Analysis der Navier-Stokes-Gleichungen

Wintersemester 2007 / 08

H.-Ch. Grunau

1 08.10.2007

1.1 Aufgabe (2 Punkte)

Ergänzen Sie u(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (0, 0, 1 − x_{1}^{2} − x_{2}^{2}) bzw. u(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{3}, 0, 0) so, dass sich Lösungen für ein jeweils geeignetes Randwertproblem für die stationären Navier-Stokes-Glei-chungen ergeben.

1.2 Aufgabe (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{3} ein beschränktes glattes Gebiet, φ ∈ C_{0}^{2}(Ω, ℝ^{3}) sei ein reguläres Anfangsdatum mit divφ(x) = 0, x ∈ Ω. Nehmen Sie an, dass für alle positive Zeiten eine reguläre Lösung u ∈ C^{1,2}([0, ∞) × \overline{Ω}, ℝ^{3}), p ∈ C^{0,1}([0, ∞) × \overline{Ω}, ℝ) existiert:

u_{t}(t, x) − Δu(t, x) + (∑_{j=1}^{3} u_{j}(t, x)\frac{∂}{∂x_{j}} ) u(t, x) + ∇p(t, x) = 0 für t ≥ 0, x ∈ \overline{Ω},
div u(t, x) = 0 für t ≥ 0, x ∈ \overline{Ω},
u(t, x) = 0 für t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,
u(0, x) = φ(x) für x ∈ \overline{Ω}.

Zeigen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen die kinetische Energie von u(t, .) exponentiell gegen 0 konvergiert, d.h. dass es eine Konstante c > 0 gibt derart, dass gilt:

∥u(t, .)∥_{L^{2}(Ω)}^{2} ≤ e^{−ct}∥φ∥_{L^{2}(Ω)}^{2}.

1.3 Aufgabe (3 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, 1 ≤ q < r < s ≤ ∞. Sei f ∈ L^{q}(Ω) ∩ L^{s}(Ω). Man zeige: Dann ist auch f ∈ L^{r}(Ω), und es gilt die Interpolationsungleichung:

∥f∥_{L^{r}(Ω)} ≤ ∥f∥_{L^{q}(Ω)}^{λ}∥f∥_{L^{s}(Ω)}^{1−λ},

wobei λ ∈ (0, 1) so gewählt ist, dass \frac{1}{r} = \frac{λ}{q} + \frac{1−λ}{s} gilt.

1.4 Aufgabe (4 Punkte)

Sei n ≥ 2. Zeigen Sie, dass mit einer geeigneten Konstanten C = C(n) für alle φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) gilt:

∥φ∥_{L^{n/(n−1)}(ℝ^{n})} ≤ C · ∥ |∇φ| ∥_{L^{1}(ℝ^{n})}.

Hinweis. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Hölder-Ungleichung, Satz von Fubini.

Definition

Ein Banachraum (V, ∥ . ∥) heißt gleichmäßig konvex, falls zu jedem ϵ ∈ (0, 2) ein δ = δ(ϵ) > 0 existiert, so dass für alle f, g ∈ V gilt:

∥f∥ ≤ 1, ∥g∥ ≤ 1, ∥f − g∥ ≥ ε ⇒ ∥f + g∥ ≤ 2(1 − δ).

1.5 Aufgabe (4 Punkte)

Sei (V, ∥ . ∥) ein gleichmäßig konvexer Banachraum, f_{k}, f ∈ V. Zeigen Sie: Genau dann konvergiert f_{k} → f (k → ∞) im Normsinne, wenn f_{k} ⇀ f (k → ∞) schwach konvergiert und lim_{k→∞} ∥f_{k}∥ = ∥f∥ gilt.

Hinweis. Verwenden Sie den Satz von Hahn-Banach in der folgenden Form: Zu jedem f ∈ V existiert ein L ∈ V^{∗} mit ∥L∥ = 1 und L(f) = ∥f∥.

1.6 Aufgabe (3 Punkte)

Benutzen Sie Satz 2.4, um zu zeigen: Ist Ω ⊂ ℝ^{n} offen, 1 < p < ∞, so ist L^{p}(Ω) reflexiv.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 16.10.2007 in der Vorlesung ab.

2 15.10.2007

Wir betrachten zunächst nur Räume reellwertiger Funktionen.

2.1 Aufgabe (3 Punkte)

Sei 2 ≤ p < ∞. Man zeige, dass für alle f, g ∈ L^{p}(ℝ^{n}) gilt:

∥f + g∥_{L^{p}}^{p} + ∥f − g∥_{L^{p}}^{p} ≤ 2^{p−1} (∥f∥_{L^{p}}^{p} + ∥g∥_{L^{p}}^{p}) .

Hinweis. Man zeige zunächst für α, β ∈ ℝ, dass (|α + β|^{p} + |α − β|^{p})^{1/p} ≤ \sqrt{2} (α^{2} + β^{2})^{1/2} und fahre dann mit der Hölder-Ungleichung fort.

2.2 Aufgabe (5 Punkte)

Sei 1 < p < 2, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Beweisen Sie:

(a) Für z ∈ [0, 1] gilt: (1 + z^{q})^{p−1} ≤ \frac{1}{2} ((1 − z)^{p} + (1 + z)^{p}). Hinweis. Binomialreihe. Weisen Sie Positivität der einzelnen Reihenglieder nach.

(b) Für x, y ∈ ℝ gilt: |x + y|^{q} + |x − y|^{q} ≤ 2(|x|^{p} + |y|^{p})^{q−1}.

2.3 Aufgabe (3 Punkte)

Seien f, g ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Man zeige, dass für p > 1 gilt: (|f|^{p} + |g|^{p})^{1/p} ∈ L^{1}(ℝ^{n}) und

((∫_{ℝ^{n}} |f(x)| dx)^{p} + (∫_{ℝ^{n}} |g(x)| dx)^{p})^{1/p} ≤ ∫_{ℝ^{n}} (|f|^{p} + |g|^{p})^{1/p} dx.

Hinweis. Man schreibe (α^{p} + β^{p})^{1/p} in der Form aα + bβ.

2.4 Aufgabe (2 Punkte)

Sei 1 < p < 2, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Beweisen Sie:

∥f + g∥_{L^{p}}^{q} + ∥f − g∥_{L^{p}}^{q} ≤ 2 (∥f∥_{L^{p}}^{p} + ∥g∥_{L^{p}}^{p})^{q−1} .

2.5 Aufgabe (2 Punkte)

Mit Hilfe von Aufgaben 2.1 und 2.4 zeige man: (L^{p}(ℝ^{n}), ∥ . ∥_{L^{p}}), 1 < p < ∞, ist gleichmäßig konvex.

Mit Hilfe der folgenden Aufgabe folgt unmittelbar aus der vorhergehenden, dass auch die L^{p}- Räume vektorwertiger Abbildungen L^{p} (ℝ^{n}, ℝ^{m}) mit einer gleichmäßig konvexen Norm versehen werden können.

2.6 Aufgabe (5 Punkte)

Zeigen Sie: Sind (V_{j}, ∥ . ∥_{j}), j = 1, …, m, gleichmäßig konvexe Banachräume, so ist V =

V_{1} × … × V_{m}, versehen mit der Norm ∥f∥_{(p)} := ∥ (f_{1}, …, f_{m}) ∥_{(p)} := (∑_{j=1}^{m} ∥f_{j}∥_{j}^{p})^{1/p}, wobei 1 < p < ∞ gewählt wird, ebenfalls gleichmäßig konvex. Hinweis. Zunächst folgere man aus Aufgabe 2.5, dass (ℝ^{m}, ∥ . ∥_{p}) gleichmäßig konvex ist. Um die gleichmäßige Konvexität von V_{1} × … × V_{m} zu zeigen, hat man ”Vektoren“ (f_{1}, …, f_{m}), (g_{1}, …, g_{m}) ∈ V_{1} × … × V_{m} zu betrachten. Unter Ausnutzung der gleichmäßigen Konvexität von (ℝ^{m}, ∥ . ∥_{p}) kann man in einem ersten Schritt erreichen, dass man nur noch den Fall zu betrachten hat, in dem |∥f_{j}∥_{j} − ∥g_{j}∥_{j}| beliebig klein sind.

Die Bedeutung gleichmäßig konvexer Normen wird zum Einen aus Aufgabe 1.5 und zum Anderen aus dem folgenden wichtigen Satz ersichtlich:

Satz von Milman

Ist (V, ∥ . ∥) ein gleichmäßig konvexer Banachraum, so ist V reflexiv.

Einen Beweis dieses Satzes kann man z.B. nachlesen in: K. Yosida, Functional Analysis, sixth edition, Berlin etc.: Springer-Verlag, 1980; S. 127 / 128.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 23.10.2007 in der Vorlesung ab.

3 22.10.2007

3.1 Navier-Sokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten (18 Punkte)

Sei (t, x) ↦ (u(t, x), p(t, x)) eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen:

u_{t}(t, x) − Δu(t, x) + (∑_{j=1}^{3} u_{j}(t, x)\frac{∂}{∂x_{j}} ) u(t, x) + ∇p(t, x) = 0,
div u(t, x) = 0.

Seien (t, r, ψ, z) ↦ (ũ(t, r, ψ, z), p̃(t, r, ψ, z) so dass

ũ_{1}(t, r, ψ, z) = u_{1}(t, r cos ψ, r sin ψ, z) cos ψ + u_{2}(t, r cos ψ, r sin ψ, z) sin ψ
ũ_{2}(t, r, ψ, z) = −u_{1}(t, r cos ψ, r sin ψ, z) sin ψ + u_{2}(t, r cos ψ, r sin ψ, z) cos ψ
ũ_{3}(t, r, ψ, z) = u_{3}(t, r cos ψ, r sin ψ, z)
p̃(t, r, ψ, z) = p(r cos ψ, r sin ψ, z).

Es bezeichne

Δ̃ũ_{j}(t, r cos ψ, r sin ψ, z) := \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} ũ_{j} + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}ũ_{j} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}}{∂ψ^{2}} ũ_{j} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} ũ_{j}

den Laplaceoperator für Funktionen in Zylinderkoordinaten.

Zeigen Sie, dass dann (ũ, p̃) das folgende System (Navier-Stokes-System in Zylinderkoordinaten) lösen:

\frac{∂ũ_{1}}{∂t} − Δ̃ũ_{1} + \frac{2}{r^{2}} \frac{∂ũ_{2}}{∂ψ} + \frac{1}{r^{2}} ũ_{1} − \frac{1}{r}ũ_{2}^{2} + ũ_{1} \frac{∂ũ_{1}}{∂r} + \frac{1}{r}ũ_{2} \frac{∂ũ_{1}}{∂ψ} + ũ_{3} \frac{∂ũ_{1}}{∂z} + \frac{∂p̃}{∂r} = 0,
\frac{∂ũ_{2}}{∂t} − Δ̃ũ_{2} − \frac{2}{r^{2}} \frac{∂ũ_{1}}{∂ψ} + \frac{1}{r^{2}} ũ_{2} + \frac{1}{r}ũ_{1}ũ_{2} + ũ_{1} \frac{∂ũ_{2}}{∂r} + \frac{1}{r}ũ_{2} \frac{∂ũ_{2}}{∂ψ} + ũ_{3} \frac{∂ũ_{2}}{∂z} + \frac{1}{r} \frac{∂p̃}{∂ψ} = 0,
\frac{∂ũ_{3}}{∂t} − Δ̃ũ_{3} + ũ_{1} \frac{∂ũ_{3}}{∂r} + \frac{1}{r}ũ_{2} \frac{∂ũ_{3}}{∂ψ} + ũ_{3} \frac{∂ũ_{3}}{∂z} + \frac{∂p̃}{∂z} = 0,
\frac{∂ũ_{1}}{∂r} + \frac{1}{r} \frac{∂ũ_{2}}{∂ψ} + \frac{∂ũ_{3}}{∂z} + \frac{1}{r}ũ_{1} = 0.

3.2 Aufgabe (2 Punkte)

Die Couette-Strömung mit beliebigen reellen Parametern α, β ∈ ℝ wird in Zylinderkoordinaten definiert durch

ũ_{1}(t, r, ψ, z) = 0;
ũ_{2}(t, r, ψ, z) = αr + \frac{β}{r};
ũ_{3}(t, r, ψ, z) = 0;
p̃(t, r, ψ, z) = \frac{1}{2}α^{2}r^{2} + 2αβ log r − \frac{β^{2}}{2r^{2}} .

Zeigen Sie, dass (ũ, p̃) das Navier-Stokes-System in Zylinderkoordinaten aus der vorhergehenden Aufgabe lösen.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 30.10.2007 in der Vorlesung ab.

4 29.10.2007

4.1 Aufgabe (10 Punkte)

Sei v ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ^{3}); wir definieren

Φ(x) := \frac{1}{4π} ∫_{ℝ^{3}} |x − y|^{−1}v(y) dy,

so dass Φ(x) ∈ C^{∞}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) und −ΔΦ(x) = v(x) für x ∈ ℝ^{3}.

(a) Man zeige, dass mit einer geeigneten Konstanten C = C(v) für |x| → ∞ gilt:

|Φ(x)| ≤ \frac{C}{|x|},  |DΦ(x)| ≤ \frac{C}{|x|^{2}} ,  |D^{2}Φ(x)| ≤ \frac{C}{|x|^{3}} .

(b) Für eine geeignete Folge von Abschneidefunktionen φ_{k} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ) setze man

v_{k}(x) = rot rot (φ_{k}(x)Φ(x)) , ψ_{k}(x) = − div (φ_{k}(x)Φ(x)) .

Offensichtlich ist v_{k} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ^{3}), div v_{k}(x) ≡ 0, ψ_{k} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ). Zeigen Sie, dass man durch geeignete Konstruktion der φ_{k} erreichen kann, dass

∥v − (v_{k} + ∇ψ_{k}) ∥_{L^{2}(ℝ^{3})} → 0 (k → ∞).

Hinweis. Zeigen Sie, dass −Δ(φ_{k}Φ) = v_{k} + ∇ψ_{k}.

4.2 Aufgabe (5 Punkte)

Sei u ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) divergenzfrei in folgendem schwachen Sinne:

∀ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ) : ∫_{ℝ^{3}} ∇ψ · u dx = 0.

Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 4.1 und ohne auf entsprechende Resultate der Vorlesung zurückzugreifen, dass eine Folge u_{k} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) existiert mit

div u_{k}(x) ≡ 0,  lim_{k→∞} ∥u − u_{k}∥_{L^{2}(ℝ^{3})} = 0.

4.3 Aufgabe (5 Punkte)

Zeigen Sie mit den in den Aufgaben 4.1 und 4.2 entwickelten Methoden das folgende Resultat:

Sei u ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) beliebig, dann existieren v ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}), ψ ∈ H_{loc}^{1}(ℝ^{3}, ℝ) mit den Eigenschaften ∇ψ ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) und ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}, ℝ) : ∫_{ℝ^{3}} ∇φ · v dx = 0, so dass gilt:

u = v + ∇ψ.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 13.11.2007 in der Vorlesung ab.

5 05.11.2007

5.1 Eindeutigkeit beim stationären Problem (8 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{3} ein beschränktes glattes Gebiet, u_{1}, u_{2} : \overline{Ω} → ℝ^{3}, p_{1}, p_{2} : \overline{Ω} → ℝ seien glatte Lösungen der stationären Navier-Stokes-Gleichungen zu demselben Datum f : \overline{Ω} → ℝ^{3}:

−Δu_{1} + (u_{1} · ∇)u_{1} + ∇p_{1} = −Δu_{2} + (u_{2} · ∇)u_{2} + ∇p_{2} = f  in Ω,
div u_{1} = div u_{2} = 0 in Ω,
u_{1} = u_{2} = 0 auf ∂Ω.

Durch welche Zusatzbedingung an eine der Lösungen können Sie Eindeutigkeit, d.h. u_{1} = u_{2}, ∇p_{1} = ∇p_{2}, erreichen? Durch welche Bedingung an f kann man sicherstellen, dass diese Zusatzbedingung durch jede glatte Lösung erfüllt wird?

5.2 Abklingen der kinetischen Energie (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n}, n ≤ 4, ein beschränktes glattes Gebiet, u_{0} ∈ L_{σ}^{2}(Ω), u ∈ ⋂_{0<T <∞} (L^{∞}(0, T, L_{σ}^{2}(Ω)) ∩ L^{2}(0, T, H_{0,σ}^{1}(Ω))) eine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen

u_{t} − Δu + (u · ∇)u + ∇p = 0 für t ≥ 0, x ∈ Ω,
div u = 0 für t ≥ 0, x ∈ Ω,
u(t, x) = 0 für t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,
u(0, x) = u_{0}(x) für x ∈ Ω,

derart, dass für s = 0, fast alle s > 0 und alle t ≥ s die verallgemeinerte Energieungleichung gilt:

∥u(t)∥_{L^{2}}^{2} + 2 ∫_{s}^{t} ∥∇u(σ)∥_{L^{2}}^{2} dσ ≤ ∥u(s)∥_{L^{2}}^{2};

dabei betrachtet man den schwach-L_{σ}^{2}-stetigen Repräsentanten von u. Zeigen Sie:

lim_{t→∞} ∥u(t)∥_{L^{2}}^{2} = 0.

5.3 Fundamentallösung der Stokes-Gleichung (8 Punkte)

Für x, y ∈ ℝ^{3}, x ≠ y sei

Γ(x, y) = \frac{1}{8π} (\frac{δ_{ij}}{|x − y|} + \frac{(x_{i} − y_{i})(x_{j} − y_{j})}{|x − y|^{3}})_{i,j=1,2,3} ∈ ℝ^{3×3},

q(x, y) = \frac{1}{4π|x − y|^{3}} (x − y) ∈ ℝ^{3}.

(a) Sei u ∈ C_{0}^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}), p ∈ C_{0}^{1}(ℝ^{3}, ℝ) eine Lösung der Stokes-Gleichung:

−Δu + ∇p = f, div u = 0 in ℝ^{3}. (1)

Man zeige:

u(x) = ∫_{ℝ^{3}} Γ(x, y) ∘ f(y) dy, p(x) = ∫_{ℝ^{3}} q(x, y) · f(y) dy.

(b) Sei f ∈ C_{0}^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) gegeben, man definiere:

u(x) = ∫_{ℝ^{3}} Γ(x, y) ∘ f(y) dy, p(x) = ∫_{ℝ^{3}} q(x, y) · f(y) dy.

Zeigen Sie, dass dann u ∈ C^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}), p ∈ C^{1}(ℝ^{3}, ℝ) die Stokes-Gleichung (1) lösen. Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 20.11.2007 in der Vorlesung ab.

6 19.11.2007

6.1 Helmholtz-Zerlegung mittels Fouriertransformation (8 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Operatoren P, Q aus dem Satz 4.1 über die Helmholtz-Zerlegung im Falle q = 2, Ω = ℝ^{3} gilt:

im(P) = {u ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) : für fast alle ξ ist ξ · û(ξ) = 0}
im(Q) = {w ∈ L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) : für fast alle ξ und j, k = 1, 2, 3 ist ξ_{j}ŵ_{k}(ξ) = ξ_{k}ŵ_{j}(ξ)}.

Hinweis. Sie können ohne Beweis erwenden, dass im(P) und im(Q) in L^{2}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) orthogonal sind.

6.2 Stokes-Resolvente in ℝ^{n} (12 Punkte)

Zeigen Sie mit Hilfe der Fouriertransformation, dass für jedes λ ∈ ℂ \ {0} mit Reλ ≥ 0 und jedes f ∈ L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) eine Lösung (u, ∇p) ∈ H^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) ∩ L_{σ}^{2}(ℝ^{n}) × L^{2}(ℝ^{n}, ℂ^{n}) des Resolventenproblems für das Stokes-System existiert:

−Δu(x) + λu(x) + ∇p(x) = f(x) für x ∈ ℝ^{n},
div u(x) = 0 für x ∈ ℝ^{n}.

Diese Differentialgleichung ist in L^{2} zu verstehen und insbesondere punktweise fast überall zu erfüllen.

Außerdem existiert eine universelle Konstante C = C(n) derart, dass für alle f, λ und die zugehörigen Lösungen (u, ∇p) von oben die folgende Resolventenabschätzung gilt:

|λ|∥u∥_{L^{2}} + \frac{|λ|}{1 + |λ|}∥u∥_{H^{2}} + ∥∇p∥_{L^{2}} ≤ C∥f∥_{L^{2}}.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 27.11.2007 in der Vorlesung ab.

7 26.11.2007

7.1 Laurententwicklungen von Resolventen (12 Punkte)

Sei A ∈ ℂ^{n×n} und λ, μ ∈ ℂ keine Eigenwerte von A. Dann heißt

R_{A}(λ) := (λ I − A)^{−1}

mit der Identität I ∈ ℂ^{n×n} die Resolvente von A.

(a) Man zeige, dass R_{A}(λ) mit A kommutiert und die Eigenwerte μ_{j} = \frac{1}{λ − λ_{j}} hat, wenn λ_{j}

die Eigenwerte von A durchläuft.

(b) Man zeige: R_{A}(λ) − R_{A}(μ) = −(λ − μ) R_{A}(λ)R_{A}(μ) .

(c) Sei λ_{j} fester Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit n_{j}. Man zeige, daß dann die Resolvente R_{A}(λ) eine Laurentreihe der Gestalt

R_{A}(λ) = ∑_{k=−n_{λ}}^{∞}(λ − λ_{j})^{k} A_{k} ,

besitzt, wobei die n × n Matrizen A_{k} = A_{k}(λ_{j}) nur von λ_{j}, aber nicht von λ abhängen. Ist r > 0 so klein gewählt, daß \overline{B_{r}(λ)} außer λ_{j} keinen weiteren Eigenwert von A enthält, so gilt mit γ(φ) = λ_{j} + r e^{iφ}, wobei 0 ≤ φ < 2π ist:

A_{k} = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} (λ − λ_{j})^{−k−1}R_{A}(λ) dλ.

Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass die Koeffizienten der Matrix det(λ I − A) · R_{A}(λ) Polynome in (λ − λ_{j}) vom Grade ≤ n − 1 sind.

(d) Nun sei x_{j} ∈ ℂ^{n} \{0} ein verallgemeinerter Eigenvektor von A zum Eigenwert λ_{j}. Zeigen Sie, dass dann x_{j} auch verallgemeinerter Eigenvektor von R_{A}(λ) zum Eigenwert μ = \frac{1}{λ−λ_{j}} ist.

(e) Für den Fall, dass A aus einem einzigen Jordanblock der Gestalt

A = ( \begin{matrix}λ_{0} & 1 \\ & λ_{0} & 1 \\ . & . & . \\ & & & λ_{0} \end{matrix} )

besteht, berechne man R_{A}(λ) und die Laurententwicklung von R_{A}(λ) bezüglich λ_{0}.

(f) Die Matrix A liege nun in Jordanscher Normalform mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{s}, deren geometrischen bzw. algebraischen Vielfachheiten g_{1}, …, g_{s} bzw. n_{1}, …, n_{s} und Rieszzahlen r_{1}, …, r_{s} vor. Bestimmen Sie um einen beliebigen Eigenwert λ_{j} herum die Laurentreihe für R_{A}(λ). Präzisieren Sie die Aussage von Teil (c) und bestimmen Sie die genaue Ordnung des Pols von λ ↦ R_{A}(λ) in λ_{j}.

7.2 Verallgemeinerte Spektralprojektoren (8 Punkte)

Für jeden Eigenwert λ_{j} der komplexen n×n-Matrix A definiere man die komplexe n×n-Matrix

P_{λ_{j}} = A_{−1}(λ_{j}) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} R_{A}(λ) dλ ,

wobei γ ein hinreichend kleiner positiv durchlaufener Kreis um λ_{j} und R_{A}(λ) = (λ I − A)^{−1} wie in Aufgabe 7.1 sind.

(a) Es seien λ_{j} und λ_{k} zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Eigenwerte von A und o.B.d.A. s > r > 0 so klein gewählt, dass in \overline{B_{r}(λ_{j})} bzw. \overline{B_{s}(λ_{k})} jeweils nur ein einziger Eigenwert von A liegt und überdies ∂B_{r}(λ_{j}) sowie ∂B_{s}(λ_{k}) disjunkt sind. Man definiere nun P_{λ_{j}} mit Hilfe des Weges γ(φ) = λ_{j} + r e^{iφ} und P_{λ_{k}} mit Hilfe des Weges γ̃(φ) = λ_{k} + s e^{iφ}, wobei 0 ≤ φ < 2π. Zeigen Sie mit Hilfe der Resolventengleichung, dass

P_{λ_{j}}P_{λ_{k}} = − (\frac{1}{2πi})^{2} ∫_{γ̃} ∫_{γ} \frac{R_{A}(λ) − R_{A}(λ̃)}{λ − λ̃} dλ dλ̃ = \{ \begin{matrix}0 , & λ_{j} ≠ λ_{k} \\ P_{λ_{j}} , & λ_{j} = λ_{k} . \end{matrix}

(b) Es seien λ_{1}, ..., λ_{s} alle paarweise verschiedenen Eigenwerte von A. Man zeige mit Hilfe des Residuensatzes, dass

∑_{k=1}^{s} P_{λ_{k}} = I

gilt, wobei I ∈ ℂ^{n×n} die Einheitsmatrix bedeutet. Hinweis. Man berechne \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{R}(0)} R_{A}(λ) dλ über eine so große Kreislinie, dass deren In-

neres alle Eigenwerte von A enthält. Nach Anwendung des Residuensatzes entwickle man R_{A}(λ) in eine für |λ| = R konvergente Reihe mit Potenzen \frac{1}{λ^{k}}, k ≥ 1.

(c) Nun sei x_{k} ∈ ℂ^{n} \{0} ein verallgemeinerter Eigenvektor von A zum Eigenwert λ_{k}. Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ_{j} von A gilt:

P_{λ_{j}} x_{k} = \{ \begin{matrix}0 , & λ_{j} ≠ λ_{k} \\ x_{k} , & λ_{j} = λ_{k} . \end{matrix}

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 04.12.2007 in der Vorlesung ab.

8 03.12.2007

In den folgenden Aufgaben bezeichne V stets einen komplexen Banachraum.

8.1 Funktionalkalkül für beschränkte Operatoren (5 Punkte)

Sei A : V → V ein beschränkter linearer Operator, exp(tA) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(tA)^{k}}{k!} , t ∈ ℂ. Sei R > ∥A∥ gewählt. Man zeige, dass für λ > ∥A∥ die Resolvente R_{A}(λ) : V → V als beschränkter linearer Operator existiert und dass gilt:

A = \frac{1}{2πi} ∫_{|λ|=R} λR_{A}(λ) dλ, exp(tA) = \frac{1}{2πi} ∫_{|λ|=R} exp(tλ)R_{A}(λ) dλ.

8.2 Resolventenreihe (7 Punkte)

Sei nun A : D(A) → V ein dicht definierter abgeschlossener Operator, für Re λ > 0 existiere die Resolvente R_{A}(λ) : V → V als beschränkter linearer Operator und genüge einer Resolventenabschätzung der Form:

∥R_{A}(λ)∥ ≤ \frac{C_{0}}{|λ|}.  (2)

Man zeige, dass es dann ein ε > 0 gibt, so dass die Resolvente sogar für λ aus dem Sektor Δ_{π/2+2ε} existiert und dort ebenfalls der Abschätzung (2) mit einer ggfs. anderen Konstanten C_{1} = C_{1}(C_{0}, ε) an Stelle von C_{0} genügt. Hinweis. Arbeiten Sie mit der Resolventenreihe

∑_{k=0}^{∞}(λ_{0} − λ)^{k}R_{A}(λ_{0})^{k+1},

wobei Re λ_{0} ”nahe“ an 0 gewählt wird.

