{1},...,ν_{n}=1}^{n} δ(ν_{1}, …, ν_{n})(a_{ν_{1}1} − λδ_{ν_{1}1}) · . . . · (a_{ν_{n}n} − λδ_{ν_{n}n})
= λ^{n} − Sp(A)λ^{n−1} + Q̃(λ),

das Polynom Q̃(λ) ist vom Grade ≤ n − 2. Die Koeffizienten dieses Polynoms ändern sich unter dem Koordinatenwechsel B nicht. □

7.3.10 Bemerkung (Existenz reeller Eigenvektoren) Sei λ ∈ ℝ ein Eigenwert der reellen n × n-Matrix A. Dann ist det(A − λE) = 0, und es existiert ein x⃗ ∈ ℝ^{n} \ {0} mit (A − λE) ∘ x⃗ = 0. Also besitzt A einen reellen Eigenvektor.

Der folgende, für unsere Zwecke zentrale Satz verliert in den reellen Zahlen seine Gültigkeit und ist der Grund dafür, daß die Eigenwerttheorie in komplexen Vektorräumen durchgeführt wird.

7.3.11 Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom zerfällt über ℂ in Linearfaktoren. Genauer gilt: Sei P (λ) ein Polynom vom Grade n über ℂ. Dann gibt es Zahlen s ∈ ℕ, s ≤ n, r_{1}, …, r_{s} ∈ ℕ mit r_{1} + ⋯ + r_{s} = n, a ∈ ℂ \ {0}, c_{1}, …, c_{s} ∈ ℂ mit c_{μ} ≠ c_{ν} für μ ≠ ν, so daß gilt:

P (λ) = a · (λ − c_{1})^{r_{1}} · . . . · (λ − c_{s})^{r_{s}}.

Man sagt, daß P (λ) in c_{ν} eine Nullstelle r_{ν}-ter Ordnung besitzt. Der Beweis kann mit den hier zur Verfügung stehenden Mitteln nicht geführt werden und wird im Rahmen der Funktionentheorie oder der Algebra gegeben. Als Folgerung erhalten wir insbesondere ein Existenzresultat für komplexe Eigenwerte:

7.3.12 Satz Jede ℂ-lineare Abbildung F : V → V besitzt mindestens einen Eigenwert.

7.3.13 Definition Sei P_{F} (λ) = (λ − λ_{1})^{r_{1}} · . . . · (λ − λ_{s})^{r_{s}} mit λ_{ν} ≠ λ_{μ} für μ ≠ ν, r_{1}, …, r_{s} ∈ ℕ und r_{1} + … + r_{s} = n das charakteristische Polynom einer ℂ-linearen Abbildung F. Man nennt die Nullstellenordnung r_{ν} die algebraische und die Dimension des Eigenraumes dim V_{λ_{ν}} die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ_{ν}.

7.3.14 Beispiele (a) Sei

A := ( \begin{matrix}a_{1} & … & ∗ \\ & ... & ⋮ \\ O & & a_{n} \end{matrix} )

eine Dreiecksmatrix. Gemäß Satz 5.4.2gilt:

P (λ) = (−1)^{n} · det(A − λE) = (−1)^{n} · ∏_{ν=1}^{n}(a_{ν} − λ) = ∏_{ν=1}^{n}(λ − a_{ν}).

Die Diagonalelemente a_{1}, …, a_{n} sind die Eigenwerte von A.

(b) Sei

A := ( \begin{matrix}a_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & a_{n} \end{matrix} )

eine Diagonalmatrix. Es gilt A ∘ e⃗_{ν} = a_{ν} · e⃗_{ν}, d. h. e⃗_{ν} ist Eigenvektor von A zum Eigenwert a_{ν}. Die kanonische Basis ist eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. Die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen überein.

(c) Auch reelle Matrizen haben i. a. nur komplexe Eigenwerte. Dazu berechnen wir

die Eigenwerte von A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ). Das charakteristische Polynom lautet

P (λ) = det ( \begin{matrix}−λ & 1 \\ −1 & −λ \end{matrix} ) = λ^{2} + 1, die Eigenwerte sind i und −i.

(d) Nicht für jede Matrix existiert eine Basis aus Eigenvektoren. Man betrachte dazu

A = ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) mit a ∈ ℂ \ \{0\}. Es ist P (λ) = (−1)^{2}(1 − λ)^{2} = (1 − λ)^{2}, 1 ist

also einziger Eigenwert von A. Zur Bestimmung der Eigenvektoren ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

0 = (A − E) ∘ z⃗ = ( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a · z_{2} \\ 0 \end{matrix} ) .

Der Eigenraum zum einzigen Eigenwert 1 ist also

V_{1} = {(z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2} : z_{2} = 0} = {(z_{1}, 0) : z_{1} ∈ ℂ}.

Insbesondere existieren nicht zwei linear unabhängige Eigenvektoren von A. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1 ist 2, die geometrische 1.

7.3.15 Folgerung Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte (entsprechend ihren algebraischen Vielfachheiten). Genauer gilt: Sei P_{F} (λ) = (λ − λ_{1})^{r_{1}} · . . . · (λ − λ_{s})^{r_{s}} mit λ_{ν} ≠ λ_{μ} für μ ≠ ν, r_{1}, …, r_{s} ∈ ℕ und r_{1} + … + r_{s} = n das charakteristische Polynom der ℂ-linearen Abbildung F. Dann gilt: det(F) = ∏_{ν=1}^{s} λ_{ν}^{r_{ν}}.

Beweis Wir haben

P_{F} (λ) = (−1)^{n} det(F − λ id) = ∏_{ν=1}^{s} (λ − λ_{ν})^{r_{ν}} .

Durch Einsetzen von λ = 0 folgt

det(F) = ∏_{ν=1}^{s} λ_{ν}^{r_{ν}}.  □

Eigenvektoren normaler Matrizen

Am Ende von Abschnitt 7.2 haben wir die normalen Matrizen auf zunächst wenig anschauliche Weise als Oberbegriff für die Hermiteschen und unitären Matrizen eingeführt. Die nächsten Sätze verdeutlichen, wie wichtig dieser neue Begriff tatsächlich ist.

7.3.16 Satz Die n × n-Matrix A sei normal. Dann ist λ Eigenwert von A genau dann, wenn λ̄ Eigenwert der adjungierten Abbildung Ā^{t} ist; die Eigenräume stimmen überein:

V_{λ}(A) = Vλ̄(Ā^{t}).

Beweis Zunächst sei bemerkt, daß mit A auch A − λ E normal ist.

Sei z⃗ ∈ V_{λ}(A), also A ∘ z⃗ − λ z⃗ = 0. Mit Hilfe von Satz 7.2.22folgt

0 = ∥ A ∘ z⃗ − λz⃗ ∥^{2} = ((A − λE) ∘ z⃗, (A − λE) ∘ z⃗)
= (\overline{(A − λE)}^{t} ∘ z⃗, \overline{(A − λE)}^{t} ∘ z⃗ )
= ((Ā^{t} − λ̄ · E) ∘ z⃗, (Ā^{t} − λ̄ · E) ∘ z⃗ )
= ∥ Ā^{t} ∘ z⃗ − λ̄ · z⃗ ∥^{2};
Ā^{t} ∘ z⃗ = λ̄ · z⃗.

Somit ist V_{λ}(A) ⊂ Vλ̄(Ā^{t}). Derselbe Schluß, nun angewandt auf λ̄ und Ā^{t}, zeigt Vλ̄(Ā^{t}) ⊂ V¯λ̄ (\overline{Ā^{t}}^{t}) = V_{λ}(A) und damit auch V_{λ}(A) = Vλ̄(Ā^{t}). □

7.3.17 Satz Je zwei Eigenvektoren z⃗_{1}, z⃗_{2} einer normalen Matrix A zu verschiedenen Eigenwerten λ_{1} ≠ λ_{2} sind orthogonal.

Beweis Gemäß Voraussetzung ist A ∘ z⃗_{1} = λ_{1}z⃗_{1}, A ∘ z⃗_{2} = λ_{2}z⃗_{2}; der vorhergehende Satz impliziert Ā^{t} ∘ z⃗_{1} = λ̄_{1}z⃗_{1}, Ā^{t} ∘ z⃗_{2} = λ̄_{2}z⃗_{2}. Damit folgt:

λ_{2}(z⃗_{1}, z⃗_{2}) = (z⃗_{1}, λ_{2}z⃗_{2}) = (z⃗_{1}, A ∘ z⃗_{2})
= (Ā^{t} ∘ z⃗_{1}, z⃗_{2}) = (λ̄_{1} ∘ z⃗_{1}, z⃗_{2}) = λ_{1}(z⃗_{1}, z⃗_{2}),
0 = (λ_{1} − λ_{2})(z⃗_{1}, z⃗_{2}).

Aus der Verschiedenheit der Eigenwerte erhalten wir die Orthogonalität der Eigenvektoren: (z⃗_{1}, z⃗_{2}) = 0. □

Eigenwerte Hermitescher Matrizen

7.3.18 Satz Alle Eigenwerte Hermitescher Matrizen sind reell.

Beweis Sei A = A^{n,n} Hermitesch mit Eigenvektor z⃗ ∈ ℂ^{n} \ {0} zum Eigenwert λ ∈ ℂ. Satz 7.2.18zeigt:

λ∥ z⃗ ∥^{2} = λ(z⃗, z⃗) = (z⃗, λ · z⃗) = (z⃗, A ∘ z⃗) ∈ ℝ.

Wegen ∥ z⃗ ∥^{2} ∈ ℝ \ {0} folgt, daß λ reell ist. □

7.3.19 Beispiele (a) Für die Hermitesche 2 × 2-Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & −3i \\ 3i & 1 \end{matrix} )

lautet das charakteristische Polynom

P (λ) = det(A − λ E) = det ( \begin{matrix}1 − λ & −3i \\ 3i & 1 − λ \end{matrix} ) = (1 − λ)^{2} + 9i^{2}
= (λ − 1)^{2} − 9 = (λ − 4)(λ + 2);

die Eigenwerte sind λ_{1} = 4 und λ_{2} = −2.

(b) Wir betrachten nun die reelle symmetrische 3 × 3-Matrix

A = ( \begin{matrix}\frac{7}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ −\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & −\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{7}{6} \end{matrix} ) .

Das charakteristische Polynom lautet

P (λ) = (−1)^{3} det(A − λ E) = −\frac{1}{216} det ( \begin{matrix}(7 − 6λ) & −4 & 1 \\ −4 & (4 − 6λ) & −4 \\ 1 & −4 & (7 − 6λ) \end{matrix} )

= −\frac{1}{216} det ( \begin{matrix}(7 − 6λ) & −4 & 1 \\ 24(1 − λ) & −6(2 + λ) & 0 \\ 12(−3λ^{2} + 7λ − 4) & 24(1 − λ) & 0 \end{matrix} )

= −\frac{72}{216} \{8(1 − λ)^{2} + (2 + λ)(−3λ^{2} + 7λ − 4)\}
= −\frac{1}{3} \{−3λ^{3} + 9λ^{2} − 6λ\} = λ(λ − 1)(λ − 2),

wir haben also die drei Eigenwerte λ_{1} = 0, λ_{2} = 1, λ_{3} = 2.

Eigenwerte unitärer Matrizen

7.3.20 Satz Für jeden Eigenwert λ einer unitären Matrix A gilt |λ| = 1.

Beweis Sei λ Eigenwert von A ∈ U(n) zum Eigenvektor z⃗ ∈ ℂ^{n} \ {0}. Die Längentreue der unitären Matrix impliziert

∥ z⃗ ∥^{2} = ∥ A ∘ z⃗ ∥^{2} = (A ∘ z⃗, A ∘ z⃗) = (λ · z⃗, λ · z⃗) = λλ̄ ∥ z⃗ ∥^{2}.

Da ∥ z⃗ ∥^{2} ≠ 0 ist, folgt |λ| = 1. □

7.3.21 Satz Sei A ∈ O(n, ℝ) eine reelle orthogonale Matrix. Die Raumdimension n sei ungerade. Dann ist +1 oder −1 Eigenwert von A. Ist A sogar eine Drehung, d. h. A ∈ SO(n, ℝ), dann ist +1 Eigenwert von A.

Wir werden auf S. 257 mit Hilfe der Diagonalisierungsresultate erläutern, daß in ℝ^{3} der zu +1 gehörige Eigenvektor als Drehachse interpretiert werden kann.

Beweis Das charakteristische Polynom P_{A}(λ) von A hat reelle Koeffizienten und wird hier als Funktion ℝ → ℝ aufgefaßt. Der Term höchster Ordnung ist λ^{n} mit der ungeraden Potenz n. Aus der Analysis weiß man lim_{λ→∞} P_{A}(λ) = +∞ und lim_{λ→−∞} P_{A}(λ) = −∞. Der Zwischenwertsatz ergibt die Existenz wenigstens einer reellen Nullstelle λ_{0} mit |λ_{0}| = 1, denn A ist orthogonal und insbesondere unitär. Die nichtreellen Eigenwerte von A treten immer in zueinander konjugierten Paaren auf: Sei λ_{1} Eigenwert von A, d. h. Nullstelle des charakteristischen Polynoms

0 = P_{A}(λ_{1}) = λ_{1}^{n} + ∑_{ν=0}^{n−1} a_{ν}λ_{1}^{ν}, a_{ν} ∈ ℝ.

Durch Konjugation erhält man

0 = \overline{P_{A}(λ_{1})} = \overline{λ_{1}^{n}} + \overline{∑_{ν=0}^{n−1} a_{ν}λ_{1}^{ν}} = λ̄_{1}^{n} + ∑_{ν=0}^{n−1} a_{ν}λ̄_{1}^{ν},

λ̄_{1} ist also ebenfalls Eigenwert. Indem man den quadratischen Faktor (λ−λ_{1})(λ−λ̄_{1}) abspaltet, der nur reelle Koeffizienten besitzt, und das Verfahren iteriert, erhält man: Die Matrix A hat 0 ≤ k ≤ (n − 1)/2 (nicht notwendigerweise verschiedene) Paare zueinander konjugiert komplexer Eigenwerte λ_{1}, λ̄_{1}, …, λ_{k}, λ̄_{k} und eine ungerade Anzahl reeller Eigenwerte λ_{2k+1}, …, λ_{n} ∈ {+1, −1}; die Eigenwerte werden jeweils entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit aufgeführt. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte:

det(A) = |λ_{1}|^{2} · . . . · |λ_{k}|^{2} · λ_{2k+1} · . . . · λ_{n} = λ_{2k+1} · . . . · λ_{n}.

Ist nun det(A) = +1, so können nicht alle reellen Eigenwerte = −1 sein, denn n wurde als ungerade vorausgesetzt. In diesem Fall ist +1 (zumindest einfacher) Eigenwert von A. □

7.3.22 Beispiel Durch direktes Nachrechnen sieht man, daß die reelle 3 × 3-Matrix

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} )

orthogonal ist, daß also A^{t}∘A = E gilt. Wir berechnen das charakteristische Polynom:

P_{A}(λ) = − det(A − λ E) = − det ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} − λ & −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} − λ & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} − λ \end{matrix} )

= − det ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} − λ & −1 + λ & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & 1 − λ & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} − λ \end{matrix} )

= − det ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} − λ & −1 + λ & −\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} − λ & 0 & −1 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} − λ \end{matrix} )

= (λ − 1) · det ( \begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} − λ & −1 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} − λ \end{matrix} ) = (λ − 1) · ((\frac{\sqrt{2}}{2} − λ)^{2} + \frac{1}{2})

= (λ − 1) · (λ − \frac{\sqrt{2}}{2} − i\frac{\sqrt{2}}{2}) · (λ − \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) ,

die Eigenwerte von A lauten also λ_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i), λ_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1−i) und λ_{3} = 1. Daraus folgt auch det(A) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) · \frac{\sqrt{2}}{2}(1 − i) · 1 = 1, also ist A eine Drehung. Wir bestimmen die Drehachse (sie sei vorbehaltlich der nachzutragenden Erläuterungen von S. 257 bereits so bezeichnet), d. h. den Eigenvektor zum Eigenwert 1, als nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems

0 = (A − E) ∘ x⃗ = ( \begin{matrix}−\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} − 1 \end{matrix} ) ∘ x⃗.

Etwa mittels des Gaußschen Algorithmus’ findet man, daß dieses Gleichungssystem eine linear unabhängige Lösung hat. Der Lösungsraum (die Drehachse) wird von dem

Einheitsvektor x⃗ = (\frac{\sqrt{2}}{2}, −\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)^{t} aufgespannt.

7.4 Die Hauptachsentransformation

In diesem Abschnitt betrachten wir nur n × n-Matrizen A ∈ ℂ^{n×n} bzw. A ∈ ℝ^{n×n} und die entsprechenden linearen Abbildungen F : ℂ^{n} → ℂ^{n} bzw. F : ℝ^{n} → ℝ^{n}. Lineare Abbildungen allgemeiner endlichdimensionaler Vektorräume in sich könnten, wie schon erwähnt, durch die Einführung unitärer Koordinaten auf diesen Fall zurückgeführt werden, die relevanten Eigenschaften wie ”normal“, ”selbstadjungiert“ oder ”unitär“ blieben dabei erhalten. Sei also F : ℂ^{n} → ℂ^{n} eine lineare Abbildung mit zugehöriger n × n-Matrix A. Wir können uns nun der zu Beginn dieses Kapitels wieder aufgeworfenen Frage zuwenden: Unter welchen Bedingungen an die Matrix A läßt sich ein orthonormiertes Koordinatensystem (b⃗_{1}, …, b⃗_{n}) in ℂ^{n} so geschickt ”einzeichnen“, daß die Abbildung F in den durch die unitäre Matrix B = (b⃗_{1}, …, b⃗_{n}) bzw. die entsprechende unitäre Karte G : ℂ^{n} → ℂ^{n} gegebenen Koordinaten

F̂ = G^{−1} ∘ F ∘ G mit Matrix Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B

Diagonalgestalt hat? Wir werden zeigen, daß ein solches Diagonalisierungsresultat genau in der Klasse der normalen Matrizen Gültigkeit besitzt. Insbesondere folgt damit die Diagonalisierbarkeit unitärer und Hermitescher Matrizen. Da die Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen sämtlich reell sind, erhalten wir daraus unmittelbar ein Diagonalisierungsresultat auch im Reellen, während der Übergang vom unitären zum reell orthogonalen Fall größere Modifikationen erfordert.

Transformation auf Dreiecksgestalt, Trigonalisierung

Wir werden zunächst beweisen, daß jede komplexe n × n-Matrix durch eine unitäre Transformationsmatrix auf Dreiecksgestalt gebracht werden kann, und daraus später unsere Diagonalisierungsresultate herleiten. Zur Vorbereitung dienen die folgenden beiden Hilfssätze:

7.4.1 Satz Sei m < n und B′′ ∈ ℂ^{m×m} eine unitäre m × m-Matrix. Dann ist

B := ( \begin{matrix}E^{n−m,n−m} & O^{n−m,m} \\ O^{m,n−m} & B′′ \end{matrix} ) ∈ ℂ^{n×n}

ebenfalls unitär.

Beweis Sei z⃗ ∈ ℂ^{n} beliebig. Wir bezeichnen z⃗′ := (z_{1}, …, z_{n−m})^{t} ∈ ℂ^{n−m} und z⃗′′ := (z_{n−m+1}, …, z_{n})^{t} ∈ ℂ^{m}. Auf Grund der Nullblöcke in B ist B ∘ z⃗ = (z⃗′, B′′ ∘ z⃗′′)^{t} ∈ ℂ^{n−m} ⊕ ℂ^{m}. Wir greifen noch auf die Definition der euklidischen Norm in ℂ^{n} zurück und erhalten

∥ B ∘ z⃗ ∥^{2} = ∥ z⃗′ ∥^{2} + ∥ B′′ ∘ z⃗′′ ∥^{2} = ∥ z⃗′ ∥^{2} + ∥ z⃗′′ ∥^{2} = ∥ z⃗ ∥^{2}.  □

7.4.2 Satz Zu je zwei Einheitsvektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} (d. h. ∥ z⃗ ∥ = ∥ w⃗ ∥ = 1) existiert eine unitäre n × n-Matrix B ∈ U(n) mit w⃗ = B ∘ z⃗.

Beweis Genauso wie in Satz 6.3.5 beweist man: es gibt Vektoren z⃗_{2}, …, z⃗_{n} derart, daß (z⃗, z⃗_{2}, …, z⃗_{n}) ein orthogonales n-Bein ist, d. h. nach Satz 7.2.14 ist B_{1} := (z⃗, z⃗_{2}, …, z⃗_{n}) ∈ U(n). Es gilt

B_{1} ∘ e⃗_{1} = z⃗, also e⃗_{1} = B_{1}^{−1} ∘ z⃗ = B̄_{1}^{t} ∘ z⃗.

Entsprechend konstruiert man ein B_{2} ∈ U(n) mit B_{2} ∘ e⃗_{1} = w⃗. Für B := B_{2} ∘ B̄_{1}^{t} ∈ U(n) ist dann in der Tat B ∘ z⃗ = B_{2} ∘ e⃗_{1} = w⃗. □

7.4.3 Satz Zu jeder komplexen n × n-Matrix A existiert eine unitäre n × n-Matrix B ∈ U(n) derart, daß Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B eine (obere) Dreiecksmatrix ist, daß also â_{μν} = 0 gilt für μ > ν.

Beweis Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion nach n. Bei der Induktionsbasis n = 1 ist nichts zu zeigen, denn jede 1 × 1-”Matrix“ ist eine Dreiecks-”Matrix“. Sei nun n > 1, und wir nehmen an, die Behauptung sei für n − 1 bewiesen. Das charakteristische Polynom P (λ) = P_{A}(λ) der n × n-Matrix A zerfällt über ℂ in Linearfaktoren, es gibt also einen Eigenwert λ_{1} ∈ ℂ mit zugehörigem Eigenvektor z⃗_{1} ≠ 0. Wir können den Eigenvektor normieren und ohne Einschränkung ∥ z⃗_{1} ∥ = 1 annehmen. Gemäß Satz 7.4.2 existiert eine unitäre Abbildung B_{1} ∈ U(n), die den ersten Einheitsvektor auf diesen Eigenvektor abbildet: B_{1} ∘ e⃗_{1} = z⃗_{1}. Für

A_{1} := B̄_{1}^{t} ∘ A ∘ B_{1}

gilt

A_{1} ∘ e⃗_{1} = B̄_{1}^{t} ∘ A ∘ (B_{1} ∘ e⃗_{1}) = B̄_{1}^{t} ∘ (A ∘ z⃗_{1}) = B̄_{1}^{t} ∘ (λ_{1}z⃗_{1}) = λ_{1}e⃗_{1},

also

A_{1} = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & A′ \\ 0 \end{matrix} )

mit einer (n − 1) × (n − 1)-Matrix A′. Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein B′ ∈ U(n−1), so daß in B̄′^{t} ∘A′ ∘B′ unterhalb der Diagonalen ausschließlich Nullen stehen. Auf die in Satz 7.4.1 beschriebene Weise erhalten wir aus B′ eine n-reihige unitäre Matrix:

B_{2} := ( \begin{matrix}1 & O^{1,n−1} \\ O^{n−1,1} & B′ \end{matrix} ) ∈ U(n).

Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

B := B_{1} ∘ B_{2} ∈ U(n)

der unitären Transformationen B_{1} und B_{2}. Für

Â := B̄_{2}^{t} ∘A_{1} ∘B_{2} = B̄_{2}^{t} ∘B̄_{1}^{t} ∘A∘B_{1} ∘B_{2} = \overline{(B_{1} ∘ B_{2})}^{t} ∘A∘(B_{1} ∘B_{2}) = B̄^{t} ∘A∘B

erhalten wir nun Dreiecksgestalt:

Â = ( \begin{matrix}1 & O \\ O & B̄′^{t} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ \\ O & A′ \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & O \\ O & B′ \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ \\ O & B̄′^{t} ∘ A′ \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & O \\ O & B′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ \\ O & B̄′^{t} ∘ A′ ∘ B′ \end{matrix} ) . □

Im Beweis haben wir wesentlichen Gebrauch vom Fundamentalsatz der Algebra gemacht. Betrachtet man eine reelle Matrix A, so hat deren charakteristisches Polynom P_{A}(λ) zwar nur reelle Koeffizienten, der Fundamentalsatz der Algebra besitzt im Reellen jedoch keine Gültigkeit. Tatsächlich wird der soeben bewiesene Satz in dieser Situation im allgemeinen falsch:

7.4.4 Beispiel Wir betrachten die reelle normale 2 × 2-Matrix A = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Für beliebiges

B = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ O(2, ℝ) berechnet man

B^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}0 & −ad + bc \\ −bc + ad & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & − det(B) \\ det(B) & 0 \end{matrix} );

Dreiecksgestalt läßt sich nicht erreichen. Mit der komplexen unitären Matrix C =

\frac{\sqrt{2}}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ i & −i \end{matrix} ) ist dagegen C̄^{t} ∘ A ∘ C = ( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ).

Um das reelle Analogon von Satz 7.4.3 zu beweisen, haben wir also die Existenz von reellen Eigenwerten vorauszusetzen.

7.4.5 Satz Die reelle n × n-Matrix A habe nur reelle Eigenwerte, d. h. das charakteristische Polynom P_{A}(λ) zerfalle über ℝ in Linearfaktoren. Dann existiert eine (reelle) Matrix B ∈ SO(n) derart, daß Â = B^{−1} ∘ A ∘ B = B^{t} ∘ A ∘ B eine Dreiecksmatrix ist.

Beweis Weil wir hier weitgehend parallel zum Beweis von Satz 7.4.3 vorgehen, wird nur der Induktionsschritt skizziert. Gemäß Voraussetzung existiert ein Eigenwert λ_{1} ∈ ℝ von A, wegen Bemerkung 7.3.10gibt es zu λ_{1} einen reellen Eigenvektor:

A ∘ x⃗_{1} = λ_{1} · x⃗_{1} mit x⃗_{1} ∈ ℝ^{n}, ∥ x⃗_{1} ∥ = 1.

In Satz 6.3.5 haben wir eine Drehung B_{1} ∈ SO(n) konstruiert mit x⃗_{1} = B_{1} ∘ e⃗_{1}. Die transformierte Matrix A_{1} := B_{1}^{t} ∘ A ∘ B_{1} hat dasselbe Aussehen wie oben und gemäß Satz 7.3.7 dasselbe charakteristische Polynom wie A. Ist Q(λ) das charakteristische Polynom von A′, so liefert die Entwicklung von det(A_{1} − λ E) nach der ersten Spalte

P (λ) = (λ − λ_{1}) · Q(λ).

Also zerfällt auch Q(λ) über ℝ in Linearfaktoren. Die Induktionsvoraussetzung liefert ein B′ ∈ SO(n − 1), so daß B^{′t} ∘ A′ ∘ B′ Dreiecksmatrix ist. Der Rest des Beweises verläuft wie oben, wobei die Konjugationsstriche entfallen und U(n) durch SO(n) zu ersetzen ist. □

7.4.6 Folgerung Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann seine algebraische Vielfachheit nicht übersteigen.

Beweis Wir können uns auf den komplexen Fall beschränken: Die geometrische Vielfachheit im Reellen kann die im Komplexen nicht übersteigen, denn reelle Vektoren, also solche aus ℝ^{n}, dieüber ℝ linear unabhängig sind, sind auchüber ℂ linear unabhängig. Die algebraischen Vielfachheiten stimmen im Reellen und Komplexen überein. Sei λ_{0} Eigenwert der n × n-Matrix A mit geometrischer Vielfachheit s = dim V_{λ_{0}} und algebraischer Vielfachheit r. Ähnlich wie im Beweis von Satz 7.4.3 wollen wir den Eigenraum V_{λ_{0}} von ℂ^{n} abspalten. Sei dazu z⃗_{1}, …, z⃗_{s} eine Orthonormalbasis von V_{λ_{0}}, diese können wir durch Verwendung des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens zu einem orthogonalen n-Bein z⃗_{1}, …, z⃗_{n} ergänzen. Die Matrix B_{1} := (z⃗_{1}, …, z⃗_{n}) ist also unitär. Mit der Wahl von A_{1} := B̄_{1}^{t} ∘A∘B_{1} folgt für ν = 1, …, s:

A_{1} ∘ e⃗_{ν} = B̄_{1}^{t} ∘ A ∘ (B_{1} ∘ e⃗_{ν}) = B̄_{1}^{t} ∘ (A ∘ z⃗_{ν}) = λ_{0} (B̄_{1}^{t} ∘ z⃗_{ν}) = λ_{0}e⃗_{ν},

also

A_{1} =  ( \begin{matrix}Zeile/ Spalte & 1 & ⋯ & s & s+1 & ⋯ & n \\ 1 & λ_{0} & & O \\ ⋮ & & ... & & & ∗ \\ s & O & & λ_{0} \\ s+1 \\ ⋮ & & O & & & A′ \\ n \end{matrix} ).

Gemäß Satz 7.4.3 existiert eine unitäre Matrix B′ ∈ U(n − s), so daß B̄′^{t} ∘ A′ ∘ B′ Dreiecksgestalt hat. Mit

B_{2} := ( \begin{matrix}E^{s,s} & O \\ O & B′ \end{matrix} ) ∈ U(n)

erhalten wir wie in Satz 7.4.3

Â := B̄_{2}^{t} ∘ A_{1} ∘ B_{2} =  ( \begin{matrix}Zeile/ Spalte & 1 & ⋯ & s & s+1 & ⋯ & n \\ 1 & λ_{0} & & O \\ ⋮ & & ... & & & ∗ \\ s & O & & λ_{0} \\ s+1 \\ ⋮ & & O & & & B̄′^{t} ∘ A′ ∘ B′ \\ n \end{matrix} )

=  ( \begin{matrix}Zeile/ Spalte & 1 & ⋯ & s & s+1 & ⋯ & n \\ 1 & λ_{0} & & O \\ ⋮ & & ... & & & ∗ \\ s & O & & λ_{0} \\ s+1 & & & & λ_{s+1} & & ∗ \\ ⋮ & & O & & & ... \\ n & & & & O & & λ_{n} \end{matrix} ).

Die Matrizen A und Â haben dasselbe charakteristische Polynom, es lautet P (λ) = (λ − λ_{0})^{s} · ∏_{ν=s+1}^{n}(λ − λ_{ν}). Die Nullstellen λ_{ν} sind i. a. nicht paarweise und auch nicht von λ_{0} verschieden, es folgt s ≤ r. □

Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen

Wir wollen zeigen, daß die Dreiecksmatrix aus Satz 7.4.3 sogar eine Diagonalmatrix ist, sofern eine normale Matrix vorgegeben wurde. Hier liegt die Beobachtung zugrunde, daß Normalität unter unitären Koordinatentransformationen erhalten bleibt:

7.4.7 Satz Die Matrix A ∈ ℂ^{n×n} sei normal. Dann ist B̄^{t} ∘ A ∘ B für jede unitäre Matrix B ∈ U(n) ebenfalls normal.

Beweis

\overline{(B̄^{t} ∘ A ∘ B)}^{t} ∘ B̄^{t} ∘ A ∘ B − B̄^{t} ∘ A ∘ B ∘ \overline{(B̄^{t} ∘ A ∘ B)}^{t}
= B̄^{t} ∘ Ā^{t} ∘ B ∘ B̄^{t} ∘ A ∘ B − B̄^{t} ∘ A ∘ B ∘ B̄^{t} ∘ Ā^{t} ∘ B
= B̄^{t} ∘ Ā^{t} ∘ A ∘ B − B̄^{t} ∘ A ∘ Ā^{t} ∘ B
= B̄^{t} ∘ (Ā^{t} ∘ A − A ∘ Ā^{t}) ∘ B = O.
□

7.4.8 Satz Zu jeder normalen Matrix A ∈ ℂ^{n×n} existiert eine unitäre Matrix B ∈ U(n) derart,

daß Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B Diagonalgestalt hat. Die Spalten von B = (b⃗_{1}, …, b⃗_{n}) bilden eine Orthonormalbasis von ℂ^{n} aus Eigenvektoren von A. Die Diagonalelemente von Â sind genau die Eigenwerte von A entsprechend ihren geometrischen Vielfachheiten.

Beweis Gemäß Satz 7.4.3 finden wir eine unitäre Matrix B ∈ U(n), so daß Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B Dreiecksgestalt hat; Â ist ebenfalls normal. Es bleibt zu zeigen, daß normale Dreiecksmatrizen schon Diagonalmatrizen sind. Wir haben â_{μν} = 0 für μ > ν. Die Normalität ergibt für μ = 1, …, n:

0 = ∑_{σ=1}^{n} (¯â_{σμ}â_{σμ} − â_{μσ}¯â_{μσ}) = ∑_{σ=1}^{μ} |â_{σμ}|^{2} − ∑_{σ=μ}^{n} |â_{μσ}|^{2}

= ∑_{σ=1}^{μ−1} |â_{σμ}|^{2} − ∑_{σ=μ+1}^{n} |â_{μσ}|^{2}.

Die Betrachtung von μ = 1 ergibt

0 = ∑_{σ=2}^{n} |â_{1σ}|^{2},  â_{1σ} = 0 für σ = 2, …, n.

Wir fahren induktiv fort und nehmen an, wir hätten im k-ten Schritt â_{μσ} = 0 für σ = μ + 1, …, n, μ = 1, …, k erreicht. Durch Betrachtung von μ = k + 1 folgt:

0 = ∑_{σ=1}^{k} |â_{σ,k+1}|^{2} − ∑_{σ=k+2}^{n} |â_{k+1,σ}|^{2} = − ∑_{σ=k+2}^{n} |â_{k+1,σ}|^{2},

also ist auch â_{k+1,σ} = 0 für σ = k + 2, …, n. Nach (n−1) Schritten erhalten wir, daß â_{μν} = 0 auch für alle μ, ν mit μ < ν ist. Auch oberhalb der Diagonalen enthält Â nur Nullen und ist folglich eine Diagonalmatrix. Da die Matrix B unitär ist, bilden deren Spalten ein orthogonales n-Bein, also eine Orthonormalbasis von ℂ^{n}. Wir haben zu zeigen, daß es sich dabei um Eigenvektoren von A handelt. Aus Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B folgt B ∘ Â = A ∘ B. Wir betrachten jeweils die ν-te Spalte:

A ∘ b⃗_{ν} = B ∘ â_{ν} = B ∘ (â_{νν}e⃗_{ν}) = â_{νν} (B ∘ e⃗_{ν}) = â_{νν} ∘ b⃗_{ν},

in der Tat ist b⃗_{ν} Eigenvektor von A zum Eigenwert λ_{ν} := â_{νν}. Jeder Eigenwert tritt gemäß seiner geometrischen Vielfachheit auf, denn die Anzahl der entsprechenden Eigenvektoren in B ist gerade die Dimension des Eigenraums. Somit sind â_{11}, …, â_{nn} genau die Eigenwerte von A, denn A und Â haben dieselben Eigenwerte mit denselben geometrischen Vielfachheiten. □

Mit den normalen Matrizen haben wir die größtmögliche Klasse derjenigen Matrizen bestimmt, die mit Hilfe unitärer Koordinatenwechselabbildungen diagonalisiert werden können:

7.4.9 Satz Für die n × n-Matrix A existiere eine unitäre n × n-Matrix B ∈ U(n) derart, daß B̄^{t} ∘ A ∘ B Diagonalgestalt hat. Dann ist A normal.

Beweis Es bezeichne

D = ( \begin{matrix}d_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & d_{n} \end{matrix} ) = B̄^{t} ∘ A ∘ B;

diese Diagonalmatrix ist normal:

D̄^{t} ∘ D = ( \begin{matrix}d̄_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & d̄_{n} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}d_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & d_{n} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}d̄_{1} · d_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & d̄_{n} · d_{n} \end{matrix} ) = D ∘ D̄^{t}.

Nun ist A = B ∘ D ∘ B̄^{t} = \overline{B̄^{t}}^{t} ∘ D ∘ B̄^{t} mit B̄^{t} ∈ U(n), und A ist gemäß Satz 7.4.7 normal. □

Das reelle Analogon zu Satz 7.4.8 leitet man mit wörtlich demselben Beweis aus Satz 7.4.5her.

7.4.10 Satz Die reelle n × n-Matrix A sei normal und habe nur reelle Eigenwerte. Dann existiert eine reelle Drehung B ∈ SO(n) derart, daß Â := B^{t}∘A∘B eine reelle Diagonalmatrix ist.

Bezüglich jeder normalen Matrix können wir mit Hilfe des Diagonalisierungssatzes den ℂ^{n} in eine orthogonale Summe über deren Eigenräume zerlegen:

7.4.11 Satz Es seien λ_{1}, …, λ_{s} sämtliche paarweise verschiedenen Eigenwerte einer normalen n × n-Matrix A. Dann besitzt ℂ^{n} eine orthogonale Zerlegung in die Eigenräume von A:

ℂ^{n} = ⊕_{ν=1}^{s}V_{λ_{ν}}.

Ist P (λ) = ∏_{ν=1}^{s}(λ − λ_{ν})^{r_{ν}} das charakteristische Polynom von A, so ist r_{ν} = dim V_{λ_{ν}}, die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen also überein.

Beweis Die Orthogonalität der Eigenräume wurde bereits in Satz 7.3.17nachgewiesen.

Sei B ∈ U(n) derart, daß Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B Diagonalgestalt hat, die Spalten B = (b⃗_{1}, …, b⃗_{n}) bilden eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A, in der

Diagonalen von Â treten die Eigenwerte von Â und damit die von A entsprechend ihrer geometrischen Vielfachheit dim V_{λ_{ν}} auf; man beachte, daß sich geometrische Vielfachheiten bei Koordinatenwechseln nicht ändern. In Â und folglich auch in A stimmen somit offensichtlich geometrische und algebraische Vielfachheiten r_{ν} überein: r_{ν} = dim V_{λ_{ν}}. Indem man ggfs. die Spalten von B vertauscht, kann man erreichen:

b⃗_{1}, …, b⃗_{r_{1}}  sind Eigenvektoren zu λ_{1},
b⃗_{r_{1}+1}, …, b⃗_{r_{1}+r_{2}}  sind Eigenvektoren zu λ_{2},
⋮
b⃗_{r_{1}+...+r_{s−1}+1}, …, b⃗_{n} sind Eigenvektoren zu λ_{s}.

Da jedes Element z⃗ ∈ ℂ^{n} eine Darstellung in der Basis {b⃗_{1}, …, b⃗_{n}} besitzt, folgt durch entsprechende Klammerung die Zerlegung von z⃗ in Komponenten in den jeweiligen Eigenräumen:

z⃗ = ∑_{ν=1}^{n} c_{ν}b⃗_{ν} = (∑_{ν=1}^{r_{1}} c_{ν}b⃗_{ν}) + ( ∑_{ν=r_{1}+1}^{r_{1}+r_{2}} c_{ν}b⃗_{ν}) + … + (  ∑_{ν=r_{1}+...+r_{s−1}+1}^{n} c_{ν}b⃗_{ν})
=: z⃗_{1} + … + z⃗_{s},  mit z⃗_{ν} ∈ V_{λ_{ν}}.

Die Eindeutigkeit dieser Darstellung folgt aus der Orthogonalität der Eigenräume. □

Die Hauptachsentransformation für Hermitesche und reell symmetrische Matrizen

Wir erhalten den folgenden Satz direkt aus dem Diagonalisierungsresultat für normale Matrizen Satz 7.4.8 zusammen mit der Beobachtung aus Satz 7.3.18, daß Eigenwerte Hermitescher Matrizen stets reell sind:

7.4.12 Satz (Hauptachsentransformation) Zu jeder Hermiteschen n × n-Matrix A existiert eine unitäre Matrix B ∈ U(n) derart, daß Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B eine reelle Diagonalmatrix ist.

Man erhält das reelle Analogon, indem man auf Satz 7.4.10 anstatt auf Satz 7.4.8 verweist.

7.4.13 Satz (Hauptachsentransformation) Sei A eine symmetrische reelle n × n-Matrix. Dann existiert eine Drehung B ∈ SO(n, ℝ) derart, daß Â := B^{t} ∘ A ∘ B eine (reelle) Diagonalmatrix ist.

7.4.14 Bemerkung Um den Begriff ”Hauptachsentransformation“ zu erläutern, betrachten wir zunächst eine reelle n × n-Diagonalmatrix Â mit den (nicht notwendigerweise verschiedenen) Diagonalelementen λ_{1}, …, λ_{n}. Unter dieser Abbildung wird die Einheitskugel

K = {x⃗ ∈ ℝ^{n} : ∥ x⃗ ∥^{2} ≤ 1}

auf ein Ellipsoid

E = \{x⃗ ∈ ℝ^{n} : ∑_{ν=1}^{n} \frac{x_{ν}^{2}}{λ_{ν}^{2}} ≤ 1\}

abgebildet. Die Basisvektoren λ_{ν}e⃗_{ν} sind die Hauptachsen dieses Ellipsoids. Sei nun A ∈ ℝ^{n×n} eine symmetrische Matrix und B ∈ SO(n, ℝ) eine Transformationsmatrix derart, daß die Abbildung in diesen Koordinaten Diagonalgestalt Â := B^{t} ∘ A ∘ B wie oben hat. Man kann also in ℝ^{n} eine Orthonormalbasis B = (b⃗_{1}, …, b⃗_{n}) ”einzeichnen“, so daß unter der Abbildung A die Einheitskugel

K in ein Ellipsoid mit den Basisvektoren λ_{ν}b⃗_{ν} als Hauptachsen übergeht.

7.4.15 Beispiel Eine wichtige Anwendung des Diagonalisierungssatzes für reell symmetrische Matrizen findet man in der Theorie der Drehbewegung starrer Körper. Für eine ausführliche Darstellung verweisen wir auf die Lehrbücher der Mechanik wie etwa das von Á. Budó [1, §§ 51 ff]. Wir stellen uns einen solchen Körper vor und legen den Ursprung und ein orthogonales Koordinatensystem in dessen Schwerpunkt. Wir betrachten Drehbewegungen nur um Achsen, die durch diesen Ursprung gehen, um insgesamt resultierende Kräfte auf diese Achsen zu vermeiden. Der Zusammenhang zwischen dem Drehimpulsvektor L⃗ und der Winkelgeschwindigkeit ω⃗ wird durch den ”Trägheitstensor“

J = ( \begin{matrix}j_{11} & −j_{12} & −j_{13} \\ −j_{21} & j_{22} & −j_{23} \\ −j_{31} & −j_{32} & j_{33} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3}

vermittelt:

L⃗ = J ∘ ω⃗.

Dabei sind die Diagonalelemente j_{νν} die ”Trägheitsmomente“ bzgl. der Rotation um die x_{ν}-Achse und j_{μν} für μ ≠ ν ”Deviationsmomente“. Die Deviationsmomente sind ein Maß dafür, wie sehr bei der Rotation um die Koordinatenachsen Drehmomente auf diese Achsen auftreten, die deren Lage zu ändern versuchen. Bei realen Bewegungen von Maschinen oder Fahrzeugen müssen diese Momente von den Lagern der Achse kompensiert werden und führen zu einem ”unrunden“ Lauf und erhöhtem Verschleiß. Deshalb ist man bemüht, die Drehachse und damit ω⃗ so einzurichten, daß Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit parallel sind. Es sind also die Eigenvektoren des Trägheitstensors J zu bestimmen. Den definierenden Gleichungen für dessen Komponenten entnimmt man (vgl. [1, § 51]), daß der Trägheitstensor J symmetrisch ist. Er besitzt somit eine Orthonormalbasis {b⃗_{1}, b⃗_{2}, b⃗_{3}} aus Eigenvektoren, den ”Hauptträgheitsachsen“ des Körpers

im Schwerpunkt. Führt man die durch B = (b⃗_{1}, b⃗_{2}, b⃗_{3}) gegebenen Koordinaten ein, so lautet der Trägheitstensor in diesen Koordinaten:

Ĵ:= B^{t} ∘ J ∘ B = ( \begin{matrix}ĵ_{11} & 0 & 0 \\ 0 & ĵ_{22} & 0 \\ 0 & 0 & ĵ_{33} \end{matrix} ) .

Bezüglich der Hauptträgheitsachsen b⃗_{1}, b⃗_{2}, b⃗_{3} treten keine Deviationsmomente auf.

Unter ”Auswuchten“ eines Körpers versteht man dessen Veränderung derart, daß die (fest vorgegebene) Drehachse zu einer Hauptträgheitsachse im Schwerpunkt wird.

7.4.16 Beispiele Wir setzen hier die Behandlung der Beispiele 7.3.19fort.

(a) Für A = ( \begin{matrix}1 & −3i \\ 3i & 1 \end{matrix} ) hatten wir dort λ_{1} = 4 und λ_{2} = −2 als Eigenwerte

bestimmt. Zugehörige Eigenvektoren findet man als nichttriviale Lösungen der Gleichungssysteme

0 = (A − λ_{1} E) ∘ x⃗_{1} = ( \begin{matrix}−3 & −3i \\ 3i & −3 \end{matrix} ) ∘ x⃗_{1}

und

0 = (A − λ_{2} E) ∘ x⃗_{2} = ( \begin{matrix}3 & −3i \\ 3i & 3 \end{matrix} ) ∘ x⃗_{2}.

Man berechnet sofort x⃗_{1} = (−i, 1)^{t} und x⃗_{2} = (i, 1)^{t} als Lösungsvektoren. Durch Normieren erhält man die Transformationsmatrix

B = ( −i\frac{\sqrt{2}}{2} i\frac{\sqrt{2}}{2}_{\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}} ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ( \begin{matrix}−i & i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

Hiermit gilt

Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}i\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ −i\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & −3i \\ 3i & 1 \end{matrix} ) ∘ ( −i\frac{\sqrt{2}}{2} i\frac{\sqrt{2}}{2}_{\frac{\sqrt{2}}{2}  \frac{\sqrt{2}}{2}} )

= ( \begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) .

(b) Die Eigenwerte von

A = ( \begin{matrix}\frac{7}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ −\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & −\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{7}{6} \end{matrix} )

lauten λ_{1} = 0, λ_{2} = 1, λ_{3} = 2. Als zugehörige Eigenvektoren bestimmt man mit dem Gaußschen Algorithmus beispielsweise x⃗_{1} = (1, 2, 1)^{t}, x⃗_{2} = (−1, 0, 1)^{t} und x⃗_{3} = (1, −1, 1)^{t}. Durch Normieren gelangt man zu der Transformationsmatrix

B = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ) = \frac{1}{\sqrt{6}} ( \begin{matrix}1 & −\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 2 & 0 & −\sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \end{matrix} ) ,

es ist

det(B) = \frac{1}{6^{3/2}} det ( \begin{matrix}1 & −\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 0 & 2\sqrt{3} & −3\sqrt{2} \\ 0 & 2\sqrt{3} & 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{6^{3/2}} · 6\sqrt{6} = 1.

Ohne daß eine Spalte von B durch ihr Negatives ersetzt werden müßte, haben wir bereits B ∈ SO(3), so daß also B eine Drehung des ℝ^{3} ist. In den durch B gegebenen Koordinaten lautet nun A:

Â = B^{t} ∘ A ∘ B
= ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}\frac{7}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ −\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & −\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & −\frac{2}{3} & \frac{7}{6} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) .

7.4.17 Beispiel In der Analysis benötigt man beispielsweise bei der Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme die ”Exponentialfunktion“ quadratischer n-reihiger Matrizen A:

exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}A^{k}.  (∗)

Die Partialsummen S_{N} := (s_{μν}^{(N)})_{μ,ν=1,...,n} := ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}A^{k} sind jeweils n × n-

Matrizen, von deren Komponenten s_{μν}^{(N)} man in der Analysis Konvergenz nachweist. Man findet Zahlen s_{μν} := lim_{N→∞} s_{μν}^{(N)} ∈ ℂ und setzt exp(A) := (s_{μν})_{μ,ν=1,...,n}, die Definition (∗) ist also im Sinne komponentenweiser Konvergenz zu verstehen. Wir wollen uns hier aber nicht mit Konvergenz, sondern mit der Frage beschäftigen, ob man die Komponenten von exp(A) auf einfache Weise aus den Komponenten von A bestimmen kann. Im Falle normaler und damit insbesondere auch Hermitescher Matrizen ist das tatsächlich möglich. Sei A eine normale n × n-Matrix und B ∈ U(n) derart, daß wir Diagonalgestalt

Â := B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & λ_{n} \end{matrix} ) , λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ,

erreichen. Es folgt:

A = B ∘ Â ∘ B̄^{t},
A^{k} = (B ∘ Â ∘ B̄^{t})^{k}
= B ∘ Â ∘ (B̄^{t} ∘ B) ∘ Â ∘ B̄^{t} ∘ … ∘ B ∘ Â ∘ B̄^{t}
= B ∘ Â^{k} ∘ B̄^{t} = B ∘ ( \begin{matrix}λ_{1}^{k} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & λ_{n}^{k} \end{matrix} ) ∘ B̄^{t},

exp(A) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} B ∘ ( \begin{matrix}λ_{1}^{k} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & λ_{n}^{k} \end{matrix} ) ∘ B̄^{t}

= B ∘ (∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} ( \begin{matrix}λ_{1}^{k} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & λ_{n}^{k} \end{matrix} )) ∘ B̄^{t}

= B ∘ ( \begin{matrix}∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}λ_{1}^{k} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}λ_{n}^{k} \end{matrix} ) ∘ B̄^{t}

= B ∘ ( \begin{matrix}exp(λ_{1}) & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & exp(λ_{n}) \end{matrix} ) ∘ B̄^{t}.

Man erhält die Exponentialfunktion normaler Matrizen, indem man die gewöhnliche komplexe Exponentialfunktion der Eigenwerte berechnet und diese Diagonalmatrix mittels B und B̄^{t} ”zurück“-transformiert. Die Eigenwerte von exp(A) sind ebenfalls exp(λ_{1}), …, exp(λ_{n}). Die Matrizen A und exp(A) haben mit den Spalten von B dieselben Eigenvektoren.

Wir berechnen exp(A) für die Hermitesche 2 × 2-Matrix A = ( \begin{matrix}1 & −3i \\ 3i & 1 \end{matrix} ) aus

dem vorhergehenden Beispiel. Diese hatten wir mittels B = \frac{\sqrt{2}}{2} ( \begin{matrix}−i & i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ U(2)

diagonalisiert: Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ). Daraus erhalten wir:

exp(A) = B ∘ exp(Â) ∘ B̄^{t}
= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−i & i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}e^{4} & 0 \\ 0 & e^{−2} \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}i & 1 \\ −i & 1 \end{matrix} )
= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}e^{4} + e^{−2} & −i (e^{4} − e^{−2}) \\ i (e^{4} − e^{−2}) & e^{4} + e^{−2} \end{matrix} ) .

Sesquilinearformen

Die Abbildung, die jedem Paar von Vektoren z⃗, w⃗ ∈ ℂ^{n} die komplexe Zahl (z⃗, A ∘ w⃗) zuordnet, hat für Hermitesche Matrizen A ähnliche Eigenschaften wie das komplexe Skalarprodukt. Sie ist sesquilinear und Hermitesch:

(z⃗, A ∘ w⃗) = (Ā^{t} ∘ z⃗, w⃗) = (A ∘ z⃗, w⃗) = \overline{(w⃗, A ∘ z⃗)},

und wegen (z⃗, A ∘ z⃗) = \overline{(z⃗, A ∘ z⃗)} ist die entsprechende quadratische Form stets reellwertig. Die Positivität dieser Terme kann aber im allgemeinen nicht gezeigt werden, sondern ist nur von einer Unterklassse der Hermiteschen Matrizen erfüllt:

7.4.18 Definition (a) Eine Hermitesche Matrix A ∈ ℂ^{n×n} heißt positiv definit, falls (z⃗, A ∘ z⃗) > 0 für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} \ {0} gilt.

(b) Eine symmetrische Matrix A ∈ ℝ^{n×n} heißt positiv definit, falls x⃗ · (A ∘ x⃗) > 0 für alle x⃗ ∈ ℝ^{n} \ {0} gilt.

Mit Hilfe der Hauptachsentransformation kann man die positive Definitheit einer Matrix leicht erkennen.

7.4.19 Satz Eine komplexe Hermitesche (bzw. reelle symmetrische) n×n-Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.

Beweis Hier werden nur komplexe Hermitesche Matrizen betrachtet; der reelle Fall ist genauso zu behandeln. Es gibt eine unitäre Matrix B ∈ U(n) derart, daß Â = B̄^{t} ∘A∘B eine Diagonalmatrix ist:

Â = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & O \\ & . & . & . \\ O & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Die (nicht notwendigerweise verschiedenen) reellen Zahlen λ_{ν} (ν = 1, …, n) sind die Eigenwerte von Â und daher auch von A. Für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} gilt mit der Setzung w⃗ := B̄^{t} ∘ z⃗:

(z⃗, A ∘ z⃗) = ¯ z⃗^{t} ∘ B ∘ Â ∘ B̄^{t} ∘ z⃗ = ¯ w⃗^{t} ∘ Â ∘ w⃗ = ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν}|w_{ν}|^{2}.

Da z⃗ = 0 ⇔ w⃗ = B ∘ z⃗ = 0, ist die Positivität der von A erzeugten quadratischen Form

(z⃗, A ∘ z⃗) > 0 für alle z⃗ ∈ ℂ^{n} \ {0}

äquivalent zur Positivität sämtlicher Eigenwerte

λ_{ν} > 0,  ν = 1, …, n.  □

7.4.20 Folgerung Die reelle symmetrische n × n-Matrix A sei positiv definit. Dann besitzt A genau eine symmetrische positiv definite Quadratwurzel C ∈ ℝ^{n×n}, für die also C^{2} = A gilt. Man schreibt auch C =: A^{1/2}.

Beweis Wir diagonalisieren A mittels einer Drehung B ∈ SO(n, ℝ):

Â = B^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & & & & & & O \\ & & λ_{1} \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & λ_{s} \\ & O & & & & & & ... \\ & & & & & & & & λ_{s} \end{matrix} ) .

Dabei sind λ_{1}, …, λ_{s} sämtliche paarweise verschiedenen Eigenwerte von A und von Â; jeder Eigenwert λ_{ν} tritt in Â entsprechend seiner Vielfachheit r_{ν}-mal auf; r_{1} + … + r_{s} = n. Wie wir soeben gezeigt haben, sind wegen der positiven Definitheit von A sämtliche Eigenwerte positiv: λ_{ν} > 0. Wir setzen

Ĉ := ( \begin{matrix}√ & \overline{λ_{1}} \\ & ... & & & & & & O \\ √ & \overline{λ_{1}} \\ & & & . & . & . \\ √ & \overline{λ_{s}} \\ & O & & & & & & ... \\ √ & \overline{λ_{s}} \end{matrix} ) und C := B ∘ Ĉ ∘ B^{t};

es ist

C^{2} = B ∘ Ĉ ∘ B^{t} ∘ B ∘ Ĉ ∘ B^{t} = B ∘ Ĉ^{2} ∘ B^{t} = B ∘ Â ∘ B^{t} = A.

Die einander entsprechenden Eigenräume von C und von A werden jeweils von denselben Spalten von B erzeugt und stimmen deshalb auf Grund unserer Konstruktion überein:

V_{λ_{ν}}(A) = V\sqrt{λ_{ν}} (C).  (∗)

Es bleibt die Eindeutigkeit der Quadratwurzel in der angegebenen Matrizenklasse nachzuweisen. Sei also C̃ irgendeine positiv definite symmetrische n × n-Matrix mit C̃^{2} = A. Wir wollen zeigen, daß die Gleichheit (∗) auch für die Eigenräume von C̃ erfüllt ist. Sei dazu x⃗ ∈ ℝ^{n} Eigenvektor von C̃ zum Eigenwert μ: C̃ ∘ x⃗ = μ x⃗. Da C̃ als positiv definit vorausgesetzt ist, haben wir μ > 0. Aus A ∘ x⃗ = C̃ ∘ C̃ ∘ x⃗ = C̃ ∘ (μ x⃗) = μ^{2} x⃗ folgt, daß μ^{2} mit einem Eigenwert λ_{ν} von A übereinstimmen muß, wegen μ > 0 ist μ = \sqrt{λ_{ν}}. Folglich sind unter \sqrt{λ_{1}}, …, \sqrt{λ_{s}} sämtliche paarweise verschiedenen Eigenwerte von C̃, und das gerade benutzte Argument zeigt auch V\sqrt{λ_{ν}} (C̃) ⊂ V_{λ_{ν}}(A). Da wegen Satz 7.4.11 bzw. dessen reeller Entsprechung aber die orthogonale Zerlegung

ℝ^{n} = ⊕_{ν=1}^{s}V\sqrt{λ_{ν}} (C̃) = ⊕_{ν=1}^{s}V_{λ_{ν}}(A)

gilt, erhalten wir die Gleichheit der Eigenräume V\sqrt{λ_{ν}} (C̃) = V_{λ_{ν}}(A). Insbesondere sind genau \sqrt{λ_{1}}, …, \sqrt{λ_{s}} die Eigenwerte von C̃, und in Verbindung mit (∗) folgt:

V\sqrt{λ_{ν}} (C̃) = V\sqrt{λ_{ν}} (C).

Für alle

x⃗ = ∑_{ν=1}^{s} x⃗_{ν} ∈ ℝ^{n} = ⊕_{ν=1}^{s}V\sqrt{λ_{ν}} (C̃) = ⊕_{ν=1}^{s}V\sqrt{λ_{ν}} (C)

folgt dann

C̃ ∘ x⃗ = ∑_{ν=1}^{s} C̃ ∘ x⃗_{ν} = ∑_{ν=1}^{s} \sqrt{λ_{ν}} x⃗_{ν} = ∑_{ν=1}^{s} C ∘ x⃗_{ν} = C ∘ x⃗,

die positiv definiten Quadratwurzeln C und C̃ von A stimmen überein. □

Diagonalisierbarkeit unitärer Matrizen, Normalform für reell orthogonale Matrizen

Hier erhalten wir das Diagonalisierungsresultat ebenfalls durch direkten Verweis auf den entsprechenden Satz 7.4.8für normale Matrizen und auf Satz 7.3.20.

7.4.21 Satz Zu jeder unitären Matrix A ∈ U(n) existiert eine unitäre Transformationsmatrix B ∈ U(n) derart, daß Â := B̄^{t} ∘A∘B eine Diagonalmatrix ist. Die Diagonalelemente von Â haben sämtlich den Betrag 1.

Wir wollen im Folgenden noch reelle orthogonale Matrizen untersuchen. Der Fall zweier Raumdimensionen läßt sich elementar diskutieren und wird die Richtung für unser angestrebtes allgemeines reelles Resultat anzeigen.

7.4.22 Beispiele (a) Seien sin_{a}, cos_{a} die aus der Analysis bekannten im Bogenmaß erklärten trigonometrischen Funktionen. Für eine Drehung des ℝ^{2}

A = ( \begin{matrix}cos_{a}(φ) & − sin_{a}(φ) \\ sin_{a}(φ) & cos_{a}(φ) \end{matrix} )

gilt

P (λ) = (cos_{a}(φ) − λ)^{2} + sin_{a}^{2}(φ) = 1 − 2λ cos_{a}(φ) + λ^{2}.

Die Eigenwerte von A sind λ_{1} = e^{iφ}, λ_{2} = e^{−iφ}; diese sind für φ ∈]0, 2π[\{π} nicht reell und verschieden. Im Reellen können wir A also nicht diagonalisieren. Es existiert jedoch eine komplexe unitäre 2 × 2-Matrix B derart, daß Â =

B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}e^{iφ} & 0 \\ 0 & e^{−iφ} \end{matrix} ) ist.

(b) Eine Drehspiegelung des ℝ^{2} wird durch eine Matrix

A = ( \begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix} ) , a^{2} + b^{2} = 1,

gegeben. Es ist

P (λ) = (a − λ)(−a − λ) − b^{2} = λ^{2} − (a^{2} + b^{2}) = λ^{2} − 1 = (λ − 1)(λ + 1).

Weil die Eigenwerte von A mit λ_{1} = 1 und λ_{2} = −1 sämtlich reell sind, kann man aus Satz 7.4.10 die Existenz einer orthogonalen Matrix B ∈ SO(2)

folgern, so daß Â := B^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) gilt. Bezüglich eines geeigneten

Koordinatensystems ist die Drehspiegelung A nur eine Spiegelung an einer Koordinatenachse.

Um Satz 7.4.21 auch für den Fall reeller orthogonaler Matrizen A ∈ O(n) nutzen zu können, gehen wir von der im Beweis von Satz 7.3.21 gemachten Beobachtung aus, daß die nichtreellen Eigenwerte in Paaren zueinander konjugierter Eigenwerte derselben (geometrischen und algebraischen) Vielfachheit auftreten: λ_{1}, λ̄_{1}, …, λ_{k}, λ̄_{k} ∈ ℂ \ ℝ mit einer geeigneten Zahl k ≤ n/2; die Eigenwerte werden entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeführt. Dabei können wir erreichen, daß unter λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{k} nicht zwei Eigenwerte zueinander konjugiert sind: λ_{ν} ≠ λ̄_{μ}, μ, ν = 1, …, k. An das Ende dieser Eigenwertliste schreiben wir die reellen Eigenwerte λ_{2k+1}, …, λ_{n} ∈ {±1} ⊂ ℝ. Bei den Eigenvektoren können wir eine ganz ähnliche Beobachtung machen: Sind b⃗_{ν} ∈ ℂ^{n} (1 ≤ ν ≤ k) paarweise orthogonale normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ_{ν} (1 ≤ ν ≤ k), so folgt aus der Reellwertigkeit der Komponenten von A:

(A − λ_{ν} E) ∘ b⃗_{ν} = 0 ⇒ \overline{(A − λ_{ν} E)} ∘ ¯ b⃗_{ν} = 0 ⇒ (A − λ̄_{ν} E) ∘ ¯ b⃗_{ν} = 0;

die konjugierten Vektoren ¯ b⃗_{ν} (1 ≤ ν ≤ k) sind also normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ̄_{ν}. Wir wählen nun die Transformationsmatrix zur Diagonalisierung von A gemäß

B = (b⃗_{1}, ¯ b⃗_{1}, …, b⃗_{k}, ¯ b⃗_{k}, b⃗_{2k+1}, …, b⃗_{n}) ∈ U(n),

dabei sind b⃗_{2k+1}, …, b⃗_{n} paarweise orthogonale normierte reelle Eigenvektoren zu den reellen Eigenwerten λ_{2k+1}, …, λ_{n}. Wir haben noch zu beachten, daß aus der Orthogonalität von b⃗_{ν}, b⃗_{μ}, 1 ≤ ν ≠ μ ≤ k auch die Orthogonalität der konjugierten

Vektoren folgt: (¯b⃗_{ν}, ¯ b⃗_{μ}) = \overline{(b⃗_{ν}, b⃗_{μ})} = 0. Wegen der Verschiedenheit λ_{ν} ≠ λ̄_{μ} gilt

für μ, ν = 1, …, k ohnehin: (b⃗_{ν}, ¯ b⃗_{μ}) = 0. Bezüglich dieser Transformation B lautet die Diagonalmatrix

Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & 0 & ⋯ & & & ⋯ & 0 \\ 0 & λ̄_{1} & 0 & ⋯ & & & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & ... & & & & & ⋮ \\ & ⋯ & 0 & λ_{k} & 0 & 0 & ⋯ \\ & ⋯ & 0 & 0 & λ̄_{k} & 0 & ⋯ \\ & ⋯ & 0 & 0 & 0 & λ_{2k+1} & ⋯ \\ ⋮ & & & & & & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & & & & & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

Wir gelangen nun zu einer reellen orthogonalen Transformationsmatrix C, indem wir jeweils bei Paaren zueinander konjugierter Eigenvektoren b⃗_{ν}, ¯ b⃗_{ν}, ν = 1, …, k zu deren normierten Real- und Imaginärteilen übergehen:

c⃗_{2ν−1} := \frac{\sqrt{2}}{2} (b⃗_{ν} + ¯ b⃗_{ν}) ,  c⃗_{2ν} := \frac{\sqrt{2}}{2i} (b⃗_{ν} − ¯ b⃗_{ν}) ∈ ℝ^{n},

wegen der Orthogonalität von b⃗_{ν} und ¯ b⃗_{ν} handelt es sich dabei nicht um die Nullvektoren. Ferner ist in ℂ^{n} auf Grund dieser Orthogonalität:

(b⃗_{ν} + ¯ b⃗_{ν}, b⃗_{ν} − ¯ b⃗_{ν}) = (b⃗_{ν}, b⃗_{ν}) − (b⃗_{ν}, ¯ b⃗_{ν}) + (¯b⃗_{ν}, b⃗_{ν}) − (¯b⃗_{ν}, ¯ b⃗_{ν})
= ∥ b⃗_{ν} ∥^{2} − \overline{(b⃗_{ν}, b⃗_{ν})} = 0,

also sind c⃗_{2ν−1} und c⃗_{2ν} in ℝ^{n} zueinander orthogonal. Indem man die reellen Eigenvektoren unverändert läßt,

c⃗_{2k+1} := b⃗_{2k+1}, …, c⃗_{n} := b⃗_{n},

und nur ggfs. einen Eigenvektor durch sein Negatives ersetzt, erhält man mit

C := (c⃗_{1}, …, c⃗_{2k}, c⃗_{2k+1}, …, c⃗_{n}) ∈ SO(n, ℝ)

eine reelle Transformationsmatrix. Um die Matrix der Abbildung A in den durch C gegebenen Koordinaten zu ermitteln, berechnen wir für ν = 1, …, k:

A ∘ c⃗_{2ν−1} = A ∘ \frac{\sqrt{2}}{2} (b⃗_{ν} + ¯ b⃗_{ν}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (λ_{ν}b⃗_{ν} + λ̄_{ν}¯b⃗_{ν})
= \frac{\sqrt{2}}{4} ((λ_{ν} + λ̄_{ν}) (b⃗_{ν} + ¯ b⃗_{ν}) + (λ_{ν} − λ̄_{ν}) (b⃗_{ν} − ¯ b⃗_{ν}))
= Re(λ_{ν}) · c⃗_{2ν−1} − Im(λ_{ν}) · c⃗_{2ν},
A ∘ c⃗_{2ν} = A ∘ \frac{\sqrt{2}}{2i} (b⃗_{ν} − ¯ b⃗_{ν}) = \frac{\sqrt{2}}{2i} (λ_{ν}b⃗_{ν} − λ̄_{ν}¯b⃗_{ν})
= \frac{\sqrt{2}}{4i} ((λ_{ν} − λ̄_{ν}) (b⃗_{ν} + ¯ b⃗_{ν}) + (λ_{ν} + λ̄_{ν}) (b⃗_{ν} − ¯ b⃗_{ν}))
= Im(λ_{ν}) · c⃗_{2ν−1} + Re(λ_{ν}) · c⃗_{2ν}.

Für die Matrix

Ã := C^{t} ∘ A ∘ C,

die die Abbildung A : ℝ^{n} → ℝ^{n} in den durch die orthogonale Matrix C gegebenen Koordinaten beschreibt, haben wir also gefunden:

Ã = ( \begin{matrix}Re(λ_{1}) & Im(λ_{1}) \\ −Im(λ_{1}) & Re(λ_{1}) & & & & O \\ . & . & . \\ & & & Re(λ_{k}) & Im(λ_{k}) \\ & & & −Im(λ_{k}) & Re(λ_{k}) \\ & & & & & λ_{2k+1} \\ & & O & & & & ... \\ & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n×n}.

Diese Normalform zeigt, daß für Matrizen A ∈ SO(3, ℝ) der Eigenvektor zum Eigenwert +1 als Drehachse interpretiert werden kann: Indem man ein geeignetes Koordinatensystem einführt, erhält die Abbildung A in diesen Koordinaten die folgende Darstellung mit geeigneten reellen Zahlen a, b, a^{2} + b^{2} = 1:

Ã = ( \begin{matrix}a & −b & 0 \\ b & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos Θ & − sin Θ & 0 \\ sin Θ & cos Θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

die Zahl Θ ∈ [0, 360[ ist geeignet zu wählen. Die Abbildung Ã läßt die dritte Komponente fest, die ersten beiden Komponenten werden durch die 2×2-Untermatrix

( \begin{matrix}cos Θ & − sin Θ \\ sin Θ & cos Θ \end{matrix} ) abgebildet. Nach unseren Überlegungen am Ende von Kapitel 6.1

(insbesondere Satz 6.1.12 und Definition 6.1.15) bedeutet das eine Drehung der x_{1}- x_{2}-Ebene um den Winkel Θ, die x_{3}-Achse (in den ursprünglichen Koordinaten dem Eigenvektor zum Eigenwert 1 entsprechend) ist die Drehachse.

7.4.23 Beispiel Wir bestimmen sowohl die komplexe als auch die reelle Normalform für die schon in Beispiel 7.3.22betrachtete Matrix

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} ) ∈ SO(3, ℝ).

Die Eigenwerte hatten wir als λ_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i), λ_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 − i) und λ_{3} = 1 bestimmt,

wir hatten auch schon die Drehachse als normierten Eigenvektor b⃗_{3} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, −\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)^{t} zum Eigenwert 1 berechnet. Mittels des Gaußschen Algorithmus’ findet man weiter,

daß b⃗_{1} = (\frac{i}{2}, \frac{i}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})^{t} und b⃗_{2} = (−\frac{i}{2}, −\frac{i}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})^{t} normierte Eigenvektoren zu λ_{1} und λ_{2} sind. Mit

B := ( \begin{matrix}\frac{i}{2} & −\frac{i}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{i}{2} & −\frac{i}{2} & −\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{matrix} )

erhalten wir die komplexe Diagonalform

Â = B̄^{t} ∘ A ∘ B = ( \begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1 − i) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Um die reelle Normalform zu erhalten, ersetzen wir, wie oben erläutert, die ersten beiden Spalten von B durch deren normierte Real- und Imaginärteile:

C := ( \begin{matrix}0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & −\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ SO(3).

Um mit C eine Drehung, d. h. eine orthogonale Abbildung mit Determinante 1, zu erhalten, haben wir gleichzeitig die letzte Spalte durch ihr Negatives ersetzt. Damit berechnen wir

Ã := C^{t} ∘ A ∘ C = ( \begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ −\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Bei der Abbildung A handelt es sich also um eine Drehung um 315 Grad um die

Drehachse (−\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)^{t}.

Literaturverzeichnis

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[14] van der Waerden, B. L., Erwachende Wissenschaft, 2. Auflage, Birkhäuser Verlag: Basel, Stuttgart 1966.

Symbolverzeichnis

:= Die linke Seite der Gleichung

wird durch die rechte Seite definiert.

=^{def} Gleichheit auf Grund einer Definition ≡ identisch gleich; f(x) ≡ 0 bedeutet, daß f(x) = 0 für alle x gilt ⇒ Folgerung: Wenn die linke Aussage gilt,

dann auch die rechte.

⇔ Äquivalenz zweier Aussagen ∅ leere Menge x ∈ M x ist Element der Menge M x ∉ M x ist nicht Element der Menge M M ⊂ N Teilmenge: x ∈ M ⇒ x ∈ N. M ⊃ N Obermenge: N ⊂ M M = N Gleichheit von Mengen: M ⊂ N und N ⊂ M M ∩ N = {x : x ∈ M und x ∈ N}, Durchschnitt M ∪ N = {x : x ∈ M oder x ∈ N}, Vereinigung M \ N = {x ∈ M : x ∉ N}, Differenzmenge M × N = {(x, y) : x ∈ M, y ∈ N}, kartesisches Produkt ℕ Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, …} ℕ_{0} ℕ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, …} ℤ Menge der ganzen Zahlen ℝ Menge der reellen Zahlen ℝ^{+} Menge der positiven reellen Zahlen {a ∈ ℝ : a > 0} ℝ_{0}^{+} Menge der nichtnegativen reellen Zahlen

{a ∈ ℝ : a ≥ 0}

262 Symbolverzeichnis

ℝ^{∗} = ℝ \ {0} max(a, b) die größere der reellen Zahlen a, b min(a, b) die kleinere der reellen Zahlen a, b sup Supremum inf Infimum ∑ Summenzeichen ∏ Produktzeichen ℝ^{n} n-dimensionaler reeller Zahlenraum a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}, n-tupel reeller Zahlen 0 = (0, …, 0) ∈ ℝ^{n} e⃗_{j} Einheitsvektoren in ℝ^{n} V, V_{1}, V_{2}, … allgemeine reelle Vektorräume x, y Elemente von V

\begin{matrix}Span(x_{1}, …, x_{n}) \\ ℝ · (x_{1}, …, x_{n}) \\ <x_{1}, …, x_{n}> \\ [x_{1}, …, x_{n}] \end{matrix} \} von x_{1}, …, x_{n} aufgespannter Untervektorraum

dim Dimension eines Vektorraums E anschauliche Ebene R anschaulicher Raum O Basispunkt, Aufpunkt in E bzw. R x = (P, Q) Pfeile, Pfeilvektoren in E bzw. R (P, P) Nullvektor in P (P, Q) ∥ (P′, Q′) Die Pfeile (P, Q) und (P′, Q′) sind voll parallel. X Menge aller Pfeile in E bzw. R V = {x = (O, P) : P ∈ E}, Vektorraum der Pfeile in O V^{3} = {x = (O, P) : P ∈ R}, Vektorraum der Pfeile in O O = (O, O) Nullvektor in V bzw. V^{3} F : M_{1} → M_{2} Abbildung id_{M}, id : M → M identische Abbildung F : M_{1} ↠ M_{2} surjektive Abbildung F : M_{1} ↪ M_{2} injektive Abbildung F : M_{1} ↔ M_{2} bijektive Abbildung F^{−1} Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung F ∘ G Hintereinanderschaltung, Komposition,

Zusammensetzung von Abbildungen F^{−1}(N) = {x ∈ M : F (x) ∈ N}, Urbildmenge im(F) = F (M) Bildmenge rg(F) = dim im(F), Rang einer linearen Abbildung ker(F) Kern einer linearen Abbildung crg(F) = dim ker(F), Corang (Defekt)

einer linearen Abbildung

V_{1} ≈ V_{2} V_{1} und V_{2} sind isomorph. V_{1} ≅ V_{2}, V_{1} = V_{2} V_{1} und V_{2} sind kanonisch isomorph. F : V_{1} →^{∼} V_{2} F ist ein Isomorphismus. A, B, C Matrizen A^{m,n} = (a_{ij})_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} m × n-Matrix ℝ^{m×n} Menge aller m × n-Matrizen E = E^{n,n}; I Einheitsmatrix δ_{ij} Kroneckersymbol, Komponenten der Einheitsmatrix O = O^{m,n} Nullmatrix A^{t} zu A transponierte Matrix Rang (A) Rang einer Matrix A ∘ c⃗ Produkt einer m × n-Matrix

und einem Spaltenvektor aus ℝ^{n}

A + B Matrixaddition c · A Skalarmultiplikation für Matrizen A ∘ B Matrixprodukt GL(n, ℝ) allgemeine lineare Gruppe vom Rang n über ℝ,

Gruppe der invertierbaren n × n-Matrizen

SL(n, ℝ) spezielle lineare Gruppe O(n, ℝ) orthogonale Gruppe SO(n, ℝ) spezielle orthogonale Gruppe M, N in Abschnitt 3.7: allgemeine Ebenen codim Codimension von allgemeinen Ebenen V_{1} ⊕ V_{2} direkte Summe der Vektorräume V_{1} und V_{2} V_{1} + V_{2} von V_{1}, V_{2} aufgespannter Untervektorraum F_{1} ⊕ F_{2} direkte Summe der linearen Abbildungen F_{1} und F_{2} V^{∗} Dualraum von V V^{∗∗} Bidualraum F^{∗} : V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗} duale Abbildung zu F : V_{1} → V_{2}, δ(i_{1}, …, i_{n}) allgemeines Kroneckersymbol det(A), det(F) Determinante A_{kℓ} Streichungsmatrix d_{kℓ} (k, ℓ)-ter Cofaktor ad(A) Adjunkte zu A

D_{Θ}, D̂_{Θ} Drehungen der anschaulichen Ebene bzw. der Pfeile A_{α}(Θ) Drehungen in den Koordinaten bzgl. der Karte α x⃗ · y⃗ kanonisches Skalarprodukt in ℝ^{n} (x, y) Skalarprodukt in der anschaulichen Ebene ∥ . ∥ Länge bzw. Norm eines Vektors ∠(y, x) Winkel zwischen y, x ∈ V x ⊥ y x, y sind orthogonal V^{⊥} orthogonales Komplement des Untervektorraums V ℂ Menge der komplexen Zahlen ℂ^{n} n-dimensionaler komplexer Zahlenraum dim_{ℂ} V Dimension eines Vektorraums über ℂ dim_{ℝ} V Dimension eines Vektorraums über ℝ Re(z) Realteil der komplexen Zahl z Im(z) Imaginärteil der komplexen Zahl z z̄ konjugiert komplexe Zahl (z⃗, w⃗) kanonisches Skalarprodukt in ℂ^{n} Ā^{t} konjugiert transponierte Matrix GL(n, ℂ) allgemeine lineare Gruppe vom Rang n über ℂ U(n) unitäre Gruppe Sp(A) Spur der Matrix A P_{A}(λ), P_{F} (λ) charakteristisches Polynom λ_{ν} Eigenwerte V_{λ} Eigenraum exp(A) Exponentialfunktion für Matrizen A^{1/2} Quadratwurzel positiv definiter Matrizen

Sachverzeichnis

Abbildung, 40 Additivität einer, 47 adjungierte, 69, 225 affin lineare, 90 auf, 41 bijektive, 40 Bild, 40 Bildmenge, 41 ℂ-lineare, 215 Dehnung, 114 Drehung, 198 duale, 68, 132, 226 Eigenraum, 229 Eigenwert, -vektor, 228 eineindeutige, 41 Homogenität einer, 47 Homothetie, 112 identische, 40 injektive, 40 inverse, 43 invertierbare lineare, 107 kanonische, 43 kanonische Injektion, 125 komplex lineare, 215 Koordinatenwechsel, 88 lineare, 47 multilineare, 154, 203

alternierende, 155, 203 natürliche, 43 normale, 227 Projektion, 105 ℝ-lineare, 212 Scherung, 116 selbstadjungierte, 225 surjektive, 40 Umkehr-, 43 umkehrbar lineare, 107 unitäre, 219

Abbildungen direkte Summe von, 124 Hintereinanderschaltung von, 41 Komposition von, 41 Skalarmultiplikation für, 78 Summe von, 78 Zusammensetzung von, 41

abelsche Gruppe, 4 Abstand, 179, 193 abzählbar unendlich, 120 Addition

im Vektorraum, 7

in der direkten Summe, 122

von Abbildungen, 78 von Matrizen, 78 von n-tupeln, 2 von Vektoren der anschaulichen Ebe-

ne, 26 Additionstheorem, 190 Additivität einer Abbildung, 47 adjungierte Abbildung, 69, 225 Adjunkte, 170 affin lineare Abbildung, 90 Ähnlichkeitstransformation, 114 algebraische Vielfachheit, 232 allgemeine Lage

von Ebenen, 102 von Punkten, 98 allgemeine lineare Gruppe, 108

über ℂ, 216 allgemeines Kroneckersymbol, 149 alternierend, 155, 203 Anordnung, natürliche, 150 anschauliche Ebene, 23 Aufpunkt, 26 Basispunkt, 23, 26 Dimension, 33 Drehung, 179 Koordinaten, 45 Punkte der, 23

266 Sachverzeichnis

Vektorraum, 33 anschauliche Länge, 193 anschaulicher Raum, 21, 23, 38, 40, 46,

204, 207 Basispunkt, 38 Dimension, 38 Vektorraum, 38

Anschauung, 21, 23

geometrische, 19 Äquivalenzrelation, 25 Aristoteles, 23, 26 Assoziativgesetz, 3, 4, 6, 7, 42, 82

allgemeines, 6 anschauliche Ebene

Addition, 28 Skalarmultiplikation, 29, 33

aufgespannter Untervektorraum, 11

von Teilräumen, 128 Aufpunkt, 26 Austauschsatz von Steinitz, 64 Axiom

Parallelen-, 21, 25 Parallelogramm-, 25 Stetigkeits-, 30

Axiome, 1

der Geometrie, 23

Drehungen, 179 Gruppen-, 4 Skalarprodukt, 191 Vektorraum-, 7

anschauliche Ebene, 26, 32

Basis, 17, 18, 120 abzählbar unendliche, 121 der direkten Summe, 123 duale, 136 Hamel-, 120 Länge einer, 63 überabzählbar unendliche, 122, 129

Basisergänzungssatz, 66, 127 Basispunkt, 23, 26, 38 Betrag einer komplexen Zahl, 212 Bidualraum, 134 bijektiv, 40 Bild, 40 Bildmenge, 41, 49 Bilinearform, 154

symmetrische, 191 Bolyai, Johann, 19

ℂ, 211 ℂ-Dimension, 213 ℂ-linear, 215 ℂ-Vektorraum, 213 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 191,

218 charakteristische Funktion, 121 charakteristisches Polynom, 231 Codimension einer Ebene, 101 Cofaktor, 166 Corang, 66 cos, 189, 197, 198 Cramersche Regel, 170, 174

Decartes, René, 46 Defekt, 66 Dehnung, 114 Determinante, 152

der transponierten Matrix, 158 einer linearen Abbildung, 178

Drehung der anschaulichen Ebene,

182 elementare Umformungen, 160 komplexe, 216 multilinear, 154

alternierend, 155 Multiplikationssatz, 160 Produkt der Eigenwerte, 234 Vandermondesche, 169

Diagonalisierung Hermitesche Matrizen, 246 normale Matrizen, 243 reell symmetrische Matrizen, 246 unitäre Matrizen, 254

Diagonalmatrix, 209 Diagramm, kommutatives, 41 dichte Teilmenge, 183 Differenzmenge, 34, 261 Dimension, 15, 63

über ℂ, 213

anschauliche Ebene, 33 der direkten Summe, 123

einer allgemeinen Ebene, 90 Dimensionsformel, 66 direkte Summe

von linearen Abbildungen, 124 von Matrizen, 125 von Untervektorräumen, 126 von Vektorräumen, 119, 122

Distributivgesetz, 6, 7, 57, 80, 86, 210

anschauliche Ebene, 32 Drehsinn, 179 Drehspiegelung, 144, 199, 254 Drehung, 143, 179, 198

Determinante, 182 in den Koordinaten, 182

Drehungen in orthogonalen Karten, 187 Komposition von, 181

Dreiecksmatrix, 164

Transformation auf, 239 Dreiecksungleichung, 192, 194 duale Abbildung, 68, 132, 226

Komposition, 133 duale Basis, 136 Dualraum, 119, 128

Basis, 136 Durchschnitt, 261

Ebene, 90

als Lösungsmenge eines linearen

Gleichungssystems, 90, 92, 94 anschauliche, 23

Aufpunkt, 26 Basispunkt, 23, 26 Dimension, 33 Drehung, 179 Koordinaten, 45 Punkte der, 23 Vektorraum, 33

Codimension, 101 Dimension, 90 durch gegebene Punke, 97 euklidische, 179, 197 Hyperebene, 92 im anschaulichen Raum, 38 nulldimensionale, 90 Parameterdarstellung, 90 Ebenen in allgemeiner Lage, 102 Eigenraum, 229 Eigenvektor, 209, 228 Eigenwert, 209, 228

Vielfachheit algebraische, 232 geometrische, 232

eineindeutig, 41 Einheitsmatrix, 57 Einheitsvektor, 15 Einschränkung von Abbildungen, 131 Einstein, Albert, 20 elementare Matrixumformungen

Spaltenumformungen, 69 Zeilenumformungen, 59

endlichdimensional, 15 Erzeugende, Erzeuger, 11, 120 euklidische Ebene, 179, 197 euklidische Geometrie, 19, 20, 195 euklidische Norm, 192, 218 euklidischer Vektorraum, 218 Exponentialfunktion von Matrizen, 250

Fakultät, 151

Stirlingsche Formel, 152 Fixpunkte, 111 Flächeninhalt, 205

Kreuzprodukt, 206, 207 Formel von Sarrus, 153 Fortsetzung, lineare, 50 Fundamentalsatz der Algebra, 232 Funktion

Fakultät, 151 Polynom, 16 rationale, 172 Signum-, 149

Gauß, Carl Friedrich, 19 Gaußscher Algorithmus, 59, 74, 76, 109,

164 Geometrie

euklidische, 19, 20, 195 hyperbolische, 21 lineare, 179

geometrische Vielfachheit, 232 Gerade, 92, 103 anschauliche Ebene, 33 durch gegebene Punkte, 36

gerade Permutation, 151 Geraden

orthogonale, 196 parallele, 35

GL(n, ℂ), 216 GL(n, ℝ), 108 Gleichungssystem, lineares

erweiterte Koeffizientenmatrix, 75 homogenes, 58, 74, 93 inhomogenes, 74, 92 Koeffizientenmatrix, 58 Lösbarkeitskriterium, 75

Gruppe, 4 abelsche, 4 allgemeine lineare, 108

über ℂ, 216 orthogonale, 141 spezielle lineare, 183 spezielle orthogonale, 184 unitäre, 219

Gruppenhomomorphismus, 47 Gruppenisomorphismus, 112

Hamelbasis, 120 Hauptachsentransformation, 209, 247 Hauptträgheitsachsen, 248 Hermitesch, 217, 225 Hermitesche Matrix

Diagonalisierung, 246 Eigenwerte, 235

Hintereinanderschaltung von Abbildun-

gen, 41 Drehungen, 181 duale Abbildung, 133

homogenes lineares Gleichungssystem,

58, 74, 93 Homogenität einer Abbildung, 47 Homomorphismus

von Gruppen, 47 von Körpern, 211 von Vektorräumen, 47

Homothetie, 112 hyperbolische Geometrie, 21 Hyperebene, 92 identische Abbildung, 40 imaginäre Einheit, 212 Imaginärteil, 212 Induktion, vollständige, 31 Infimum, 15 inhomogenes lineares Gleichungssystem,

74, 92 Injektion, kanonische, 125, 135 injektiv, 40, 65 inverse Abbildung, 43

einer linearen Abbildung, 51 inverse Matrix, 83, 109

Adjunkte, 172

einer Produktmatrix, 83 inverses Element, 4 invertierbare lineare Abbildung, 107 invertierbare Matrix, 108 isomorph, 52

kanonisch, 52 Isomorphismus

von Gruppen, 112 von Körpern, 212 von ℝ^{n}, 83, 107 von Vektorräumen, 51, 52

Jacobi-Identität, 205

kanonisch isomorph, 52 kanonische Abbildung, 43 kanonische Injektion, 125

Bidualraum, 135 kanonisches Skalarprodukt

komplexes, 217 reelles, 144, 191

Kant, Immanuel, 20 Karte, 46, 53, 182

orthogonale, 186 kartesisches Produkt von Mengen, 261 Kern, 59 Koeffizienten einer Matrix, 54 Koeffizientenmatrix, 58

erweiterte, 75 kommutatives Diagramm, 41 Kommutativgesetz, 4

anschauliche Ebene, 27 Komplement, 127

orthogonales, 201, 221 komplex linear, 215 komplex orthogonal, 221 komplexe Zahlen, 211

Betrag, 212 Imaginärteil, 212 Realteil, 212

komplexer Vektorraum, 213 komplexes Polynom, 230 Komplexifizierung, 219 Komponenten einer Matrix, 54 Komposition von Abbildungen, 41

Drehungen, 181 duale Abbildung, 133

konjugiert komplexe Zahl, 212 konjugiert linear, 217 Koordinaten, 34, 46, 53, 182 Koordinatensystem, 46, 53

duales, 139 Koordinatentransformation, 87, 88 Koordinatenwechsel, 87, 88 Körper, 210 Körperhomomorphismus, 211 Körperisomorphismus, 212 Kreuzprodukt

Anschauung, 205 Flächeninhalt, 206 in ℝ^{3}, 204 in ℝ^{n}, 202 Rechtssystem, 207

Kroneckersymbol, 57 allgemeines, 149

Länge in der anschaulichen Ebene, 193 Laplacescher Entwicklungssatz, 166 leere Menge, 7 linear abhängig, 12

über ℂ, 213 linear unabhängig, 12, 120

über ℂ, 213 lineare Abbildung, 47

adjungierte, 69, 225 bijektive, 51, 83 Bildmenge, 49 Corang, 66 Defekt, 66 Dehnung, 114 Determinante einer, 178 direkte Summe von, 124 Drehung, 198 duale, 68, 132, 226 Eigenraum, 229 Eigenwert, -vektor, 228 Homothetie, 112 in den Koordinaten, 53 injektive, 65 inverse, 51 invertierbare, 107 Kern, 59 normale, 227 Nullraum, 59 Projektion, 105 Rang, 66 Scherung, 116 selbstadjungierte, 225 surjektive, 66 über ℂ, 215 umkehrbar, 107 unitäre, 219 von F_{1}, …, F_{ℓ} erzeugte, 124

lineare Fortsetzung, 50 lineare Geometrie, 179 linearer Teilraum, 8 lineares Gleichungssystem, 58, 73

erweiterte Koeffizientenmatrix, 75 homogenes, 58, 74, 93 inhomogenes, 74, 92 Koeffizientenmatrix, 58 Lösbarkeitskriterium, 75

Linearform, 119, 128, 154 Linearkombination, 10 Links-Null, 5 linksinvers, 5 Linkssystem, 206 Lobačevskij, Nikolai Ivanovišč, 19 Logik, 23 Lorentzgruppe, 145 Lorentztransformation, 145 Lot auf eine Gerade, 196

Mächtigkeit, 120 Maßvektor, 193 Matrix, 54

Adjunkte, 170 Diagonal-, 209 Dreiecks-, 164 Eigenwert, -vektor, 228 Einheits-, 57 Hermitesche, 225

Diagonalisierung, 246

Eigenwerte, 235

positiv definite, 251 inverse, 83, 109

Adjunkte, 172 invertierbare, 108 Koeffizienten einer, 54 Komponenten einer, 54 konjugiert transponierte, 222 negative, 80 nichtsinguläre, 83, 107, 108 nilpotente, 85 normale, 227

Diagonalisierung, 243

Eigenraum, 234 Null-, 80 orthogonale, 141, 199

Normalform im Reellen, 257 quadratische, 83 Rang, 73 reguläre, 83, 108 singuläre, 85 Spalte, 54 Spaltenrang, 69 Spur, 231 symmetrische, 68, 225

Diagonalisierung, 246

positiv definite, 251

positiv definite, Wurzel, 252 transponierte, 68 -umformungen, elementare, 59, 69 unitäre, 219

Diagonalisierung, 254

Eigenwerte, 236 Zeile, 54 Zeilenrang, 69 zu einer Abbildung gehörige, 55

Matrixaddition, 78, 79 Matrixprodukt, 81 Assoziativgesetz, 82 Nullteiler, 85

Matrizen Addition, 79 direkte Summe, 125 Distributivgesetz, 86 Exponentialfunktion, 250 Multiplikation, 81 Skalarmuliplikation, 79

Menge Bild-, 41 Differenz-, 34, 261 Durchschnitt, 261 leere, 7 Teil-, 261 Urbild, 58 Urbildbereich, 40 Vereinigung, 261 Wertevorrat, 40

Mengen Gleichheit von, 261 kartesisches Produkt, 261

Minkowski, Hermann, 20 Mittelpunkt einer Strecke, 37 Monom, 18 multilinear, 154, 203 Multilinearform, 154 alternierend, 155 Determinante, 154 Multiplikation von Matrizen, 81 Multiplikationssatz für Determinanten,

160

ℕ, 2 n-tupel, 2 natürliche Abbildung, 43 natürliche Anordnung, 150 natürliche Zahlen, 2 negative Matrix, 80 negativer Vektor, 3

anschauliche Ebene, 27 neutrales Element, 4 nichtsinguläre Matrix, 83, 107, 108 nilpotente Matrix, 85 Norm, 192

euklidische, 192, 218 normale Matrix, 227

Diagonalisierung, 243 Eigenvektoren, 234

normierter Vektorraum, 192, 218 nulldimensionale Ebene, 90 Nullmatrix, 80 Nullraum, 59 Nullstellenordnung, 232 Nullteiler, 85 Nullvektor, 2, 7

anschauliche Ebene, 27

O(n, ℝ), 141 obere Dreiecksmatrix, 164 Ordnung einer Nullstelle, 232 Orientierung, 207

physikalischer Raum, 207 orthogonal, 194, 195, 221

Geraden, 196 orthogonale Gruppe, 141 orthogonale Karte, 186 orthogonale Matrix, 141, 199

Normalform im Reellen, 257 orthogonales k-Bein, 199, 222 orthogonales Komplement, 201, 221 Orthogonalitätsbedingungen, 142, 144,

187 Orthonormalbasis, 222 Orthonormalisierungsverfahren, 200 Orthonormalsystem, 144

parallele Geraden, 35 parallele Pfeile, 25

nach einer Drehung, 180 Parallelenaxiom, 21, 25 Parallelogrammaxiom, 25 Parameterdarstellung einer Ebene, 90 Permutation, 151

gerade, 151 ungerade, 151 Vorzeichen, 151

Pfeil, 24 Pfeile, voll parallele, 25 Pfeilvektoren, 26 physikalischer Raum, 145, 207 Polarisierung, 223 Polynom

charakteristisches, 231

komplexes, 230 reelles, 16

positiv definit, 191, 217, 251 Produktmatrix, 81 Produktzeichen, 148 Projektion, 119

von ℝ^{n} auf ℝ^{m}, 105 Punkte

der anschaulichen Ebene, 23 in allgemeiner Lage, 98

quadratische Matrix, 83

Quadratwurzeln orthogonaler 2 × 2-Matrizen, 184 symmetrischer positiv definiter Ma-

trizen, 252

ℝ, 2

ℝ^{2}, als euklidische Ebene, 197 ℝ-linear, 212 ℝ-Vektorraum, 7 Rang

einer linearen Abbildung, 66

einer Matrix, 73 rationale Funktion, 172 Raum

anschaulicher, 21, 23, 38, 40, 46, 204,

207 Basispunkt, 38 Dimension, 38 Vektorraum, 38 physikalischer, 145, 207 Vektor-, 7

Realteil, 212 Rechts-Null, 5 rechtsinvers, 5 Rechtssystem, 206

Kreuzprodukt, 207 reelle Zahlen, 1 reeller Vektorraum, 7 reelles Polynom, 16 Reflexivität einer Relation, 25 reguläre Matrix, 83, 108 rein imaginär, 212 Relation, 24

Äquivalenz-, 25 Relativitätstheorie, 20, 145

Sarrus, Formel von, 153 Satz

Basisergänzungs-, 66, 127 Cramersche Regel, 174 Determinanten-Multiplikations-, 160 Dimensionsformel, 66 Fundamentalsatz der Algebra, 232 Hauptachsentransformation, 247 Laplacescher Entwicklungs-, 166

Scherung, 116 Schmidtsches Orthonormalisierungsver-

fahren, 200 selbstadjungierte Abbildung, 225 senkrecht, 179, 194

Geraden, 196 Sesquilinearform, 217 Signum, 149 sin, 189, 197, 198 singuläre Matrix, 85 Skalar, 7 Skalarmultiplikation, 3, 7

anschauliche Ebene, 28

nach einer Drehung, 180 direkte Summe, 122 von Matrizen, 78

Skalarprodukt, 191, 217 in der anschaulichen Ebene, 194 kanonisches, 144, 191

komplexes, 217 SL(n, ℝ), 183 SO(2, ℝ), 187 SO(n, ℝ), 184 Spalte einer Matrix, 54 Spaltenrang, 69 Spaltenumformungen, 69 Spann, 11 spezielle lineare Gruppe, 183 spezielle orthogonale Gruppe, 184 Spiegelung, 144

am Nullpunkt, 113 an einer Achse, 111, 116, 255

Spur einer Matrix, 231 Stetigkeitsaxiom, 30 Stirlingsche Formel, 152 Strahl, 37 Strahlensätze, 37 Strecke, 36 Streckung, 113 Streichungsmatrix, 166 Summe

direkte, 119, 122, 124–126 von Abbildungen, 78 von Matrizen, 79 von n-tupeln, 2

Summenzeichen, 10, 152 Supremum, 15 surjektiv, 40, 66 Symmetrie einer Relation, 25 symmetrische Bilinearform, 191 symmetrische Matrix, 68, 225

Diagonalisierung, 246

Teilkörper, 211 Teilmenge, 261 Teilraum, linearer, 8 Trägheitstensor, 248 Transformationsmatrix, 88 transitives Gesetz, 133 Transitivität einer Relation, 25 transponierte Matrix, 68 Trigonalisierung, 239 trigonometrische Funktionen, 189, 198

Additionstheoreme, 190

U(n), 219 überabzählbar unendlich, 120 Umkehrabbildung, 43

einer linearen Abbildung, 51 umkehrbar lineare Abbildung, 107

Dehnung, 114 Homothetie, 112 Scherung, 116

Umkehrmatrix, 83 Unbestimmte, 16 unendlich, 15 unendlichdimensional, 15, 16, 120 ungerade Permutation, 151 Ungleichung, Cauchy-Schwarzsche, 191,

218 unitäre Abbildung, 219 unitäre Gruppe, 219 unitäre Matrix, 219

Diagonalisierung, 254 Eigenwerte, 236

unitärer Vektorraum, 218 unitäres Gesetz, 6, 7

anschauliche Ebene, 29 Unterdeterminante, 175 untere Dreiecksmatrix, 164 Untergruppe, 112 Untermannigfaltigkeit des ℝ^{m}, 89 Untermatrix, 175 Untervektorraum, 8

direkte Summe, 126 Urbild, 58 Urbildbereich, 40

Vandermondesche Determinante, 169 Variable, 16 Vektor, 2, 7 Vektoraddition

anschauliche Ebene, 26 direkte Summe, 122

Vektorraum anschauliche Ebene, 26, 32, 33, 179 anschaulicher Raum, 38, 204 der Pfeilvektoren im Basispunkt, 26,

32, 33, 38, 185 der reellen Funktionen, 121 der reellen Polynome, 16, 48, 51, 121,

129 direkte Summe, 119, 122 dualer, 119, 128 endlichdimensionaler, 15 euklidischer, 218 komplexer, 213 normierter, 192, 218 reeller, 7 unendlichdimensionaler, 15, 16, 120 unitärer, 218

Vektorraumhomomorphismus, 47 Vektorraumisomorphismus, 51, 83 Veränderliche, 16 Verbindungsstrecke, 36 Vereinigung, 261 Vielfachheit

algebraische, 232 geometrische, 232 voll parallele Pfeile, 25 vollständige Induktion, 31 Vollständigkeit, 213 Vorzeichen einer Permutation, 151

Wert einer Abbildung, 40

Wertevorrat, 40 Winkel, 179, 194 wohldefiniert, 30 Wurzel einer Matrix, 184, 252

Zahlen komplexe, 211 natürliche, 2 reelle, 1 Zeile einer Matrix, 54 Zeilenrang, 69 Zeilenumformungen, 59 Zusammensetzung von Abbildungen, 41

Drehungen, 181 duale Abbildung, 133