Abbildungsgrad

und Fixpunktsätze

Vorlesungsmanuskript

von

Hans-Christoph Grunau (Magdeburg)

Unter Benutzung von Vorlesungen von Erhard Heinz (Göttingen)

Schrift: Claudia Bieder und Barbara Fischbach

Vorwort

Wesentliche Teile des vorliegenden Manuskriptes gehen auf Vorlesungen von E. Heinz zurück, die er wiederholt an der Universität Göttingen gehalten hat. Zwar ist der Abbildungsgrad für stetige Abbildungen ein klassisches Werkzeug der algebraischen Topologie, hier wird jedoch ein rein analytischer Zugang dargestellt, der sich zudem auf natürliche Weise aus der komplexen Windungszahl ergibt. Ich habe diesen faszinierenden Gegenstand bei E. Heinz gelernt, die vorliegende Vorlesung inzwischen selbst schon zweimal gehalten und dabei noch einmal sorgfältig ausgearbeitet und durch ein Kapitel aus der Gleichgewichtstheorie in der Wirtschaft ergänzt. Mit der vorliegenden auch elektronisch zugänglichen Ausarbeitung erhofft sich der Autor, dass dieser Zugang unter Kollegen ebenso wie unter interessierten fortgeschrittenen Studierenden weitere Verbreitung findet. Frau Claudia Bieder und Frau Barabara Fischbach schulde ich einen ganz herzlichen Dank für die liebevolle und sorgfältige Umsetzung der handschriftlichen Vorlage in dieses Manuskript.

Magdeburg, April 2003 Hans-Christoph Grunau

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 1 Einleitung 4

I Der Brouwersche Abbildungsgrad 7

1 Der Abbildungsgrad für Funktionen ℂ → ℂ 7 2 Der Brouwersche Abbildungsgrad in ℝ^{n} 14 3 Der Index einer Abbildung, die Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades 23 4 Verallgemeinerte Transformationsformel,

allgemeine Definition des Abbildungsgrades 29 5 Die Produkteigenschaft, der Satz von Jordan-Brouwer 35

II Fixpunktsätze 39

6 Der Brouwersche Fixpunktsatz für kompakte konvexe Mengen 39 7 Exkurs: Der Fixpunktsatz von Kakutani,

Gleichgewichte in der mathematischen Wirtschaftstheorie 42 8 Der Schaudersche Fixpunktsatz 47

III Der Leray–Schauder–Abbildungsgrad im Banachraum 52

9 Definition des Abbildungsgrades im Banachraum 52 9.1 Endlichdimensionale Banachräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.2 Identität – Abbildung mit endlichdimensionalem Wertebereich . . . . . . . . . 53 9.3 Identität – kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Fundamentaleigenschaften des Leray–Schauder–Grades . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 Der Produktsatz, Anwendungen auf die Topologie in Banachräumen 61

IV Anhang 72

A Wichtige „Hilfs-“ Sätze 72 A.1 Weierstraßscher Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.2 Fortsetzungssatz von Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.3 Das Lemma von Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A.4 Der Satz von Arzela–Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Literatur 80

Index 81

Einleitung

Ein guter Teil der Analysis besteht in der Suche von Nullstellen bzw. von Fixpunkten. Das beginnt schon in der Schule und setzt sich im 1. Semester fort, wenn man bei der Diskussion von reellen Funktionen deren Nullstellen sowie die Nullstellen der Ableitung und, wenn man auch den Wechsel von Krümmungseigenschaften betrachtet, der zweiten Ableitung bestimmen muss. In diesem Kontext untersucht man im 2. Semester Nullstellen von Gradienten von Funktionen und damit von Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n}. Diese Nullstellensuche setzt sich im 2. Studienjahr fort, nämlich auf abstrakterem Niveau bei der Betrachtung von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen: Es seien die Anfangszeit t_{0} ∈ ℝ, ein Anfangsdatum x_{0} ∈ ℝ^{n} sowie eine stetige Funktion (rechte Seite, Nichtlinearität) f : ℝ×ℝ^{n} → ℝ^{n} gegeben. Man sucht dann eine Funktion x : (t_{0} −ε, t_{0} +ε) → ℝ^{n}, die zumindest in einem kleinen Zeitintervall um t_{0} herum existiert und für die gilt:

\{ \begin{matrix}ẋ(t) = f(t, x(t)) & für t ∈ (t_{0} − ε, t_{0} + ε), \\ x(t_{0}) = x_{0}. \end{matrix}  (∗)

Mit der Einführung des Operators

F(x)(t) := x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f (τ, x(τ)) dτ

wird (∗) äquivalent zu der Operatoren-Fixpunktgleichung

x = F(x)

bzw. der Nullstellengleichung

(Id − F)(x) = 0,

die nun in geeigneten Funktionenräumen untersucht werden muss. Auch in der Funktionentheorie haben Nullstellen eine besondere Bedeutung. Ist etwa f : ℂ → ℂ holomorph, so sind die Nullstellen f′(z) = 0 der Ableitung genau die „Verzweigungspunkte“ von f, in deren Nähe also f nicht konform, sondern im Kleinen winkelverdoppelnd, -verdreifachend usw. je nach Vielfachheit der Nullstelle ist. In vertieften Analysis-Veranstaltungen beschäftigt man sich dann u.a. mit nichtlinearen partiellen elliptischen Differentialgleichungen. Wir gehen davon aus, dass für lineare Randwertprobleme der Art

\{ \begin{matrix}−Δu = f & in Ω, \\ u = 0 & auf ∂Ω, \end{matrix}  (+)

eine Theorie zur Existenz und Abschätzung dieser Lösungen u vorliegt. Dabei sind das glatt berandete Gebiet Ω ⊂ ℝ^{n} und die glatte Funktion f : \overline{Ω} → ℝ gegeben. Hat man also Existenz und Eindeutigkeit dieser Lösung u, so kann man durch

f ↦ u := Gf

den zu (+) gehörigen Lösungsoperator oder Greenschen Operator G definieren. Dieser ist wegen der Linearität von (+) linear und wegen der als gültig unterstellten a-priori-Abschätzungen in geeignten Funktionenräumen beschränkt und sogar kompakt. Die benötigten funktionalanalytischen Begriffe werden unten in Paragraph 8 definiert und ausführlich diskutiert. Mit dieser wohlausgebauten Theorie aus der linearen Analysis im Hintergrund wendet man sich nun nichtlinearen Randwertproblemen zu. Als ganz einfaches Beispiel betrachte man

\{ \begin{matrix}−Δu + g(u) = f & in Ω, \\ u = 0 & auf ∂Ω, \end{matrix}  (++)

mit einer geeigneten Funktion g : ℝ → ℝ. Indem man den linearen Lösungsoperator G aus Problem (+) auf das nichtlineare Problem (++) anwendet, wobei man dort zunächst f − g(u) auf die rechte Seite schreibt, erhält man das dazu äquivalente Problem

u = G (f − g(u)) =: F(u)

bzw.

(Id − F) (u) = 0.

Diese Nullstellengleichung ist wiederum in geeigneten Funktionenräumen zu studieren. Diese Beispiele machen die Notwendigkeit eines wirkungsvollen Instruments zur Suche von Nullstellen bzw. Fixpunkten deutlich. Das Ziel dieser Vorlesung besteht darin, mit dem Abbildungsgrad und den Fixpunktsätzen von Brouwer, Kakutani und Schauder geeignete Hilfsmittel aus der nichtlinearen Funktionalanalysis einzuführen. Es werden einige Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben; Anwendungen auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen gehen über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus. Es sei auf die entsprechende Veranstaltung bzw. die ausgezeichneten Monographien [CH, GT, LSU, LU, Zei4] verwiesen. Neben diesem ganz angewandten Aspekt aus der nichtlinearen Analysis und Funktionalanalysis berühren wir hier aber auch das Gebiet der algebraischen Topologie, man vgl. [AH, Br]. Viele der klassischen Sätze wie der Offenheitssatz, der Satz von Borsuk, der „Igelsatz“, der Satz von der Invarianz der Dimension und schließlich der tiefliegende Satz von Jordan–Brouwer als Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes werden hier gezeigt. Hier entwickeln wir in Anlehnung an die Arbeit [He] allerdings eine analytische Theorie des Abbildungsgrades. Wir merken an, dass sich mit Hilfe unseres Zugangs die Transformationsformel in ihrer klassischen und auch in einer verallgemeinerten Formulierung, die nicht mehr die Injektivität der Koordinatentransformation verlangt, als Nebenprodukt ergibt. Der Leser möge bitte beachten, dass wir zwar einige elementarere Tatsachen verwenden werden, die man üblicherweise dem Beweis der Transformationsformel vorausschickt wie etwa das Verhalten des Integrals bei Bewegungen oder Eigenschaften von Nullmengen unter stetig differenzierbaren Abbildungen, dass weitere Resultate aus diesem Bereich aber nicht vorausgesetzt werden. Das Lemma von Sard wird im Anhang bewiesen. In einem kleinen Exkurs werden die Anwendungsmöglichkeiten von Fixpunktsätzen auf Gleichgewichtstheorien in Wirtschaftsmodellen aufgezeigt. Der Banachsche Fixpunktsatz ist analytischer und nicht topologischer Natur und soll aus methodischen Gründen hier unberücksichtigt bleiben. Um eine Orientierung zu gewinnen, welcher Art die hier vorgelegten Instrumente und Resultate sein werden, mag man sich die Frage vorlegen, welche theoretischen Werkzeuge zur Nullstellen- und Fixpunktsuche man im Grundstudium kennengelernt hat, wenn die explizite Rechnung versagt:

• In der Analysis der Funktionen einer reellen Veränderlichen hat man als den zentralen Satz den Zwischenwertsatz kennengelernt: Ist f : [a, b] → ℝ stetig und gilt f(a) · f(b) < 0, so hat f im offenen Intervall (a, b) eine Nullstelle.

Trotz seiner Einfachheit ist dieses Resultat in mancher Hinsicht für das Folgende typisch: es ist ein Satz über stetige Funktionen und damit aus dem topologischen Kontext, es werden keine Aussagen über Eindeutigkeit oder Anzahlen gemacht, und die Aussage ist gegenüber kleinen Änderungen von f stabil. Zwar können auch Funktionen mit f(a) · f(b) > 0 Nullstellen in (a, b) haben, aber diese können auch bei kleinen Änderungen von f verschwinden, und ohne dass man dieses an den Randwerten von f in a und b bemerkt.

• Einen noch deutlicheren Hinweis gibt die Funktionentheorie. Sei Ω ⊂ ℂ ≅ ℝ^{2} offen, \overline{B_{R}(z_{0})} ⊂ Ω und f : Ω → ℂ holomorph mit f|∂B_{R}(z_{0}) ≠ 0. Dann ist die Windungszahl oder der Abbildungsgrad von f

d(f, B_{R}(z_{0}), 0) := N(f) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} \frac{f′(z)}{f(z)} dz

gemäß dem Residuensatz gleich der Gesamtzahl der mit Vielfachheiten gezählten Nullstellen von f in B_{R}(z_{0}). Diese Zahl hängt stetig und nur von f|∂B_{R}(z_{0}) ab, dazu vgl. man unten den Satz 1.10 von Rouché.

Wir werden in einem ersten Schritt diesen elementaren Abbildungsgrad auf stetige Abbildungen f : \overline{Ω} → ℂ verallgemeinern und uns damit einen Fingerzeig verschaffen, auf welche Weise man diesen auf Abbildungen f : ℝ^{n} → ℝ^{n} ausdehnen kann.

Teil I

Der Brouwersche Abbildungsgrad

1 Der Abbildungsgrad für Funktionen ℂ → ℂ

Formal betrachtet ist dieser Paragraph ganz unnötig. Hier geht es darum:

• die Hörer der Funktionentheorie zu erinnern und das dort sehr vorläufig betrachtete Werkzeug des Abbildungsgrades auf den Rahmen stetiger Funktionen zu erweitern;

• für die übrigen auf relativ elementarem Niveau schon einmal das Flair zu vermitteln und eine Richtung anzudeuten, welcher Art das gewünschte Werkzeug und dessen zu erwartende Eigenschaften sein werden.

Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: B_{R}(0) = {z ∈ ℂ : |z| < R} für die offene Kreisscheibe , ∂B_{R}(0) = {z ∈ ℂ : |z| = R} für die Kreislinie, z = x + iy, f = u + iv jeweils für die Darstellung mittels Real- und Imaginärteil.

Definition 1.1. Seien f, g : ∂B_{R}(0) → ℂ stetig. Dann nennen wir

∫_{∂B_{R}(0)}(f dx + g dy) = ∫_{0}^{2π} (f(Re^{it})(−R sin t) + g(Re^{it})(R cos t)) dt

das Linienintegral der „Differentialform fdx + gdy “.

Sei vorübergehend f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ eine „holomorphe Funktion“, und es gelten die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

f_{x} = \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂}{∂x}(u + iv) = u_{x} + iv_{x} = −i f_{y} = −i\frac{∂}{∂y} (u + iv) = v_{y} − i u_{y}.

Sei ferner f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0, dann hatten wir in der Funktionentheorie mit

d(f, B_{R}(0), 0) := \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} \frac{f′(z)}{f(z)} dz  (1.1)

ein Hilfsmittel gefunden, das genau die Anzahlen der Nullstellen von f in B_{R}(0) mit Vielfachheit zählt. Diese Beobachtung beruht auf der Indexformel und diese wiederum auf dem Residuensatz. Das Ziel in diesem Abschnitt besteht nun in der Ausdehnung zunächst auf stetig differenzierbare (man beachte: es besteht ein riesiger Unterschied zu holomorph!) und später dann auf stetige Funktionen f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ. Stetig differenzierbar auf \overline{B_{R}(0)} soll dabei heißen, dass f in einer offenen Umgebung von \overline{B_{R}(0)} als stetig differenzierbare Funktion existiert. Nachdem wir uns aber später ohnehin auf stetige Funktionen ausdehnen wollen, wir den Tietzeschen Fortsetzungssatz A.6 zur Verfügung haben und sehen werden, dass der Abbildungsgrad nur von f|_{∂B_{R}(0)} abhängt, können wir uns nun auf stetig differenzierbare Abbildungen

f ∈ C^{1} := C^{1}(ℂ, ℂ) = C^{1}(ℝ^{2}, ℝ^{2})

beschränken. Formulieren wir (1.1) also für diesen Kontext um:

\frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{2π} \frac{f_{x}(Re^{it})}{f(Re^{it})} · (iRe^{it}) dt

= \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{2π} (\frac{f_{x}}{f} · (−R sin t) + \frac{\overbrace{if_{x}}^{= f_{y} laut Cauchy-Riemann-Dgl.}}{f} · (R cos t)) dt

= \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{2π} (\frac{f_{x}}{f} · (−R sin t) + \frac{f_{y}}{f} (R cos t)) dt
= \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{R}(0)} (\frac{f_{x}}{f} dx + \frac{f_{y}}{f} dy) .

Und genau diesen Term nehmen wir als Definition für den Abbildungsgrad stetig differenzierbarer Funktionen.

Definition 1.2. Sei f ∈ C^{1} und f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0, dann nennen wir

d (f, B_{R}(0), 0) := \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{R}(0)} (\frac{f_{x}}{f} dx + \frac{f_{y}}{f} dy)

den Abbildungsgrad von f auf B_{R}(0) bezüglich des Wertes 0.

Mit Hilfe dieser Definition berechnet man d(id, B_{R}(0), 0) = 1. Dabei bezeichnet id : z ↦ z stets die identische Abbildung.

Satz 1.3. Sei f ∈ C^{1} und f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0. Dann gilt:

d(f, B_{R}(0), 0) ∈ ℤ.

Beweis. Wir betrachten die Hilfsfunktion:

[0, 2π] ∋ s ↦ Φ(s) := f(R cos s, R sin s) · exp (∫_{0}^{s} \frac{(−R sin t) · f_{x} + (R cos t)f_{y}}{f(R cos t, R sin t)} dt)
Φ′(s) = {−R sin s · f_{x} + R cos s · f_{y} − (−R sin sf_{x} + R cos s · f_{y})}

· exp (∫_{0}^{s} \frac{(−R sin t) · f_{x} + (R cos t)f_{y}}{f(R cos t, R sin t)} dt) = 0

⇒ f(R, 0) = Φ(0) = Φ(2π) = \underbrace{f(R, 0)}_{≠0} · exp (−2πi d(f, B_{R}(0), 0))

Das zeigt d (f, B_{R}(0), 0) ∈ ℤ. □

Bemerkung 1.4. (a) Φ(s) = Φ(0) bedeutet durch „Logarithmieren“

arg f(R cos s, R sin s) − arg f(R, 0) = Im ∫_{0}^{s} \frac{(−R sin t)f_{x} + (R cos t)f_{y}}{f(R cos t, R sin t)} dt,

so dass man Letzteres als orientierten Winkel zwischen f(R, 0) und f(R cos s, R sin s) interpretieren kann.

(b) Für die Hörer der Funktionentheorie: Man bedenke, dass bei lediglich differenzierbaren Abbildungen die Kurven f(∂B_{R}(0)) auch rechts herum durchlaufen werden können. So hat man z.B.

d(z ↦ \overline{z}, B_{1}(0), 0) = −1.

Als wichtiger als die explizite Definition werden sich die Eigenschaften des Abbildungsgrades erweisen. Die zenrale Eigenschaft ist die Homotopieinvarianz, und der folgende Hilfssatz ein erster Schritt dorthin. Bei diesem handelt es sich um eine Vorform des Satzes von Rouché.

Hilfssatz 1.5. Seien f, g ∈ C^{1}, für ein ε > 0 gelte

|f_{1}|_{∂B_{R}(0)}| > ε und |(f_{1} − f_{2})|_{∂B_{R}(0)}| < ε.

Dann gilt

d(f_{1}, B_{R}(0), 0) = d(f_{2}, B_{R}(0), 0).

Beweis. Man betrachte [0, 1] ∋ τ ↦ d(τf_{2} + (1 − τ)f_{1}, B_{R}(0), 0). Weil für alle z ∈ ∂B_{R}(0)

|τf_{2}(z) − (1 − τ)f_{1}(z)| = |f_{1}(z) − τ(f_{1}(z) − f_{2}(z))|
≥ |f_{1}(z)| − τ|f_{1}(z) − f_{2}(z)| > ε − |f_{1}(z) − f_{2}(z)| > ε − ε = 0

gilt, ist diese Abbildung für alle τ wohldefiniert und auf Grund der Theorie parameterabhängiger Integrale auch stetig in τ. Eine stetige ganzzahlige Funktion auf [0, 1] ist aber konstant, so dass

d(f_{1}, B_{R}(0), 0) = d(f_{2}, B_{R}(0), 0).

Mittels Approximation durch C^{1}-Funktionen soll nun der Abbildungsgrad für stetige Funktionen erklärt werden. Wir klären zunächst die Wohldefiniertheit eines solchen Verfahrens:

Hilfssatz 1.6. Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig und f|∂B_{R}(0) ≠ 0. Sei f̂ eine stetige Fortsetzung von f nach ℂ, die gemäß dem Fortsetzungssatz von Tietze existiert, und f_{k} ∈ C^{1} eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, die auf \overline{B_{R}(0)} gleichmäßig gegen f̂ und damit gegen f konvergiert und die gemäß dem Weierstraßschen Approximationssatz existiert. Dann existiert ein k_{0} ∈ ℕ, so dass für alle k, ℓ ≥ k_{0} gilt:

f_{k}, f_{ℓ}|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0 und d(f_{k}, B_{R}(0), 0) = d(f_{ℓ}, B_{R}(0), 0).

Beweis. Zunächst existiert wegen f|∂B_{R}(0) ≠ 0 ein ε > 0 so, dass:

∀z ∈ ∂B_{R}(0) : |f(z)| > 2ε.

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz findet man ein k_{1}, so dass:

∀k ≥ k_{1} ∀z ∈ ∂B_{R}(0) : |f_{k}(z)| > ε

und ein k_{2}, so dass:

∀k, ℓ ≥ k_{2} ∀z ∈ ∂B_{R}(0) : |f_{k}(z) − f_{ℓ}(z)| < ε.

Mit k_{0} = max(k_{1}, k_{2}) sind für f_{k}, f_{ℓ} die Voraussetzungen von Hilfssatz 1.5 erfüllt, dieser liefert die Behauptung.

Die Folge der Abbildungsgrade wird also stets stationär, welche approximierende Funktionenfolge man auch wählt; sofern nur f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0. Hat man zwei approximierende Folgen, so zeigt die „Reißverschlussfolge“ die Gleichheit der Grenzwerte. Daraus ergibt sich die Wohldefiniertheit des folgenden Verfahrens:

Definition 1.7. Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig, und f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0. Sei (f_{k})_{k∈ℕ} eine Folge aus C^{1}, die auf \overline{B_{R}(0)} gleichmäßig gegen f konvergiert. Wir definieren dann den Abbildungsgrad für die stetige Abbildung f durch

d(f, B_{R}(0), 0) := lim_{k→∞} d(f_{k}, B_{R}(0), 0).

Nun also zu der bereits angekündigten zentralen Eigenschaft des Abbildungsgrades:

Satz 1.8 (Homotopieinvarianz). Sei H : [0, 1] × \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig, außerdem gelte die Zulässigkeitsbedingung für die Homotopie H:

∀τ ∈ [0, 1], ∀z ∈ ∂B_{R}(0) : H(τ, z) ≠ 0.

Dann ist

[0, 1] → ℤ, τ ↦ d(H(τ, .), B_{R}(0), 0)

konstant.

Beweis. Es existiert ein ε > 0, so dass für alle τ ∈ [0, 1] und für alle z ∈ ∂B_{R}(0) gilt:

|H(τ, z)| > 4ε.

Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit von H kann man ein δ > 0 so finden, so dass aus

τ_{1}, τ_{2} ∈ [0, 1], |τ_{1} − τ_{2}| ≤ δ

folgt:

∀z ∈ ∂B_{R}(0) : |H(τ_{1}, z) − H(τ_{2}, z)| ≤ ε.

Man halte zwei solche τ_{1}, τ_{2} fest und bestimme zu H(τ_{1}, .) bzw. H(τ_{2}, .) ein f_{1} bzw. f_{2} ∈ C^{1} so, dass für alle z ∈ ∂B_{R}(0) gilt:

|H(τ_{1}, z) − f_{1}(z)| < \frac{ε}{2}, d(f_{1}, B_{R}(0), 0) = d(H(τ_{1}, .), B_{R}(0), 0),
|H(τ_{2}, z) − f_{2}(z)| < \frac{ε}{2}, d(f_{2}, B_{R}(0), 0) = d(H(τ_{2}, .), B_{R}(0), 0).

Es folgt |f_{1}(z)| > 3ε, |f_{2}(z)| > 3ε sowie

|f_{1}(z) − f_{2}(z)| ≤ |f_{1}(z) − H(τ_{1}, z)| + |H(τ_{1}, z) − H(τ_{2}, z)| + |H(τ_{2}, z) − f_{2}(z)|
< \frac{ε}{2} + ε + \frac{ε}{2} = 2ε.

Hilfssatz 1.5 zeigt

d(H(τ_{1}, .), B_{R}(0), 0) = d(f_{1}, B_{R}(0), 0) = d(f_{2}, B_{R}(0), 0) = d(H(τ_{2}, .), B_{R}(0), 0). (1.2)

Indem man nun 0 = τ̃_{0} < τ̃_{1} < τ̃_{2} < ⋯ < τ̃_{k} = 1 mit |τ̃_{j} − τ̃_{j−1}| < δ betrachtet, erhält man durch k-malige Anwendung von (1.2) sukzessive die Übereinstimmung und Konstanz von τ ↦ d(H(τ, .), B_{R}(0), 0).

Und nun die vielleicht wichtigste Eigenschaft des Abbildungsgrades, wegen derer man denselben überhaupt erfunden hat:

Satz 1.9. Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig und f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0. Ist d(f, B_{R}(0), 0) ≠ 0, so besitzt f in B_{R}(0) eine Nullstelle:

∃z_{0} ∈ B_{R}(0) : f(z_{0}) = 0.

Beweis. Wir nehmen an, dass für alle z ∈ B_{R}(0)

f(z) ≠ 0

ist. Dann ist die Homotopie H : [0, 1] × \overline{B_{R}(0)} → ℂ, H(τ, z) = f(τz) zulässig, und Satz 1.8 über die Homotopieinvarianz zeigt

0 ≠ d(f, B_{R}(0), 0) = d(z ↦ \underbrace{f(0)}_{≠0}, B_{R}(0), 0) = 0,

ein Widerspruch. Also:

∃z_{0} ∈ B_{R}(0) : f(z_{0}) = 0.

Eine weitere wichtige, aber nun ganz leicht zu zeigende Eigenschaft des Abbildungsgrades ist der

Satz 1.10 (Satz von Rouché). Seien f_{0}, f_{1} : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig, und für alle z ∈ ∂B_{R}(0) gelte

|f_{0}(z)| > |f_{0}(z) − f_{1}(z)|.

Dann folgt:

d(f_{0}, B_{R}(0), 0) = d(f_{1}, B_{R}(0), 0).

Beweis. Die triviale Homotopie H(τ, z) = τf_{1}(z) + (1 − τ)f_{0}(z) ist zulässig, denn man hat für alle τ ∈ [0, 1] und alle z ∈ ∂B_{R}(0):

|τf_{1}(z) + (1 − τ)f_{0}(z)| ≥ |f_{0}(z)| − τ|f_{0}(z) − f_{1}(z)|
≥ |f_{0}(z)| − |f_{0}(z) − f_{1}(z)| > 0.

Satz 1.8 von der Homotopieinvarianz zeigt die Behauptung.

Als Folgerung aus dem Satz von Rouché erhält man auch den Fundamentalsatz der Algebra: dazu ist nur d(z ↦ z^{n}, B_{R}(0), 0) und eine geeignete Störung von z ↦ z^{n} auf hinreichend großen Kreisscheiben B_{R}(0) zu betrachten.

Satz 1.11 (Brouwerscher Fixpunktsatz in ℂ). Sei f : \overline{B_{1}(0)} → \overline{B_{1}(0)} stetig. Dann hat f einen Fixpunkt:

∃ξ ∈ \overline{B_{1}(0)} : f(ξ) = ξ.

Beweis. Für k ∈ ℕ betrachten wir

g_{k} : \overline{B_{1}(0)} → ℂ , g_{k}(z) = z − (1 − \frac{1}{k}) f(z).

Für |z| = 1 gilt

|z − g_{k}(z)| = |1 − \frac{1}{k}| · |f(z)| ≤ 1 − \frac{1}{k} < 1 = |z|.

Nach dem Satz von Rouché ist also

d(g_{k}, B_{1}(0), 0) = d(id, B_{1}(0), 0) = 1.

Somit existiert ein ξ_{k} ∈ B_{1}(0) mit g_{k} (ξ_{k}) = 0, so dass

ξ_{k} = (1 − \frac{1}{k}) f (ξ_{k}) .  (∗)

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existieren eine Teilfolge (k_{ℓ})_{ℓ∈ℕ} und ein ξ ∈ \overline{B_{1}(0)}, so dass:

ξ_{k_{ℓ}} → ξ (ℓ → ∞).

Wegen der Stetigkeit von f ergibt (∗) für k_{ℓ} → ∞:

ξ = f(ξ).

Wir beseitigen in der Definition des Abbildungsgrades noch die Ausnahmerolle des Wertes 0:

Definition 1.12. Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig, w ∈ ℂ so, dass für alle z ∈ ∂B_{R}(0) gilt: f(z) ≠ w. Dann definieren wir

d(f, B_{R}(0), w) := d(f(.) − w, B_{R}(0), 0)

als Abbildungsgrad von f auf B_{R}(0) bezüglich des Wertes w.

Satz 1.13. Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig, Γ = f(∂B_{R}(0)), G ⊂ ℂ \ Γ sei ein Gebiet. Dann ist

G ∋ w ↦ d(f, B_{R}(0), w)

auf G konstant.

Beweis. G ist offen und zusammenhängend, also wegweise zusammenhängend. Seien w_{0}, w_{1} ∈ G, γ : [0, 1] → G ein Weg mit

γ(0) = w_{0}, γ(1) = w_{1}.

Wir betrachten die Homotopie

H : [0, 1] × \overline{B_{R}(0)} → ℂ, H(τ, z) = f(z) − γ(τ).

Da γ(τ) ∈ ℂ \ f(∂B_{R}(0)), gilt

∀τ ∈ [0, 1], ∀z ∈ ∂B_{R}(0) : H(τ, z) ≠ 0.

Also ist H eine zulässige Homotopie, und Satz 1.8 gibt:

d(f, B_{R}(0), w_{0}) = d(H(0, .), B_{R}(0), 0) = d(H(1, .), B_{R}(0), 0) = d(f, B_{R}(0), w_{1}).

Zum Abschluss wird gezeigt, dass die aus der Funktionentheorie bekannte Nullstellen- bzw. Indexformel auch im Rahmen stetiger Funktionen ihre Gültigkeit behält. Man beachte dabei, dass Indizes von Nullstellen nun aber auch negativ sein können!

Definition 1.14. Sei z_{0} ∈ ℂ eine isolierte Nullstelle von f; das heißt, es gebe ein ρ > 0, so dass f : \overline{B_{ρ}(z_{0})} → ℂ stetig ist, f(z_{0}) = 0 und ∀z ∈ \overline{B_{ρ}(z_{0})} \ \{z_{0}\} : f(z) ≠ 0. Dann nennt man den lokalen Abbildungsgrad

ind(f, z_{0}) := d(f, B_{ρ}(z_{0}), 0)

den Index der Nullstelle z_{0} von f.

Satz 1.15 (Indexsatz). Sei f : \overline{B_{R}(0)} → ℂ stetig und f|_{∂B_{R}(0)} ≠ 0. f habe in B_{R}(0) nur die isolierten paarweise verschiedenen Nullstellen z_{1}, …, z_{ℓ} : f(z_{1}) = ⋯ = f(z_{ℓ}) = 0, ∀z ∈ \overline{B_{R}(0)} \ \{z_{1}, …, z_{ℓ}\} : f(z) ≠ 0. Dann gilt:

d(f, B_{R}(0), 0) = ∑_{j=1}^{ℓ} ind(f, z_{j}).

Beweis. Seien ε > 0 und ρ_{1}, …, ρ_{ℓ} > 0 so, dass \overline{B_{ρ_{j}}(z_{j})} ⊂ B_{R}(0), \overline{B_{ρ_{j}}(z_{j})} ∩ \overline{B_{ρ_{k}}(z_{k})} = ∅

für j ≠ k, ∀z ∈ \overline{B_{R}(0)} \ ⋃_{j=1}^{ℓ} B_{ρ_{j}}(z_{j}) : |f(z)| > 2ε. Sei f̃ ∈ C^{2} so, dass ∀z ∈ \overline{B_{R}(0)} :

|f(z) − f̃(z)| < ε, dann gilt nach dem Satz von Rouché:

j = 1, …, ℓ : ind(f, z_{j}) = d(f̃, B_{ρ_{j}}(z_{j}), 0),
d(f, B_{R}(0), 0) = d(f̃, B_{R}(0), 0),

und für f̃ hat man nach dem Stokesschen Satz (wobei alle Kurven links herum parametrisiert sind):

d(f̃, B_{R}, 0) − ∑_{j=1}^{ℓ} d(f̃, B_{ρ_{j}}(z_{j}), 0)

= \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{R}(0)} (\frac{f̃_{x}}{f̃} dx + \frac{f̃_{y}}{f̃} dy) − ∑_{j=1}^{ℓ} \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{ρ_{j}} (z_{j})} (\frac{f̃_{x}}{f̃} dx + \frac{f̃_{y}}{f̃} dy)

= \frac{1}{2πi} ∫_{∂(B_{R}(0)\(∪B_{ρ_{j}} (z_{j})))} (\frac{f̃_{x}}{f̃} dx + \frac{f̃_{y}}{f̃} dy)

= \frac{1}{2πi} ∫_{B_{R}(0)\(∪B_{ρ_{j}} (z_{j}))} (−\frac{∂}{∂y} (\frac{f̃_{x}}{f̃} ) + \frac{∂}{∂x} (\frac{f̃_{y}}{f̃} )) d(x, y).

Man beachte dabei, dass f̃|\overline{B_{R}(0)} \ (∪B_{ρ_{j}}(z_{j})) ≠ 0. Für den Integranden gilt:

−\frac{∂}{∂y} (\frac{f̃_{x}}{f̃} ) + \frac{∂}{∂x} (\frac{f̃_{y}}{f̃} ) = \frac{1}{f̃} (−f̃_{xy} + f̃_{yx}) − \frac{1}{f̃^{2}} (−f̃_{x}f̃_{y} + f̃_{y}f̃_{x}) = 0,

woraus direkt die Indexformel folgt.

2 Der Brouwersche Abbildungsgrad in ℝ^{n}

Ursprünglich (vor 1950) war der Abbildungsgrad ein Werkzeug allein aus der algebraischen Topologie. Hier werden wir nun eine Verallgemeinerung der analytischen Theorie aus §1 für n = 2 auf beliebige Raumdimensionen darstellen. Sei f = u + iv : ℂ → ℂ, der Einfachheit halber zweimal stetig differenzierbar angenommen, |f |_{∂B_{R}(0)}| > ε > 0, definitionsgemäß ist dann

d(f, B_{R}(0), 0) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} (\frac{f_{x}}{f} dx + \frac{f_{y}}{f} dy) .  (2.1)

Aus verschiedenen Gründen erscheint diese Formel zur Verallgemeinerung auf beliebige Raumdimensionen zunächst wenig ermutigend:

• Relativ starke Regularitätsanforderungen an ∂Ω = ∂B_{R}(0),

• Was ersetzt i.a. \frac{1}{f}?

• Wie konstruiert man aus f, ∇f eine geeignete (n − 1)-Form?

Mit Hilfe des Stokesschen Satzes soll nun (2.1) in ein verallgemeinerungsfähiges Flächenintegral umgeformt werden. Zur Löschung möglicher Singularitäten von \frac{1}{f} führen wir eine Abschneidefunktion ein: Sei 0 < δ < ε, ψ ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) so, dass

ψ(r) := \begin{cases}0 , r ≤ δ, \\ 1 , r ≥ ε. \end{cases}

Insbesondere ist ψ(|f(z)|) = 0 in einer Umgebung der Nullstellenmenge von f und ψ(|f(z)|) = 1 auf ∂B_{R}(0). Also wird \frac{ψ(|f(z)|)}{f(z)} auf der Nullstellenmenge von f durch 0 stetig differenzierbar nach \overline{B_{R}(0)} fortgesetzt, und wir erhalten mit Hilfe des Stokesschen Satzes:

d(f, B_{R}(0), 0) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} \frac{ψ(|f|)}{f}(f_{x} dx + f_{y} dy)

= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} \{\frac{∂}{∂x} (ψ(|f|)\frac{f_{y}}{f} ) − \frac{∂}{∂y} (ψ(|f|)\frac{f_{x}}{f} )\} d(x, y)

= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} \{f_{y} \frac{∂}{∂x} (\frac{ψ(|f|)}{f}) − f_{x} \frac{∂}{∂y} (\frac{ψ(|f|)}{f})\} d(x, y)

= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} \{\frac{f_{y}}{f} \frac{∂}{∂x}(ψ(|f|)) − \frac{f_{x}}{f} \frac{∂}{∂y} (ψ(|f|))\} d(x, y)

\begin{aligned}= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} & \{\frac{f_{y}}{f} · ψ′(|f|) · \frac{1}{|f|} · (u u_{x} + v v_{x}) \\ & −\frac{f_{x}}{f} · ψ′(|f|) · \frac{1}{|f|} · (u u_{y} + v v_{y})\} d(x, y) \end{aligned}

= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} \frac{ψ′(|f|)}{|f|} · \frac{1}{f} · \{ u u_{x}u_{y} + v v_{x}u_{y}
− u u_{x}u_{y} − v u_{x}v_{y}
+ i u u_{x}v_{y} + i v v_{x}v_{y}

− i u u_{y}v_{x} − i v v_{y}v_{x}} d(x, y)

= \frac{1}{2πi} ∫_{|z|<R} \frac{ψ′(|f|)}{|f|} · \frac{1}{f} · (u_{x}v_{y} − v_{x}u_{y}) · \underbrace{(−v + iu))}_{i f} d(x, y)

= \frac{1}{2π} ∫_{|z|<R} \frac{ψ′(|f|)}{|f|} (u_{x}v_{y} − v_{x}u_{y}) d(x, y).

Mit der Bezeichnung

J_{f}(x, y) = det ( \begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix} ) für die Jacobi–Determinante

und der Setzung

ω(r) := \frac{ψ′(r)}{2πr}

wird

d(f, B_{R}, 0) = ∫_{|z|<R} ω(|f(x, y)|) · J_{f}(x, y) d(x, y).  (2.2)

Dabei ergeben sich aus der Herleitung folgende Bedingungen an ω:

1. ω : ℝ → ℝ ist stetig.

2. Ist |f(z)| > ε für |z| = R und ein geeignetes ε > 0, so gibt es ein δ ∈ (0, ε) derart, dass ω(r) = 0 für r ≥ ε und r ≤ δ gilt.

3. Für r ≥ ε ist 1 = ψ(r) = ∫_{0}^{r} ψ′(ρ)dρ = 2π ∫_{0}^{r} ρω(ρ)dρ, insbesondere also

1 = 2π ∫_{0}^{∞} ρω(ρ) dρ = ∫_{ℝ^{2}} ω(|(x, y)|) d(x, y).

Soweit die vorbereitenden Umformungen für den Fall n = 2, von nun an werden wir beliebiges n ∈ ℕ betrachten. Die Relation (2.2) soll zur Definition erhoben werden. Vorab ist die Wohldefiniertheit zu klären, d. h. die Unabhängigkeit von der Wahl der Testfunktion ω.

Bezeichnung. Mit C^{k} := C^{k}(ℝ^{n}, ℝ^{n}) bezeichnen wir die k-mal stetig differenzierbaren Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n}, sofern nicht ausdrücklich etwas Anderes vereinbart wird.

Hilfssatz 2.1. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{2}, |f(x)| > ε > 0 auf ∂Ω. Ferner sei ω ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) mit ω(r) = 0 für r ≥ ε und r ≤ δ mit einem geeigneten δ ∈ (0, ε). Ferner sei ∫_{0}^{∞} r^{n−1}ω(r)dr = 0. Dann gilt:

∫_{Ω} ω (|f(x)|) J_{f}(x) dx = 0.  (2.3)

Beweis. Die Strategie besteht darin, ein Vektorfeld τ ∈ C_{0}^{1} (Ω, ℝ^{n}) zu konstruieren mit div τ(x) = ω(|f(x)|)J_{f}(x). Damit ergibt dann die Elementarform des Gaußschen Satzes, dass die linke Seite von (2.3) = ∫_{Ω} div τ dx = 0.

(a) Zur Divergenzstruktur der Jacobi–Determinante: Diese lässt sich zum Beispiel in zwei Dimensionen schnell einsehen:

f_{x_{1}}^{(1)}f_{x_{2}}^{(2)} − f_{x_{2}}^{(1)}f_{x_{1}}^{(2)} = (f^{(1)}f_{x_{2}}^{(2)})_{x_{1}} − (f^{(1)}f_{x_{1}}^{(2)})_{x_{2}} .

Um auch im Allgemeinen etwas Analoges zu erhalten, soll die Adjunktenformel A·adA = det A · E verwendet werden.

Es bezeichne Df(x) = (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} )_{i,j=1,...,n} die Jacobi-Matrix der Abbildung f, A_{ji}(x) deren

(j, i)–ten Kofaktor, d.h. das = (−1)^{i+j}–fache der Determinante von Df(x) ohne deren j–te Zeile und i–te Spalte. Man hat also

A_{ji}(x) = det (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \underbrace{e_{j}}_{i-te Spalte}, …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

Die Adjunkte ist dann definiert als die transponierte Kofaktoren–Matrix:

ad(Df(x)) = (A_{ji})_{i,j=1,...,n} .

Aus A · adA = det A · E folgt für k = 1, …, n :

J_{f}(x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f_{k}}{∂x_{i}} · A_{ki}

= ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (f_{k}A_{ki}) − f_{k} ∑_{i=1}^{n} \frac{∂A_{ki}}{∂x_{i}} .  (2.4)

Der erste Schritt ist also erreicht, wenn für k = 1, …, n

∑_{i=1}^{n} \frac{∂A_{ki}}{∂x_{i}} = 0  (2.5)

gezeigt wird.

Beweis von (2.5): Aus der definierenden Gleichung der Kofaktoren und der Produktregel erhält man:

A_{ki} = det (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{i−1}} , \underbrace{e_{k}}_{i-te Spalte}, \frac{∂f}{∂x_{i+1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ),

\frac{∂}{∂x_{i}} A_{ki} = ∑_{{ℓ=1 \atop ℓ≠i}}^{n} det (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \underbrace{\frac{∂}{∂x_{i}} \frac{∂f}{∂x_{ℓ}}}_{ℓ-te Spalte}, …, \underbrace{e_{k}}_{i-te Spalte}, …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

Indem man diesen Term mit Faktor \frac{1}{2} zweimal hinschreibt und im zweiten Term i und ℓ miteinander vertauscht, folgt weiter

∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} A_{ki} = \frac{1}{2} ∑_{{i,ℓ=1 \atop i≠ℓ}}^{n} det (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \underbrace{\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{ℓ}}}_{ℓ-te Spalte}, …, \underbrace{e_{k}}_{i-te Spalte}, … \frac{∂f}{∂x_{n}})

+\frac{1}{2} ∑_{{i,ℓ=1 \atop i≠ℓ}}^{n} det (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \underbrace{e_{k}}_{ℓ-te Spalte} , …, \underbrace{\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{ℓ}}}_{i-te Spalte}, …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

Für festes i, ℓ entsprechen die Determinanten einander bis auf die Vertauschung zweier Spalten, d. h. bis auf den Faktor (−1), womit die Gleichung (2.5) bewiesen ist.

Aus (2.5) und (2.4) folgt somit für k = 1, …, n:

J_{f}(x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (f_{k}(x) · A_{ki}(x))  (2.6)

bzw.

J_{f}(x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f_{k}(x)A_{ki}(x)) .  (2.6’)

(b) Zur Divergenzstruktur von ω(|f(x)|)J_{f}(x): Ansatz: Wir ersetzen in (2.6’) die Konstante \frac{1}{n} durch φ(|f(x)|) mit einer noch zu bestimmenden hinreichend glatten Funktion φ : ℝ → ℝ, die φ(r) = 0 für r ≤ δ erfüllt. In den folgenden Umformungen verwenden wir (2.6’):

ω(|f(x)|)J_{f}(x) =^{!} ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (φ(|f(x)|) (∑_{k=1}^{n} f_{k}(x)A_{ki}(x)))

= ∑_{i,k,ℓ=1}^{n} (φ′(|f(x)|)\frac{f_{ℓ}(x)}{|f(x)|} · \underbrace{\frac{∂f_{ℓ}}{∂x_{i}} A_{ki}}_{Summe über i ergibt δ_{kℓ}J_{f} (x)} ·f_{k}(x))

+nφ(|f(x)|) · J_{f}(x)
= (φ′(|f(x)|)|f(x)| + nφ(|f(x)|))J_{f}(x).

Das ist erfüllt, falls:

ω(r) = rφ′(r) + nφ(r) = r^{1−n} (r^{n}φ(r))′
⇔ (r^{n}φ)′ = r^{n−1}ω(r)
⇔ r^{n}φ = ∫_{0}^{r} ρ^{n−1}ω(ρ)dρ + 0.

Somit löst

φ(r) = r^{−n} ∫_{0}^{r} ρ^{n−1}ω(ρ) dρ  (2.7)

dieses Problem. Zudem ist, und hier gehen die Voraussetzungen unseres Hilfssatzes entscheidend ein: φ(r) = 0 für r ≤ δ und r ≥ ε. Insbesondere haben wir φ ∈ C^{1}(ℝ, ℝ).

(c) Zusammenfassend gilt in Ω mit dem gemäß (2.7) gewählten φ:

ω(|f(x)|)J_{f}(x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (φ(|f(x)|) (∑_{k=1}^{n} f_{k}(x)A_{ki}(x)))
=: div τ(x).

Da auf ∂Ω gemäß unseren Voraussetzungen |f(x)| > ε und deshalb φ(|f(x)|) = 0 gilt, haben wir somit wie angestrebt supp τ ⊂ Ω und damit das Vektorfeld τ ∈ C_{0}^{1}(Ω) erhalten.

Bemerkung 2.2. Nachdem f ∈ C^{1} gemäß der zweiten Formulierung des Satzes A.5 von Weierstraß in der C^{1}-Norm auf kompakten Bereichen durch eine Folge (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{2} approximiert werden kann, bleibt Hilfssatz 2.1 auch für f ∈ C^{1} gültig.

Definition 2.3. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{1} und f ≠ 0 auf ∂Ω. Seien δ, ε > 0 mit |f(x)| > ε > δ > 0 für x ∈ ∂Ω. Sei ferner ω ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) so gewählt, dass ω(r) = 0 für r ≤ δ und r ≥ ε sowie ∫_{ℝ^{n}} ω(|y|) dy = 1 erfüllt ist. Dann wird durch

d(f, Ω) := d(f, Ω, 0) := ∫_{Ω} ω(|f(x)|)J_{f}(x) dx

der Abbilungsgrad von f auf Ω bezüglich 0 (degree of mapping) erklärt.

Bemerkung 2.4. (a) Aus Hilfssatz 2.1 ergibt sich unmittelbar die Wohldefiniertheit, wenn man noch die elementare Formel für radialsymmetrische Integration ∫_{B_{R}} ω(|y|) dy = ne_{n} ∫_{0}^{R} ρ^{n−1}ω(ρ) dρ zu Grunde legt. Dabei bezeichnet e_{n} = |B_{1}(0)| das n-dimensionale Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel. Die allgemeine Transformationsformel wird nicht benötigt.

(b) Die Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades, d.h. d(f, Ω, 0) ∈ ℤ, können wir erst später und mit beträchtlichem Aufwand zeigen. Dazu siehe unten Satz 3.10.

(c) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, x_{0} ∉ ∂Ω. Dann kann man sich leicht davon überzeugen, dass gilt:

d(id − x_{0}, Ω, 0) = \{ \begin{matrix}1, & falls x_{0} ∈ Ω, \\ 0, & falls x_{0} ∉ \overline{Ω}, \end{matrix}
d(−(id − x_{0}), Ω, 0) = \{ \begin{matrix}(−1)^{n}, & falls x_{0} ∈ Ω, \\ 0, & falls x_{0} ∉ \overline{Ω}. \end{matrix}

Die nächsten Ziele sind die Ausdehnung der Definition auf stetige Funktionen und der Nachweis der Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades. Dazu dient das folgende „7ε–Lemma“, das im wesentlichen auf der Unabhängigkeit des Abbildungsgrades von der Wahl der Testfunktion beruht.

Hilfssatz 2.5 (7ε-Lemma von Heinz). Seien f_{1}, f_{2} ∈ C^{1}, Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, für x ∈ ∂Ω gelte |f_{i}(x)| > 7ε > 0 (i = 1, 2). Ferner gelte |f_{1}(x) − f_{2}(x)| < ε für x ∈ \overline{Ω}. Dann ist

d(f_{1}, Ω, 0) = d(f_{2}, Ω, 0).

Beweis. Man führt eine „Übergangsfunktion“ f_{3} ein, die abhängig von der Größe von |f_{1}| teilweise mit f_{1} und teilweise mit f_{2} übereinstimmt. Sei λ ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) mit 0 ≤ λ ≤ 1 und

λ(r) = \{ \begin{matrix}1, & r ≤ 3ε, \\ 0, & 4ε ≤ r. \end{matrix}

Wir setzen f_{3}(x) = (1−λ(|f_{1}(x)|))f_{1}(x)+λ(|f_{1}(x)|)f_{2}(x). Für x ∈ ∂Ω ist f_{3}(x) = f_{1}(x), |f_{3}(x)| > 7ε, für x ∈ \overline{Ω} ist

|f_{3}(x) − f_{1}(x)| = λ(|f_{1}(x)|)|f_{1}(x) − f_{2}(x)| < ε
|f_{3}(x) − f_{2}(x)| = (1 − λ(|f_{1}(x)|))|f_{1}(x) − f_{2}(x)| < ε.

Schließlich ist,

falls 0 ≤ |f_{1}(x)| ≤ 3ε : f_{3}(x) = f_{2}(x),
falls 4ε ≤ |f_{1}(x)| :  f_{3}(x) = f_{1}(x).

Wir betrachten Testfunktionen ω_{1}, ω_{2} ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) mit ∫_{ℝ^{n}} ω_{i}(|x|) dx = 1 und

ω_{1}(r) = 0 für r ≤ 5ε und r ≥ 6ε,
ω_{2}(r) = 0 für r ≤ ε und r ≥ 2ε.

Dann gilt für alle x ∈ Ω:

ω_{1}(|f_{1}(x)|)J_{f_{1}}(x) = ω_{1}(|f_{3}(x)|)J_{f_{3}}(x),  (2.8)
ω_{2}(|f_{2}(x)|)J_{f_{2}}(x) = ω_{2}(|f_{3}(x)|)J_{f_{3}}(x).  (2.9)

Zu (2.8): Auf der offenen Teilmenge {x ∈ Ω : |f_{1}(x)| > 4ε} stimmen f_{1} und f_{3}, also auch J_{f_{1}} und J_{f_{3}} überein. Auf {x ∈ Ω : |f_{1}(x)| ≤ 4ε} hat man hingegen ω_{1}(|f_{1}(x)|) = 0 = ω_{1}(f_{3}(x)|). Zu (2.9): Auf der offenen Teilmenge {x ∈ Ω : |f_{1}(x)| < 3ε} hat man f_{2} = f_{3} und damit auch J_{f_{2}} = J_{f_{3}}. Auf {x ∈ Ω : |f_{1}(x)| ≥ 3ε} ist wiederum ω_{2}(|f_{2}(x)|) = 0 = ω_{2}(|f_{3}(x)|). Zuletzt sind ω_{1}, ω_{2} zulässige Testfunktionen für f_{1}, f_{2}, f_{3}, und es folgt mittels Hilfssatz 2.1:

d(f_{1}, Ω) = ∫_{Ω} ω_{1}(|f_{1}(x)|)J_{f_{1}}(x) dx = ∫_{Ω} ω_{1}(|f_{3}(x)|)J_{f_{3}}(x) dx
= ∫_{Ω} ω_{2}(|f_{3}(x)|)J_{f_{3}}(x) dx = ∫_{Ω} ω_{2}(|f_{2}(x)|)J_{f_{2}}(x) dx = d(f_{2}, Ω).

Eine erste unmittelbare Konsequenz von Hilfssatz 2.5 ist:

Hilfssatz 2.6. Sei f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}), f ≠ 0 auf ∂Ω. Die Folge (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1} konvergiere auf \overline{Ω} gleichmäßig gegen f. Dann existiert ein k_{0} ∈ ℕ, so dass für alle k, ℓ ≥ k_{0} gilt

f_{k} ≠ 0 auf ∂Ω,  f_{ℓ} ≠ 0 auf ∂Ω,  d(f_{k}, Ω) = d(f_{ℓ}, Ω).

Definition 2.7. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}), f ≠ 0 auf ∂Ω. Man wähle dazu eine approximierende Folge (f_{k}) ⊂ C^{1}, f_{k} ≠ 0 auf ∂Ω, so dass f_{k} → f auf \overline{Ω} gleichmäßig konvergiert. Dann wird der Abbildungsgrad von f auf Ω (bezüglich 0) erklärt durch

d(f, Ω) := d(f, Ω, 0) := lim_{k→∞} d(f_{k}, Ω, 0).

Es sei an die Sätze von Weierstraß A.3 und Tietze A.6 erinnert, die die Existenz einer solchen approximierenden Folge sicherstellen.

Satz 2.8 (Homotopiesatz). Sei (f_{τ})_{τ∈[0,1]} ⊂ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}) eine Schar von Abbildungen, die die Zulässigkeitsbedingungen der Homotopie

f_{τ} ≠ 0 auf ∂Ω (τ ∈ [0, 1]);
((τ, x) ↦ f_{τ}(x)) ∈ C^{0} ([0, 1] × \overline{Ω})

erfüllen. Dann ist

[0, 1] ∋ τ → d(f_{τ}, Ω, 0)

konstant.

Beweis. Es sei ε > 0 so, dass für alle τ ∈ [0, 1], x ∈ ∂Ω gilt:

|f_{τ}(x)| > 8ε.

Wir bestimmen dazu ein δ > 0, so dass aus τ, τ′ ∈ [0, 1], |τ − τ′| ≤ δ für alle x ∈ \overline{Ω} folgt

|f_{τ}(x) − f_{τ′}(x)| ≤ \frac{ε}{2}.

Für je zwei derartige τ, τ′ bestimme man f̃_{τ}, f̃_{τ′} ∈ C^{1} mit

|f_{τ}(x) − f̃_{τ}(x)| < \frac{ε}{4}, |f_{τ′}(x) − f̃_{τ′}(x)| < \frac{ε}{4} (x ∈ \overline{Ω}),

d(f_{τ}, Ω) = d(f̃_{τ}, Ω), d(f_{τ′}, Ω) = d(f̃_{τ′}, Ω).

Damit gilt:

|f̃_{τ}(x)| > 7ε, |f̃_{τ′}(x)| > 7ε (x ∈ ∂Ω);
|f̃_{τ}(x) − f̃_{τ′}(x)| < ε (x ∈ \overline{Ω}).

Das 7ε–Lemma 2.5 zeigt schließlich

d(f_{τ}, Ω) = d(f̃_{τ}, Ω) = d(f̃_{τ′}, Ω) = d(f_{τ′}, Ω).

D. h. τ → d(f_{τ}, Ω) ist jeweils auf Intervallen der festen Länge δ und damit auf [0, 1] konstant.

Der nächste Satz befasst sich mit unserem eigentlichen Ziel, der Nullstellensuche:

Satz 2.9. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}), f ≠ 0 auf ∂Ω. Es sei d(f, Ω, 0) ≠ 0. Dann existiert ein ξ ∈ Ω mit

f(ξ) = 0.

Beweis. Annahme: f ≠ 0 in \overline{Ω}. Man wähle ε > 0 mit |f(x)| ≥ 2ε in \overline{Ω} und bestimme ein f̃ ∈ C^{1} mit

|f(x) − f̃(x)| < ε, sowie d(f, Ω, 0) = d(f̃, Ω, 0),
⇒ |f̃(x)| > ε (x ∈ \overline{Ω}).

Wir wählen eine Testfunktion ω ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) mit den üblichen Bedingungen, sowie mit ω(r) = 0 für r ≥ ε. Damit ist

0 ≠ d(f, Ω, 0) = d(f̃, Ω, 0) = ∫_{Ω} ω(|f(x)|)J_{f}(x) dx = 0.

Widerspruch !

Satz 2.10 (Satz von Rouché). Seien f_{0}, f_{1} ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}), für x ∈ ∂Ω gelte

|f_{0}(x) − f_{1}(x)| < |f_{1}(x)|.

Dann ist

d(f_{0}, Ω, 0) = d(f_{1}, Ω, 0).

Beweis. Man beachte, dass aus der Voraussetzung f_{0}(x) ≠ 0, f_{1}(x) ≠ 0 für x ∈ ∂Ω folgt. Für τ ∈ [0, 1] betrachte man die triviale Homotopie f_{τ}(x) = τf_{0}(x) + (1 − τ)f_{1}(x).

Bemerkung. Laut dem Satz von Rouché hängt d(f, Ω, 0) nur von f|_{∂Ω} ab. Deshalb definieren wir:

Definition 2.11. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f : ∂Ω → ℝ^{n} sei stetig, 0 ∉ f(∂Ω). Sei f̂ ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}) eine stetige Fortsetzung von f, d.h. f̂|_{∂Ω} = f. Dann heißt

v(f, ∂Ω) := d(f̂, Ω)

die Ordnung von f auf Ω (bezüglich 0).

Man beachte, dass die Existenz dieser Fortsetzung wieder durch den Satz von Tietze A.6 gesichert wird. Indem man diesen Satz direkt auf [a, b] × ∂Ω anwendet, gilt auch für die Ordnung in offensichtlicher Weise ein Homotopiesatz. Zum Abschluss dieses Abschnitts folgen zwei der bekanntesten Sätze aus der Topologie.

Satz 2.12 (Fixpunktsatz von Brouwer). Jede stetige Abbildung f : \overline{B_{1}(0)} → \overline{B_{1}(0)} der abgeschlossenen Einheitskugel in sich hat einen Fixpunkt, d. h. es existiert ein ξ ∈ \overline{B_{1}(0)} mit

f(ξ) = ξ.

Beweis. Für τ ∈ [0, 1), x ∈ \overline{B_{1}(0)} betrachten wir die stetige Schar von Abbildungen

f_{τ}(x) = x − τf(x).

Für x ∈ ∂B_{1}(0) ist |f_{τ}(x)| ≥ |x| − τ|f(x)| ≥ 1 − τ > 0. Wegen des Homotopiesatzes gilt für 0 ≤ τ < 1:

d(f_{τ}, B_{1}(0)) = d(f_{0}, B_{1}(0)) = d(id, B_{1}(0)) = 1.

Also existiert für jedes τ ∈ [0, 1) ein ξ_{τ} ∈ B_{1}(0), so dass 0 = f_{τ}(ξ_{τ}) = ξ_{τ} − τf(ξ_{τ}). Nun existiert nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß eine Folge τ_{k} ↗ 1 sowie ein ξ ∈ \overline{B_{1}(0)} mit lim_{k→∞} ξ_{τ_{k}} = ξ. Auf Grund der Stetigkeit von f folgt schließlich: 0 = ξ − f(ξ).

Bemerkung 2.13. (a) Wie man am Beispiel der Identität sieht, kann f beliebig viele Fixpunkte haben.

(b) Ist K ⊂ ℝ^{n} kompakt und homöomorph zu B_{1}(0), dann gilt auch in K der Brouwersche Fixpunktsatz.

(c) Wir werden später zeigen: Zumindest für kompaktes konvexes K gilt der Brouwersche Fixpunktsatz, dazu siehe man unten Satz 6.3.

(d) Der Satz gilt nicht in der Kugelschale K = \overline{B_{2}(0)} \ B_{1}(0); man betrachte beispielsweise f(x) = −x.

Satz 2.14 (Igelsatz von Poincaré–Brouwer). Sei n ungerade , n ≥ 3. Dann gibt es auf der Sphäre S^{n−1} = {x ∈ ℝ^{n} : |x| = 1} kein stetiges normiertes Tangentialvektorfeld, d.h. kein stetiges φ : S^{n−1} → ℝ^{n}, für das |φ(x)| = 1 und φ(x) · x = 0 für alle x ∈ S^{n−1} gilt. In ungeraden Raumdimensionen kann der Igel also nicht gekämmt werden.

Beweis. Sei ε ∈ {+1, −1}, f_{0}(x) := εx. Annahme: So ein φ existiert doch. Für (τ, x) ∈ [0, 1] × S^{n−1} = [0, 1] × ∂B_{1}(0) definieren wir

f_{τ}(x) = τφ(x) + (1 − τ)f_{0}(x).

Die Zulässigkeit dieser Homotopie ergibt sich aus der folgenden Rechnung:

|f_{τ}(x)|^{2} = τ^{2}|φ(x)|^{2} + 2τ(1 − τ)(\underbrace{φ(x) · f_{0}(x)}_{=0}) + (1 − τ)^{2}|f_{0}(x)|^{2}
= τ^{2} + (1 − τ)^{2} ≠ 0.

Der Homotopiesatz zeigt also

v(φ, S^{n−1}) = v(f_{0}, S^{n−1}) = d(f_{0}, B_{1}(0)) = ε^{n}.

Das bedeutet, dass dann (−1)^{n} = 1 gelten würde. Bei ungeradem n ergibt sich ein Widerspruch.

3 Der Index einer Abbildung, die Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades

Hilfssatz 3.1 (Additivität des Abbildungsgrades). Seien Ω_{1}, Ω_{2} ⊂ ℝ^{n} beschränkt, offen und disjunkt. Sei f ∈ C^{0} mit f|_{∂Ω_{1}∪∂Ω_{2}} ≠ 0. Dann gilt:

d(f, Ω_{1} ∪ Ω_{2}) = d(f, Ω_{1}) + d(f, Ω_{2}).

Beweis. Approximation durch (f_{k}) ⊂ C^{1}; Additivität des Integrals.

Hilfssatz 3.2. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0} mit f|∂Ω ≠ 0. Sei F = \{x ∈ \overline{Ω} : f(x) = 0}. Weiter sei Ω_{0} offen mit F ⊂ Ω_{0} ⊂ Ω. Dann gilt

d(f, Ω) = d(f, Ω_{0}).

Beweis. Für geeignetes ε > 0 ist |f(x)| > ε auf \overline{Ω}\Ω_{0}; man approximiere f auf \overline{Ω} gleichmäßig durch (f_{k}) ⊂ C^{1}, so dass |f_{k}(x)| > ε auf \overline{Ω} \ Ω_{0}. Sei ω zulässige Testfunktion mit ω(r) = 0 für r ≥ ε, dann gilt

d(f, Ω) = lim_{k→∞} ∫_{Ω} ω(|f_{k}(x)|)J_{f_{k}}(x) dx = lim_{k→∞} ∫_{Ω_{0}} ω(|f_{k}(x)|)J_{f_{k}}(x) dx = d(f, Ω_{0}).

Definition 3.3. Sei z ∈ ℝ^{n}, ρ > 0, f ∈ C^{0}(\overline{B_{ρ}(z)}, ℝ^{n}), f(z) = 0, f(x) ≠ 0 für x ∈ \overline{B_{ρ}(z)}\\{z\}. Dann heißt

ind(f, z) := d(f, B_{ρ}(z))

der Index der Nullstelle z von f.

Damit folgt unmittelbar:

Satz 3.4 (Indexsatz). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0} mit f|∂Ω ≠ 0. Ferner habe f in Ω genau p paarweise verschiedene Nullstellen z_{1}, …, z_{p} ∈ Ω. Dann gilt:

d(f, Ω) = ∑_{j=1}^{p} ind(f, z_{j}).

Unsere nächste Aufgabe besteht nun in der Indexberechnung, zunächst für isolierte, nichtdegenerierte Nullstellen stetig differenzierbarer Abbildungen. Dann wird der Nachweis zu führen sein, dass diese Situation generisch ist, dass man diese also durch Approximation mit beliebig kleinem Fehler herstellen kann. Zunächst rekapitulieren wir einen Faktorisierungssatz aus der Linearen Algebra:

Hilfssatz 3.5. Sei A ∈ ℝ^{n×n} eine reguläre Matrix, d.h. det(A) ≠ 0. Dann existieren eine positiv definite symmetrische Matrix P und eine orthogonale Matrix S ∈ O(n) mit A = SP.

Beweis. Über die Hauptachsentransformation findet man ein positiv definites symmetrisches P mit P^{2} = A^{t} · A. Setze S = AP^{−1}, dann ist definitionsgemäß A = SP, und wegen

S^{t}S = (AP^{−1})^{t} · (AP^{−1}) = \underbrace{(P^{−1})^{t}}_{symmetrisch} A^{t}AP = P^{−1}P^{2}P^{−1} = E

ist S orthogonal.

Mit Hilfe dieser Faktorisierung und des Homotopiesatzes können wir nun den Index von isolierten regulären Nullstellen differenzierbarer Abbildungen bestimmen.

Satz 3.6. Sei z ∈ ℝ^{n}, ρ > 0, f ∈ C^{0}(\overline{B_{ρ}(z)}, ℝ^{n}), f sei in z (total) differenzierbar, f(z) = 0, J_{f}(z) ≠ 0, f(x) ≠ 0 für x ∈ \overline{B_{ρ}(z)} \ \{z\}. Dann gilt:

ind(f, z) = sgn J_{f}(z).

Beweis. Auf Grund der Differenzierbarkeit in z ist auf \overline{B_{ρ}(z)}

f(x) = \underbrace{f(z)}_{=0} +Df(z) · (x − z) + R(x)  mit lim_{x→z} \frac{R(x)}{|x − z|} = 0.  (3.1)

In einem ersten Schritt werden wir zeigen, dass das Restglied für die Indexberechnung unerheblich ist und man sich auf die reguläre lineare Approximation beschränken kann. Es bezeichne f_{0}(x) = Df(z) · (x − z). Da Df(z) regulär ist, gilt mit einem geeigneten C > 0:

|x − z| = |(Df(z))^{−1} · Df(z) · (x − z)| ≤ C |Df(z) · (x − z)| .

Indem man ρ gegebenenfalls verkleinert, hat man wegen (3.1) auf ∂B_{ρ}(z):

|f_{0}(x)| = |Df(z) · (x − z)| ≥ \frac{1}{C} · ρ > |R(x)| = |f_{0}(x) − f(x)|.

Der Satz von Rouché 2.10 liefert

ind(f, z) = d(f, B_{ρ}(z)) = d(f_{0}, B_{ρ}(z)) = ind(f_{0}, z).

In einem zweiten Schritt werden wir die lineare Abbildung f_{0} durch eine Drehung bzw. Drehspiegelung ersetzen. Gemäß Hilfssatz 3.5 zerlegen wir also Df(z) = SP mit S ∈ O(n) und P symmetrisch positiv definit, so dass insbesondere det(P) > 0 und folglich

det S = sgn det Df(z) = sgn J_{f}(z)  (3.2)

gilt. Nun wird die lineare Abbildung f_{0} mittels

f_{τ}(x) = S(τE + (1 − τ)P) · (x − z)

in die Dreh(spiegel)ung

f_{1}(x) = S · (x − z)

homotopiert. Es ist f_{τ}(x) ≠ 0 auf ∂B_{ρ}(z), diese Homotopie ist also zulässig. Andernfalls hätte man nämlich ein y ≠ 0 und ein τ ∈ (0, 1), so dass (τE + (1 − τ)P) · y = 0. Daraus erhielte man

P y = −\frac{τ}{1 − τ} y,

also eine negativen Eigenwert der Matrix P im Widerspruch zu deren positiver Definitheit. Damit haben wir insgesamt das Folgende erreicht, dabei sei ω eine für die Berechnung des lokalen Abbildungsgrades zulässige Testfunktion:

ind(f, z) = ind(f_{0}, z) = ind(f_{1}, z) = ∫_{B_{ρ}(z)} ω (|S · (x − z)|) J_{f_{1}}(x) dx
= (det S) ∫_{B_{ρ(z)}} ω (|x − z|) dx = (det S) ∫_{B_{ρ(0)}} ω (|x|) dx = sgn J_{f}(z).

Bei diesen Rechnungen ist noch die Bewegungsinvarianz des Integrals benutzt worden.

Für hinreichend reguläre Abbildungen kann man die bisherigen Ergebnisse zusammenfassen:

Hilfssatz 3.7. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}, f|_{∂Ω} ≠ 0. Ferner habe f in Ω genau p paarweise verschiedene Nullstellen z_{1}, …, z_{p}; f sei in z_{1}, …, z_{p} (total) differenzierbar mit J_{f}(z_{j}) ≠ 0 (j = 1, …, p). Dann gilt:

d(f, Ω) = ∑_{j=1}^{p} sgn J_{f}(z_{j}).  (3.3)

Insbesondere ist d(f, Ω) ∈ ℤ.

Wir wollen nun zeigen, dass die Situation von Hilfssatz 3.7 im Kontext des Abbildungsgrades generisch ist, dass sich diese also gegebenenfalls durch beliebig kleine Störungen einer gegebenen Situation erreichen lässt. Dazu dient das Lemma von Sard (die Menge der singulären Werte, d.h. das Bild der Menge der singulären Punkte, deren Jacobi–Determinante also verschwindet, ist „dünn“):

Satz 3.8 (Lemma von Sard). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, f ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}). Ferner sei F ⊂ Ω kompakt und F^{∗} := {y : y = f(x) für ein x ∈ F mit J_{f}(x) = 0}. Dann ist F^{∗} eine (Jordan–) Nullmenge.

Beweise findet man im Anhang, Satz A.8, oder auch – sehr elegant – im Buch von W. Walter [Wa, 7.17].

Hilfssatz 3.9. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, für f ∈ C^{1} gelte |f(x)| > ε > 0 auf ∂Ω. Dann existiert ein Θ ∈ ℝ^{n}, |Θ| < ε, so dass gilt:

1. Die Gleichung f(x) = Θ hat in Ω höchstens endlich viele paarweise verschiedene Lösungen z_{1}, …, z_{p}, p ∈ ℕ_{0}.

2. Für j = 1, …, p gilt: J_{f}(z_{j}) ≠ 0.

Beweis. Die Menge F := \{x ∈ \overline{Ω} : |f(x)| ≤ ε\} ⊂ Ω ist abgeschlossen. Für F^{∗} = \{y : ∃x ∈ F mit y = f(x), J_{f}(x) = 0} ist nach dem Lemma von Sard : |F^{∗}| = 0. Also existiert ein Θ ∈ ℝ^{n}, |Θ| < ε, Θ ∉ F^{∗}. Wir zeigen die behaupteten Eigenschaften: Zu (1): Angenommen, es gäbe eine Folge (z_{j})_{j∈ℕ} ⊂ \overline{Ω} paarweise verschiedener Punkte mit f(z_{j}) = Θ, o.B.d.A. können wir Konvergenz z_{j} → z gegen ein z ∈ \overline{Ω} und z_{j} ≠ z annehmen. Auf Grund der Wahl von Θ erhält man: z_{j}, z ∈ F, J_{f}(z_{j}) ≠ 0, J_{f}(z) ≠ 0. Letzteres bedeutet aber gemäß dem Satz von der inversen Abbildung lokale Injektivität um z, d.h. z ist in einer ganzen Kugel um z die einzige Lösung von f(x) = Θ. Widerspruch ! Zu (2): Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Wahl von Θ.

Satz 3.10. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}) mit 0 ∉ f(∂Ω). Dann gilt

d(f, Ω) ∈ ℤ.

Beweis. O. B. d. A. sei f ∈ C^{1}; |f(x)| > ε > 0 auf ∂Ω. Wir wählen ein Θ wie oben in Hilfssatz 3.9, insbesondere ist |Θ| < ε. Betrachte f_{Θ}(x) = f(x) − Θ; auf ∂Ω gilt:

|f_{Θ}(x) − f(x)| = |Θ| < ε < |f(x)|.

Nach dem Satz 2.10 von Rouché und den Hilfssätzen 3.7 und 3.9 ist

d(f, Ω) = d(f_{Θ}, Ω) ∈ ℤ.

Satz 3.11 (Borsuk). Sei Ω ∈ ℝ^{n} beschränkt und offen mit 0 ∈ Ω. Weiter sei Ω symmetrisch, d. h. x ∈ Ω ⇒ −x ∈ Ω. Schließlich sei f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}), 0 ∉ f(∂Ω). Ist f eine ungerade Abbildung, d. h f(x) = −f(−x), so ist d(f, Ω) eine ungerade ganze Zahl.

Man beachte, dass die Voraussetzung 0 ∈ Ω absolut wesentlich ist.

Beweis. Die Idee des Beweises ist ganz einfach, allein die Approximationsargumente in der Klasse der ungeraden Abbildungen erfordern dann erheblichen Aufwand. Wir nehmen also zunächst zusätzlich an: f ∈ C^{1}(\overline{Ω}), 0 ist regulärer Wert, d. h. für alle x ∈ Ω mit f(x) = 0 gilt: J_{f}(x) ≠ 0. Wie in Hilfssatz 3.9 sieht man: es gibt dann nur endlich viele solcher Nullstellen, und nach Hilfssatz 3.7 ist:

d(f, Ω) = sgn J_{f}(0) + ∑_{{f(z)=0 \atop z≠0}} sgn J_{f}(z).

Unter dem Summenzeichen taucht mit z stets auch −z auf. Da f ungerade ist, ist J_{f}(z) = J_{f}(−z), also ist der Summenwert gerade, d(f, Ω) mithin ungerade. Sei nun f allgemein wie im Satz. Es ist ein g wie zu Anfang des Beweises zu finden, wobei ∥f − g∥_{C^{0}(\overline{Ω})} beliebig klein ist.

1. Schritt: J_{g}(0) ≠ 0. Wir approximieren zunächst f durch g_{1} ∈ C^{1} in C^{0}(\overline{Ω}) hinreichend gut, setzen g_{2}(x) := \frac{1}{2}(g_{1}(x) − g_{1}(−x)) und wählen ein beliebig kleines |δ|, so dass δ nicht Eigenwert von Dg_{2}(0) ist. Dann ist g(x) := g_{2}(x) − δx ungerade und beliebig nahe in C^{0}(\overline{Ω}) an f, g ∈ C^{1}, Dg(0) = Dg_{2}(0) − δE ist regulär.

2. Schritt: 0 ist regulärer Wert von g. Wir können also gemäß dem ersten Schritt nun im Folgenden zusätzlich voraussetzen, dass f ∈ C^{1} und J_{f}(0) ≠ 0. Das gewünschte g wird mit Hilfe eines Induktionsschlusses konstruiert. Es bezeichne

Ω_{k} := {x ∈ Ω : x_{i} ≠ 0 für ein i ≤ k}.

Wir konstruieren sukzessive g_{k} beliebig nahe an f, so dass g_{k} ∈ C^{1} ungerade und 0 regulärer Wert von g_{k} auf Ω_{k} ∪ {0} ist. Dabei ist Ω_{n} ∪ {0} = Ω. Betrachte hierfür ungerades φ ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) mit den Eigenschaften −1 ≤ φ ≤ 1, φ′(0) = 0, φ(t) = 0 ⇔ t = 0.

• k = 1 : Ω_{1} = {x ∈ Ω : x_{1} ≠ 0}

Man betrachte f̃(x) = \frac{f(x)}{φ(x_{1})} auf Ω_{1}. Nach dem Lemma von Sard findet man ein y^{(1)} ∈ ℝ^{n}, |y^{(1)}| beliebig klein, so dass gilt:

Die Gleichung f̃(x) = y^{(1)} hat in Ω_{1} höchstens endlich viele Lösungen; in diesen gilt Jf̃(x) ≠ 0, d.h. definitionsgemäß ist y^{(1)} regulärer Wert von f̃ in Ω_{1}.

Wir setzen g_{1}(x) = f(x) − φ(x_{1})y^{(1)}, damit ist g_{1} ∈ C^{1} ungerade und beliebig nahe an f. Außerdem ist 0 ist regulärer Wert von g_{1} auf Ω_{1} ∪ {0}:

Für x ∈ Ω_{1} mit g_{1}(x) = 0 gilt nämlich

\frac{∂g_{1}}{∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{i}} (φ(x_{1}) (f̃(x) − y^{(1)}))
= δ_{i1}φ′(x_{1}) \underbrace{(f̃(x) − y^{(1)})}_{=0} +φ(x_{1})\frac{∂f̃}{∂x_{i}}(x) = φ(x_{1})\frac{∂f̃}{∂x_{i}}(x),

d.h. J_{g_{1}}(x) = φ(x_{1})^{n}Jf̃(x) ≠ 0.

Schließlich gilt im Punkte 0:

\frac{∂g_{1}}{∂x_{i}} (0) = \frac{∂f}{∂x_{i}} (0) − δ_{i1}φ′(0)y^{(1)} = \frac{∂f}{∂x_{i}} (0),
d.h.J_{g_{1}}(0) = J_{f}(0) ≠ 0.

• k = 2 : Ω_{2} = {x ∈ Ω : x_{1} ≠ 0 oder x_{2} ≠ 0}.

Man findet wie im ersten Schritt, nun ausgehend von g_{1}, ein beliebig kleines y^{(2)} ∈ ℝ^{n}, so dass mit

g_{2}(x) = g_{1}(x) − φ(x_{2})y^{(2)}

gilt: g_{2} ∈ C^{1} ist ungerade, beliebig nahe an f, und 0 ist regulärer Wert von g_{2} auf {x ∈ Ω : x_{2} ≠ 0}. Wir zeigen noch: 0 ist auch regulärer Wert von g_{2} auf Ω_{2} \ {x ∈ Ω : x_{2} ≠ 0}.

Ist x ∈ Ω_{2} \ {x ∈ Ω : x_{2} ≠ 0}, so ist x ∈ Ω_{1} und x_{2} = 0, hier ist J_{g_{2}}(x) = J_{g_{1}}(x) ≠ 0 wegen φ′(0) = 0. Schließlich ist J_{g_{2}}(0) = J_{g_{1}}(0) = J_{f}(0) ≠ 0 ebenfalls wegen φ′(0) = 0.

⋮

⋮

Nach n Schritten erhält man ungerades g := g_{n} ∈ C^{1}, beliebig nahe an f, wobei 0 regulärer Wert von g ist.

Schon jetzt kann ein wichtiger Satz der klassischen Topologie gezeigt werden: Satz 3.12 (Satz von der Gebietsinvarianz, Satz von der offenen Abbildung). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, f : Ω → ℝ^{n} stetig und lokal injektiv. Dann gilt: f(Ω) ist offen. Ist Ω sogar ein Gebiet, so ist f(Ω) ebenfalls ein Gebiet.

Ein analoger Satz ist aus der Analysis-Grundvorlesung bekannt, nur dass man dort stärkere Voraussetzungen stellen muss, nämlich dass die Abbildung f stetig differenzierbar mit überall regulärer Jacobi–Matrix ist.

Beweis. Es ist zu zeigen: ∀x_{0} ∈ Ω : ∃ε > 0 : B_{ε}(f(x_{0})) ⊂ f(Ω). Indem man gegebenenfalls zu f̃(x) = f(x + x_{0}) − f(x_{0}) übergeht, kann man o.B.d.A. x_{0} = 0, f(x_{0}) = 0 annehmen. Auf Grund der lokalen Injektivität von f existiert ein ρ > 0 so, dass \overline{B_{ρ}(0)} ⊂ Ω und f|_{\overline{B_{ρ}(0)}} injektiv ist. Wegen f(0) = 0 ist mit einem geeigneten ε > 0 auf ∂B_{ρ}(0): |f(x)| > ε.

Die überraschende zentrale Beweisidee besteht darin, dass man f auf \overline{B_{ρ}(0)} auf zulässige Weise in eine ungerade Abbildung homotopieren kann. Für τ ∈ [0, 1], x ∈ \overline{B_{ρ}(0)} sei

h(τ, x) := f(x) − f(−τx).

Es ist h(0, x) = f(x), und h(1, x) = f(x) − f(−x) ist ungerade. Diese Homotopie ist zulässig: Die Annahme, dass h(τ, x) = 0 für ein τ ∈ [0, 1] und x ∈ ∂B_{ρ} sei, führt auf

f(x) = f(−τx).

Da sowohl x ∈ \overline{B_{ρ}} als auch −τx ∈ \overline{B_{ρ}} und da f|_{\overline{B_{ρ}}} injektiv ist, folgt daraus:

x = −τx ⇒ (1 + τ)x = 0 ⇒ x = 0 ∉ ∂B_{ρ}.

Somit ergeben die Homotopieinvarianz und der Satz von Borsuk:

0 ≠ d(h(1, .), B_{ρ}(0)) = d(f, B_{ρ}(0)).

Mit dieser Aussage über den lokalen Abbildungsgrad und dessen Invarianz gegenüber kleinen Störungen von f gelingt schließlich der Nachweis, dass f(Ω) sogar eine ganze Nullumgebung enthält. Sei |z| < ε, es bezeichne f_{z}(x) = f(x) − z. Der Satz 2.10 von Rouché zeigt

0 ≠ d(f, B_{ρ}(0)) = d(f_{z}, B_{ρ}(0)).

Folglich existiert zu jedem z ∈ B_{ε}(0) ein ξ ∈ B_{ρ}(0) mit f(ξ) = z. Das bedeutet, dass B_{ε}(0) ⊂ f(B_{ρ}(0)) ⊂ f(Ω). Ist Ω zusätzlich (wegweise) zusammenhängend, so liegt die Aussage über den Zusammenhang von f(Ω) auf der Hand.

Als unmittelbare Folgerung hieraus erhalten wir ein weiteres fundamentales Resultat der Topologie: Satz 3.13 (Invarianz der Dimension). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, m ≤ n, f : Ω → ℝ^{m} ↪ ℝ^{n} sei stetig und lokal injektiv. Dann gilt: m = n.

4 Verallgemeinerte Transformationsformel, allgemeine Definition des Abbildungsgrades

Hier geben wir zunächst eine Formulierung der Transformationsformel, bei der die Injektivität der Koordinatentransformation nicht vorausgesetzt wird und die damit der eindimensionalen Substitutionsregel an Allgemeinheit nicht mehr nachsteht. Im nächsten Abschnitt werden wir die Produkteigenschaft des Abbildungsgrades als relativ leichte Folgerung aus dieser verallgemeinerten Transformationsformel erhalten. Wir können aber auch die klassische Formulierung der Transformationsformel hieraus zurückerhalten. Um die Schnittstelle mit den Analysis–Grundvorlesungen klar zu definieren, sei angemerkt: Vorbereitende Resultate aus dem Umfeld der Transformationsformel werden wir hier ohne Beweis verwenden, wie die Bewegungsinvarianz des Jordan–Inhalts bzw. des Lebesgue–Maßes und das Verhalten von Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen. Alles Weitergehende, das in der Tat wesentlich tiefer liegt, wird hier vollständig bewiesen. Für das Lemma von Sard verweisen wir auf den Anhang A.3. Zur Vermeidung rein technischer Fallunterscheidungen sei im folgenden n ≥ 2. Hier wird die topologische Gestalt von ℝ^{n}\f(∂Ω) eine wichtige Rolle spielen. Daher definieren wir:

Definition 4.1. Sei O ⊂ ℝ^{n} offen. G ⊂ O heißt Zusammenhangskomponente von O, falls gilt:

1. G ist ein Gebiet;

2. ist G′ ⊂ O ein beliebiges Gebiet mit G ∩ G′ ≠ 0, dann gilt G′ ⊂ G (Maximalität von G).

Unter der zu einem x ∈ O gehörigen (Zusammenhangs-) Komponente von O verstehen wir:

{y ∈ O : es gibt einen Weg in O von y nach x}.

Hilfssatz 4.2. Jede offene Menge O ⊂ ℝ^{n} lässt sich auf bis auf Permutationen genau eine Weise in höchstens abzählbar viele (Zusammenhangs-) Komponenten (G_{j})_{j∈J} zerlegen: O = ⋃_{j∈J} G_{j}, wobei G_{i} ∩ G_{j} = ∅ für i ≠ j. Der Menge O kommt dabei eine wohldefinierte Komponentenzahl N(O) := #J zu.

Beweis. Bleibt zur Übung, wichtig ist die Separabilität von ℝ^{n}.

Hilfssatz 4.3. Sei O ⊂ ℝ^{n} offen mit Komponenten (G_{j})_{j∈J}. Ferner sei φ ∈ C_{0}^{0}(ℝ^{n}) mit supp φ ⊂ O. Dann ist supp φ ∩ G_{j} ≠ ∅ für höchstens endlich viele j.

Beweis. Annahme, es existieren unendlich viele (j_{ℓ})_{ℓ∈ℕ} mit supp φ ∩ G_{j_{ℓ}} ≠ ∅. Dann existiert zu jedem ℓ ein x_{ℓ} ∈ G_{j_{ℓ}} : φ(x_{ℓ}) ≠ 0. Da supp φ kompakt ist, kann man nach Auswahl einer Teilfolge annehmen, dass Konvergenz x_{ℓ} → x ∈ supp φ ⊂ O stattfindet. Der Grenzwert liegt in einer bestimmten Komponente von O: x ∈ G_{j_{0}}. Für fast alle ℓ ist dann aber auch x_{j_{ℓ}} ∈ G_{j_{0}}. Wir erhalten einen Widerspruch, denn die Komponenten sind paarweise disjunkt.

In der Definition des Abbildungsgrades beseitigen wir nun die Ausnahmerolle des Bildpunktes 0:

Definition 4.4. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}, z ∉ f(∂Ω). Dann heißt

d(f, Ω, z) := d(f( .) − z, Ω, 0) = d(f( .) − z, Ω)

Abbildungsgrad von f auf Ω bezüglich des Wertes z.

Hilfssatz 4.5. Sei G ⊂ ℝ^{n} \ f(∂Ω) ein Gebiet. Dann ist G ∋ z ↦ d(f, Ω, z) ∈ ℤ auf G konstant.

Beweis. Sind z_{0}, z_{1} ∈ G beliebig, so existiert ein (stetiger!) Weg γ : [0, 1] → G, der z_{0} und z_{1} in G verbindet: γ(0) = z_{0}, γ(1) = z_{1}. Durch (τ, x) ↦ f(x)−γ(τ) wird eine zulässige Homotopie definiert.

In Folge dieser Beobachtung können wir den Abbildungsgrad im Bildbereich bezüglich Teilgebieten des Komplementes von f(∂Ω) definieren:

Definition 4.6. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0} (\overline{Ω}, ℝ^{n}), ferner sei G ⊂ ℝ^{n} \ f(∂Ω) ein Gebiet. Dann setzen wir

d(f, Ω, G) := d(f, Ω, z),

wobei z ∈ G beliebig gewählt wird.

Bemerkung 4.7. Es gibt genau eine unbeschränkte Komponente G_{∞} von ℝ^{n} \ f(∂Ω). Hier geht z.B. die Generalvoraussetzung n ≥ 2 dieses Abschnitts ein. Wegen der Beschränktheit von f(\overline{Ω}) und wegen des Nullstellensatzes gilt d(f, Ω, G_{∞}) = 0.

Satz 4.8 (Verallgemeinerte Transformationsformel). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}). Es sei (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1} eine Folge, die auf \overline{Ω} gleichmäßig gegen f konvergiert. Weiter sei E ⊂ ℝ^{n} kompakt mit f(∂Ω) ⊂ E, (G_{j})_{j∈J} seien die \underline{beschränkten} Komponenten von ℝ^{n} \ E. Dann gibt es zu jeder stetigen Funktion Φ ∈ C^{0}(ℝ^{n}, ℝ) mit supp Φ ⊂ ℝ^{n} \ E eine Zahl k_{0} = k_{0}(Φ), so dass für k ≥ k_{0} gilt:

∫_{Ω} Φ (f_{k} (x)) J_{f_{k}}(x) dx = ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j}) ∫_{G_{j}} Φ(z) dz.

Bemerkung. Ist ℝ^{n} \ E zusammenhängend, d.h. J = ∅, so ist ∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx = 0. Der folgende Beweis gilt auch für diesen Extremfall leerer Indexmenge J = ∅.

Beweis. Zunächst soll die Idee erläutert werden: Für ganz spezielle Φ ist die Aussage des Satzes genau die Definition des Abbildungsgrades. Sei etwa

E = f(∂Ω), z_{0} ∉ f(∂Ω), dist(f(∂Ω), z_{0}) > ε > 0,

d.h. für x ∈ ∂Ω gilt: |f(x) − z_{0}| > ε. Sei 0 < δ < ε, ω ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) mit ω(r) = 0 für r ≤ δ und r ≥ ε. Dann ist nach Definition für k ≥ k_{0}(z_{0}):

d(f, Ω, z_{0}) = \frac{1}{∫_{|z|≤ε} ω(|z|) dz} ∫_{Ω} ω(|f_{k}(x) − z_{0}|)J_{f_{k}}(x) dx,

d.h. mit Φ(z) := ω(|z − z_{0}|) haben wir, dass supp Φ in der zu z_{0} gehörigen Zusammenhangskomponente von ℝ^{n} \ E liegt, und es gilt für k ≥ k_{0}(z_{0}):

d(f, Ω, z_{0}) ∫_{|z−z_{0}|≤ε} Φ(z) dz = ∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx.

Allgemeine Funktionen Φ sollen nun mit Hilfe solcher speziellen Funktionen approximiert werden: Lokal durch

ω(|z − z_{0}|)Φ(z_{0})

bzw. global durch die Faltung

∫_{ℝ^{n}} ω(|z − ζ|)Φ(ζ) dζ.

Nun also zur technischen Ausführung dieser Idee. O.B.d.A. sei Φ ∈ C_{0}^{0}(ℝ^{n}), denn ⋃ G_{j} und f_{k}(\overline{Ω}) sind gleichmäßig beschränkt. Da dist(∂Ω, supp Φ) > 0, gibt es ein ε_{0} > 0, so dass für alle x ∈ ∂Ω, z ∈ supp ϕ gilt

|f(x) − z| > ε_{0}.

Wegen der Gleichmäßigkeit der Konvergenz auf \overline{Ω} und damit auf ∂Ω gilt für k ≥ k̃_{0}, k̃_{0} = k̃_{0}(Φ) geeignet:

∀z ∈ supp Φ ∀x ∈ ∂Ω : |f_{k}(x) − z| > ε_{0}.  (4.1)

Man betrachtet für ε ∈ (0, ε_{0}] eine Schar sich konzentrierender zulässiger Testfunktionen ω_{ε} ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) mit

\{ \begin{matrix}ω_{ε}(r) ≥ 0, \\ ω(r) = 0 für r ≤ \frac{ε}{2} und r ≥ ε, \\ ∫_{ℝ^{n}} ω_{ε}(|x|) dx = 1. \end{matrix}  (4.2)

Damit ist dann wegen des Satzes von Rouché für z ∈ supp Φ und k ≥ k_{0} mit einem geeigneten k_{0} = k_{0}(Φ) und unabhängig von ε ∈ (0, ε_{0}]:

d(f, Ω, z) = d(f_{k}, Ω, z) = ∫_{Ω} ω_{ε}(|f_{k}(x) − z|)J_{f_{k}}(x) dx.  (4.3)

Wie oben angekündigt, approximieren wir nun die gegebene Funktion Φ und verwenden die Testfunktionen ω_{ε} als „Approximationskerne“. Sei

Φ_{ε}(z) := ∫_{ℝ^{n}} ω_{ε}(|z − ζ|)Φ(ζ)dζ,

offensichtlich ist Φ_{ε} ∈ C_{0}^{0}(ℝ^{n}). Wie im Beweis des Satzes A.3 von Weierstraß sieht man, dass Φ_{ε} → Φ gleichmäßig konvergiert:

sup_{z∈ℝ^{n}} |Φ_{ε}(z) − Φ(z)| = sup_{z∈ℝ^{n}} |∫_{ℝ^{n}} ω_{ε}(|z − ζ|)(Φ(ζ) − Φ(z)) dζ|

≤ sup_{z∈ℝ^{n}} ∫_{ℝ^{n}} (ω_{ε}(|z − ζ)| · sup_{|z−ξ|≤ε} |Φ(ξ) − Φ(z)|) dζ
≤ sup_{|z−ξ|≤ε} |Φ(ξ) − Φ(z)| → 0 für ε ↘ 0;

wegen Φ ∈ C_{0}^{0} ist nämlich Φ gleichmäßig stetig. Nun gilt für die linke Seite der Behauptung des Satzes

∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx = lim_{ε↘0} ∫_{Ω} Φ_{ε}(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx  (4.4)

und weiter für k ≥ k_{0} und beliebiges ε ∈ (0, ε_{0}):

∫_{Ω} Φ_{ε}(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx = ∫_{ℝ^{n}} 1_{Ω}(x) ( ∫_{ℝ^{n}} ω_{ε}(|f_{k}(x) − ζ|)Φ(ζ)dζ) · J_{f_{k}}(x) dx
=^{Fubini} ∫_{ℝ^{n}×ℝ^{n}} \underbrace{1_{Ω}(x)ω_{ε}(|f_{k}(x) − ζ|)Φ(ζ)J_{f_{k}}(x) d(x, ζ)}_{beschränkt, kompakter Träger, bis auf1_{Ω} stetig}

=^{Fubini} ∫_{ℝ^{n}} ( ∫_{ℝ^{n}} 1_{Ω}(x)ω_{ε}(|f_{k}(x) − ζ|)J_{f_{k}}(x) dx) Φ(ζ) dζ
= ∫_{supp Φ} ( ∫_{Ω} ω_{ε}(|f_{k}(x) − z|)J_{f_{k}}(x) dx) Φ(z) dz
=^{(4.3)} ∫_{supp Φ} d(f, Ω, z)Φ(z) dz.

Wir kombinieren diese Umformung mit (4.4) und erhalten für alle k ≥ k_{0}:

∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx = ∫_{ℝ^{n}\E} d(f, Ω, z)Φ(z) dz
= ∑_{j∈J} ∫_{G_{j}} d(f, Ω, z)Φ(z) dz + ∫_{G_{∞}} \underbrace{d(f, Ω, z)}_{=0} Φ(z) dz

= ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j}) ∫_{G_{j}} Φ(z) dz.

Laut Hilfssatz 4.3 ist diese Summe endlich; bei leerer Indexmenge J ist sie konventionsgemäß gleich 0.

Satz 4.9 (und allgemeine Definition des Abbildungsgrades). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}, ℝ^{n}). Sei (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1} eine Folge, die auf \overline{Ω} gleichmäßig gegen f konvergiert. Schließlich sei G eine Komponente von ℝ^{n} \ f(∂Ω), und es sei Φ ∈ C_{0}^{0}(ℝ^{n}, ℝ) mit supp Φ ⊂ G und ∫_{ℝ^{n}} Φ(z) dz = 1. Dann gilt für k ≥ k_{0}(Φ):

d(f, Ω, G) = ∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx.  (4.5)

Bemerkung 4.10. (a) Die bisherige Definition ordnet sich ein.

(b) Bei nur stetigem f ist der „Sicherheitsabstand“ supp Φ ⊂ G unerlässlich; f_{k}(∂Ω) wackelt! Man beachte auch, dass k_{0} = k_{0}(Φ).

(c) Ist dagegen bereits f ∈ C^{1}, so kann man wie am Ende des Beweises des folgenden Satzes zeigen, dass die folgende Bedingung an Φ ausreicht:

Φ ∈ L^{1}(G), Φ ≡ 0 in ℝ^{n} \ G, ∫_{G} Φ(z) dz = 1.

Auf die Ausführung der Details sei hier verzichtet.

Wir zeigen nun, dass wir die klassische Transformationsformel in der verallgemeinerten Transformationsformel wiederfinden können. Wir verwenden dabei einige Tatsachen, die man in den Analysis–Grundvorlesungen zur Vorbereitung der klassischen Transformationsformel beweist, die aber sämtlich wesentlich elementarer als diese zu erhalten sind. Das wichtigste derartige Hilfsresultat besagt, dass Nullmengen unter stetig differenzierbaren Abbildungen auf Nullmengen abgebildet werden.

Satz 4.11 (Klassische Transformationsformel). Seien Ω, Ω^{∗} ⊂ ℝ^{n} beschränkte Gebiete, f : Ω → Ω^{∗} ein Homöomorphismus der Klasse C^{1}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}). Ferner sei Φ ∈ L^{1}(Ω^{∗}). Dann ist Φ ∘ f · |J_{f}| ∈ L^{1}(Ω), und es gilt:

∫_{Ω} Φ(f(x))·|J_{f}(x)| dx = ∫_{Ω^{∗}} Φ(z) dz.

Kam man bisher auch mit der Riemannschen Integrationstheorie aus, so ist für diesen Satz in dieser Formulierung die Lebesguesche Integrationstheorie unverzichtbar.

Beweis. Satz 4.8 soll mit einem einzigen G_{j}, nämlich Ω^{∗} angewendet werden. Wir wollen also E = ℝ^{n} \ Ω^{∗} wählen und müssen dafür zunächst f(∂Ω) ⊂ ℝ^{n} \ Ω^{∗} zeigen. Nachweis davon: Angenommen, es gibt ein x_{1} ∈ ∂Ω mit z := f(x_{1}) ∈ Ω^{∗}. Es existierte dann aber auch ein x_{2} ∈ Ω mit f(x_{2}) = z. Der Randpunkt x_{1} kann aus Ω heraus approximiert werden: ξ_{ν} ∈ Ω, lim_{ν→∞} ξ_{ν} → x_{1}, andererseits ist aber lim_{ν→∞} ξ_{ν} = lim_{ν→∞} f^{−1}(\underbrace{f(ξ_{ν})}_{→z}) → x_{2}, da f : Ω → Ω^{∗}

ein Homöomorphismus ist. Also folgt x_{1} = x_{2} und damit ein Widerspruch.

(a) Um nun Satz 4.8 tatsächlich anwenden zu können, setzen wir zunächst zusätzlich Φ ∈ C_{0}^{0}(Ω^{∗}) voraus. Es werde f durch (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1} approximiert, gleichmäßig auf \overline{Ω}, und in C^{1}(K) auf jeder kompakten Teilmenge K von Ω. Dazu vgl. man den Beweis des Satzes A.5 von Weierstraß in seiner zweiten Formulierung.

Nach Satz 4.8 gilt

lim_{k→∞} ∫_{Ω} Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) dx = d(f, Ω, Ω^{∗}) · ∫_{Ω^{∗}} Φ(z) dz.

Für alle x ∈ ∂Ω ist f(x) ∉ Ω^{∗}, d.h. dist(f(x), supp Φ) > 0. Da ∂Ω kompakt und letztere Funktion gleichmäßig stetig in \overline{Ω} ist, gilt mit einem geeigneten ε > 0 in einem offenen und hinreichend kleinen Streifen um ∂Ω, dass dist(f(x), supp Φ) > ε > 0, also für k ≥ k_{0} : dist(f_{k}(x), supp Φ) > \frac{ε}{2} > 0, d.h. Φ(f_{k}(x)) = 0 für x nahe ∂Ω. Im Komplement dieses Randstreifens konvergiert jedoch J_{f_{k}} → J_{f} gleichmäßig, so dass insgesamt

Φ(f_{k}(x))J_{f_{k}}(x) → Φ(f(x))J_{f}(x)

gleichmäßig in Ω konvergiert. Außerdem haben alle Funktionen gleichmäßig kompakte Träger in Ω. Also können wir in der obigen Identität Grenzwert und Integration vertauschen:

∫_{Ω} Φ(f(x)) · J_{f}(x) dx = d(f, Ω, Ω^{∗}) · ∫_{Ω^{∗}} Φ(z) dz.  (4.6)

Wäre J_{f}(x) ≡ 0, so wäre nach dem Lemma von Sard f(Ω) = Ω^{∗} eine Nullmenge, Ω^{∗} ist aber offen und nicht leer. Für alle x_{0} ∈ Ω mit J_{f}(x_{0}) ≠ 0, deren mindestens eines existiert, gilt

d(f, Ω, Ω^{∗}) = d(f, Ω, f(x_{0})) = d(f(·) − f(x_{0}), Ω, 0)
=^{finjektiv} ind (f( .) − f(x_{0}), x_{0}) =^{Satz 3.6} sgn J_{f}(x_{0}) = ±1,
⇒  J_{f}(x_{0}) = sgn J_{f}(x_{0})|J_{f}(x_{0})| = d(f, Ω, Ω^{∗})|J_{f}(x_{0})|.

Für x_{0} ∈ Ω mit J_{f}(x_{0}) = 0 ist diese Identität trivialerweise erfüllt. Also gilt für alle x ∈ Ω:

J_{f}(x) = d(f, Ω, Ω^{∗})|J_{f}(x_{0})|,

und es folgt aus (4.6):

d(f, Ω, Ω^{∗}) ∫_{Ω} Φ(f(x))|J_{f}(x)| dx = d(f, Ω, Ω^{∗}) ∫_{Ω^{∗}} Φ(z) dz.

Durch Kürzen von d(f, Ω, Ω^{∗}) = ±1 ergibt sich die Behauptung im Fall Φ ∈ C_{0}^{0}(Ω^{∗}).

(b) Sei nun Φ ∈ L^{1}(Ω^{∗}). Auf Grund der Dichtheit von C_{0}^{0}(Ω^{∗}) in L^{1}(Ω^{∗}) und des Satzes von Riesz–Fischer existiert eine approximierende Folge Φ_{k} ∈ C_{0}^{0}(Ω^{∗}) mit Φ_{k} → Φ in L^{1}(Ω^{∗}) und Φ_{k} → Φ punktweise fast überall für k → ∞.

Sei N = {x ∈ Ω : J_{f}(x) = 0}, N^{∗} = f(N). Da f ein Homöomorphismus ist, ist N^{∗} abgeschlossen in Ω^{∗}. Nach dem Lemma von Sard ist N^{∗} eine Lebesguesche Nullmenge. Die Einschränkung f : Ω \ N → Ω^{∗} \ N^{∗} ist nun wegen des Satzes von der inversen Abbildung ein Diffeomorphismus.

Für fast alle y ∈ Ω^{∗} gilt konstruktionsgemäß Φ_{k}(y) → Φ(y) für k → ∞. Da f|_{Ω\N} ein Diffeomorphismus ist, folgt für fast alle x ∈ Ω \ N, dass Φ_{k}(f(x)) → Φ(f(x)) (k → ∞). Hier haben wir benutzt, dass Bilder von Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen ebenfalls Nullmengen sind.

Insgesamt haben wir also für fast alle x ∈ Ω:

lim_{k→∞} |Φ_{k}(f(x))| · |J_{f}(x)| = |Φ(f(x))| · |J_{f}(x)|.

Außerdem erhalten wir aus Teil (a) und der L^{1}–Konvergenz der Folge (Φ_{k})_{k∈ℕ}:

∫_{Ω\N} |(Φ_{k} − Φ_{ℓ})(f(x))| · |J_{f}(x)| dx = ∫_{Ω} |(Φ_{k} − Φ_{ℓ})(f(x))| · |J_{f}(x)| dx
= ∫_{Ω^{∗}} |(Φ_{k} − Φ_{ℓ})(y)| dy → 0 für k, ℓ → ∞.

Somit haben wir aus Teil (a) gefolgert, dass Φ_{k}∘f·|J_{f}| eine Cauchy-Folge in L^{1}(Ω\N) ist. Wegen der Vollständigkeit erhalten wir ein Φ̃ ∈ L^{1}(Ω \ N), so dass lim_{k→∞} Φ_{k} ∘ f · |J_{f}| =

Φ̃ in L^{1}(Ω \ N). Nach Auswahl einer Teilfolge hat man gemäß dem Satz von Riesz– Fischer auch punktweise Konvergenz fast überall. Letzteres zeigt insbesondere:

Φ ∘ f · |J_{f}| = Φ̃ fast überall in Ω \ N.

Fassen wir alle Argumente zusammen und verwenden wir für die Φ_{k} noch einmal das Ergebnis aus Teil (a), so erhalten wir:

∫_{Ω} Φ(f(x))|J_{f}(x)| dx = ∫_{Ω\N} Φ(f(x))|J_{f}(x)| dx
= ∫_{Ω\N} Φ̃(x) dx =^{L^{1}−Limes} lim_{k→∞} ∫_{Ω\N} Φ_{k}(f(x))|J_{f}(x)| dx
= lim_{k→∞} ∫_{Ω^{∗}\N^{∗}} Φ_{k}(y) dy =^{L^{1}−Limes} ∫_{Ω^{∗}\N^{∗}} Φ(y) dy = ∫_{Ω^{∗}} Φ(y) dy.

5 Die Produkteigenschaft, der Satz von Jordan-Brouwer

Betrachtet man ℝ^{n} →^{f} ℝ^{n} →^{g} ℝ^{n} mit „regulären“ glatten Abbildungen f, g, so lässt sich mit Hilfe der Summenformel für den Abbildungsgrad, Hilfssatz 3.7, und der Kettenregel sgn J_{g∘f}(x) = sgn J_{g}(f(x))·sgn J_{f}(x) relativ schnell eine Produkteigenschaft finden. Für einen vollen Beweis bliebe die recht technische Approximation und die Anwendung des Lemmas von Sard. Hier wird ein anderer Weg eingeschlagen: Die Produkteigenschaft soll als Weiterentwicklung der verallgemeinerten Transformationsformel, Satz 4.8, dargestellt werden. Der Einfachheit halber setzen wir im Folgenden auch wieder n ≥ 2 voraus.

Satz 5.1 (Produktsatz von Leray). Seien g, f ∈ C^{0}, Ω ⊂ ℝ^{n}(n ≥ 2) beschränkt und offen, E ⊂ ℝ^{n} sei kompakt mit f(∂Ω) ⊂ E, (G_{j})_{j∈J} seien die beschränkten Zusammenhangskomponenten von ℝ^{n} \ E. Schließlich sei z ∈ ℝ^{n} mit z ∉ g(E). Dann gilt:

d(g ∘ f, Ω, z) = ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j}) · d(g, G_{j}, z).

Bemerkung 5.2. (a) Insbesondere wird z ∉ (g ∘ f)(∂Ω) vorausgesetzt. Die Menge E wird sich im Beweis des Satzes 5.3 von Jordan–Brouwer als hilfreich erweisen.

(b) Falls ℝ^{n} \ E zusammenhängend ist, d.h. J = ∅, so ist die rechte Seite gleich 0, d.h. in diesem Falle ist d(g ∘ f, Ω, z) = 0.

(c) In ∑_{j∈J} sind höchstens endliche viele Summanden ≠ 0.

Beweis dazu. Angenommen, es gibt unendlich viele j_{k} (k ∈ ℕ) mit d(g, G_{j_{k}}, z) ≠ 0. Dann hätte man Lösungen ξ_{k} ∈ G_{j_{k}} der Gleichung g(ξ_{k}) = z. Da die Folge (ξ_{k})_{k∈ℕ} beschränkt ist, kann man nach Auswahl einer Teilfolge Konvergenz ξ_{k} → ξ erreichen, es folgt sofort g(ξ) = z, also ξ ∉ E. Also liegt ξ ∈ G_{j_{0}} mit einem geeigneten j_{0} und folglich ist auch für unendlich viele ξ_{k} ∈ G_{j_{0}} im Widerspruch zur Konstruktion. □

Beweis des Produktsatzes. Sind g, f ∈ C^{1}, so folgt der Satz unmittelbar aus der verallgemeinerten Transformationsformel Satz 4.8, indem man dort Φ(y) durch Φ(g(y))J_{g}(y) ersetzt. Dabei bezeichnet Φ eine zulässige Testfunktion.

Für stetige Abbildungen g, f soll diese Situation durch Approximation hergestellt werden. Seien (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1}, (g_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{1} Folgen, die lokal gleichmäßig gegen f beziehungsweise g konvergieren. Es bezeichne h = g ∘ f, h_{k} = g_{k} ∘ f, h_{kℓ} = g_{k} ∘ f_{ℓ}. Es gilt im Sinne lokal gleichmäßiger Konvergenz

\begin{matrix}h_{k} → h & (k → ∞) \\ h_{kℓ} → h_{k} & (k fest , ℓ → ∞), \end{matrix}

denn auf Kompakta sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Aus z ∉ g(E) folgt mit einem geeigneten ε > 0 für alle y ∈ E:

|g(y) − z| > ε > 0,  (5.1)
|g_{k}(y) − z| > ε, falls k ≥ k_{0}, k_{0} geeignet.

Wegen f(∂Ω) ⊂ E hat man auch für alle x ∈ ∂Ω:

|h(x) − z| > ε, |h_{k}(x) − z| > ε, falls k ≥ k_{0}.

Wir betrachten eine Testfunktion Φ ∈ C_{0}^{0}(B_{ε}(z), ℝ) mit ∫_{ℝ^{n}} Φ(u) du = 1. Da supp Φ ⊂ B_{ε}(z) ⊂ ℝ^{n} \ h_{k}(∂Ω), ist Φ gemäß Satz 4.9 zulässige Testfunktion für h_{k}, k ≥ k_{0}.

⇒  d(h_{k}, Ω, z) = ∫_{Ω} Φ(h_{kℓ}(x)) · J_{h_{kℓ}}(x) dx  (k ≥ k_{0}, ℓ ≥ ℓ_{0}(k))
= ∫_{Ω} \underbrace{(Φ ∘ g_{k})(f_{ℓ}(x)) · J_{g_{k}}(f_{ℓ}(x))}_{=:Φ_{k}^{∗}(f_{ℓ}(x))} ·J_{f_{ℓ}}(x) dx.  (5.2)

Für Φ_{k}^{∗}(y) := Φ(g_{k}(y)) · J_{g_{k}}(y) gilt supp Φ_{k}^{∗} ⊂ ℝ^{n} \ E, sofern k ≥ k_{0}, denn auch auf einer geeigneten Umgebung von E gilt noch g_{k}(y) ∉ B_{ε}(z) und folglich Φ(g_{k}(y)) = 0. Die verallgemeinerte Transformationsformel, Satz 4.8, zeigt für festes k ≥ k_{0}, indem man zu diesem k in (5.2) ein hinreichend großes ℓ ≥ ℓ_{0}(k) wählt:

d(h_{k}, Ω, z) = ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j}) ∫_{G_{j}} Φ_{k}^{∗}(y) dy = ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j}) ∫_{G_{j}} Φ(g_{k}(y))J_{g_{k}}(y) dy.

Man bemerke, dass man den Hilfsindex ℓ nach diesem Argument bereits „vergessen“ kann; er tritt in dieser Gleichung nicht mehr auf. Man überzeugt sich leicht, dass ∂G_{j} ⊂ E und damit g(E) ⊃ g(∂G_{j}) für jedes j ∈ ℕ gilt. Auf Grund von (5.1) folgt hieraus supp Φ ⊂ B_{ε}(z) ⊂ ℝ^{n} \ g(∂G_{j}). Deshalb ist Φ auch zulässige Testfunktion für g_{k} auf G_{j}, und (5.3) ergibt für k ≥ k_{0}:

d(h_{k}, Ω, z) = ∑_{j∈J} d(f, Ω, G_{j})d(g_{k}, G_{j}, z).

Mit dem Satz von Rouché und der gleichmäßigen Konvergenz von h_{k} → h auf ∂Ω und von g_{k} → g auf ⋃_{j∈J} ∂G_{j} ⊂ E folgt die Behauptung. □

Als Folgerung kann nun leicht ein wichtiger Satz der Topologie gezeigt werden, der Satz von Jordan–Brouwer. Dieser enthält als Spezialfall den Jordanschen Kurvensatz. Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt, n ≥ 2, ℝ^{n} \ K = G_{∞} ∪ ⋃_{j∈J} G_{j} die Zerlegung in Zusammenhangskomponenten. Mit N(K) = #J bezeichnen wir die Anzahl der beschränkten Zusammenhangskomponenten von ℝ^{n} \ K.

Satz 5.3 (Jordan–Brouwer). Seien K, K^{∗} zwei zueinander homöomorphe kompakte Mengen in ℝ^{n}, dann gilt:

N(K) = N(K^{∗}).

Beweis. Der Fall n = 1 ordnet sich entsprechend ein, da auch dort der Produktsatz gilt. Wir bezeichnen N := N(K); N^{∗} = N(K^{∗}) und nehmen an: N ≠ N^{∗}, o.B.d.A. N > N^{∗}. Insbesondere haben wir N^{∗} < ∞, mit

G_{1}^{∗}, …, G_{N^{∗}}^{∗}

bezeichnen wir die beschränkten Komponenten von ℝ^{n} \ K^{∗}, ℝ^{n} \ K hat mindestens N^{∗} + 1 Komponenten

G_{1}, …, G_{N^{∗}+1} ⊂ ℝ^{n} \ K.

Nach Voraussetzung existiert ein Homöomorphismus F : K → K^{∗}, F^{−1} : K^{∗} → K. Gemäß dem Satz A.6 von Tietze existieren Fortsetzungen: f, g ∈ C^{0}, f|_{K} = F, g|_{K^{∗}} = F^{−1}. Für die Komposition h = g ∘ f dieser Fortsetzungen gilt h|_{K} = id|_{K}; das Problem in diesem Beweis besteht darin, dass man i.a. mit h|_{ℝ^{n}} ≠ id|_{ℝ^{n}} rechnen muss. Es gilt ∂G_{i} ⊂ K, f(∂G_{i}) ⊂ f(K) = F (K) = K^{∗}. Der Produktsatz 5.1 soll nun angewendet werden, dabei spielt K^{∗} die Rolle der Menge E dort, und für z ∈ G_{j} gilt z ∉ K = F^{−1}(K^{∗}) = g(K^{∗}). Wir erhalten also für i, j = 1, …, N^{∗} + 1:

δ_{ij} = d(id, G_{i}, G_{j}) = d(h, G_{i}, G_{j}) = ∑_{k=1}^{N^{∗}} d(f, G_{i}, G_{k}^{∗})d(g, G_{k}^{∗}, G_{j}).

Man hat also ein Matrizenprodukt der folgenden Form:

\underbrace{E}_{∈ℝ^{N^{∗}+1,N^{∗}+1}} = \underbrace{A}_{∈ℝ^{N^{∗}+1,N^{∗}}} · \underbrace{B}_{∈ℝ^{N^{∗},N^{∗}+1}}

Das ist aber aus Dimensionsgründen unmöglich. Also ist die Annahme absurd, und es folgt N = N^{∗}.

Betrachtet man speziell die Sphäre als die kompakte Menge K, so läßt sich die Aussage des Jordan–Brouwerschen Satzes noch präzisieren:

Satz 5.4. Sei S = S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} die Einheitssphäre und f : S → S^{∗} bijektiv und stetig. Dann zerfällt ℝ^{n} \ S^{∗} in genau ein beschränktes Gebiet G_{1} und ein unbeschränktes Gebiet G_{2}. Deren gemeinsamer Rand ist S^{∗} = ∂G_{1} = ∂G_{2}. Für den Abbildungsgrad hat man d(f, B_{1}(0), G_{1}) = ±1.

Beweis. Da wir in ℝ^{n} arbeiten, ist f^{−1} ebenfalls stetig. Mit Blick auf den Produktsatz 5.1 und den vorhergehenden Satz 5.3 ist nur noch zu zeigen: S^{∗} = ∂G_{1} = ∂G_{2}. Dabei ist in offensichtlicher Weise erfüllt: ∂G_{i} ⊂ S^{∗} Zu zeigen reicht also: Zu jedem z_{0} ∈ S^{∗} und zu jedem ε > 0 existieren a ∈ G_{1}, b ∈ G_{2} mit |a − z_{0}| ≤ ε, |b − z_{0}| ≤ ε. Seien also z_{0} ∈ S^{∗} und ε > 0 gegeben. Die Idee besteht darin, das Bild S^{∗} der Sphäre in der Nähe des Punktes z_{0} aufzuschneiden und das Innen- und das Außengebiet mit einem Weg durch dieses Loch hindurch zu verbinden.

Man bestimmt ein δ > 0 so, dass aus x, x′ ∈ S, |x − x′| ≤ δ folgt: |f(x) − f(x′)| ≤ \frac{ε}{2}. Es bezeichne x_{0} = f^{−1}(z_{0}), F = {x ∈ S : |x − x_{0}| ≥ δ}, E = {x ∈ S : |x − x_{0}| ≤ δ}, F^{∗} = f(F) und E^{∗} = f(E). Nach dem Satz von Jordan–Brouwer ist N(F^{∗}) = N(F) = 0, d.h. ℝ^{n} \ F^{∗} ist (wegweise-) zusammenhängend. Wir wählen je einen Punkt in G_{1} und G_{2} und verbinden diese in ℝ^{n} \ F^{∗} durch einen (stetigen!) Weg. Nachdem ℝ^{n} \ S^{∗} = ℝ^{n} \ (F^{∗} ∪ E^{∗}) nicht zusammenhängend und S^{∗} kompakt ist, gibt es auf diesem Weg von G_{1} kommend einen ersten Punkt z_{1} auf E^{∗}, nach Konstruktion von E^{∗} ist |z_{1} − z_{0}| ≤ \frac{ε}{2}. Der Wahl von z_{1} entsprechend existiert ein a ∈ G_{1} mit |a − z_{1}| ≤ \frac{ε}{2}, so dass |a − z_{0}| ≤ ε. Entsprechend findet man, entlang des verbindenden Weges von G_{2} kommend, erneut einen ersten Punkt z_{2} ∈ E^{∗} mit |z_{2} − z_{0}| ≤ \frac{ε}{2} und dazu b ∈ G_{2} mit |b − z_{2}| ≤ \frac{ε}{2}, so dass wir ebenfalls |z_{0} − b| ≤ ε erreichen.

Teil II

Fixpunktsätze

6 Der Brouwersche Fixpunktsatz für kompakte konvexe Mengen

Als wichtiger Zwischenschritt wird die Version für das Einheitssimplex dienen. Dazu führen wir folgende Bezeichnungen ein:

Σ_{n−1} := {x ∈ ℝ^{n} : x_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 1} ,

σ_{n−1} := {x ∈ ℝ^{n−1} : x_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{n−1} x_{i} ≤ 1} .

Hilfssatz 6.1. Jede stetige Abbildung f : Σ_{n−1} → Σ_{n−1} besitzt einen Fixpunkt.

Beweis. Zunächst Umformulierung auf σ_{n−1}: Für x′ = (x_{1}, …, x_{n−1}) ∈ σ_{n−1} gilt (x′, x_{n}) := (x′, 1 − ∑_{1}^{n−1} x_{i}) ∈ Σ_{n−1} und

g(x′) = (g_{1}(x′), …, g_{n−1}(x′)) := (f_{1} (x′, 1 − ∑_{1}^{n−1} x_{i}) , …, f_{n−1} (x′, 1 − ∑_{1}^{n−1} x_{i}))

bildet σ_{n−1} → σ_{n−1} stetig ab. Betrachte nun h(y′) = (\sqrt{g_{1}(y_{1}^{2}, …, y_{n−1}^{2})}, …, \sqrt{g_{n−1}(y_{1}^{2}, …, y_{n−1}^{2})}).

h : \overline{B_{1}^{(n−1)}(0)} → \overline{B_{1}^{(n−1)}(0)} ist stetig,

hat also nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz für den Kreis einen Fixpunkt η′ = h(η′).

Mit ξ′ := (η_{1}^{2}, …, η_{n−1}^{2}) ∈ σ_{n−1} gilt zunächst

ξ′ = g(ξ′);

mit ξ := (ξ′, 1 − ∑_{i=1}^{n−1} ξ_{i}) ∈ Σ_{n−1} hat man dann

ξ_{i} = g_{i}(ξ′) = f_{i}(ξ) , i = 1, …, n − 1,

und schließlich noch

ξ_{n} = 1 − ∑_{i=1}^{n−1} ξ_{i} = 1 − ∑_{i=1}^{n−1} g_{i}(ξ′)

=_{Def. von g_{i}}1 − ∑_{i=1}^{n−1} f_{i}(ξ) =_{f(ξ)∈Σ_{n−1}} f_{n}(ξ),

also insgesamt f(ξ) = ξ.

Als direkte Folgerung aus diesem speziellen Fixpunktsatz erhält man einen Existenzsatz für einen positiven und damit insbesondere reellen Eigenwert bei i.a. nicht selbstadjungierten Matrizen mit positiven Komponenten:

Satz 6.2 (Frobenius). Jede Matrix A ∈ ℝ^{n×n} mit strikt positiven Koeffizienten a_{ij} > 0 besitzt einen strikt positiven Eigenwert λ > 0 und einen zugehörigen Eigenvektor ξ mit ausschließlich strikt positiven Komponenten ξ_{i} > 0.

Beweis. Man betrachtet die stetige Abbildung:

f(x) = \underbrace{\frac{A · x}{∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{j}}}_{stets≠0} : Σ_{n−1} → Σ_{n−1}.

Diese besitzt einen Fixpunkt f(ξ) = ξ. Mit

λ = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} ξ_{j} > 0

ist dann:

λξ_{i} = (A · ξ)_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} ξ_{j} > 0, d.h. auchξ_{i} > 0.

Satz 6.3 (Fixpunktsatz von Brouwer). Sei (ϕ ≠)C ⊂ ℝ^{n} kompakt und konvex. Dann besitzt jede stetige Abbildung f : C → C einen Fixpunkt.

Beweis. Man konstruiert zunächst approximative Fixpunkte. Sei ε > 0.

Überdecke C ⊂ ⋃_{j=1}^{N} B_{ε}(x_{j}), konstruiere untergeordnete Teilung der 1:

ψ_{j} : C → [0, 1] stetig ,
ψ_{j}(x) = 0, falls x ∉ B_{ε}(x_{j}),
für alle x ∈ C ist ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(x) = 1.

Für alle x ∈ C ist:

|x − ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(x)x_{j}| = |∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(x)(x − x_{j})| ≤ ε · ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(x) = ε.  (6.1)

Betrachte nun g : Σ_{N−1} → Σ_{N−1},

g(Λ) = g (λ_{1}, …, λ_{n}) = ψ_{j} (f (∑_{i=1}^{N} λ_{i}x_{i}))_{j=1,...,N} , g ist stetig.

Nach Hilfssatz 6.1 hat g einen Fixpunkt Λ = (λ_{1}, …, λ_{n}), d.h.

λ_{j} = ψ_{j} (f (∑_{i=1}^{N} λ_{i}x_{i})) .

Mit ξ_{ε} := ∑_{j=1}^{N} λ_{j}x_{j} gilt

ξ_{ε} = ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(f(ξ_{ε}))x_{j}.

Auf Grund von (6.1) und der soeben hergeleiteten Relation ist

|ξ_{ε} − f(ξ_{ε})| = |f(ξ_{ε}) − ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(f(ξ_{ε}))x_{j}| ≤ ε.

Mit ε ↘ 0 findet man gemäß dem Satz von Bolzano-Weierstraß nach Auswahl einer Teilfolge

ξ_{ε} → ξ ∈ C,  f(ξ_{ε}) → f(ξ),  also
ξ = f(ξ).

Aus dem Brouwerschen Fixpunktsatz kann man direkt und ohne (explizite) Verwendung des Abbildungsgrades das folgende topologische Resultat herleiten:

Folgerung 6.4 (Nichtretraktionssatz). Es gibt keine stetige Abbildung f : \overline{B_{R}(0)} → ∂B_{R}(0) mit f|∂B_{R}(0) = id.

Beweis. Annahme, das wäre doch der Fall, dann hätte g = −f einen Fixpunkt ξ ∈ \overline{B_{R}(0)} : ξ = g(ξ) = −f(ξ). ⇒ |ξ| = |f(ξ)| = R, also f(ξ) = ξ und folglich ξ = −ξ. Widerspruch!

Beispiel 6.5. Existenz periodischer Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen. (Vgl. Deimling [Dei, S. 18f]) Wir betrachten das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

u′ = f(t, u), u(0) = x_{0}

mit einer Nichtlinearität f : ℝ × ℝ^{n} → ℝ^{n}, die

• lokal eine Lipschitzbedingung bzgl. u erfüllt,

• stetig in (t, u) ist,

• die ω-periodisch bezüglich t ist, f(t + ω, u) = f(t, u),

• die einer Randbedingung etwa der Art genügt

∃R ∀x mit |x| = R ∀t : ∑_{i=1}^{n} f_{i}(t, x_{i})x_{i} < 0.

Für alle Anfangswerte

x_{0} ∈ \overline{B_{R}(0)}

mit zugehörigen Lösungen u (0 ≤ t < T) gilt |u(t)| ≤ R, denn falls |u(t_{0})| = R, so ist

\frac{d}{dt}|u|^{2} = 2u · u′ = f(t, u) · u < 0

nach Voraussetzung. Mithin existiert die Lösung global, d.h. für t ∈ [0, ∞) und die Poincaré-Abbildung P_{ω}(x_{0}) = u(ω, x_{0}) definiert wegen der stetigen Abhängigkeit vom Anfangswert eine stetige Abbildung \overline{B_{R}(0)} → \overline{B_{R}(0)}. Nach dem Satz von Brouwer existiert ein Fixpunkt, d.h. \overline{B_{R}(0)} ∋ x_{0} = P_{ω}x_{0}, d.h. die zum Anfangswert x_{0} gehörige Lösung u(t, x_{0}) erfüllt u(0, x_{0}) = u(ω, x_{0}). Nachdem f(·, u) ωperiodisch ist, ist auch u(·, x_{0}) ω-periodisch. □

7 Exkurs: Der Fixpunktsatz von Kakutani, Gleichgewichte in der mathematischen Wirtschaftstheorie

Zur Beschreibung von Wirtschaftssystemen werden mengenwertige Abbildungen, sogenannte Korrespondenzen, herangezogen: z.B. bei festen Preisen kann man sich verschiedene Produktionsstrategien vorstellen, usw.

Definition 7.1. Seien M ⊂ ℝ^{m}, N ⊂ ℝ^{n}. Unter einer Korrespondenz f : M ⇒ N versteht man eine Abbildung M →� (N). Die Korrespondenz f : M ⇒ N heißt abgeschlossen, falls für je zwei konvergente Folgen x_{k} → x in M, y_{k} → y in N (k → ∞) mit y_{k} ∈ f(x_{k}) (k ∈ ℕ) gilt:

y ∈ f(x).

Satz 7.2 (Fixpunktsatz von Kakutani, 1941). Sei ∅ ≠ C ⊂ ℝ^{n} kompakt und konvex. Die Korrespondenz f : C ⇒ C sei abgeschlossen, und für alle x ∈ C sei ∅ ≠ f(x) konvex. Dann hat f einen „Fixpunkt“, d.h. es existiert in ξ ∈ C mit

ξ ∈ f(ξ).

Beweis. Sei ε > 0. Man konstruiert zunächst ähnlich wie im Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes eine approximierende Abbildung g_{ε} : C → C. Dazu überdecken wir C ⊂ ⋃_{j=1}^{N} B_{ε}(x_{j}) und betrachten eine untergeordnete Teilung der Eins:

ψ_{j} : C → [0, 1] stetig,
ψ_{j}(x) = 0, falls x ∉ B_{ε}(x_{j}),
für alle x ∈ C ist ∑_{j=1}^{N} ψ_{j}(x) = 1.

Für j = 1, …, N wählen wir y_{j} ∈ f(x_{j}) ⊂ C und definieren

g_{ε} : C → C, g_{ε}(x) := ∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x)y_{j}.

Nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz 6.3 hat jedes solche g_{ε} einen Fixpunkt:

∃ξ_{ε} : ξ_{ε} = g_{ε}(ξ_{ε}).

Für eine geeignete Folge ε ↘ 0 liefert die Kompaktheit von C:

∃ξ ∈ C : ξ_{ε} → ξ für ε → 0.

Wir zeigen im Folgenden: ξ ∈ f(ξ), d.h. ξ ist bereits der gesuchte Fixpunkt. Sei V_{ρ} = ⋃_{y∈f(ξ)} B_{ρ}(y) die ρ-Umgebung von f(ξ) bei zunächst festgehaltenem ρ > 0.

Behauptung: Es gibt ein δ > 0 so, dass für alle x ∈ C mit |x − ξ| < δ gilt:

f(x) ⊂ V_{ρ}.  (7.1)

Beweis dazu: Andernfalls hätte man Folgen x_{k} ∈ C, x_{k} → ξ, y_{k} ∈ f(x_{k}) ⊂ C, y_{k} ∉ V_{ρ}. Da C kompakt ist, kann man nach Auswahl einer Teilfolge y_{k} → y annehmen, y ∉ V_{ρ} ⊃ f(ξ) im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von f. Wir betrachten nun ein hinreichend kleines ε > 0, so dass ε < δ. Behauptung: Für x ∈ C mit |x − ξ| < δ − ε gilt:

g_{ε}(x) ∈ V_{ρ}.  (7.2)

Beweis dazu: Definitionsgemäß gilt

g_{ε}(x) =^{def} ∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x)y_{j} = ∑_{{j: |x−x_{j}|<ε}} ψ_{j}(x)y_{j}.

Für x_{j} mit |x − x_{j}| < ε ist |ξ − x_{j}| ≤ |ξ − x| + |x − x_{j}| < δ − ε + ε = δ, d.h. y_{j} ∈ f(x_{j}) ⊂ V_{ρ} nach (7.1). Da f(ξ) und damit V_{ρ} konvex ist, folgt schließlich g_{ε}(x) ∈ V_{ρ}.

Mit Hilfe der beiden Zwischenbehauptungen kann der Beweis nun schnell zu Ende geführt werden. Für ε ↘ 0 gilt δ − ε ↗ δ und |ξ_{ε} − ξ| ↘ 0, also auf Grund von (7.2):

ξ_{ε} = g_{ε}(ξ_{ε}) ∈ V_{ρ} ⊂ \overline{V_{ρ}}.

und somit ξ ∈ \overline{V_{ρ}}; durch ρ ↘ 0 erhält man dann ξ ∈ ⋂_{ρ>0} \overline{V_{ρ}} = \overline{f(ξ)} = f(ξ), denn f ist abgeschlossen.

Definition 7.3 (Grundkomponenten eines Wirtschaftssystems).

(a) n Güter: Aktion eines Wirtschaftssubjekts

x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n},

dabei bedeutet

x_{j} ≥ 0: Subjekt produziert Gut j in der Menge x_{j}. x_{j} ≤ 0: Subjekt konsumiert Gut j in der Menge |x_{j}|.

(b) Preissystem p = (p_{1}, …, p_{n}) ∈ Σ_{n−1}, dem Einheitssimplex (vgl. Abschnitt 6).

Bemerkung. p_{i} ≥ 0 ist die natürliche Bedingung, aber durch Einführung einer geeigneten „Währung“ kann normiert werden (Inflationsbereinigung).

p · x Wert der Aktion x unter p.

(c) m Akteure ϕ ≠ X^{(i)} ⊂ ℝ^{n} Aktionsbereich des Akteurs i, i = 1, …, m. Φ^{(i)} : Σ_{n−1} ⇒ X^{(i)} , p ↦ Φ^{(i)}(p) ⊂ X^{(i)} Korrespondenz der von i unter p erwünschten Aktionen.

(d) Gesamtaktion ��= (x^{(1)}, …, x^{(m)}) ∈ X^{(1)} × ⋯ × X^{(m)} ⊂ ℝ^{n·m}. Zusammenfassung der Aktionen aller am Wirtschaftsgeschehen beteiligten Akteure (in einem Referenzzeitraum).

Definition 7.4. Eine Gesamtaktion ��= (x^{(1)}, …, x^{(m)}) ∈ X^{(1)} × ⋯ × X^{(m)} heißt

(a) zulässig, falls für alle Güter j = 1, …, n gilt

∑_{i=1}^{m} x_{j}^{(i)} ≥ 0 (Produktion ≥ Konsum);

(b) allseits erwünscht unter p ∈ Σ_{n−1}, falls für alle Akteure i = 1, …, m gilt x^{(i)} ∈ Φ^{(i)}(p);

(c) Gleichgewicht unter p, falls �� zulässig und allseits erwünscht unter p ist.

Frage: Existieren Gleichgewichte? Genauer: Gibt es ein Preissystem p ∈ Σ_{n−1} und eine Gesamtaktion ��, so dass �� Gleichgewicht unter p ist?

Beispiel 7.5. 2 Güter j = 1, 2; 2 Akteure i = 1, 2.

j = 1 : „Konsumgut“
j = 2 : „Rohstoff“
i = 1 : „Produzent“
X^{(1)} = {(t, −t) : 0 ≤ t ≤ 1}

Φ^{(1)}(p) = \{x ∈ X^{(1)} : p · x = \underbrace{max_{u∈X^{(1)}} p · u}_{(2p_{1}−1)t}\} „maximaler Profit“

= \{ \begin{matrix}(1, −1) & , & falls p_{1} > \frac{1}{2}, & (p_{1} > p_{2}) \\ (0, 0) & , & falls p_{1} < \frac{1}{2}, & (p_{1} < p_{2}) \\ X^{(1)} & , & falls p_{1} = \frac{1}{2}, & (p_{1} = p_{2}) \end{matrix}

i = 2: „Konsument“

X^{(2)} = \{(−t, 0) : 0 ≤ t ≤ \frac{1}{10}\}
Φ^{(2)}(p) = \{x ∈ X^{(2)} : |p · x| ≤ \frac{1}{100}\}
= \{(−t, 0) : 0 ≤ t ≤ \frac{1}{10} und 0 ≤ p_{1}t ≤ \frac{1}{100}\}

Für welche Preissysteme p existiert ein Gleichgewicht ��?

• p_{1} > \frac{1}{2}: Von i = 1 erwünscht x^{(1)} = (1, −1), wegen x^{(2)} = (−t, 0) ist Zulässigkeitsbedingung in zweiter Komponente verletzt: es gibt kein Gleichgewicht.

• p_{1} < \frac{1}{2} : Dann ist x^{(1)} = (0, 0), wegen „Zulässigkeit“ x^{(2)} = (0, 0). Folglich ist �� = {(0, 0), (0, 0)} ein Gleichgewicht.

• p_{1} =\frac{1}{2}: Wieder ist �� = \{(0, 0), (0, 0)\} ein Gleichgewicht.

Ein Grund für dieses enttäuschende Ergebnis liegt im Fehlen des Rohstofflieferanten. Im Fall p_{1} > \frac{1}{2} kann sogar auf Grund der „Profitgier“ des Produzenten nur dann ein Gleichgewicht erreicht werden, wenn ein hinreichend leistungsfähiger Rohstofflieferant auftritt, für den also die Aktion (0, 1) unter p_{1} > \frac{1}{2} erwünscht ist.

Unter geeigneten Zusatzbedingungen an das Wirtschaftssystem soll die Existenz von Gleichgewichten gezeigt werden. Dazu dient

Satz 7.6 (Gale–Nikaido–Debreu, 1954–56). Sei f : Σ_{n−1} ⇒ ℝ^{n} eine abgeschlossene Korrespondenz mit folgenden Eigenschaften:

1. Für alle p ∈ Σ_{n−1} ist f(p) nicht leer und konvex.

2. f ist beschränkt, d.h. es gibt ein R > 0, so dass für alle p ∈ Σ_{n−1} gilt: f(p) ⊂ \overline{B_{R}(0)}.

3. Für alle p ∈ Σ_{n−1} und y ∈ f(p) gilt: p · y ≥ 0

Dann existiert ein p ∈ Σ_{n−1} und ein z ∈ f(p) mit z_{j} ≥ 0 für j = 1, …, n.

Beweis. Definiere Ψ : \overline{B_{R}(0)} ⇒ Σ_{n−1}

z ↦ Ψ(z) = {p ∈ Σ_{n−1} : p · z = min_{q∈Σ_{n−1}} q · z} „schlechtester Preis“.

Für jedes z ∈ \overline{B_{R}(0)} ist Ψ(z): nicht leer: die stetige Funktion q ↦ q · z nimmt auf dem Kompaktum Σ_{n−1} ihr Minimum an. kompakt: Ψ(z) ⊂ Σ_{n−1} ist abgeschlossen. konvex: p_{1} · z = p_{2} · z ⇒ (τp_{1} + (1 − τ)p_{2}) · z = p_{1} · z.

Schließlich ist Ψ abgeschlossen:

Seien z_{k} → z in \overline{B_{R}(0)}, p_{k} → p in Σ_{n−1} mit p_{k} ∈ Ψ(z_{k}), d.h. für alle q ∈ Σ_{n−1} ist

p_{k} · z_{k} ≤ q · z_{k}
⇒ ∀q ∈ Σ_{n−1} : p · z ≤ q · z.
D.h.p ∈ Ψ(z).

Definiere nun

F : Σ_{n−1} × \overline{B_{R}(0)} ⇒ Σ_{n−1} × \overline{B_{R}(0)}, F (p, z) := Ψ(z) × f(p).

Für alle (p, z) ist F (p, z) nicht leer und konvex. Die Abgeschlossenheit von F folgt direkt aus der Abgeschlossenheit der Komponenten Ψ und f. Nach dem Satz 6.2 von Kakutani hat F einen „Fixpunkt“ , d.h. es gibt ein p ∈ Σ_{n−1}, z ∈ \overline{B_{R}(0)} mit p ∈ Ψ(z), z ∈ f(p). Letzteres ist bereits der erste Teil der Behauptung. Aus z ∈ f(p) folgt mit Hilfe von Bedingung (3) p · z ≥ 0. Aus p ∈ Ψ(z) folgt ∀q ∈ Σ_{n−1} : p · z ≤ q · z. Insgesamt erhalten wir: ∀q ∈ Σ_{n−1} : q · z ≥ 0. Die Betrachtung der Einheitsvektoren q = e_{j} (j = 1, …, n) ergibt daraus: z_{j} ≥ 0 und damit den zweiten Teil der Behauptung.

Der vorhergehende Satz soll nun Anwendung auf die Existenz von Gleichgewichten in der Wirtschaftstheorie finden. Dazu ist mit Blick auf die obige Bedingung (3) zunächst noch eine weitere Eigenschaft zu definieren:

Definition 7.7. Ein Wirtschaftssystem heißt global solide, falls für alle p ∈ Σ_{n−1} und für alle unter p allseits erwünschten Gesamtaktionen ��= (x^{(1)}, …, x^{(m)}) gilt:

p · ∑_{i=1}^{m} x^{(i)} ≥ 0 (Wert der Gesamtaktion).

Beispiel 7.8. Wir nehmen das Beispiel von oben wieder auf. Sei p = (p_{1}, p_{2}) = (p_{1}, 1 − p_{1}) , 0 ≤ p_{1} ≤ 1, ��= (x^{(1)}, x^{(2)}) allseits erwünscht unter p, dann ist

x^{(1)} = \begin{cases}(1, −1), & falls p_{1} > \frac{1}{2}, \\ (0, 0), & falls p_{1} < \frac{1}{2}, \\ (t_{1} − t_{1}) mit t_{1} ∈ [0, 1], & falls p_{1} = \frac{1}{2}; \end{cases}

x^{(2)} = (−t_{2}, 0) , 0 ≤ t_{2} ≤ \frac{1}{10}, 0 ≤ p_{1}t_{2} ≤ \frac{1}{100};

x^{(1)} + x^{(2)} = \begin{cases}(1 − t_{2}, −1), & falls p_{1} > \frac{1}{2}, \\ (−t_{2}, 0), & falls p_{1} < \frac{1}{2}, \\ (t_{1} − t_{2}, −t_{1}), & falls p_{1} = \frac{1}{2}. \end{cases}

Für p_{1} < \frac{1}{2} ist p · (x^{(1)} + x^{(2)}) = −t_{2}p_{1} < 0 für t_{2} > 0. D.h. dieses Wirtschaftssystem ist nicht global solide. (Man erreicht „stets ≥ 0“ ⇔ p_{1} ≥ \frac{101}{200}.)

Satz 7.9. Für ein Wirtschaftssystem gelte:

1. Für i = 1, …, m sind X^{(i)} kompakt, Φ^{(i)} : Σ_{n−1} ⇒ X^{(i)} sind abgeschlossen, für alle p ∈ Σ_{n−1} ist Φ^{(i)}(p) nicht leer und konvex.

2. Globale Solidität.

Dann gibt es ein Preissystem p ∈ Σ_{n−1}, so dass ein Gleichgewicht �� unter p existiert.

Beweis. Betrachte f : Σ_{n−1} ⇒ ℝ^{n},

f(p) = ∑_{i=1}^{m} Φ^{(i)}(p) = {∑_{i=1}^{m} x^{(i)} : x^{(i)} ∈ Φ^{(i)}(p)} .

Satz 7.6 liefert die Existenz eines p ∈ Σ_{n−1} und von x^{(i)} ∈ Φ^{(i)}(p) mit

(∑_{i=1}^{m} x^{(i)})_{j} = ∑_{i=1}^{m} x_{j}^{(i)} ≥ 0 (j = 1, …, n),

d.h. die Gesamtaktion

��= (x^{(1)}, …, x^{(m)})

ist allseits erwünscht und zulässig, also ein Gleichgewicht.

8 Der Schaudersche Fixpunktsatz

Dieser Abschnitt ist das Bindeglied zu Kapitel III, in dem die Theorie des Brouwerschen Abbildungsgrades auf i.a. unendlichdimensionale und im Folgenden stets reelle Banachräume ausgedehnt werden soll. Kompaktheit hat bisher eine überragende Bedeutung gehabt, daran wird sich nichts ändern. Nachdem unendlichdimensionale Banachräume nicht lokalkompakt sind, wird die Kompaktheitslast künftig von den Abbildungen und nicht mehr von den Mengen (allein) zu tragen sein.

Definition 8.1. Sei V ein Banachraum. M ⊂ V heißt präkompakt, falls jede Folge (x_{k}) ⊂ M eine (in V) konvergente Teilfolge besitzt.

Es sei bemerkt, dass in einem Banachraum M genau dann präkompakt ist, wenn der Abschluss \overline{M} kompakt ist. Zum Nachweis der Präkompaktheit in nichttrivialen Beispielen benötigt man häufig den

Satz 8.2 (Arzela–Ascoli). Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt und M = {f_{k} : K → ℝ, k ∈ ℕ} ⊂ C^{0}(K, ℝ) eine Menge von Funktionen mit folgenden Eigenschaften:

1. Gleichmäßige Beschränktheit:

∃C : ∀k : ∥f_{k}∥_{C^{0}(K)} ≤ C.

2. Gleichgradig gleichmäßige Stetigkeit: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle k und alle x, x′ ∈ K mit |x − x′| ≤ δ gilt:

|f_{k}(x) − f_{k}(x′)| ≤ ε.

Dann ist M in C^{0}(K, ℝ) präkompakt, d.h. (f_{k})_{k∈ℕ} besitzt eine gleichmäßig konvergente Teilfolge.

Der Vollständigkeit halber beweisen wir diesen Satz im Anhang, s. Satz A.9

Definition 8.3. Sei V ein Banachraum, M ⊂ V. Die Abbildung F : M → V heißt kompakt oder vollstetig, falls gilt:

1. F ist stetig;

2. F (M) ist präkompakt.

Beispiel 8.4. Sei [a, b] ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall, V = C^{0}([a, b]), für beliebiges R > 0 definiere

F : \overline{B_{R}(0)} ; \begin{matrix}⋂ \\ V \end{matrix} → V, F (f)(t) = ∫_{a}^{b} K(t, s, f(s))ds,

dabei sei K ∈ C^{0}(ℝ^{3}, ℝ) vorausgesetzt. Zur Stetigkeit von F: Seien f_{k}, f ∈ \overline{B_{R}(0)}, f_{k} → f gleichmäßig. Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit von K auf [a, b] × [a, b] × [−R, R] konvergiert K(t, s, f_{k}(.)) → K(t, s, f(.)) gleichmäßig in (t, s). Zur Präkompaktheit von F (\overline{B_{R}(0)}): Dazu wiederum verwenden wir den Satz von Arzela– Ascoli:

• gleichmäßige Beschränktheit: Diese liegt auf der Hand.

• gleichgradig gleichmäßige Stetigkeit: Da K auf [a, b]×[a, b]×[−R, R] gleichmäßig stetig ist, existiert zu ε > 0 ein δ > 0, so dass aus t, t′ ∈ [a, b], |t−t′| ≤ δ, s ∈ [a, b], ρ ∈ [−R, R] folgt:

|K(t, s, ρ) − K(t′, s, ρ)| ≤ ε

Für alle f ∈ \overline{B_{R}(0)} gilt also, falls |t − t′| ≤ δ:

|F (f)(t) − F (f)(t′)| ≤ ε|b − a|.
□

Beim Beweis des Schauderschen Fixpunktsatzes wollen wir ähnlich wie beim Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes vorgehen. Als wesentlich wird sich dabei herausstellen, dass sich kompakte Abbildungen gleichmäßig durch solche mit endlichdimensionalem Bildbereich approximieren lassen.

Hilfssatz 8.5. Sei M ⊂ V präkompakt. Zu jedem ε > 0 gibt es dann n = n(ε) Punkte x_{1}, …, x_{n} ∈ M und stetige Funktionen ψ_{j} : M → [0, 1] (j = 1, …, n) derart, dass für alle x ∈ M gilt:

∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x) = 1,  ∥x − \underbrace{∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x)x_{j}}_{∈ conv(M)} ∥ ≤ ε.

Beweis. Da \overline{M} kompakt ist, gibt es n Punkte x_{j} ∈ M, so dass

M ⊂ ⋃_{j=1}^{n} B_{ε}(x_{j}).

Setze für x ∈ M:

φ_{j}(x) = max{ε − ∥x − x_{j}∥, 0},

dann ist φ_{j} stetig und φ_{j}(x) ≠ 0 ⇔ x ∈ M ∩ B_{ε}(x_{j}); für jedes x ∈ M ist wenigstens ein

φ_{j}(x) ≠ 0, d.h. x ↦ ∑_{j=1}^{n} φ_{j}(x) (x ∈ M) ist stetig in M sowie echt positiv. Also sind

ψ_{j} : M → [0, 1],  ψ_{j}(x) := \frac{φ_{j}(x)}{∑_{i=1}^{n} φ_{i}(x)},  j = 1, …, n

stetig mit

∀x ∈ M :  ∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x) = 1

und

ψ_{j}(x) ≠ 0 ⇔ x ∈ M ∩ B_{ε}(x_{j}).

Es folgt:

∥x − ∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x)x_{j}∥ = ∥∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x)(x − x_{j})∥

≤ ∑_{j=1}^{n} \underbrace{ψ_{j}(x)}_{≠0 nur für ∥x−x_{j}∥<ε} ∥x − x_{j}∥ ≤ ε ∑_{j=1}^{n} ψ_{j}(x) = ε.

Hilfssatz 8.6. Sei M ⊂ V, F : M → V sei kompakt. Zu jedem ε > 0 gibt es dann n = n(ε) Elemente y_{1}, …, y_{n} ∈ F (M) und n stetige Funktionen f_{j} : M → [0, 1], j = 1, …, n derart, dass für alle x ∈ M gilt:

∑_{j=1}^{n} f_{j}(x) = 1,  ∥F (x) − ∑_{j=1}^{n} f_{j}(x)y_{j}∥ ≤ ε.

Beweis. Da F (M) ⊂ V präkompakt ist, existieren y_{1}, …, y_{n} ∈ F (M) und ψ_{j} : F (M) → [0, 1] wie in Hilfssatz 8.5. Ersetze dort x durch y und setze ein: y = F (x). Mit f_{j}(x) = ψ_{j}(F (x)) folgt die Behauptung.

Bemerkung 8.7. Für die stetige approximierende Abbildung F_{ε}(x) := ∑_{j=1}^{n} f_{j}(x)y_{j} gilt:

• F_{ε} : M → conv (F (M)),

• F_{ε}(M) ist in einem endlichdimensionalen Teilraum von V enthalten.

Satz 8.8 (Schauderscher Fixpunktsatz, 1930). Jede kompakte Abbildung F : C → C einer abgeschlossenen konvexen Teilmenge (∅ ≠)C eines reellen Banachraumes besitzt einen Fixpunkt, d.h. es gibt ξ ∈ C mit F (ξ) = ξ.

Beweis. Sei ε > 0 beliebig. Wähle dazu n ∈ ℕ, y_{1}, …, y_{n} ∈ C, f_{1}, …, f_{n} : C → [0, 1] wie in Hilfssatz 8.6. Wie im Beweis des Brouwerschen Satzes lässt sich damit eine Abbildung definieren

g : Σ_{n−1} → Σ_{n−1},

g_{j}(λ_{1}, …, λ_{n}) = f_{j} (∑_{i=1}^{n} λ_{i}y_{i}) .

Nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz im Simplex, Hilfssatz 6.1, hat g einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein Λ^{(ε)} = (λ_{1}^{(ε)}, …, λ_{n}^{(ε)}) ∈ Σ_{n−1} mit

g (Λ^{(ε)}) = Λ^{(ε)}, d.h.

λ_{j}^{(ε)} = f_{j} (∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{(ε)}y_{i}) .

Mit der Setzung

ξ_{ε} := ∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{(ε)}y_{j} ∈ C

hat man nach Hilfssatz 8.6

\begin{aligned}ε & ≥ ∥F (ξ_{ε}) − ∑_{j=1}^{n} f_{j}(ξ_{ε})y_{j}∥ = ∥F (ξ_{ε}) − ∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{(ε)}y_{j}∥ \\ & = ∥F (ξ_{ε}) − ξ_{ε}∥ . \end{aligned}  (∗)

Auf Grund der Kompaktheit von F gibt es eine Folge ε ↘ 0 und ein ξ ∈ C (diese Menge ist abgeschlossen!) mit F (ξ_{ε}) → ξ. Die Ungleichung (∗) ergibt ξ_{ε} → ξ ∈ C. Schließlich ist F stetig und folglich: F (ξ_{ε}) → F (ξ), und damit erhalten wir F (ξ) = ξ.

Anwendung auf gewöhnliche Differentialgleichungen

Satz 8.9 (Existenzsatz von Peano). Sei f : ℝ^{2} → ℝ stetig, ferner seien Anfangsdaten (t_{0}, x_{0}) ∈ ℝ^{2} gegeben. Dann existiert h = h(t_{0}, x_{0}, f) > 0 und eine stetig differenzierbare Lösung x ∈ C^{1}([t_{0} − h, t_{0} + h], ℝ) des Anfangswertproblems

x′(t) = f(t, x(t)) , x(t_{0}) = x_{0}.

Beweis. Wähle irgendwelche Zahlen a, b > 0, setze

K := max{|f(t, x)| : |t − t_{0}| ≤ a, |x − x_{0}| ≤ b},

h := min \{a, \frac{b}{K} \} ,

C := {x ∈ C^{0}([t_{0} − h, t_{0} + h]) : für |t − t_{0}| ≤ h ist |x(t) − x_{0}| ≤ b},

dabei handelt es sich um eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge von

V = C^{0}([t_{0} − h, t_{0} + h]).

Für x(·) ∈ C, |t − t_{0}| ≤ h setze

F (x)(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(τ, x(τ))dτ,

offensichtlich ist:

|F (x)(t) − x_{0}| ≤ |t − t_{0}| · K ≤ hK ≤ b,

also

F : C → C.

Zur Stetigkeit von F: wie im Beispiel oben. Zur Präkompaktheit von F (C): diese zeigt wieder der Satz von Arzela–Ascoli, dabei beachte man

|F (x)(t) − F (x)(t′)| ≤ K|t − t′|.

Der Schaudersche Fixpunktsatz liefert die Existenz eines x(·) ∈ C mit

x(t) = F (x)(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(τ, x(τ))dτ.

Bemerkung. Unter der schwachen Voraussetzung der Stetigkeit von f geht die Eindeutigkeit und damit insbesondere die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten verloren.

Teil III

Der Leray–Schauder–Abbildungsgrad im Banachraum

9 Definition des Abbildungsgrades im Banachraum

Der Abbildungsgrad im Banachraum wird zu erklären sein auf der Klasse kompakter Störungen der Identität. Diese Klasse lässt sich nicht mehr wesentlich vergrößern, wenn die Eigenschaften des Abbildungsgrades erhalten bleiben sollen. Glücklicherweise ist sie aber auch groß genug für viele relevante Anwendungen in Mathematik und Physik, vorausgesetzt, man betrachtet beschränkte Grundgebiete.

9.1 Endlichdimensionale Banachräume

Hier ist im Wesentlichen die Unabhängigkeit von der Wahl der Basis zu zeigen. Dazu dient:

Hilfssatz 9.1. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, f ∈ C^{0}, 0 ∉ f(∂Ω). Weiter sei φ ∈ GL(n), Ω^{∗} = φ^{−1}(Ω), g = φ^{−1} ∘ f ∘ φ. Dann gilt:

d(f, Ω) = d(g, Ω^{∗}).

Beweis. Sei f ∈ C^{1}, f_{k} → f gleichmäßig auf \overline{Ω}, f_{k}|_{∂Ω} ≠ 0. Auf Grund des Lemmas von Sard lässt sich für jedes feste aber beliebige k erreichen: In Ω gibt es in p ∈ ℕ_{0} paarweise verschiedene Lösungen x_{1}, …, x_{p} der Gleichung f_{k}(x) = 0, es ist J_{f_{k}}(x_{j}) ≠ 0, j = 1, …, p. Damit hat man

d(f_{k}, Ω) = ∑_{j=1}^{p} sgn J_{f_{k}}(x_{j}).

Betrachte nun g_{k} = φ^{−1} ∘ f_{k} ∘ φ auf Ω^{∗}, g_{k}(x) = 0 wird in Ω^{∗} genau von φ^{−1}(x_{j}), j = 1, …, p gelöst, und es ist

J_{g_{k}}(φ^{−1}(xj)) = det(φ^{−1}) · J_{f_{k}}(φ(φ^{−1}(x_{j})) · det φ
= J_{f_{k}}(x_{j}) ≠ 0, also
d(g_{k}, Ω^{∗}) = ∑_{j=1}^{p} sgn J_{g_{k}}(φ^{−1}(x_{j})) = ∑_{j=1}^{p} sgn J_{f_{k}}(x_{j}) = d(f_{k}, Ω).

Da auch g_{k} → g gleichmäßig in Ω^{∗} konvergiert, folgt damit d(f, Ω) = d(g, Ω^{∗}).

Bemerkung. Der Beweis kann ebenso gut mit Hilfe der Transformationsformel und Satz 4.9 geführt werden.

Hilfssatz 9.2. Sei V ein reeller normierter Vektorraum, dim V = n ∈ ℕ. Ist ψ : ℝ^{n} → V eine reguläre lineare Abbildung (d.h. invertierbar), dann sind ψ und ψ^{−1} stetig. Insbesondere ist V vollständig.

Beweis. Die Äquivalenz der Normen auf endlichdimensionalen Räumen, und genau das bedeutet dieser Hilfssatz, wird häufig in Analysis- oder Funktionalanalysisgrundkursen gezeigt. Stetigkeit von ψ:

∥ψ(x)∥ = ∥∑_{i=1}^{n} x_{i}ψ(e_{i})∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|∥ψ(e_{i})∥ ≤ |x|\sqrt{∑_{i=1}^{n} ∥ψ(e_{i})∥^{2}} = C|x|.

Da nun ψ stetig, ist x ↦ ∥ψ(x)∥, ℝ^{n} → ℝ stetig und nimmt auf S^{n−1} ihr Minimum \frac{1}{C̃} > 0 an, denn ψ ist bijektiv.

D.h. für x ∈ ℝ^{n} \ \{0\}: ∥ψ(\frac{x}{|x|})∥ ≥ \frac{1}{C̃}, für x ∈ ℝ^{n}: |x| ≤ C̃∥ψ(x)∥,

für y ∈ V, da ψ bijektiv: |ψ^{−1}(y)| ≤ C̃∥y∥.

Definition 9.3. Sei V ein Banachraum, dim V = n ∈ ℕ. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, f : \overline{Ω} → V sei stetig, f|_{∂Ω} ≠ 0. Sei ψ : ℝ^{n} → V linear, bijektiv, Ω^{∗} := ψ^{−1}(Ω). Dann wird der Abbildungsgrad von f in Ω bezüglich 0 durch

d(f, Ω) = d(ψ^{−1} ∘ f ∘ ψ, Ω^{∗})

erklärt.

Bemerkung 9.4. Hilfssatz 9.2 zeigt die Stetigkeit von ψ, ψ^{−1}, Hilfssatz 9.1 die Unabhängigkeit von der Wahl von ψ. Ist nämlich ψ̃ : ℝ^{n} → V bijektiv, linear, Ω̃^{∗} = ψ̃^{−1}(Ω), dann ist mit φ = ψ^{−1} ∘ ψ̃ : φ^{−1}(Ω^{∗}) = Ω̃^{∗},

d(ψ^{−1} ∘ f ∘ ψ, Ω^{∗}) = d(φ^{−1} ∘ ψ^{−1} ∘ f ∘ ψ ∘ φ, Ω̃^{∗}) = d(ψ̃^{−1} ∘ f ∘ ψ̃, Ω̃^{∗}).

Es ist unmittelbar klar, dass sich alle Eigenschaften des Brouwerschen Abbildungsgrades auf den soeben definierten übertragen, insbesondere Homotopieinvarianz, Existenz von Nullstellen, Brouwerscher Fixpunktsatz (man beachte, dass die Linearität von ψ die Konvexität der betrachteten Mengen erhält), Indexformel,…

9.2 Identität – Abbildung mit endlichdimensionalem Wertebereich

Im Folgenden sei V stets ein beliebiger reeller Banachraum, ∅ ≠ Ω ⊂ V beschränkt und offen. Man betrachtet endlichdimensionale Teilräume V′ ⊂ V, 0 < dim V′ < ∞ mit

∅ ≠ Ω ∩ V′ =: Ω_{V′}.  (9.1)

Diese Bedingung lässt sich durch Hinzunahme eines Elementes von Ω zu V′ stets erfüllen. In V′ gilt dann in der Relativtopologie von V′:

Ω_{V′} offen, ∂Ω_{V′} ⊂ ∂Ω ∩ V′, \overline{Ω_{V′}} = Ω_{V′} ∪ ∂Ω_{V′} ⊂ \overline{Ω} ∩ V′.

Zunächst sollen Abbildungen Id − F : V → V betrachtet werden, wobei

F : V → V′ stetig ist.  (9.2)

Insbesondere hat F endlichdimensionalen Wertebereich. Idee:

d(Id − F, Ω) =^{def} d_{V} , (Id − F, Ω_{V′}).  (9.3)

Allerdings ist V′ durch die Bedingungen (9.1) und (9.2) nicht eindeutig festgelegt. Und bei dem dritten Definitionsschritt in 9.3 ist die Freiheit in der Wahl von V′ ganz wesentlich: siehe dazu (9.7) unten. Die Unabhängigkeit der angestrebten Definition von der Wahl des endlichdimensionalen Teilraumes V′ ist nachzuweisen. Dazu dient:

Hilfssatz 9.5. Sei V ein Banachraum, Ω ⊂ V sei beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei stetig mit endlichdimensionalem Bildbereich, 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Seien V′, V′′ ⊂ V Teilräume mit:

1. V ⊂ V′′, 0 < dim V′ ≤ dim V′′ < ∞,

2. V′ ∩ Ω =: Ω_{V′} ≠ ∅,

3. F : V → V′.

Dann gilt:

d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}) = d_{V′′}(Id − F, Ω_{V′′}).

Beweis. Wegen ∂Ω_{V′} ⊂ ∂Ω∩V′, ∂Ω_{V′′} ⊂ ∂Ω∩V′′ (relative Ränder) sind die Abbildungsgrade wohldefiniert. Sei dim V′ = n ≥ 1, dim V′′ = n + p, o.B.d.A. p ≥ 1. Sei {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis von V′ und {b_{1}, …, b_{n}, b_{n+1}, …, b_{n+p}} eine Basis von V′′. Dann

hat F für x ∈ \overline{Ω} die Darstellung F (x) = ∑_{i=1}^{n} f_{i}(x)b_{i} mit stetigen Komponentenfunktionen

f_{i} : \overline{Ω} → ℝ. Wir betrachten die zu V′, V′′ gehörigen Koordinatenabbildungen

ψ^{∗} : ℝ^{n} → V′ , ψ^{∗}(x^{∗}) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{∗}b_{i}, Ω^{∗} = (ψ^{∗})^{−1}(Ω_{V′}),

ψ^{∗∗} : ℝ^{n+p} → V′′ , ψ^{∗∗}(x^{∗∗}) = ∑_{i=1}^{n+p} x_{i}^{∗∗}b_{i}, Ω^{∗∗} = (ψ^{∗∗})^{−1}(Ω_{V′′}).

Dabei gilt für x^{∗} ∈ ℝ^{n}:

x^{∗} ∈ Ω^{∗} ⇔ (x^{∗}, 0) ∈ Ω^{∗∗}

sowie deshalb

∂Ω^{∗} × {0} ⊂ ∂Ω^{∗∗} ∩ ℝ^{n} × {0}.

Man betrachtet nun die Abbildung F in den Koordinaten ψ^{∗} bzw. ψ^{∗∗}:

f^{∗} : \overline{Ω^{∗}} → ℝ^{n} , f^{∗}(x^{∗}) := ( f_{1}^{∗}(x^{∗}) ; ⋮ ; f_{n}^{∗}(x^{∗}) ) := ( f_{1}(∑_{i=1}^{n} x_{i}^{∗}b_{i}) ; ⋮ ; f_{n}(∑_{i=1}^{n} x_{i}^{∗}b_{i}) ) ,

f^{∗∗} : \overline{Ω^{∗∗}} → ℝ^{n+p} , f^{∗∗}(x^{∗∗}) := ( f_{1}^{∗}(x^{∗∗}) ; ⋮ ; f_{n}^{∗}(x^{∗∗}) ; 0 ; ⋮ ; 0 ) = ( f_{1}(∑_{i=1}^{n+p} x_{i}^{∗∗}b_{i}) ; ⋮ ; f_{n}(∑_{i=1}^{n+p} x_{i}^{∗∗}b_{i}) ; 0 ; ⋮ ; 0 ) ,

dabei gilt für x^{∗} ∈ \overline{Ω^{∗}} : f_{i}^{∗}(x^{∗}) = f_{i}^{∗∗}(x^{∗}, 0). Es ist gemäß Definition 9.3:

d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}) = d(Id − f^{∗}, Ω^{∗}); d_{V′′}(Id − F, Ω_{V′′}) = d(Id − f^{∗∗}, Ω^{∗∗}).  (9.4)

Sei ε > 0 so gewählt, dass für x^{∗∗} ∈ ∂Ω^{∗∗}

|(Id − f^{∗∗})(x^{∗∗})| > ε,

dann gilt auch für x^{∗} ∈ ∂Ω^{∗} : ((x^{∗}, 0) ∈ ∂Ω^{∗∗})

|(Id − f^{∗})(x^{∗})| > ε.

Approximiere f_{1}^{∗∗}, …, f_{n}^{∗∗} gleichmäßig auf \overline{Ω^{∗∗}} durch g̃_{1}^{∗∗}, …, g̃_{n}^{∗∗} ∈ C^{1}(ℝ^{n+p}, ℝ), so dass

max_{\overline{Ω^{∗∗}}} |f^{∗∗} − g̃^{∗∗}| < \frac{ε}{2}.

Mit g̃_{j}^{∗}(x^{∗}) = g̃_{j}^{∗∗}(x^{∗}, 0) gilt dann auch

max_{\overline{Ω^{∗}}} |f^{∗} − g̃^{∗}| < \frac{ε}{2}.

Auf Grund des Lemmas von Sard kann nun g̃^{∗} durch einen kleinen Vektor γ ∈ ℝ^{n}, |γ| < \frac{ε}{2} so modifiziert werden, dass für

g^{∗} := g̃^{∗} − γ

gilt:

(Id − g^{∗})(x^{∗}) = 0

hat in Ω^{∗} höchstens endlich viele Lösungen, für diese gilt:

J_{Id−g^{∗}}(x^{∗}) ≠ 0.

Zudem ist

d(Id − g^{∗}, Ω^{∗}) = d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}).  (9.5)

Für g^{∗∗} := g̃^{∗∗} − \binom{γ}{0} gilt dann auch

d(Id − g^{∗∗}, Ω^{∗}) = d_{V′′}(Id − F, Ω_{V′′});  (9.6)

und aus x^{∗∗} ∈ Ω^{∗∗},

(Id − g^{∗∗})(x^{∗∗}) = 0

folgt zunächst

x_{n+1}^{∗∗} = ⋯ = x_{n+p}^{∗∗} = 0 und mit x^{∗∗} = (x^{∗}, 0)

auch (Id − g^{∗})(x^{∗}) = 0 , x^{∗} ∈ Ω^{∗}. D.h. die Nullstellen von Id − g^{∗} und Id − g^{∗∗} entsprechen einander. In diesen Nullstellen x^{∗} bzw. x^{∗∗} gilt nun:

J_{(Id−g^{∗∗})}(x^{∗}, 0) = det ( \begin{matrix}1 − \frac{∂g_{1}^{∗∗}}{∂x_{1}} (x^{∗}, 0) & … & −\frac{∂g_{1}^{∗∗}}{∂x_{n}} (x^{∗}, 0) \\ ⋮ & ... & ⋮ & & ∗ \\ −\frac{∂g_{n}^{∗∗}}{∂x_{1}} (x^{∗}, 0) & … & 1 − \frac{∂g_{n}^{∗∗}}{∂x_{n}} (x^{∗}, 0) \\ 0 & … & 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} )

= det ( \begin{matrix}1 − \frac{∂g_{1}^{∗}}{∂x_{1}} (x^{∗}) & … & −\frac{∂g_{1}^{∗}}{∂x_{n}} (x^{∗}) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ −\frac{∂g_{n}^{∗}}{∂x_{1}} (x^{∗}) & … & 1 − \frac{∂g_{n}^{∗}}{∂x_{n}} (x^{∗}) \end{matrix} ) = J_{(Id−g^{∗})}(x^{∗}).

Man beachte dabei, dass zur Bestimmung von \frac{∂g_{i}^{∗∗}}{∂x_{j}} (x^{∗}, 0) (j = 1, …, n) die Kenntnis von x^{∗} ↦ g_{i}^{∗∗}(x^{∗}, 0) = g_{i}^{∗}(x^{∗}) ausreicht. D.h., nach Hilfssatz 3.7 ist d(Id − g^{∗∗}, Ω^{∗∗}) = d(Id − g^{∗}, Ω^{∗}), zusammen mit (9.5) und (9.6) ergibt das die Behauptung des Hilfssatzes.

Damit wird die folgende Definition sinnvoll:

Definition 9.6. Sei V ein Banachraum, Ω ⊂ V sei beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei stetig mit endlichdimensionalem Bildbereich, 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Sei V′ ⊂ V ein Teilraum mit

1. 0 < dim V′ < ∞,

2. Ω_{V′} := Ω ∩ V′ ≠ ∅,

3. F : \overline{Ω} → V′.

Dann wird der Abbildungsgrad von Id − F in Ω definiert durch:

d (Id − F, Ω) := d_{V′} ((Id − F)|_{\overline{Ω}_{V′}}, Ω_{V′}) .

Bemerkung. Auch in diesem Schritt übertragen sich die Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades in offensichtlicher Weise.

9.3 Identität – kompakt

Idee: Laut Hilfssatz 8.6 können kompakte Abbildungen F : V → V durch solche mit endlichdimensionalem Wertebereich approximiert werden. Wie gut die Approximation zu sein hat, damit man auf Definition 9.6 aus dem vorhergehenden Teil zurückgreifen kann, klärt der folgende Hilfssatz.

Hilfssatz 9.7. Sei A ⊂ V abgeschlossen, F : A → V sei kompakt. Für x ∈ A gelte (Id − F)(x) ≠ 0. Dann existiert ein ε > 0, so dass für alle x ∈ A gilt:

∥(Id − F)(x)∥ ≥ ε.

Beweis. Annahme, die Behauptung sei falsch, dann existiert also eine Folge x_{k} ∈ A mit (Id − F)(x_{k}) = x_{k} − F (x_{k}) → 0. Da F kompakt ist, konvergiert nach Auswahl einer Teilfolge F (x_{k}) → y, y ∈ V geeignet, mithin auch x_{k} → x, x ∈ V geeignet. Es ist 0 = x − y, und da F stetig ist, 0 = x − F (x) = (Id − F)(x). Da A abgeschlossen ist, ergibt sich noch x ∈ A und damit ein Widerspruch.

Definition 9.8. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, ferner gelte 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Eine Abbildung G : \overline{Ω} → V heißt zulässige Approximation von F, falls gilt:

1. G ist stetig,

2. es gibt einen endlichdimensionalen Teilraum V′ ⊂ V mit G : \overline{Ω} → V′ und Ω_{V′} = Ω ∩ V′ ≠ ∅,

3. sup_{x∈\overline{Ω}} ∥F (x) − G(x)∥ < inf_{x∈∂Ω} ∥(Id − F)(x)∥.

Bemerkung. Auf Grund der Hilfssätze 9.7 und 8.6 existieren stets zulässige Approximationen.

Dass der Abbildungsgrad für kompakte Störungen der Identität mit Hilfe zulässiger Approximationen wohl-definiert werden kann, zeigt der folgende Hilfssatz.

Hilfssatz 9.9. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, ferner gelte 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Sind G, H : \overline{Ω} → V zwei zulässige Approximationen von F, so gilt:

d(Id − G, Ω) = d(Id − H, Ω).

Beweis. Zunächst ist offensichtlich 0 ∉ (Id − G)(∂Ω), 0 ∉ (Id − H)(∂Ω). Auf Grund von Hilfssatz 9.5 lässt sich ein endlichdimensionaler Teilraum V′ ⊂ V finden, so dass

G : \overline{Ω} → V′, H : \overline{Ω} → V′ , Ω_{V′} := Ω ∩ V′ ≠ ∅

und

\begin{matrix}d(Id − G, Ω) = d_{V′}(Id − G, Ω_{V′}), \\ d(Id − H, Ω) = d_{V′}(Id − H, Ω_{V′}). \end{matrix}  (9.7)

Wir betrachten die Homotopie h : [0, 1] × \overline{Ω_{V′}} → V′,

h(τ, x) = x − (τG(x) − (1 − τ)H(x)), stetig in (τ, x).

Für x ∈ ∂_{V′}Ω_{V′} ⊂ ∂Ω ∩ V′ gilt

∥h(τ, x)∥ = ∥(Id − F)(x) + τ(F − G)(x) + (1 − τ)(F − H)(x)∥

≥ inf_{x∈∂Ω_{V′}} ∥(Id − F)(x)∥ − τ sup_{x∈∂Ω_{V′}} ∥(F − G)(x)∥ − (1 − τ) sup_{x∈∂Ω_{V′}} ∥(F − H)(x)∥
≥ inf_{x∈∂Ω} ∥(Id − F)(x)∥ − τ sup_{x∈\overline{Ω}} ∥(F − G)(x)∥ − (1 − τ) sup_{x∈\overline{Ω}} ∥(F − H)(x)∥ > 0

auf Grund der Zulässigkeitsbedingung an G und H. Die Homotopieinvarianz des endlichdimensionalen Abbildungsgrades liefert

d_{V′} (Id − G, Ω_{V′}) = d_{V′} (Id − H, Ω_{V′})

und deshalb zusammen mit (9.7) die Behauptung. Definition 9.10. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, ferner gelte 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Es sei G : \overline{Ω} → V eine zulässige Approximation von F im Sinne von Definition 9.8. Dann heißt

d(Id − F), Ω) := d(Id − G, Ω)

Leray–Schauder–(Abbildungs–) Grad von Id − F in Ω bezüglich 0. Schließlich setzt man für z ∈ V, z ∉ (Id − F)(∂Ω)

d(Id − F, Ω, z) := d(Id − F)(·) − z, Ω).

Beispiel 9.11. Sei V unendlichdimensional, z ∈ V, z ∉ ∂Ω, dabei Ω ⊂ V beschränkt und offen. F : \overline{Ω} → V, F (x) = z.

1. Fall: z ∈ Ω. Wähle

y = \{ \begin{matrix}z, & falls z ≠ 0, \\ beliebig in Ω \ \{0\}, & falls z = 0; \end{matrix}

V′ = Span (y), Ω_{V′} = {λy : λ ∈ ℝ, λy ∈ Ω}, dann ist z = εy mit

ε = \{ \begin{matrix}1, falls z ≠ 0, \\ 0, falls z = 0. \end{matrix}

(Id − F)(λy) = λy − εy = (λ − ε)y. Dabei ist εy ∈ Ω_{V′}, durch Betrachtung von λ ↦ λ − ε auf {λ ∈ ℝ : λy ∈ Ω_{V′}} ∋ ε erhält man

d(Id − F, Ω) = 1.

2. Fall: z ∉ \overline{Ω}. Wähle

y_{1} \{ \begin{matrix}= z, & falls z ≠ 0, \\ ∉ \overline{Ω} beliebig, & falls z = 0, \end{matrix}

weiter sei y_{2} ∈ Ω \ {0} so, dass y_{1}, y_{2} linear unabhängig sind. Sei ε wie oben definiert, wieder ist z = εy_{1}. Wir betrachten V′ = Span (y_{1}, y_{2}) , Ω_{V′} = \{λ_{1}y_{1}+λ_{2}y_{2} : λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ, λ_{1}y_{1}+λ_{2}y_{2} ∈ Ω\}, z = εy_{1} ∉ \overline{Ω_{V′}}. Wegen

(Id − F)(λ_{1}y_{1} + λ_{2}y_{2}) = λ_{1}y_{1} + λ_{2}y_{2} − εy_{1}

ist dann

0 = d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}) = d(Id − F, Ω).
□

Fundamentaleigenschaften des Leray–Schauder–Grades

Satz 9.12. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, 0 ∉ (Id − F)(∂Ω). Außerdem sei d(Id − F, Ω) ≠ 0. Dann hat Id − F eine Nullstelle in Ω, d.h. es existiert ein ξ ∈ Ω, so dass ξ − F (ξ) = 0.

Beweis. Sei G_{n} : \overline{Ω} → V eine Folge zulässiger Approximationen mit

sup_{x∈\overline{Ω}} ∥F (x) − G_{n}(x)∥ ≤ \frac{1}{n}.

Nach Definition von Zulässigkeit ist d(Id − G_{n}, Ω) = d(Id − F, Ω) ≠ 0, also existieren auf Grund des entsprechenden endlichdimensionalen Resultats (s. Satz 2.9) ξ_{n} ∈ Ω, die die Gleichung ξ_{n} − G_{n}(ξ_{n}) = 0 lösen. Folglich ist

∥F (ξ_{n}) − ξ_{n}∥ ≤ \frac{1}{n}.  (9.8)

Da F kompakt ist, konvergiert nach Auswahl einer Teilfolge F (ξ_{n}) gegen ein geeignetes η ∈ V, mithin ξ_{n} → ξ ∈ \overline{Ω}. Da F stetig: η = F (ξ), und wegen (9.8): F (ξ) = ξ oder (Id − F)(ξ) = 0. Nach Voraussetzung ist ξ ∉ ∂Ω, also ξ ∈ Ω.

Zur Invarianz gegenüber „kompakten Homotopien“ :

Satz 9.13. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, H : [0, 1]×\overline{Ω} → V sei kompakt, für jedes τ ∈ [0, 1] gelte: 0 ∉ (Id − H(τ, .))(∂Ω). Dann ist die Abbildung [0, 1] → ℤ, τ ↦ d(Id − H(τ, .), Ω) konstant.

Beweis. Die im Folgenden benötigten Resultate über in τ und σ simultan kompakte Operatoren ergeben sich als direkte Verallgemeinerungen der zitierten Hilfssätze. Wegen Hilfssatz 9.7 existiert ein ε > 0, so dass für (τ, x) ∈ [0, 1]×∂Ω gilt: ∥x−H(τ, x)∥ ≥ ε. Auf Grund von Hilfssatz 8.6 existieren ein endlichdimensionaler Teilraum V′ ⊂ V mit Ω_{V′} = Ω∩V′ ≠ ∅ und eine stetige Abbildung G : [0, 1]×\overline{Ω} → V′, so dass für alle (τ, x) ∈ [0, 1]×\overline{Ω} gilt: ∥G(τ, x)−H(τ, x)∥ ≤ \frac{ε}{2}; d.h. für jedes τ ∈ [0, 1] ist G(τ, .) eine zulässige Approximation für H(τ, .). Definitionsgemäß ist also d(Id − H(τ, .), Ω) = d(Id − G)(τ, .), Ω) = d_{V′}(Id − G(τ, .), Ω_{V′}). Die Konstanz der letzteren Funktion in τ und damit die Behauptung folgt aus der Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades auf endlichdimensionalen Banachräumen. Man beachte, dass auf ∂Ω und damit insbesondere auf ∂_{V′}Ω_{V′} ⊂ V′ ∩ ∂Ω gilt: ∥Id − G(τ, .)∥ ≥ \frac{ε}{2}.

Bemerkung 9.14. (a) Sind F, G : \overline{Ω} → V kompakt, so erhält man durch die konvexe Kombination H(τ, x) = τF (x) + (1 − τ)G(x) eine „kompakte“ Homotopie.

(b) Sei H : [0, 1] × \overline{Ω} → V eine Abbildung mit den Eigenschaften:

1. für jedes τ ∈ [0, 1] ist H(τ, .) kompakt;

2. zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle τ, τ′ ∈ [0, 1] mit |τ − τ′| ≤ δ gilt:

sup_{x∈\overline{Ω}} ∥H(τ, x) − H(τ′, x)∥ ≤ ε.

Dann ist H(·, ·) eine „kompakte Homotopie“ im Sinne von Satz 9.13.

Beweis. Die Stetigkeit liegt auf der Hand.

Zur Kompaktheit: Sei (τ_{k}, x_{k}) ∈ [0, 1] × \overline{Ω}. Nach Auswahl einer Teilfolge gilt: τ_{k} → τ, nach nochmaliger Auswahl H(τ, x_{k}) → y ∈ V. Sei ε > 0, bestimme dazu δ gemäß (2) und k_{0} so dass für k ≥ k_{0} gilt: ∥H(τ, x_{k}) − y∥ ≤ ε. Indem man k_{0} gegebenenfalls vergrößert, ist für k ≥ k_{0} : |τ_{k} − τ| ≤ δ, also ∥H(τ_{k}, x) − H(τ, x)∥ ≤ ε für alle x ∈ \overline{Ω}. Insgesamt folgt:

∥H(τ_{k}, x_{k}) − y∥ ≤ ∥H(τ_{k}, x_{k}) − H(τ, x_{k})∥ + ∥H(τ, x_{k}) − y∥ ≤ ε + ε = 2ε.

Hilfssatz 9.15. Sei A ⊂ V abgeschlossen, F : A → V sei kompakt. Dann ist (Id − F)(A) abgeschlossen.

Beweis. Sei y_{k} = (Id − F)(x_{k}), x_{k} ∈ A, y_{k} → y in V. Nach Auswahl einer Teilfolge konvergiert F (x_{k}) → η mit einem geeigneten η, folglich auch x_{k} → ξ := y + η. Es ist ξ ∈ A, denn A ist abgeschlossen. Es folgt F (ξ) = η, (Id − F)(ξ) = ξ − η = y, d.h. y ∈ (Id − F)(A).

Definition 9.16. Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt. Sei K eine Wegzusammenhangskomponente von V \ (Id − F)(∂Ω). Dann setzen wir

d(Id − F, Ω, K) := d(Id − F, Ω, z)

für ein beliebig ausgewähltes z ∈ K.

Bemerkung. Der Homotopiesatz zeigt die Wohldefiniertheit. Da (Id − F)(\overline{Ω}) beschränkt ist, gibt es genau eine unbeschränkte Komponente K_{∞} von V \ (Id − F)(∂Ω). Wir können dabei o.B.d.A. von dim V = ∞ ausgehen. Es ist d(Id − F, Ω, K_{∞}) = 0.

Zum Abschluss notieren wir noch den Indexsatz. Die notwendigen Vorarbeiten – Verkleinerung auf Ω_{0}, wo Id − F ≠ 0 auf \overline{Ω} \ Ω_{0}, Additivität bzgl. des Grundgebietes – werden durch Betrachtung zulässiger Approximationen aus dem endlichdimensionalen Analogon erschlossen. Daraus ergibt sich unmittelbar die Wohldefiniertheit des Index und der Indexsatz:

Definition 9.17. Sei x_{0} ∈ V, U eine Umgebung von x_{0}, F : U → V sei kompakt. Ferner sei (Id − F)(x_{0}) = 0, und mit einem geeigneten ρ > 0 gelte (Id − F)(x) ≠ 0 für alle x ∈ B_{ρ}(x_{0}) \ {x_{0}}. Dann definieren wir den Index der isolierten Nullstelle x_{0} von (Id − F) durch

ind(Id − f, x_{0}) := d(Id − F, Ω, 0),

wobei die offene Menge Ω ⊂ V unter der Bedingung x_{0} ∈ Ω ⊂ \overline{Ω} ⊂ B_{ρ}(x_{0}) beliebig gewählt werden kann.

Satz 9.18 (Indexsatz). Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, für x ∈ ∂Ω gelte: (Id − F)(x) ≠ 0. Die Gleichung (Id − F)(x) = 0 besitze in Ω genau p ∈ ℕ_{0} paarweise verschiedene Lösungen x_{1}, …, x_{p}. Dann gilt:

d(Id − F, Ω) = ∑_{j=1}^{p} ind(Id − F, x_{j}).

Für Beispiele zur Indexberechnung etwa mit Hilfe des Differentials bei differenzierbaren Abbildungen in Verallgemeinerung von Satz 3.6 sei auf die Übungen verwiesen.

10 Der Produktsatz, Anwendungen auf die Topologie in Banachräumen

Auch in diesem Paragraphen bezeichnet V stets einen reellen Banachraum. Der Produktsatz lässt sich bequemer für in ganz V erklärte kompakte Abbildungen formulieren. Dass dieses keine Einschränkung bedeutet, wird ein entsprechender Fortsetzungssatz zeigen: Sei F : \overline{Ω} → V kompakt, dann existiert eine kompakte Abbildung F̂ : V → V mit F̂|\overline{Ω} = F. Dieser maßgeschneiderte und nicht der möglichst allgemeine und entsprechend aufwändigere Fortsetzungssatz (von Dugundji) soll im Folgenden in mehreren Schritten bewiesen werden. Grundlegend ist die Beobachtung, dass Banachräume normal sind:

Hilfssatz 10.1. Seien A_{1}, A_{2} ⊂ V abgeschlossen, A_{1} ∩ A_{2} = ∅, a_{1}, a_{2} ∈ ℝ mit a_{1} < a_{2}. Dann gibt es eine stetige Funktion f : V → [a_{1}, a_{2}] mit

f(x) = \{ \begin{matrix}a_{1}, falls x ∈ A_{1}; \\ a_{2}, falls x ∈ A_{2}. \end{matrix}

Beweis. Es bezeichne d_{i}(x) := dist(x, A_{i}) = inf{∥y−x∥ : y ∈ A_{i}}. Diese Abstandsfunktionen d_{i} : V → [0, ∞) sind stetig, und es gilt d_{i}(x) = 0 ⇔ x ∈ A_{i} (die A_{i} sind abgeschlossen). Da A_{1}, A_{2} disjunkt sind, gilt stets d_{1}(x) + d_{2}(x) > 0. Folglich leistet

f : V → [a_{1}, a_{2}], f(x) := \frac{a_{1}d_{2}(x) + a_{2}d_{1}(x)}{d_{1}(x) + d_{2}(x)}

das Gewünschte.

Es folgt der Fortsetzungssatz von Tietze in Banachräumen. Eine wörtliche Übertragung des Beweises scheitert an der i.a. fehlenden Separabilität von V.

Hilfssatz 10.2. Sei A ⊂ V abgeschlossen, seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Es sei f : A → [a, b] stetig. Dann existiert ein stetiges f̂: V → [a, b] mit f̂|_{A} = f, d.h. eine stetige Fortsetzung von f nach V.

Beweis. O.B.d.A. sei a = −1, b = 1. Konstruiere induktiv stetige Funktionen mit:

\{ \begin{matrix}f_{k} : V → ℝ, |f_{k}(x)| ≤ \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{k} (x ∈ V); \\ g_{k} : A → ℝ, |g_{k}(x)| ≤ (\frac{2}{3})^{k}  (x ∈ A); \\ für x ∈ A ist f(x) = (∑_{j=0}^{k} f_{j}(x)) + g_{k}(x). \end{matrix}  (10.1)

\underline{k = 0}: Setze f_{0} = 0 und g_{0} = f. \underline{k → k + 1}: Seien f_{0}, …, f_{k}, g_{0}, …, g_{k} mit der Eigenschaft (10.1) bereits konstruiert.

Wir bestimmen gemäß Hilfssatz 10.1 zunächst ein stetiges f_{k+1} : V → ℝ mit

f_{k+1}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} , & falls x ∈ A und g_{k}(x) ≥ \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} , \\ −\frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} , & falls x ∈ A und g_{k}(x) ≤ −\frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} , \end{matrix}

|f_{k+1}(x)| ≤ \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} = \frac{1}{2} · \frac{2}{3} (\frac{2}{3})^{k} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{k+1} , \underline{x ∈ V} .

Für x ∈ A setzen wir nun g_{k+1}(x) := g_{k}(x) − f_{k+1}(x). Da |g_{k}(x)| ≤ (\frac{2}{3})^{k}, gilt:

• falls g_{k}(x) ≥ \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k}: 0 ≤ g_{k+1}(x) ≤ (\frac{2}{3})^{k} − \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k} = (\frac{2}{3})^{k+1};

• falls g_{k}(x) ≤ −\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k}: 0 ≥ g_{k+1}(x) ≥ −(\frac{2}{3})^{k} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k} = −(\frac{2}{3})^{k+1};

• für die übrigen x ∈ A :

|g_{k+1}(x)| ≤ |g_{k}(x)| + |f_{k+1}(x)| ≤ \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k} = (\frac{2}{3})^{k+1}.

Also ist insgesamt für x ∈ A: |g_{k+1}(x)| ≤ (\frac{2}{3})^{k+1}. Schließlich ist nach Setzung von g_{k+1} für x ∈ A:

f(x) = (∑_{j=0}^{k} f_{j}(x)) + g_{k}(x) = (∑_{j=0}^{k} f_{j}(x)) + f_{k+1}(x) + g_{k+1}(x)

= (∑_{j=0}^{k+1} f_{j}(x)) + g_{k+1}(x).

Man definiert nun für x ∈ V:

f̂(x) = ∑_{j=0}^{∞} f_{j}(x).

Auf Grund von ∥f_{j}∥_{C^{0}} ≤ \frac{1}{2}(\frac{2}{3})^{k}, Σ(\frac{2}{3})^{k} < ∞ und des Weierstraßschen Konvergenzsatzes ist f̂: V → ℝ stetig. Wegen sup_{x∈A} |g_{k}(x)| ≤ (\frac{2}{3})^{k} und (10.1) gilt für x ∈ A:

f̂(x) = ∑_{j=0}^{∞} f_{j}(x) = f(x).

Schließlich gilt für alle x ∈ V:

|f(x)| ≤ ∑_{j=0}^{∞} |f_{j}(x)| = ∑_{j=1}^{∞} |f_{j}(x)| ≤ \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{∞} (\frac{2}{3})^{j} = \frac{1}{2} · \frac{\frac{2}{3}}{1 − \frac{2}{3}} = 1.

Der Beweis des angestrebten Fortsetzungssatzes wird so geführt werden, dass wir zunächst endlichdimensional approximieren, dann fortsetzen und mit Hilfe dieser approximativen Fortsetzungen dann insgesamt eine Fortsetzung konstruieren.

Hilfssatz 10.3. Sei A ⊂ V abgeschlossen, F : A → V sei kompakt. Es bezeichne C := \overline{conv(F (A))}. Dann existiert zu jedem ε > 0 eine kompakte Abbildung G : V → C ⊂ V, so dass für alle x ∈ A gilt:

∥F (x) − G(x)∥ ≤ ε.

Beweis. Wir können ohne Einschränkung F ≢ 0 annehmen. Nach Hilfssatz 8.6 existieren n =

n(ε) Elemente y_{1}, …, y_{n} ∈ F (A) und n stetige Funktionen f_{j} : A → [0, 1] mit ∑_{j=1}^{n} f_{j}(x) =

1(x ∈ A) und

∥∑_{j=1}^{n} f_{j}(x)y_{j} − F (x)∥ ≤ \frac{ε}{2}.

Diese Komponentenfunktionen werden fortgesetzt: es existieren stetige f̂_{j} : V → [0, 1], so dass f̂_{j}|A = f_{j}, j = 1, …, n. Für δ > 0 und x ∈ V setze

G_{δ}(x) = ∑_{j=1}^{n} (\frac{f̂_{j}(x) + δ}{(∑_{i=1}^{n}(f̂_{i}(x) + δ))}) y_{j}, x ∈ V.

Sicher gilt für alle x ∈ V: G_{δ}(x) ∈ conv(F (A)). G_{δ} ist offensichlich stetig, G_{δ}(V) ist in einem endlichdimensionalen Würfel enthalten, folglich ist G_{δ} kompakt. Wählt man schließlich δ ≤ \frac{1}{4n max\{∥y_{1}∥,...,∥y_{n}∥\}}ε, so gilt für x ∈ A:

∥F (x) − G_{δ}(x)∥ ≤ ∥∑_{j=1}^{n} (f_{j}(x) − \frac{f_{j}(x) + δ}{1 + nδ} ) y_{j}∥ + ∥F (x) − ∑_{j=1}^{n} f_{j}(x)y∥

≤ max\{∥y_{1}∥, …, ∥y_{n}∥\}( ∑_{j=1}^{n} \frac{nδf_{j}(x) + δ}{1 + \underbrace{nδ}_{≥0}} ) + \frac{ε}{2}

≤ max\{∥y_{1}∥, …, ∥y_{n}∥\} · 2nδ + \frac{ε}{2} ≤ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

Damit leistet G := G_{δ} das Gewünschte.

Satz 10.4. Sei ∅ ≠ A ⊂ V abgeschlossen, F : A → V sei kompakt. Es bezeichne C = \overline{conv(F (A))}. Dann gibt es eine kompakte Abbildung F̂ : V → C ⊂ V mit F̂|_{A} = F.

Beweis. Gemäß Hilfssatz 10.3 gibt es eine Folge kompakter Abbildungen G_{n} : V → C(n ∈ ℕ), so dass für alle x ∈ A gilt:

∥G_{n}(x) − F (x)∥ ≤ \frac{1}{2^{n+1}} .

Die Idee: Kompaktheit bleibt unter gleichmäßiger Konvergenz erhalten (Davon überzeugt man sich auch in der nichtlinearen Situation durch ein Diagonalverfahren und das Cauchykriterium). Problem: Konvergenz außerhalb von A. Ausweg: Modifikation der Folge (G_{n}).

Dazu betrachten wir

φ_{n} : [0, ∞) → [0, 1], φ_{n}(t) = \{ \begin{matrix}1, & falls 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2^{n}} , \\ 2 − 2^{n}t, & falls \frac{1}{2^{n}} ≤ t ≤ \frac{1}{2^{n−1}} , \\ 0, & falls t ≥ \frac{1}{2^{n−1}} , \end{matrix}

als stückweise lineare Funktion ist φ_{n} sicher stetig.

