{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Ziel dieses Worksheets: De monstration der wichtigsten maple-Kommandos zu den Grundlagen" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "der linearen Algebra: Darstellung von (Ko ordinaten-) Vektoren, Matrizen, Matrizenoperationen," }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 22 "Gau\337scher Algorithmus." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Um eventuelle Vorbelegungen zu l \366schen, die f\374r unangenehme und auf den ersten Blick nicht zu du rchschauende" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Verf\344lschungen f\374hr en, ist immer ein guter Anfang:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Der n\344chste Schritt besteht im Laden des Paketes \"Lineare Algebra\":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 85 "Von dieser langen Liste nun verf\374gbarer Kommand os kann man sich nun inspieren lassen," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "auch ohne ein Handbuch zu w\344lzen. Genauere Syntax-Informationen er h\344lt man dann " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "z.B. so:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "?vector" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Wir w\344hlen hier eine andere Darstellung; beginnen wir \+ mit symbolischen Kalk\374l:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "v:=vector(4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Zur Anzeige: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Oder:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "print(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Man \+ beachte: Aus Platzgr\374nden werden, wie in der Vorlesung, Zeilen gedr uckt," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "im Kalk\374l wird der Vektor abe r als Spalte gehandhabt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Definieren wi r noch eine Matrix:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "A:=m atrix(3,5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Matrizenprodukt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "A&*v;" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 22 "Und Anzeige desselben:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 12 "evalm(A&*v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Offenkundig ist f\374r diese Formate das Produkt undefiniert! Kein Wunder! Wie sollte es" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "m\366glich sein , einen 4-Vektor in eine Abbildung von R^5->R^3 einzusetzen. Definiere n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "wir also eine passende Matrix:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "B:=matrix(5,4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "evalm(B&*v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Man erkennt, da\337 in maple exakt unsere Definition des Matrizenp roduktes symbolisch " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "implementiert ist . Noch ein Beispiel:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "C:=A &*B;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(C);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Nun zu konkreten Rechnungen, im Fo lgenden werden die Matrizen zeilenweise eingegeben:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "A:=matrix([[1,2,3,4,5],[0,-1,3,-4,5],[5,2 ,1,-7,-9]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "B:=matrix([ [3,1,3,3],[2,1,4,6],[-3,-4,1,5],[7,1,0,9],[-1,-5,1,2]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "C:=A&*B;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Di e Spalten einer Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "v1:=vector([1,0,0,0]);v2:=([ 0,1,0,0]);v3:=vector([0,0,1,0]);v4:=vector([0,0,0,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "evalm(B&*v1),evalm(B&*v2),evalm(B&* v3),evalm(B&*v4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "evalm( C&*v1),evalm(C&*v2),evalm(C&*v3),evalm(C&*v4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Transponierte Matrizen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 39 "transpose(A);transpose(B);transpose(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Umformung mittels des Gau\337schen Zeilen algorithmus:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "gaussjord(A );gaussjord(B);gaussjord(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "H ieraus kann man direkt den jeweiligen Rang ablesen: Rang(A)=3, Rang(B) =4,Rang(C)=3. Es" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "gint aber auch ein di rektes Kommando:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "rank(A) ;rank(B);rank(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Wir l\366sen die linearen homogenen Gleichungssysteme: A*x=0:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "linsolve(A,vector([0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Man sieht: Der Rang von A ist 3, die Zahl der Unbekannten ist 5, also gibt es zwei" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "linear unabh\344ngige L\366sungen bzw. zwei freie Parameter t_1, t _2. Zu B*x=0:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "linsolve(B ,vector([0,0,0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Hier is t der Rang 4, Zahl der Variablen 4, also Eindeutigkeit der L\366sung. \+ Zu C*x=0:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "linsolve(C,vec tor([0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Zum Abschluss z eigen wir das Beispiel aus der Vorlesung, dazu geben wir zun\344chst d en" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Variablennamen A frei:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('A');" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "A:=matrix([[2,2,2,4,0],[1,1,2,3,4],[1,1,2,3,3],[-1,-1 ,-3,-4,-5]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Zun\344chst Umfo rmung auf Zeilen-Stufen-Form:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gaussjord(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Die allgem eine L\366sung des homogenen Systems:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "linsolve(A,vector([0,0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Wir definieren die in der Vorlesung betrachteten rec hten Seiten:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "b:=vector([ 1,-2,0,7]);c:=vector([2,12,9,-14]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Mit dem Kommando augment k\366nnen wir die erweiterte Koeffizie ntenmatrix bilden:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "augme nt(A,b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Zeilenstufenform daf \374r:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "gaussjord(augment (A,b));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "An der zus\344tzlichen Stufe in der letzten Zeile erkennt man die Unl\366sbarkeit des" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "inhomogenen Systems A*x=b. Oder explizit \+ mit dem Kommando" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "linsolv e(A,b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Da\337 maple keine L \366sung zur\374ckgibt bedeutet gerade, da\337 keine L\366sung existie rt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Betrachten wir noch die rechte Sei te c:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "gaussjord(augment( A,c));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Hier ist keine weitere \+ Zeilenstufe in der letzten Spalte, also haben wir L\366sbarkeit:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "linsolve(A,c);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Ein freier Parameter; allgemeine L\366su ng des inhomgenen Systems = spezielle L\366sung des inhomgenen Systems " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "+ allgemeine L\366sung des homgenen S ystems." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Zum Abschluss geben wir noch den Befehl, der aus den Zeilen- bzw. \+ Spaltenvektoren der" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Matrix A ein maxim al linear unabh\344ngiges System herausfiltert und damit eine Basis de s" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "von den Zeilen bzw. Spalten erzeugte n Raums:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "print(A);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "basis(A,rowspace);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "basis(A,colspace);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "71" 0 } {VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }