Mathematik III für Physiker

WS 2002/03

Prof. H.C. Grunau

E. Sassone

1 15.10.2002

1.1 Aufgabe

Berechnen Sie

∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{√\overline{1−y^{2}}} \frac{1}{\sqrt{(1 − x^{2})(1 − y^{2})}}dxdy

1.2 ⋆ Aufgabe

Gegeben sei das Gebiet D = {(x, y) : y < x, x < 0 und 1 < x^{2} + y^{2} < 4}. Berechnen Sie

∫_{D} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dxdy

1.3 Aufgabe

Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Drahts bzgl. (3, 2). Der Draht hat eine konstante Dichte δ und seine Koordinaten erfüllen die Gleichung x^{2} + y^{2} − 6x − 4y = −12

(Das Tragheitsmoment eines Körpers K bzgl. eines Punkts P ist Ω = ∫_{D} d^{2}(x)δ(x) ds(x) (Linienintegral).

wo d(x) = dist(x, P) und δ(x) die Dichte sind.)

(Der Draht hat nur eine Hauptdimension, die anderen sind so klein, daß man sie vernachlässigen kann.)

1.4 Aufgabe

Der Satz von Steiner sagt: Seien K ein Körper mit Masse M und L ⊂ ℝ eine Gerade durch den Schwerpunkt von K. Sei L′ eine zu L parallele Gerade im Abstand d. Seien Θ_{L} bzw. Θ_{L′} die Trägheitsmomente von K bzgl. dieser Achsen. Dann gilt

Θ_{L′} = Θ_{L} + Md^{2}

Man beweise diesen Satz.

1.5 ⋆ Aufgabe

Gegeben sei eine stetige Funktion f : ℝ → ℝ, man beweise die folgenden Rotationsformeln:

F (R) = ∫_{∥x∥≤R} f(∥x∥) dx = ne_{n} ∫_{0}^{R} r^{n−1}f(r) dr

wo e_{n} = vol_{n}(B_{1}(0)) ist.

1.6 ⋆ Aufgabe

Man berechne die folgenden Integrale:

∫_{ℝ^{+}×ℝ^{+}} xye^{−(x^{2}+y^{2})}d(x, y)
∫_{ℝ^{2}} e^{−(x^{2}+y^{2})}d(x, y)

1.7 ⋆ Aufgabe

Man berechne das Newton-Potential einer Kugel K ⊂ ℝ^{3} mit Dichte μ : K → ℝ radialsymmetrisch..

(Hinweis: das Potential u erzeugt von K in einem Punkt P ∈ ℝ^{3} \ K ist

u(Q) = ∫_{K} \frac{μ(x)}{ρ(x, Q)} dx

wo ρ(x, Q) = ∥x − Q∥ den Abstand von x bis Q.)

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 22.10.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau

E. Sassone

2 21.10.2002

2.1 Aufgabe

Berechnen Sie den zweidimensionalen (Flächen - ) Inhalt einer Halbkugel von Radius R.

( Hinweis: man verwende man die Polarkoordinaten. )

2.2 Aufgabe

Gegeben sei die Fläche ϕ (D) ⊂ ℝ^{3} wobei D = (−1, 1) × (−π, π) und mit

ϕ(α, β) = ( \begin{matrix}x = α \\ y = β \\ z = sin(β) \end{matrix} )

Berechnen Sie das Integral

∫_{ϕ(D)} z dS(x, y, z).

2.3 ⋆ Aufgabe

Gegeben seien ein kompaktes Gebiet G mit glattem Rand Σ und mit äußerem Normalvektor ν und das Vektorfeld F⃗ (x, y, z) = (x, y, z).

Man beweise

∫_{Σ} F⃗ × ν dS(x, y, z) = 0.

2.4 ⋆ Aufgabe

Schreiben Sie die Tangential- und die äußeren Normalvektoren einer Ellipse mit der Gleichung x^{2} + 4y^{2} = 1.

2.5 ⋆ Aufgabe

Gegeben seien das Gebiet G = \{(x, y) : \begin{matrix}falls x ≤ 0 : & \frac{1}{4}x^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{4} \\ falls x > 0 : & x^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{4} \end{matrix} \}

und das Vektorfeld

f⃗ = ( \begin{matrix}e^{y} + 5y + xy \\ −y^{2}(2x − \frac{1}{2}) \end{matrix} )

Berechnen Sie den Fluß von f⃗ auf ∂G.

2.6 ⋆ Aufgabe

Gegeben sei ein Torus T, dessen Oberfläche von ϕ : G → ℝ^{3} beschrieben wird, wo G = [0, 2π] × [0, 2π]

ϕ(α, β) = ( \begin{matrix}cos(α)(R + r cos(β)) \\ sin(α)(R + r cos(β)) \\ r sin(β) \end{matrix} )

Man berechne den Tangentialraum in (x, y, z) ∈ ϕ(G), den Normalenvektor in (x, y, z) ∈ ϕ(G) und das Integral von f(x, y, z) = xyz auf dem Rand des Torus mit R = 5 und r = 1.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 28.10.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

3 28.10.2002

3.1 Aufgabe

Gegeben sei eine beliebige reguläre geschlossene Fläche S ⊂ ℝ^{3} (d.h. der relative Rand S̄ \ S = ∅ ) und das Vektorfeld F⃗ ∈ C^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}). Man beweise daß

∫_{S}⟨rot(F⃗), ν⃗⟩dS = 0.