8.3 Schlüssellochintegral (4 Punkte)

Sei wieder A : D(A) → V ein dicht definierter abgeschlossener Operator, und es seien die Voraussetzungen aus Aufgabe 8.2 erfüllt. Mit dem dort gefundenen ε > 0 betrachten Sie den Weg Γ_{ε} wir in Satz 4.4 der Vorlesung. Zeigen Sie absolute Konvergenz des ”Schlüssellochintegrals“ für t ∈ Δ_{ε} im Banachraum der beschränkten linearen Operatoren V → V:

\frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{ε}} e^{tλ}R_{A}(λ) dλ.

8.4 Ohne Druck / Divergenzbedingung ginge alles einfach / einfach alles (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes glattes Gebiet, 0 < T < ∞, u_{0} : \overline{Ω} → ℝ^{n} und f : [0, T] × \overline{Ω} → ℝ^{n} seien geeignete hinreichend glatte Daten und u ∈ C^{1,2}([0, T]×\overline{Ω}, ℝ^{n}) eine Lösung des folgenden Anfangsrandwertproblems:

\{ \begin{matrix}u_{t} − Δu + (u · ∇) u = f, & t ≥ 0, x ∈ \overline{Ω}, \\ u(t, x) = 0, & t ≥ 0, x ∈ ∂Ω, \\ u(0, x) = u_{0}(x), & x ∈ \overline{Ω}. \end{matrix}  (3)

Leiten Sie für u folgende a-priori-Maximumabschätzung her:

∥u∥_{C^{0}([0,T]×\overline{Ω},ℝ^{n})} ≤ \sqrt{n}e^{T} max \{∥u_{0}∥_{C^{0}(\overline{Ω},ℝ^{n})}, ∥f∥_{C^{0}([0,T]×\overline{Ω},ℝ^{n})}\} .

Hinweis. Betrachten Sie eine beliebige Komponente u_{j} und dafür v(t, x) := e^{−t}u_{j}(t, x). Analysieren Sie die Differentialgleichung für v in denen Punkten, in denen v sein Maximum bzw. Minimum auf [0, T] × \overline{Ω} annimmt.

Mit dieser Maximumabschätzung wird (3) damit hinsichtlich der Erzielung weiterer a-priori-Abschätzungen zu einem linearen Problem, (u · ∇) wird als beschränkter Koeffizient aufgefasst. Damit gelingt dann auf etablierte Weise die Herleitung solcher Abschätzungen, die den Nachweis der Existenz einer globalen klassischen Lösung für geeignete hinreichend glatte Daten gestatten.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 11.12.2007 in der Vorlesung ab.

9 10.12.2007

9.1 Konvergenz der Yosida-Approximation (7 Punkte)

Sei V ein Banachraum, A : D(A) → V ein dicht definierter abgeschlossener Operator, für Re λ > 0 existiere die Resolvente R_{A}(λ) = (λI − A)^{−1} : V → V als beschränkter linearer Operator. In diesem Fall kann man die Yosida-Approximation allgemein definieren durch:

J_{k} := (I − \frac{1}{k}A)^{−1} = kR_{A}(k).

Zeigen Sie: Genau dann konvergiert J_{k} für k → ∞ gleichmäßig gegen die Identität, d.h.

lim_{k→∞} ∥J_{k} − I∥ = 0,

wenn A beschränkt und damit als beschränkter Operator A : V → V fortsetzbar ist.

9.2 Allgemeine lokalisierte Energieungleichung (6 Punkte)

Beweisen Sie die allgemeine lokalisierte Energiegleichung aus Hilfssatz 6.2 für die (approximativen) Lösungen der regularisierten Navier-Stokes-Gleichung.

9.3 Konvergenzlemma (7 Punkte)

Sei (u_{k})_{k∈ℕ} eine Folge approximativer starker Lösungen auf [0, T] der durch die Yosida-Appro-ximation J_{k} regularisierten Navier-Stokes-Gleichungen mit den im Beweis von Satz 6.3 formulierten Konvergenzeigenschaften gegen die dort konstruierte geeignete schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Sei 0 ≤ s ≤ t ≤ T, φ ∈ C_{0}^{∞}(\overline{Ω}, ℝ). Man zeige zunächst, dass für fast alle σ ∈ [0, T] gilt: J_{k}u_{k}(σ) ⇀ u(σ) in L_{σ}^{2}(Ω) und folgere daraus direkt durch Ausnutzung der trilinearen Struktur in u:

lim_{k→∞} ∫_{s}^{t} ∫_{Ω} (∇φ · (J_{k}u_{k} − u)) |u|^{2} dxdσ = 0,

lim_{k→∞} ∫_{s}^{t} ∫_{Ω} (∇φ · J_{k}u_{k}) |u_{k}|^{2} dxdσ = ∫_{s}^{t} ∫_{Ω} (∇φ · u) |u|^{2} dxdσ.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 18.12.2007 in der Vorlesung ab.

10 17.12.2007

Serrins Regularitätskriterium (10 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{3} ein beschränktes oder Außenraumgebiet mit glattem kompakten Rand ∂Ω, 0 < T < ∞. Weiter sei u_{0} ∈ D(A_{6/5}) ∩ D(A_{2}), f ∈ L^{2}(0, T, L_{σ}^{6/5} ∩ L_{σ}^{2}(Ω)) und u ∈ L^{∞}(0, T, L_{σ}^{2}(Ω)) ∩ L^{2}(0, T, H_{0,σ}^{1}(Ω)) sei eine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit Daten u_{0} und f im Sinne von Definition 3.1. Weiter gelte für ein p > 3, dass

u ∈ L^{∞}(0, T, L_{σ}^{p}(Ω)).

Zeigen Sie durch ein “boot-strapping”-Argument, das auf Satz 4.9 aufbaut, dass dann sogar gilt:

u ∈ L^{2}(0, T, H^{2}(Ω)), u_{t} ∈ L^{2}((0, T) × Ω),

d.h. u ist eine starke Lösung.

Hinweis. Beachten Sie Interpolationseigenschaften von L^{p}-Räumen, wie sie etwa in Aufgabe 1.3 formuliert wurden.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 08.01.2008 in der Vorlesung ab.

Ich wünsche Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr.

11 07.01.2008

11.1 Konvexe Analysis (5 Punkte)

Seien a_{1}, a_{2}, a_{3} > 0, man betrachte

f : [0, 1]^{3} ∋ (t_{1}, t_{2}, t_{3}) ↦ a_{1}^{t_{1}}a_{2}^{t_{2}}a_{3}^{t_{3}}.

(a) Zeigen Sie die Konvexität von f.

(b) Sei nun speziell t_{1}, t_{2}, t_{3} ∈ [0, 1] mit t_{1} + t_{2} + t_{3} = 2. Zeigen Sie: a_{1}^{t_{1}}a_{2}^{t_{2}}a_{3}^{t_{3}} ≤ (1 − t_{1})a_{2}a_{3} + (1 − t_{2})a_{1}a_{3} + (1 − t_{3})a_{1}a_{2}.

Im Folgenden diskutieren wir das Faltungsprodukt für Funktionen f, g : ℝ^{n} → ℝ:

(f ∗ g)(x) := ∫_{ℝ^{n}} f(x − y)g(y) dy,

der Einfachheit halber nehmen wir zunächst f, g als stetig, reellwertig und mit kompaktem Träger an.

11.2 Duale Charakterisierung der L^{p}-Normen (3 Punkte)

Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und q ∈ [1, ∞] der duale Exponent, so dass \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Man zeige:

∥f∥_{L^{p}} = sup{∫_{ℝ^{n}} fg dx : ∥g∥_{L^{q}} = 1}.

11.3 Integrierbarkeitseigenschaften des Faltungsproduktes (7 Punkte)

Seien p, q, r ≥ 1 so dass

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}.

(a) Weiter sei r′ der duale Exponent zu r so dass \frac{1}{r′} + \frac{1}{r} = 1. Zeigen Sie:

|(f ∗ g ∗ h)(0)| ≤ ∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{q}}∥h∥_{L^{r′}}.

Hinweis. Betrachten Sie zunächst den Fall ∥f∥_{L^{p}} = ∥g∥_{L^{q}} = ∥h∥_{L^{r′}} = 1.

(b) Folgern Sie daraus:

∥f ∗ g∥_{L^{r}} ≤ ∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{q}}.

11.4 Aufgabe (5 Punkte)

Sei nun u_{0} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}, ℝ^{n}), div u(x) ≡ 0,

γ(t, x) := \frac{1}{(4πt)^{n/2}} exp (−\frac{|x|^{2}}{4t} )

der Wärmeleitungskern. Man setze u(0, x) = u_{0}(x) und für t > 0 komponentenweise

u(t, x) := (γ(t, .) ∗ u_{0}) (x), p(t, x) ≡ 0

und zeige, dass das Stokessystem erfüllt ist:

u_{t}(t, x) − Δu(t, x) + ∇p(t, x) = 0, falls t > 0, x ∈ ℝ^{n},
div u(t, x) = 0, falls t > 0, x ∈ ℝ^{n},
u(0, x) = u_{0}(x), falls x ∈ ℝ^{n}.

Seien 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Man zeige, dass mit einer Konstanten C = C(, n, p, q) gilt:

∥u(t, .)∥_{L^{q}} ≤ C∥u_{0}∥_{L^{p}}t^{− \frac{n}{2}(\frac{1}{p} − \frac{1}{q})}.

Ihre Lösungen geben Sie bitte am Dienstag, den 15.01.2008 in der Vorlesung ab.