3.2 Aufgabe

Gegeben seien eine kompakte Jordan–meßbare Menge K ⊂ ℝ^{n} und eine stetige Funktion f : K → ℝ. Weiter sei p ∈ (1, ∞). Man beweise

∫_{K} |f(x)|dx ≤ V ol(K)^{1− \frac{1}{p}} ∥f∥_{L_{p}(K)}

( Hinweis: ∥f∥_{L_{p}(K)} = (∫_{K} |f(x)|^{p} dx)^{1/p}. Die Hölder Ungleichung sagt: ∫_{K} |f(x) · g(x)|dx ≤ ∥f∥_{L_{p}(K)} · ∥g∥_{L_{q}(K)} mit \frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1 . )

3.3 ⋆ Aufgabe

Es sei D ein reguläres Gebiet; ν bezeichne das äußere Einheitsnormalenfeld an ∂D und Δ = ∑_{j} ∂_{j}∂_{j} den Laplace–Operator. Die Funktionen f, g seien in einer Umgebung von D̄ zweimal stetig differenzierbar. Man beweise die Greensche Formel: ∫_{D} (Δf(x) · g(x) − Δg(x) · f(x)) dx = ∫_{∂D}[⟨∇f(x), ν(x)⟩g(x) − f(x)⟨∇g(x), ν(x)⟩]dS(x).

3.4 Aufgabe

Gegeben seien ein reguläres Gebiet D mit äußerem Normalenfeld ν wie in der vorherigen Aufgabe und zwei Funktionen u, v, die in einer Umgebung von D̄ zweimal stetig differenzierbar sind. Ferner seien u, v Eigenfunktionen für −Δ unter ”Dirichletrandbedingungen“, das heißt −Δu = λ_{1}u, −Δv = λ_{2}v auf D und u|_{∂D} = v|_{∂D} = 0. Man beweise, daß aus λ_{1} ≠ λ_{2} folgt: ⟨u, v⟩_{L^{2}(D)} := ∫_{D} u(x)v(x) dx = 0.

3.5 ⋆ Aufgabe

Sei n ≥ 3, u : ℝ^{n} → ℝ sei zweimal stetig differenzierbar, es bezeichne f(x) := −Δu(x). Es gebe ein Kompaktum K ⊂ ℝ^{n}, so daß für alle x ∈ ℝ^{n} \ K gilt: u(x) = 0. Man beweise:

∀x ∈ ℝ^{n} : u(x) = \frac{1}{n(n − 2)e_{n}} ∫_{ℝ^{n}} ∥x − y∥^{2−n}f(y) dy.

Dabei bezeichnet e_{n} = ∫_{B_{1}(0)} dy das Volumen der n–dimensionalen Einheitskugel.

3.6 Aufgabe

Sei f : [a, b] → ℝ eine stetige differenzierbare Funktion. Man rotiere die Kurve y = f(x) in ℝ^{3} um die x–Achse. Berechnen Sie den zweidimensionalen Inhalt der so konstruierten Fläche.

3.7 ⋆ Aufgabe

Gegeben sei den Zylinder in ℝ^{4}, Z = {(w, x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, 0 ≤ w ≤ 1}. Man berechne den Fluß durch den Rand ∂Z von

f⃗ = ( \begin{matrix}x + y + z \\ +xyz \\ −xyz \\ z^{3} \end{matrix} ) .

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 04.11.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau

E. Sassone

4 04.11.2002

4.1 Aufgabe

Wir betrachten die Einheitssphäre S^{2} ⊂ ℝ^{3}. Mit N = (0, 0, 1) bezeichnen wir ihren Nordpol. Zeigen Sie, daß die stereograpische Projektion

φ : S^{2} \ \{N\} → ℝ^{2}, φ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) := (\frac{x_{1}}{1 − x_{3}} , \frac{x_{2}}{1 − x_{3}} )

bijektiv ist, und man bestimme die Umkehrabbildung ψ := φ^{−1}.

(Man erhält φ(x_{1}, x_{2}, x_{3}), indem man eine Gerade durch (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ S^{2} \ {N} und N legt und deren Schnittpunkt mit der x_{1}–x_{2}–Ebene bestimmt.)

Zeigen Sie: ψ ist stetig differenzierbar und konform (lokal winkeltreu), d.h. für alle (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} gilt:

∥\frac{∂ψ}{∂x_{1}} ∥ = ∥\frac{∂ψ}{∂x_{2}} ∥ ≠ 0, ⟨\frac{∂ψ}{∂x_{1}} , \frac{∂ψ}{∂x_{2}} ⟩ = 0.

4.2 ⋆ Aufgabe

Gegeben seien R > 0, die Menge G = (−ρ, ρ) × (0, 2π) mit R > ρ > 0, die Abbildung Φ : Ḡ → ℝ^{3}

(x, y, z) := Φ(r, t) := ((R − r sin \frac{t}{2}) cos t, (R − r sin \frac{t}{2}) sin t, r cos \frac{t}{2}) ,

diese Abbildung definiert das Möbius Band. Man beweise:

Φ ist auf G injektiv, ⟨Φ_{r}, Φ_{t}⟩ = 0, Rang (\frac{∂Φ}{∂t}) = 2, Φ(∂G) ∩ Φ(G) = ∅.

Φ(r, t) = R(cos t, sin t, 0) + r · a(t), mit |a(t)| = 1

Diese Fläche ist nicht orientierbar (d.h. Φ(r, 0) = Φ(−r, 2π) und für den Normalenvektor ν = \frac{Φ_{r}×Φ_{t}}{|Φ_{r}×Φ_{t}|} hat man ν(r, 0) = −ν(−r, 2π).

4.3 ⋆ Aufgabe

Man zeige: die Funktion t ↦ ϕ(t) := (sin t, sin 2t) bildet das offene Intervall I = (0, 2π) bjiektiv auf die kompakte Menge ϕ(I) ⊂ ℝ^{2} ab; die Umkehrfunktion ist im Punkt (0,0) unstetig. Skizzieren Sie das Bild ϕ(I). Nehmen Sie dazu Stellung, ob der von ϕ(I) umschlossene Bereich die Voraussetzungen des Satzes von Gauß erfüllt, und ob insbesondere ein globales stetiges äußeres Einheitsnormalenfeld existiert. Sehen Sie einen pragmatischen Ausweg?

4.4 ⋆ Aufgabe

Sei f ∈ C^{0}(ℝ^{n}). Man beweise (hier zunächst für n = 2, 3) mittels Polarkoordinaten die folgende Formel:

∫_{B_{R}} f(x)dx = ∫_{0}^{R} ∫_{∂B_{r}} f(x)dS(x)dr = ∫_{0}^{R} r^{n−1} ∫_{∂B_{1}} f(rx)dS(x)dr.

Definition

Sei X eine beliebige nichtleere Menge. Wir nennen eine Funktion

μ : P(X) → ℝ̄

eine äußeres Maß auf X, falls gilt:

1. μ(∅) = 0;

2. stets gilt: M ⊂ N ⇒ μ(M) ≤ μ(N);

3. stets gilt: μ (⋃_{k∈ℕ} M_{k}) ≤ ∑_{k∈ℕ} μ (M_{k}).

4.5 Aufgabe

Wir definieren die folgende Abbildung μ^{⋆} : P(ℝ^{n}) → [0, ∞], so daß μ^{⋆}(∅) = 0 und für M ≠ ∅:

μ^{⋆}(M) = sup{|x_{i} − y_{i}|, i = 1, …, n, x, y ∈ M}.

Ist μ^{⋆} ein äußeres Maß ?

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 11.11.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

5 11.11.2002

5.1 Aufgabe

Ist K ⊂ ℝ^{n} kompakt, so gilt: K ist eine Lebesguesche Nullmenge genau dann, wenn K auch eine Jordansche Nullmenge ist.

5.2 ⋆ Aufgabe

Sei x_{0} ∈ ℝ^{n} fest. Das Dirac-Maß δ_{x_{0}} in x_{0} wird definiert durch

δ_{x_{0}} = \{ \begin{matrix}1 & falls x_{0} ∈ M \\ 0 & falls x_{0} ∉ M \end{matrix}

Zeigen Sie, daß das Dirac-Maß δ_{x_{0}} in der Tat ein Maß auf der Potenzmenge P(ℝ^{n}) ist.

5.3 ⋆ Aufgabe

Seien f_{k} : D → ℝ̄, k ∈ ℕ meßbare Funktionen. Man beweise, daß der inf_{k∈ℕ}f_{k} ebenfalls meßbar ist.

5.4 Aufgabe

Sei G_{1} = [0, 1]; man schneide das offene Stück der Länge 1/q mit q ≥ 3 in der Mitte heraus und man nenne die neue Menge G_{2}; man entferne jeweils ein (1/q)^{2} langes offenes Stück aus der Mitte der zwei neuen Intervalle, und sie wird G_{3}. Wenn man unendlich oft dieselbe Prozedur mit offenen Stücken der Länge (1/q)^{n} in allen neuen Intervallen wiederholt, bekommt man die sogenannte Cantormenge C_{q}. Zeigen Sie: C_{q} = ∂C_{q} = ∂([0, 1] \ C_{q}). Berechnen Sie λ(C_{q}). Für welche q ist C_{q} Jordan–meßbar? Und Lebesgue–meßbar? Welches Maß hat der Rand der offenen Menge [0, 1] \ C_{q}?

5.5 ⋆ Aufgabe

Betrachten Sie zunächst für k ∈ ℕ die Funktionen

f_{k} : [0, ∞) → [0, ∞), f_{k}(x) := \{ \begin{matrix}k^{2}x(1 − kx), & falls 0 ≤ x ≤ \frac{1}{k}; \\ 0, & falls x > \frac{1}{k}. \end{matrix}

(a) Bestimmen die für x ∈ [0, ∞)

f(x) := lim_{k→∞} f_{k}(x).

(b) Nehmen Sie nun der Einfachheit halber k ∈ (0, ∞) als reell an und bestimmen sie

F (x) := sup_{k∈(0,∞)} f_{k}(x).

(c) Berechnen Sie

∫_{(0,∞)} f_{k}(x) dx,  ∫_{(0,∞)} f(x) dx,  ∫_{(0,∞)} F (x) dx.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 18.11.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

6 18.11.2002

6.1 Aufgabe

Gegeben seien die Menge G = (0, 2π) und die Folge f_{k}(x) = \frac{k sin(x)}{kx+1}. Kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz von Lebesgue benutzen? Falls ja, finde man auch die Grenzfunktion.

6.2 Aufgabe

Es bezeichne B = B_{1}(0) ⊂ ℝ^{n} die n–dimensionale Einheitskugel und e_{n} = ∫_{B} 1 dx ihr Volumen. Sei α ∈ ℝ ein Parameter. Man zeige:

∫_{ℝ^{n}\B} ∥x∥^{α} = \{ \begin{matrix}∞, & falls α ≥ −n, \\ \frac{n e_{n}}{|α + n|} & falls α < −n. \end{matrix}

6.3 Aufgabe

Seien f : E_{1} → E_{2} eine Abbildung, E_{1} eine σ−Algebra auf E_{1}. Man zeige, daß {A ⊂ E_{2} : f^{−1}(A) ∈ E_{1}} eine σ−Algebra ist auf E_{2} ist.

6.4 ⋆ Aufgabe

Sei D ⊂ ℝ^{n} meßbar. Gegeben seien zwei Funktionen f, g : D → [−∞, ∞], meßbar. Man beweise, daß die Menge P = {x ∈ D : f(x) < g(x)} meßbar ist.

6.5 ⋆ Aufgabe

Man beweise und erkläre die folgende Gleichung

lim_{n→∞} ∫_{0}^{n} (1 − \frac{x}{n}) e^{− \frac{x}{2}} = 2.

6.6 Aufgabe

Man beweise, daß die Menge der Punkte, wo eine Folge von reellen, meßbaren Funktionen (punktweise) konvergiert, eine meßbare Menge ist.

6.7 ⋆ Aufgabe

Sei f ∈ L^{1}(ℝ), f ≥ 0. Man berechne

lim_{n→∞} ∫_{ℝ} f(x)e^{−n(sin x)^{2}}dx.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 25.11.02 in der Vorlesung ab.]

Mathematik III für Physiker

WS 2002/03

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

7 25.11.2002

Definition

Sei V ein reeller (oder komplexer) Vektorraum. Wir nennen eine Funktion N : V → ℝ Seminorm auf V falls

(a) N(v) ≥ 0 für jedes v ∈ V

(b) N(v) = 0 falls v = 0

(c) N(cv) = |c|N(v) für jedes v ∈ V und jedes c ∈ ℝ bzw. jedes c ∈ ℂ

(d) N(u + v) ≤ N(u) + N(v) für jedes u, v ∈ V Wir nennen N Norm falls wir (b) durch (b^{∗}) ersetzen, wobei (b^{∗}) N(v) = 0 genau dann, wenn v = 0.

7.1 Aufgabe

Sei D ⊂ ℝ^{n} meßbar. Sei f ∈ L^{1}(D). Man beweise, daß die Abbildung

f ⟼ ∥f∥ := ∫_{D} |f(x)| dx

eine Seminorm auf L^{1}(D) ist.

Definition

Sei D ⊂ ℝ^{n} meßbar. Seien f, f_{k} ∈ L^{1}(D), wir sagen daß die Folge {f_{k}} gegen f in L^{1}(D) konvergiert, falls

lim_{k→∞} ∥f_{k}(x) − f(x)∥ dx = 0.

7.2 ⋆ Aufgabe

Sei D ⊂ ℝ^{n} meßbar.

(a) Seien f_{k}, f ∈ L^{1}(D), und es gelte f_{k} → f in L^{1}(D). Man beweise: ∫_{D} f_{k}(x) dx → ∫_{D} f(x) dx, ∥f_{k}∥ → ∥f∥.

(b) Seien f_{k}, F ∈ L^{1}(D), und die Folge (f_{k}(x))_{k∈ℕ} konvergiere für fast alle x ∈ D gegen ein

f(x) ∈ \overline{ℝ}. Ferner gelte für alle k ∈ ℕ und fast alle x ∈ D: |f_{k}(x)| ≤ F (x). Man zeige:

f_{k} → f in L^{1}(D).

Man beweise, daß die Gamma-Funktion

Γ(x) = ∫_{0}^{∞} t^{x−1}e^{−t}dt

beliebig oft stetig differenzierbar ist.

7.4 ⋆ Aufgabe

Gegeben seien eine Funktion f ∈ L^{1} (ℝ^{n}), die Abbildung

φ(x) = \{ \begin{matrix}c_{n}e^{− \frac{1}{1−∥x∥^{2}}} & ∥x∥ < 1 \\ 0 & ∥x∥ ≥ 1 \end{matrix}

wo c_{n} so ist, daß ∫_{ℝ^{n}} φ(x)dx = 1, und ein reeller Wert h > 0; man beweise, daß die Abbildung

(f)_{h}(x) = \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} φ (\frac{x − y}{h} ) f(y)dy

in C^{∞} (ℝ^{n}) ∩ L^{1} (ℝ^{n}) liegt. Hinweis: Parameterabhängige Integrale, Satz von Fubini.

7.5 Aufgabe

Sei n ≥ 3, wie üblich bezeichne e_{n} das n-dimensionale Volumen der Einheitskugel B_{1}(0) ⊂ ℝ^{n}. Weiter sei f : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, außerdem gebe es ein R > 0, so daß für alle x ∈ ℝ^{n} mit ∥x∥ ≥ R gilt: f(x) = 0. Zeigen Sie, daß die Funktion

u(x) := \frac{1}{n(n − 2)e_{n}} ∫_{ℝ^{n}} ∥x − y∥^{2−n}f(y) dy

wohldefiniert und zweimal stetig differenzierbar ist, und daß für alle x ∈ ℝ^{n} gilt:

−Δu(x) = f(x).

Hinweis: Eine elementare Variablensubstitution, parameterabhängige Integrale, Satz von Gauß.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 02.12.02 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

8 02.12.2002

Terminvorschlag für die erste Leistungskontrolle: Mittwoch, 18.12.02, während der Übungszeit.

8.1 ⋆ Aufgabe

Man berechne und begründe die Ableitung der Funktion auf t ∈ (a, b), a > 0

t ⟼ ∫_{0}^{1} log(x^{2} + t^{2})dx.

8.2 Aufgabe

Seien x ∈ ℝ und

F (x) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−xy^{2}}}{1 + y^{2}} dy.

Für welche x ∈ ℝ existiert das Integral? Können wir die Ableitung von F bzgl. x berechnen? Falls ja, wie lautet sie?

8.3 ⋆ Aufgabe

Seien A = {x ∈ ℝ^{n} : 0 ≤ ∥x∥ ≤ 1} und B = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ≥ 1} und α ∈ ℝ. f_{α}, g_{α} : ℝ^{n} → ℝ Abbildungen, definiert durch

f_{α}(x) = \frac{1_{A}(x)}{∥x∥^{α}} g_{α}(x) = \frac{1_{B}(x)}{∥x∥^{α}}

Für welche p ∈ [1, ∞) ist die Funktion f_{α} in L^{p}(ℝ^{n})? Und g_{α}?

8.4 Aufgabe

Seien 1 ≤ p_{1} ≤ p_{2} und D ⊂ ℝ^{n} eine meßbare Menge mit λ(D) < ∞. Man beweise, daß für alle auf D meßbaren Funktionen

∥f∥_{p_{1}} ≤ λ(D)^{\frac{1}{p_{1}} − \frac{1}{p_{2}}} ∥f∥_{p_{2}}

gilt, und man folgere daraus L^{p_{2}}(D) ⊂ L^{p_{1}}(D).

Sei 1 ≤ p < q < ∞. Man zeige:

• Es gibt Funktionen f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) \ L^{q}(ℝ^{n}) und g ∈ L^{q}(ℝ^{n}) \ L^{p}(ℝ^{n}).

• Ist f : ℝ^{n} → ℝ beschränkt, und f ∈ L^{p}(ℝ^{n}), so gilt auch f ∈ L^{q}(ℝ^{n}).

• Ist f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) ∩ L^{q}(ℝ^{n}), so folgt f ∈ L^{s}(ℝ^{n}) für alle s ∈ [p, q], und es gilt

∥f∥_{s} ≤ ∥f∥_{p}^{α}∥f∥_{q}^{1−α},

wobei α ∈ [0, 1] so bestimmt wird, daß \frac{1}{s} = \frac{α}{p} + \frac{1−α}{q}.

Hinweis: Hölder–Ungleichung.

8.6 Aufgabe

Sei D ⊂ ℝ^{n} eine meßbare Menge. In dieser Aufgabe betrachten wir nur reellwertige Funktionen. Zeigen Sie, daß

K := {f ∈ L_{ℝ}^{p}(D) : für fast alle x ∈ D gilt f(x) ≥ 0}

eine abgeschlossene konvexe Teilmenge von L_{ℝ}^{p}(D) ist. Außerdem gilt:

λ ∈ [0, ∞), f ∈ K ⇒ λf ∈ K;

d.h., K ist ein ”Kegel“ in L_{ℝ}^{p}(D).

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 09.12.02 in der Vorlesung ab.]

Mathematik III für Physiker

WS 2002/03

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

9 09.12.2002

Definition

Wir nennen zwei Normen ∥·∥^{⋄}, ∥·∥^{∗} auf einem Vektorraum V äquivalent, falls zwei Konstanten C_{1}, C_{2} existieren, so daß

C_{1}∥v∥^{⋄} ≤ ∥v∥^{∗} ≤ C_{2}∥v∥^{⋄}

für alle v ∈ V.

9.1 Aufgabe

Sei ∅ ≠ D ⊂ ℝ^{n} offen. Man beweise, daß die L^{p}(D)–Normen paarweise nicht äquivalent sind.

Definition

Sei D ⊂ ℝ^{n} offen. Sei u ∈ L^{2}(D); wir nennen v ∈ L^{2}(D) schwache oder Distributions– Ableitung von u in Richtung x_{j}, falls für jede Testfunktion φ ∈ C_{0}^{∞}(D) auf D gilt:

∫_{D} \frac{∂φ}{∂x_{j}} u dx = − ∫_{D} φ v dx.

9.2 ⋆ Aufgabe

Man berechne die schwachen Ableitungen der folgenden Funktionen auf D

a)

D = (−1, 1) ⊂ ℝ, u(x) = \{ \begin{matrix}0, & falls x < 0, \\ x, & falls x ≥ 0. \end{matrix}

b)

D = (−1, 1) ⊂ ℝ, u(x) = |x|.

Ist die Funktion

D = (−1, 1) ⊂ ℝ, sgn(x) = \{ \begin{matrix}−1, & falls x < 0, \\ 0, & falls x = 0, \\ 1, & falls x > 0, \end{matrix}

schwach differenzierbar auf D? a) Sei G ⊂ ℝ^{n} offen, j ∈ {1, …, n}. Seien u, v, w ∈ L^{2}(G) so, daß sowohl v als auch w

schwache Ableitung von u in x_{j}-Richtung sind. Man zeige v = w in L^{2}(G).

b) Sei G ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, sei f ∈ C^{1}(\overline{G}). Man beweise, daß f auch schwach differenzierbar ist und daß die schwachen und die klassischen Ableitungen von f in L^{2}(G) übereinstimmen.

9.4 ⋆ Aufgabe

Sei f_{k}(x) die Folge

f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}0 & x ≤ 0 \\ x^{− \frac{1}{k}} & 0 < x ≤ 1 \\ x^{−k} & x > 1 \end{matrix} .

Man beweise:

a) Für k ≥ 2 ist f_{k} ∈ L^{1}(ℝ);

b) lim_{k→∞} ∫_{ℝ} f_{k} = 1.

9.5 Aufgabe

Seien f, g : ℝ^{n} → ℝ meßbar. Man zeige daß auch die Faltung

(x, y) ⟼ f(x − y)g(y)

in ℝ^{2n} meßbar ist. Hinweis: Transformationsformel in ℝ^{2n}.

9.6 ⋆ Aufgabe

a) Sei H ein Hilbertraum und {b_{1}, …, b_{n}} ⊂ H linear unabhängig. Entwickeln Sie ein rekursives Verfahren, um ein orthonormiertes System {e_{1}, …, e_{n}} ⊂ H mit der Eigenschaft

∀j ∈ {1, …, n} : Span (b_{1}, …, b_{j}) = Span (e_{1}, …, e_{j})

zu berechnen. Hinweis: e_{1} := \frac{1}{∥b_{1}∥}b_{1}, ẽ_{2} := b_{2} − ⟨b_{2}, e_{1}⟩e_{1}, e_{2} := \frac{1}{∥ẽ_{2}∥} ẽ_{2}, usw.

b) Wenden Sie dieses Verfahren in L^{2}(−1, 1) an auf b_{1}(x) = 1, b_{2}(x) = x, …, b_{4} = x^{3}.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 16.12.02 in der Vorlesung ab.]

Mathematik III für Physiker

WS 2002/03

Prof. H.C. Grunau E. Sassone

10 19.12.2002

10.1 ⋆ Aufgabe

Berechnen Sie

∫_{ℝ^{2}} exp(−x^{2} − y^{2}) d(x, y)

und stellen Sie eine Verbindung mit dem (Gaußschen Fehler–) Integral

∫_{ℝ} exp(−x^{2}) dx

her.

10.2 Aufgabe (Helmholtz-Zerlegung)

L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) = {u : ℝ^{n} → ℂ^{n}, u^{(j)} ∈ L^{2} für j = 1, ..., n} ist zusammen mit dem Skalarprodukt (u, v) = ∑_{j=1}^{n} ∫_{ℝ^{n}} u^{(j)}\overline{v^{(j)}}dx offensichtlich ein Hilbertraum. Sei

A = {u ∈ L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) : für fast alle x ∈ ℝ^{n} gilt ∑_{j=1}^{n} x_{j}u^{(j)}(x) = 0};

B = \{u ∈ L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) : für fast alle x ∈ ℝ^{n} und alle 1 ≤ j, k ≤ n gilt \frac{u^{(j)}(x)}{x_{j}} = \frac{u^{(k)}(x)}{x_{k}}\} .

Zeigen Sie a) A und B sind abgeschlossene Teilräume von L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) die zueinander orthogonal sind.

b) Zu jedem u ∈ L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) gibt es u_{1} ∈ A, u_{2} ∈ B mit u = u_{1} + u_{2}.

10.3 ⋆ Aufgabe

Man zeige, daß

(a) die trigonometrischen Polynome e_{k}(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} exp(ikt) (k ∈ ℤ) in L^{2}(−π, π)

(b) die Legendre-Polynome L_{k}(x) = \sqrt{\frac{2k+1}{2}} \frac{1}{2^{k} k!} (\frac{∂}{∂x})^{k} (1 − x^{2})^{k} (k ∈ ℕ_{0}) in L^{2}(−1, 1) ein Orthonormalsystem bilden.

Man berechne die Fourierkoeffizienten der 2π−periodischen Funktion, für die auf [−π, π] f(x) = x^{2} gilt. Man beweise die Gleichungen

\frac{π^{2}}{12} = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{1}{k^{2}} ; \frac{π^{4}}{90} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{4}} .

Hinweis: Parseval.

10.5 Aufgabe

Gegeben sei die ungerade 2π−periodische Funktion, die von

f(x) = x^{−α}e^{x} x ∈ (0, π)

erzeugt wird. Für welche α ∈ ℝ können wir die Fourierreihe finden? Man berechne die Fourierreihe für α = 0.

10.6 Aufgabe

Man betrachte die eindimensionale Wärmegleichung:

\frac{∂u}{∂t} = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} auf x ∈ (0, π), t ∈ (0, ∞)

mit den Randbedingungen

u(0, t) = u(π, t) = 0

und der Anfangsbedingung

u(x, 0) = ϕ(x),

wobei u = u(x, t) als reellwertige Lösung gesucht wird. Gegeben sei dabei das zweimal stetig differenzierbare (reellwertige) Anfangsdatum ϕ, welches die Kompatibilitätsbedingung

ϕ(0) = ϕ(π) = 0

erfülle. Man setze ϕ ungerade nach [−π, π] und dann 2π-periodisch nach ganz ℝ fort. Man bestimme die Fourierreihe dieser Funktion und zeige, daß diese gleichmäßig konvergiert. Man beweise, daß man die Lösung in der Form

u(x, t) = ∑_{k=1}^{∞} b_{k} sin(kx)e^{−k^{2}t}

finden kann und daß hierdurch insbesondere eine für t > 0 zweimal stetig differenzierbare Funktion gegeben wird.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 13.01.03 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau, E. Sassone

11 13.01.2002

11.1 ⋆ Aufgabe

Man berechne die Fourierreihe für die folgende periodische Funktion:

11.2 ⋆ Aufgabe

Man berechne die Fourierreihe für die Funktion f_{p}(t), die wie folgt definiert ist:

f_{p}(t + 4) = f_{p}(t)

f_{p}(t) = \{ \begin{matrix}0 & falls & −2 ≤ t < −1 \\ 1 & falls & −1 ≤ t < 1 \\ 0 & falls & 1 ≤ t < 2 \end{matrix}

11.3 Aufgabe

Seien I = [a, b], H = L^{2}(I), V_{1} = { f ∈ H : ∫_{I} f(x) dx = 0} und V_{2} = { f ∈ H : f(x) ≡ k, konstant }. Man beweise, daß V_{1} und V_{2} orthogonal sind, man berechne die zwei Projektoren P_{1} und P_{2} für eine beliebige Funktion g(x) ∈ H und man prüfe die Gleichung < P_{2} g_{1}, g_{2} >=< g_{1}, P_{2} g_{2} >.

11.4 ⋆ Aufgabe

Wir betrachten in dieser Aufgabe ausschließlich reellwertige Funktionen.

(a) Man betrachte e_{k}(t) := \sqrt{\frac{2}{π}} sin(kt), (k ∈ ℕ, t ∈ (0, π)) und zeige, daß (e_{k})_{k∈ℕ} in L^{2}(0, π) ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Hinweis: Setzen Sie beliebiges f ∈ L^{2}(0, π) ungerade nach (−π, π) fort und bestimmen Sie auf diesem Intervall die klassische Fourierreihe.

(b) Man imitiere den Beweis von Satz 8.10 der Vorlesung, um zu zeigen: Die Funktionen

(0, π) × (0, π) ∋ (s, t) ↦ e_{k}(s) · e_{ℓ}(t)

((k, ℓ) ∈ ℕ × ℕ) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem in L^{2}((0, π) × (0, π)).

(c) Gegeben sei auf dem Gebiet G = (0, π) × (0, π) die Funktion f(x, y) = x(y − 1). Man finde die Fourierreihe von f bezüglich dem vollständigen Orthonormalsystem aus (b).

11.5 Aufgabe

Auch hier betrachten wir ausschließlich reellwertige Funktionen. Gegeben seien I = [a, b] und der ”abgeschlossene konvexe Kegel“ K von positiven Funktionen in L^{2}(I):

K = {f ∈ L^{2}(I) : fast überall in I gilt f ≥ 0}.

Man berechne seinen dualen Kegel:

K^{∗} := {g ∈ L^{2}(I) : für alle f ∈ K gilt: ⟨f, g⟩ ≤ 0}.

Beachten Sie: Ist K sogar ein abgeschlossener Teilraum, so ist der duale Kegel das orthogonale Komplement. Man überlege sich, wie der Projektionssatz auf abgeschlossene konvexe Kegel verallgemeinert werden kann.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 20.01.03 in der Vorlesung ab.]

Prof. H.C. Grunau, E. Sassone

12 20.01.2003

12.1 ⋆ Aufgabe

Man beweise, daß die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen in Polarkoordinaten gleich

\{ \begin{matrix}u_{θ} = −ρv_{ρ} \\ v_{θ} = ρu_{ρ} \end{matrix}

sind.

[Diese Gleichungen sind wahr für ρ > 0, denn die Polarkoordinaten sind singulär im Ursprung. ]

12.2 ⋆ Aufgabe

Sei f : ℂ → ℂ holomorph, und sei f(ℂ) ⊂ ℝ. Man beweise, daß f konstant ist.

12.3 ⋆ Aufgabe

a) Sei ϕ_{0} ∈ (0, \frac{π}{2} ), man parametrisiere bezüglich des Drehwinkels ϕ um den Mittelpunkt die Kreislinie durch −1 und 1, so daß der Nullpunkt, der Kreismittelpunkt und der Punkt 1 den Winkel ϕ_{0} bilden.

b) Gegeben sei die Abbildung L : ℂ ∪ \{∞\} → ℂ ∪ \{∞\}, L(z) = \frac{z−1}{z+1}. Man zeige, daß die vorgegebene Kreislinie auf die Gerade {w : w = re^{−iϕ_{0}}, r ∈ ℝ} ∪ {∞} abgebildet wird.

c) Sei H : ℂ ∪ \{∞\} → ℂ ∪ \{∞\}, H(w) = \frac{1+w}{1−w}. Man beweise, daß H und L zueinander invers sind.

d) Man verwende die Abbildungen L, H und z ↦ −z^{2} um das Bild des Äußeren des Kreises aus a) mit 0 ≤ ϕ_{0} < \frac{π}{4} unter der Abbildung f(z) = \frac{2z}{1+z^{2}} zu beschreiben.

12.4 Aufgabe

(a) Gegeben sei eine harmonische Funktion u auf der konvexen Menge G ⊂ ℂ. Man beweise die Existenz einer harmonischen Funktion v, so daß u + iv auf G holomorph ist.

(b) Gegeben sei die Funktion u(x, y) = x^{5} − 10x^{3}y^{2} + 5xy^{4} auf der ganzen Ebene ℝ^{2}, man berechne ihre konjugiert harmonische Funktion v(x, y), so daß f(x, y) = u(x, y)+iv(x, y) holomorph ist.

12.5 Aufgabe

Sei ∅ ≠ D ⊂ ℂ offen, f : D → ℂ sei holomorph (und zusätzlich zweimal reell stetig differenzierbar), f ≠ 0 in D. Man zeige, daß auch h(x, y) = log |f(x + iy)| harmonisch ist.

12.6 Aufgabe

Man beweise, daß die Funktionen sin(z) : ℂ → ℂ und e^{z} : ℂ → ℂ \ {0} surjektiv sind.

[ Die mit ⋆ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Die Lösungen geben Sie bitte am 27.01.03 in der Vorlesung ab.]

Mathematik III für Physiker

WS 2002/03

1. Klausur, 18.12.2002, Ohne Hilfsmittel

Prof. H.C. Grunau, E. Sassone

Jede Aufgabe wird mit 5 Punkten bewertet. Ab 12 erreichten Punkten betrachten wir die Teilnahme an dieser Klausur als erfolgreich. Viel Erfolg!

1 Aufgabe

Man berechne den Fluß von

F⃗ (x, y, z) = (z, x^{2}y, y^{2}z)

durch die Oberfläche des Körpers

S = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ 1, 2\sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z ≤ 1 + x^{2} + y^{2}\}.

Hinweis: Satz von Gauß.

2 Aufgabe

Man berechne das folgende Integral

∫_{0}^{1} ∫_{x}^{√\overline{2−x^{2}}} (1 − \frac{x^{2}}{y^{2}} ) dy dx.

3 Aufgabe

Man zeige mit Hilfe des Satzes über parameterabhängige Integrale, daß man die Funktion

f(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−xt}dt = \frac{1}{x} (x > 0)

beliebig oft unter dem Integral differenzieren darf.

4 Aufgabe

Man gebe an und beweise, für welche p ≥ 1 die folgenden Funktionen in L^{p}(D) liegen:

\begin{matrix}D = (0, 1] & f(x) = \frac{x−1}{\sqrt[6]{x}}; \\ D = [0, 1] & f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x−1}{\sqrt[6]{x}} & x ≠ 0, \\ −2 & x = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Hinweis: Geben Sie integrierbare Majoranten bzw. nicht integrierbare positive Minoranten an.

5 Aufgabe

Man formuliere den Satz von majorisierten Konvergenz von Lebesgue.

b.w.

6 Aufgabe

Sei D = (−1, 1), und man betrachte im Hilbertraum L^{2}(D) die folgenden Teilräume: V_{1} := {f ∈ L^{2}(D) : für fast alle x ∈ (−1, 1) gilt: f(x) = f(−x)}; V_{2} := {f ∈ L^{2}(D) : für fast alle x ∈ (−1, 1) gilt: f(x) = −f(−x)}.

Zeigen Sie: V_{1}, V_{2} sind abgeschlossene Untervektorräume von L^{2}(D) und es gilt:

∀f ∈ V_{1}, ∀g ∈ V_{2} : ⟨f, g⟩ = ∫_{D} f(x)\overline{g(x)} dx = 0.

Für beliebiges f ∈ L^{2}(D) setzen Sie:

f_{1}(x) := \frac{1}{2} (f(x) + f(−x)) ; f_{2}(x) := \frac{1}{2} (f(x) − f(−x)) .

Man zeige:

f_{1} ∈ V_{1},  f_{2} ∈ V_{2},  f = f_{1} + f_{2}.

Mathematik III für Physiker

WS 2002/03 2. Klausur, 03.02.2003, Ohne Hilfsmittel

Prof. H.C. Grunau, E. Sassone

Jede Aufgabe wird mit 5 Punkten bewertet. Ab 14 erreichten Punkten betrachten wir die Teilnahme an dieser Klausur als erfolgreich. Viel Erfolg!

1 Aufgabe

Man berechne die Fourierkoeffizienten für die folgende auf (−π, π) periodische Funktion: f(x) = 2 sin(x) cos(x). Man berechne auch die Fourierkoeffizienten für 2(cos^{2}(x) − sin^{2}(x)). Hinweis: Mit ein wenig Theorie können Sie langwierige Rechnungen vermeiden.

2 Aufgabe

Man berechne die Fourierkoeffizienten für die 2π–periodische Funktion g, die auf (−π, π] wie

folgt gegeben ist: g(x) = \{ \begin{matrix}−π − x & falls & x ∈ (−π, −\frac{π}{2} ), \\ x & falls & x ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ), \\ π − x & falls & x ∈ (\frac{π}{2} , π]. \end{matrix}

Man wende die Parsevalrelation auf die Funktion g an, um ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k+1)^{4}} zu berechnen.

Erinnerungshilfe

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} g(x) cos(kx) dx, b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} g(x) sin(kx) dx.

Parsevalrelation:

∫_{−π}^{π} |g(x)|^{2} dx = \frac{π}{2} a_{0}^{2} + π ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}).

3 Aufgabe

Man gebe die Definition der Vollständigkeit eines Orthonormalsystems in einem Hilbertraum sowie eine dazu äquivalente Bedingung an.

4 Aufgabe

Gegeben seien zwei auf ℂ holomorphe Funktionen f und g. Man beweise direkt aus der reellen Theorie und ohne Verwendung der komplexen Kettenregel, daß die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen auf ℂ auch für f ∘ g erfüllt sind.

5 Aufgabe

Gegeben seien die Menge G = \{z ∈ ℂ : −\frac{Π}{4} < Im(z) < 0, 0 < Re(z) < 1\} und die Funktion f(z) = e^{z}. Man bestimme f(G).

6 Aufgabe

Sind die Funktionen f : ℂ → ℂ, f(x + iy) = e^{x^{2}+x−y^{2}−2+iy(2x+1)} und g : ℂ \ {0} → ℂ, g(z) = \frac{z}{|z|^{2}} holomorph?

7 Aufgabe

Sei f : ℂ → ℂ holomorph, und es gelte ∀z ∈ ℂ : |f(z)|^{2} = 1. Man zeige: Dann ist f konstant.