Wir setzen F_{1} := G_{1} und rekursiv für x ∈ V, n ≥ 2:

F_{n}(x) := F_{n−1}(x) − φ_{n−1}(∥G_{n}(x) − F_{n−1}(x)∥) (G_{n}(x) − F_{n−1}(x)) .

Induktiv zeigt man:

• F_{n}(x) ∈ C als Konvexkombination von G_{n}(x) und F_{n−1}(x),

• F_{n} : V → C ist kompakt, denn F_{n−1} und G_{n} sind kompakt, für φ_{n−1}(…) wird nur die Stetigkeit benötigt;

• für x ∈ A ist F_{n}(x) = G_{n}(x), denn

∥G_{n}(x) − G_{n−1}(x)∥ ≤ ∥G_{n}(x) − F (x)∥ + ∥F (x) − G_{n−1}(x)∥
≤ \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n}} ≤ \frac{1}{2^{n−1}} , hier ist φ_{n−1} = 1.

Schließlich ist für alle x ∈ V, n ≥ 2

∥F_{n}(x) − F_{n−1}(x)∥ ≤ φ_{n−1}(∥G_{n}(x) − F_{n−1}(x)∥)∥G_{n}(x) − F_{n−1}(x)∥
≤ sup_{t≥0} (tφ_{n−1}(t)) ≤ \frac{1}{2^{n−2}} · 1 = \frac{1}{2^{n−2}} .

Damit ist F_{n} = ∑_{j=2}^{n}(F_{j} − F_{j−1}) + F_{1} in V gleichmäßig absolut konvergent gegen ein kompaktes

F̂ : V → C. Für x ∈ A ist:

F_{n}(x) = G_{n}(x),

⇒ ∥F_{n}(x) − F (x)∥ ≤ \frac{1}{2^{n+1}} ,

⇒ F̂(x) = F (x).

Bemerkung: Satz 10.4 erlaubt einen Alternativbeweis des Schauderschen Fixpunktsatzes: Diesen zunächst mit Hilfe des Abbildungsgrades auf Kugeln zeigen; dann F : C → C (ohne Einschränkung kann man C wegen der Kompaktheit von F als beschränkt annehmen) zu einem F̂ : \overline{B_{R}(0)} → C ⊂ \overline{B_{R}(0)} fortsetzen.

Satz 10.5 (Produktsatz im Banachraum). Sei Ω ⊂ V beschränkt und offen. Seien F, G : V → V kompakt. Ferner seien E ⊂ V abgeschlossen mit (Id − F)(∂Ω) ⊂ E und z ∈ V mit (Id − G)(E) ∌ z. Dann gilt: Die Anzahl n = n(z, G) ∈ ℕ_{0} der beschränkten Zusammenhangskomponenten K_{i} von V \ E, die Nullstellen y der Gleichung (Id − G)(y) − z = 0 enthalten, ist endlich, und es gilt

d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = ∑_{i=1}^{n} d(Id − F, Ω, K_{i}) d(Id − G, K_{i}, z).

Bemerkung 10.6. (a) Bei nichtseparablen Banachräumen muss man i.a. mit überabzählbar vielen Komponenten von V \E rechnen. Das bedeutet, dass die gesamte Kompaktheitslast allein die Abbildung zu tragen hat.

(b) Ist n = 0, d.h. (Id − G)(y) ≠ z auf V \ E und folglich auf V, so ist für alle x ∈ \overline{Ω}:

(Id − G) ∘ (Id − F)(x) ≠ z,
d.h.d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = 0.

(c) Die Komposition ist auch wieder von der Gestalt „Identität – kompakt“, denn:

(Id − G) ∘ (Id − F) = Id ∘ (Id − F) − G ∘ (Id − F)
= Id − (\underbrace{F + G ∘ (Id − F}_{kompakt})).

Beweis von Satz 10.5, Anfang; Nachweis der Endlichkeit von n(z, G). Angenommen, es gibt eine Folge (K_{i})_{i∈ℕ} von Komponenten von V \ E und Punkte y_{i} ∈ K_{i} mit (Id − G)(y_{i}) = z. Nach Auswahl einer Teilfolge kann man annehmen, dass G(y_{i}) → ζ, also y_{i} → y_{0}, ζ = G(y_{0}), (Id − G)(y_{0}) = z. Demnach gibt es eine Komponente K_{i_{0}} ∋ y_{0}, und K_{i_{0}} enthält fast alle Glieder (y_{i}) im Widerspruch zu deren Konstruktion.

Beim Beweis von Satz 10.5 werden Einschränkungen auf endlichdimensionale Teilräume eine zentrale Rolle spielen. Zusammenhang bleibt bei solchen Prozeduren i.a. nicht erhalten. Deshalb ist das folgende technische Lemma hilfreich („Vergrößern und Zusammenfassen der K_{i}“):

Hilfssatz 10.7 („Umformungslemma“). Zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 10.5 gelte: Seien ∅ ≠ H_{ℓ} ⊂ V − (Id − F)(∂Ω)(ℓ = 1, …, p) paarweise disjunkte offene Mengen mit den Eigenschaften:

∂H_{ℓ} ⊂ E; für y ∉ ⋃_{ℓ=1}^{p} H_{ℓ} ist (Id − G)(y) ≠ z;

H_{ℓ} ∋ y ↦ d(Id − F, Ω, y) ist konstant .

Dann gilt:

∑_{i=1}^{n} d(Id − F, Ω, K_{i})d(Id − G, K_{i}, z) = ∑_{ℓ=1}^{p} d(Id − F, Ω, y_{ℓ})d(Id − G, H_{ℓ}, z),

wobei y_{ℓ} ∈ H_{ℓ} beliebig gewählt wird.

Beweis. Jedes K_{i} ist in genau einem H_{ℓ} enthalten: Wegen Id − G ≠ z außerhalb ⋃ H_{ℓ} findet man zu jedem i ein ℓ mit K_{i} ∩ H_{ℓ} ≠ ∅. Aus ∂H_{ℓ} ⊂ E, d.h. ∂H_{ℓ} ∩ K_{i} = ∅ und dem Wegzusammenhang folgt K_{i} ⊂ H_{ℓ}. Nun benutzt man die Konstanz von y ↦ d(Id − F, Ω, y) auf H_{ℓ}, klammert entsprechende Terme aus, verwendet bei d(Id − G, K_{i}, z) die Additivität in K_{i} und die Invarianz gegen Hinzufügen z-Stellen-freier Bereiche.

Es ergibt sich eine unmittelbare Folgerung. Ohne Einschränkung kann Satz 10.5 mit E = (Id − F)(∂Ω) gezeigt werden.

Wie sich das Einsetzen zulässiger Approximationen F_{k} für F in (Id − G) auswirkt, klärt der folgende

Hilfssatz 10.8. Es seien die Voraussetzungen von Satz 10.5 mit E = (Id − F)(∂Ω) erfüllt. Ferner sei (F_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von stetigen Abbildungen F_{k} : V → V mit jeweils endlichdimensionalem Wertebereich und

sup_{x∈V} ∥F_{k}(x) − F (x)∥ → 0 (k → ∞).

Dann gibt es ein k_{0} ∈ ℕ und ein ε > 0, so dass für k ≥ k_{0} gilt:

1. x ∈ ∂Ω ⇒ ∥(Id − G) ∘ (Id − F_{k})(x) − z∥ ≥ ε,

2. d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = d((Id − G) ∘ (Id − F_{k}), Ω, z).

Beweis. Zu (1): Widerspruchsannahme: Es gibt eine Indexteilfolge (k_{ℓ})_{ℓ∈ℕ} und Punkte

x_{ℓ} ∈ ∂Ω mit lim_{ℓ→∞}(Id − G) ∘ (Id − F_{k_{ℓ}})(x_{ℓ}) = z.  (10.2)

Auf Grund der Kompaktheitsannahmen kann man sukzessive nach jeweiliger Auswahl einer Teilfolge schließen: F_{k_{ℓ}}(x_{ℓ}) konvergiert, dabei benutzt man die Kompaktheit von F und die gleichmäßige Konvergenz der F_{k}; G(x_{ℓ} − F_{k_{ℓ}}(x_{ℓ})) konvergiert; verwende nun (10.2): x_{ℓ} konvergiert schließlich ebenfalls, etwa x_{ℓ} → ξ ∈ ∂Ω (abgeschlossen). Auf Grund der Stetigkeitsannahmen folgt

(Id − G) ∘ (Id − F)(ξ) = z

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zu (2): O.B.d.A. gelte: G(V) ist endlichdimensional, denn wegen (1) und des Satzes von Rouché lässt sich G endlichdimensional so approximieren, dass beide Seiten in (2) mit den ursprünglichen übereinstimmen. Indem man ε > 0 aus (1) ggfs. verkleinert und k_{0} aus (1) ggfs. vergrößert, kann man erreichen, dass für alle k ≥ k_{0} gilt:

inf_{x∈∂Ω} ∥(Id − G) ∘ (Id − F_{k})(x) − z∥ ≥ ε,

sup_{x∈V} ∥F_{k}(x) − F (x)∥ ≤ \frac{ε}{4}.

Man betrachte einen endlichdimensionalen Teilraum V′ ⊂ V mit 1 ≤ dim V′ < ∞, Ω ∩ V′ ≠ ∅, G(V) ⊂ V′, F_{k_{0}}(V) ⊂ V′. Auf \overline{Ω_{V′}} = \overline{Ω ∩ V′} konvergiert G ∘ (Id − F_{k}) gleichmäßig gegen G ∘ (Id − F).

Beweis dazu: Widerspruchsannahme: Es gibt ein δ > 0, eine streng monoton wachsende Indexfolge k_{ℓ} ∈ ℕ und eine Folge x_{ℓ} ∈ \overline{Ω ∩ V′} mit

∥G ∘ (Id − F_{k_{ℓ}})(x_{ℓ}) − G ∘ (Id − F)(x_{ℓ})∥ ≥ δ.  (10.3)

Da \overline{Ω ∩ V′} kompakt ist, hat man nach Auswahl einer Teilfolge:

x_{ℓ} → ξ ∈ \overline{Ω ∩ V′},

F_{k_{ℓ}}(x_{ℓ}) → F (ξ) (Stetigkeit von F und gleichmäßige Konvergenz) ⋯ ⇒ linke Seite in (10.3) → 0(ℓ → ∞),

Widerspruch! Somit gilt für hinreichend große k:

d((Id − G) ∘ (Id − F_{k}), Ω, z) = d((Id − F_{k}) − G ∘ (Id − F_{k}), Ω, z)
= d((Id − F_{k_{0}}) − G ∘ (Id − F_{k}), Ω, z)  (Satz von Rouché)
=^{def} d_{V′}((Id − F_{k_{0}}) − G ∘ (Id − F_{k}), Ω_{V′}, z)  („endlichdimensionales Bild “)
= d_{V′}((Id − F_{k_{0}}) − G ∘ (Id − F), Ω_{V′}, z)

(gleichmäßige Konvergenz des zweiten Terms, s.o.)

=^{def} d((Id − F_{k_{0}} − G ∘ (Id − F), Ω, z)

= d((Id − F) − G ∘ (Id − F), Ω, z)  (Satz von Rouché)

= d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z).

Beweis des Produktsatzes, Fortsetzung. \underline{1. Schritt}. Zusätzlich gelte, dass F und G endlichdimensionale Wertebereiche haben. O.B.d.A. sei E = (Id − G) ∘ (Id − F)(∂Ω) sowie n > 0. Für i = 1, …, n bestimmen wir y_{i} ∈ K_{i} mit (Id − G)(y_{i}) = z. Man betrachtet nun einen endlichdimensionalen Teilraum V′ ⊂ V mit

1 ≤ dim V′ < ∞,
Ω_{V′} := Ω ∩ V′ ≠ ∅,
F (V) ⊂ V′, G(V) ⊂ V′,
z ∈ V′ , y_{i} ∈ V′ (i = 1, …, n).

Dann gilt (Id − G) ∘ (Id − F) = Id − F̃ mit einer stetigen Abbildung F̃ : V → V′, denn:

(Id − G) ∘ (Id − F)(x) = x − (F (x) + G ∘ (Id − F)(x)).

Deshalb ist definitionsgemäß

d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = d_{V′}((Id − G) ∘ (Id − F), Ω_{V′}, z),

und für den rechten Term soll der endlichdimensionale Produktsatz angewandt werden. Zunächst gilt für

E′ := (Id − F)(∂Ω) ∩ V′ ⊃ (Id − F)(∂_{V′}Ω_{V′}),

denn ∂_{V′}Ω_{V′} ⊂ ∂Ω ∩ V′ ⇒ (Id − F)(∂_{V′}Ω_{V′}) ⊂ (Id − F)(∂Ω) ∩ (Id − F)(V′) ⊂ (Id − F)(∂Ω) ∩ V′ = E′. Seien K′_{1}, …, K′_{q} die Komponenten von V′ \ E′, die Punkte y mit (Id − G)(y) = z enthalten. Dann liefert der endlichdimensionale Produktsatz:

d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = d_{V′}((Id − G) ∘ (Id − F), Ω_{V′}, z)
= ∑_{j=1}^{q} d_{V′}((Id − F), Ω_{V′}, K′_{j}) · d_{V′}((Id − G), K′_{j}, z).

Wir wenden nun in V′ das Umformungslemma an mit

H_{i} = K_{i} ∩ V′ (i = 1, …, n), dabei gilt

H_{i} ≠ ∅, denn y_{i} ∈ K_{i} ∩ V′,

∂H_{i} = ∂_{V′}(K_{i} ∩ V′) ⊂ ∂K_{i} ∩ V′ ⊂ (Id − F)(∂Ω) ∩ V′ = E′;

für y ∈ V′ \ ⋃_{i=1}^{n} H_{i} ist (Id − G)(y) ≠ z, denn y ∉ ⋃_{i=1}^{n} K_{i};

H_{i} ∋ y ↦ d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}, y) = d(Id − F, Ω, y) ist konstant.

Also liefert Hilfssatz 10.8 weiter

∑_{j=1}^{q} d_{V′}((Id − F), Ω_{V′}, K′_{j}) d_{V′}((Id − G), K′_{j}, z)

= ∑_{i=1}^{n} d_{V′}(Id − F, Ω_{V′}, y_{i}) d_{V′}(Id − G, K_{i} ∩ V′, z)

=^{def} ∑_{i=1}^{n} d(Id − F, Ω, y_{i}) d(Id − G, K_{i}, z)

= ∑_{i=1}^{n} d(Id − F, Ω, K_{i}) d(Id − G, K_{i}, z);

das ist die Behauptung in diesem speziellen Fall.

\underline{2. Schritt}. Seien nun F, G allgemein wie in Satz 10.5. Auf Grund von Hilfssatz 10.8 lassen sich Folgen (F_{k})_{k∈ℕ}, (G_{k})_{k∈ℕ} von stetigen Abbildungen F_{k} : V → V, G_{k} : V → V mit jeweils endlichdimensionalem Wertebereich finden derart, dass gilt:

• sup_{x∈V} ∥F_{k}(x) − F (x)∥ → 0 (k → ∞),

für k ≥ 1, x ∈ ∂Ω und geeignetes ε > 0 gilt:

∥(Id − G) ∘ (Id − F_{k})(x) − z∥ ≥ 2ε.

• sup_{x∈V} ∥G_{k}(x) − G(x)∥ → 0 (k → ∞),

für k, ℓ ≥ 1, x ∈ ∂Ω gilt:

∥(Id − G_{ℓ}) ∘ (Id − F_{k})(x) − z∥ ≥ ε  (10.4)

• d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = d((Id − G_{k}) ∘ (Id − F_{k}), Ω, z), k ≥ 1.

Wir setzen

E^{∗} := \overline{⋃_{k=1}^{∞}(Id − F_{k})(∂Ω) ∪ (Id − F)(∂Ω)},

E^{∗} ist abgeschlossen und beschränkt. Auf Grund von (10.4) gilt

z ∉ (Id − G)(E^{∗}), z ∉ (Id − G_{k})(E^{∗}) (k ≥ 1).

Seien nun K_{1}^{∗}, …, K_{r}^{∗} diejenigen Komponenten von V \ E^{∗}, die Lösungen y_{j} ∈ K_{j}^{∗} von (Id − G)(y_{j}) = z enthalten.

Da V \ ⋃_{j=1}^{r} K_{j}^{∗} abgeschlossen ist, gibt es nach Hilfssatz 9.7 ein δ > 0, so dass für alle x ∈

V \ ⋃_{j∈1}^{r} K_{j}^{∗} gilt:

∥(Id − G)(x) − z∥ ≥ δ > 0.

Deshalb existiert ein k_{0}, so dass für k ≥ k_{0} und x ∈ V \ ⋃_{j=1}^{r} K_{j}^{∗} gilt:

(Id − G_{k})(x) ≠ z.  (10.5)

Wir wenden nun das Ergebnis des 1. Schrittes auf (F_{k}, G_{k}) für k ≥ k_{0} an. Wegen (10.5) können dabei r und K_{1}^{∗}, …, K_{r}^{∗} unabhängig von k gewählt werden:

d((Id − G) ∘ (Id − F), Ω, z) = d((Id − G_{k}) ∘ (Id − F_{k}), Ω, z)

= ∑_{j=1}^{r} d(Id − F_{k}, Ω, K_{j}^{∗}) d(Id − G_{k}, K_{j}^{∗}, z)

= ∑_{j=1}^{r} d(Id − F, Ω, K_{j}^{∗}) d(Id − G, K_{j}^{∗}, z)

= ∑_{j=1}^{n} d(Id − F, Ω, K_{j}) d(Id − G, K_{j}, z).  (Umformungslemma)

□

Satz 10.9 (Jordan–Brouwer). Seien A, A^{∗} ⊂ V zwei beschränkte abgeschlossene Mengen, F : A → V sei eine kompakte Abbildung derart, dass (Id − F) : A → A^{∗} ein Homöomorphismus ist. Dann ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von V \ A und von V \ A^{∗} gleich.

Beweis. Die Umkehrabbildung (Id − F)^{−1} : A^{∗} → A ist auch von der Form Id − G mit einer kompakten Abbildung G : A^{∗} → V: Dazu setze man G(x) = x − (Id − F)^{−1}, x ∈ A^{∗} und betrachte x_{k} ∈ A^{∗}, y_{k} ∈ V mit y_{k} = G(x_{k}),

y_{k} = x_{k} − (Id − F)^{−1}(x_{k})
⇔ (Id − F)^{−1}(x_{k}) = x_{k} − y_{k}
⇔ y_{k} = −F (x_{k} − y_{k}).

Da F kompakt ist, besitzt (y_{k}) also eine konvergente Teilfolge. Wir setzen nun Id − F : A → A^{∗} bzw. Id − G : A^{∗} → A gemäß Satz 10.4 auf den gesamten Banachraum fort. Dann folgt die Behauptung wie im endlichdimensionalen Fall aus dem Produktsatz.

Unser letztes Ziel ist der Beweis des Offenheitssatzes. Als Nebenprodukt und unmittelbare Folgerung erhält man daraus die Fredholmsche Alternative für kompakte lineare Operatoren. Zur Stetigkeit der Umkehrabbildung kann man für kompakte Störungen der Identität ähnlich wie in ℝ^{n} zeigen:

Hilfssatz 10.10. Sei A ⊂ V abgeschlossen, F : A → V sei kompakt und derart, dass (Id−F) : A → V injektiv ist. Dann gilt: A′ := (Id − F)(A) ist abgeschlossen und (Id − F) : A → A′ ist ein Homöomorphismus.

Beweis. Die Abgeschlossenheit von A′ folgt direkt aus Hilfssatz 9.15. Zur Stetigkeit von (Id − F)^{−1}: Seien y_{k}, y ∈ A′, lim y_{k} = y; x_{k}, x ∈ A mit (Id − F)(x_{k}) = y_{k}, (Id − F)(x) = y. Es ist zu zeigen: Dann ist lim_{k→∞} x_{k} = x. Annahme, es gibt ein ε > 0, so dass für unendlich viele k gilt: ∥x − x_{k}∥ ≥ ε. Auf Grund der Kompaktheit von F existiert eine Teilfolge (x_{k_{ℓ}})_{ℓ∈ℕ} mit: x_{k_{ℓ}} ↛ x, wohingegen F (x_{k_{ℓ}}) konvergiert. Folglich hat man wegen der Konvergenz der (y_{k})_{k} auch x_{k_{ℓ}} → x̂ ≠ x. Also gilt:

y = lim_{ℓ→∞} y_{k_{ℓ}} = lim_{ℓ→∞}(Id − F)(x_{k_{ℓ}}) = (Id − F)(x̂).

Wegen der Injektivität ergibt sich daraus x = x̂ und damit ein Widerspruch.

Satz 10.11. Sei z ∈ V, U eine Umgebung von z, F : U → V sei eine kompakte Abbildung derart, dass Id − F injektiv ist. Dann gilt:

ind((Id − F)( .) − (Id − F)(z), z) = ±1.

Beweis. O.B.d.A. sei (Id − F)(z) = 0. Sei ε > 0 so gewählt, dass S := ∂B_{ε}(z) ⊂ U. Dann sind S und S^{∗} := (Id − F)(S) zwei zueinander homoömorphe abgeschlossene beschränkte Mengen (s. Hilfssatz 10.10). Nach Satz 10.9 von Jordan - Brouwer zerlegt S^{∗} den Banachraum V in genau zwei Zusammenhangskomponenten, eine beschränkte Komponente K_{1} und eine unbeschränkte Komponente K_{2}. Nach dem Produktsatz ist

1 = d(Id, B_{ε}(z), z) = d(Id − F, B_{ε}(z), K_{1}) · d((Id − F)^{−1}, K_{1}, z)
⇒^{Ganzzahligkeit}  ±1 = d(Id − F, B_{ε}(z), K_{1}).

Es bleibt 0 ∈ K_{1} zu zeigen. Wähle dazu η ∈ K_{1}, finde auf Grund des Nichtverschwindens des Abbildungsgrades dazu ξ ∈ B_{ε}(z) mit (Id − F)(ξ) = η. Verbinde ξ und z: ξ_{t} = tξ + (1 − t)z, t ∈ [0, 1]. Für η_{t} := (Id − F)(ξ_{t}) gilt auf Grund der Injektivität

η_{t} ∉ S^{∗}, η_{1} = (Id − F)(ξ) = η ∈ K_{1}.

Also ist auch K_{1} ∋ η_{0} = (Id − F)(z) = 0.

Satz 10.12 (Gebietsinvarianz). Sei Ω ⊂ V ein Gebiet, F : Ω → V sei eine kompakte Abbildung derart, dass (Id − F) lokal injektiv ist. Dann ist auch Ω^{∗} := (Id − F)(Ω) ein Gebiet.

Beweis. Der (Weg-) Zusammenhang ist offensichtlich, die Offenheit folgt aus Satz 10.11.

Satz 10.13 (Fredholmsche Alternative, „injektiv ⇒ surjektiv“–Teil). Sei F : V → V ein \underline{linearer} kompakter Operator, d.h. für jede beschränkte Menge M ⊂ V ist F (M) präkompakt. Außerdem habe die Gleichung

(Id − F)(x) = 0

nur die triviale Lösung. Dann besitzt die Gleichung

(Id − F)(x) = y

für jedes y ∈ V genau eine Lösung.

Beweis. Nach Satz 10.12 ist (Id−F)(B_{1}(0)) offen, und diese Menge enthält die 0. Es gibt also ein ε > 0, so dass (Id−F)(B_{1}(0)) ⊃ B_{ε}(0). Die Linearität liefert (Id−F)(B_{R}(0)) ⊃ B_{εR}(0), und mit R → ∞ folgt die Behauptung.

Bemerkung 10.14. Verlässt man die Klasse „Identität - kompakt“, werden die Sätze von der Gebietsinvarianz und von Jordan–Brouwer und die Fredholmsche Alternative falsch, womit auch eine wesentliche Ausdehnung des Abbildungsgrades über diese Klasse hinaus als unrealistisch erscheint. Von Ersterem kann man sich mit Hilfe des Schiebe-Operators in ℓ^{2} überzeugen.

Teil IV

Anhang

A Wichtige „Hilfs-“ Sätze

Diese Vorlesung ist so aufgebaut, dass sie mit Kenntnissen aus einem Analysis-Grundkurs verstanden werden kann. Im Folgenden werden einige Sätze zusammengestellt, die in diesem Sinne vielleicht nicht oder nicht in dieser Form vorausgesetzt werden können.

A.1 Weierstraßscher Approximationssatz

In der Theorie des Abbildungsgrades haben wir Vieles zunächst für C^{1}− Abbildungen definiert und bewiesen. Allerdings ist der Abbildungsgrad ein topologisches Instrument, und in diesem Zusammenhang sind ausschließlich stetige Abbildungen zu betrachten. Dieser Übergang wird mit Hilfe eines Dichtheits- oder Approximationssatzes bewältigt. Für unsere Zwecke beweisen wir den Weierstraßschen Approximation in einer Fasung für stetige und einer für stetig differenzierbare Funktionen. Dazu halten wir zunächst fest:

Hilfssatz A.1. Der „Glättungskern“

ψ : ℝ^{n} → ℝ,  ψ(x) := \{ \begin{matrix}c_{n} exp (\frac{1}{|x|^{2}−1}) , & |x| < 1, \\ 0  , & |x| ≥ 1, \end{matrix}

ist beliebig oft stetig differenzierbar. Dabei ist c_{n} so gewählt, das ∫_{ℝ^{n}} ψ(x) dx = 1.

Beweis. Betrachte zunächst

ψ̃ : ℝ → ℝ,  ψ̃(y) = \{ \begin{matrix}c_{n} exp (−\frac{1}{y}) , & y > 0, \\ 0  , & y ≥ 0. \end{matrix}

Man zeigt, dass für k ∈ ℕ_{0} ein Polynom P_{2k} vom Grade ≤ 2k existiert, so dass für y > 0 gilt:

ψ̃^{(k)}(y) = P_{2k} (\frac{1}{y}) exp (−\frac{1}{y}) .

Das schnelle Abfallen der Exponentialfunktion zeigt die stetige Fortsetzbarkeit und damit (induktiv in k) auch die stetige Differenzierbarkeit von ψ̃ in ganz ℝ. Nun ist aber ψ(x) = ψ̃(1 − |x|^{2}).

Man bezeichnet übrigens die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger mit C_{0}^{∞}(ℝ^{n}). Also:

ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}).

Die Idee, wie stetige Funktionen durch beliebig glatte approximiert werden können, besteht nun im „Weichzeichnen“; statt f(0) betrachtet man einen „glatten“ Mittelwert von f in einer Umgebung von 0.

f(0) wird approximiert durch ∫_{ℝ^{n}} ψ(y)f(y) dy

oder fokussiert auf eine Kugel mit Radius h > 0:

f(0) ≈ \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{y}{h}) f(y) dy
f(x) ≈ \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{y}{h}) f(y + x) dy
= \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} \underbrace{ψ (\frac{1}{h}(z − x))}_{gerade}f(z) dz

= \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{1}{h}(x − y)) f(y) dy.

Definition A.2. Für die stetige Abbildung f : ℝ^{n} → ℝ^{n} bezeichnen wir für h > 0 mit

(f)_{h}(x) := \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{1}{h}(x − y)) f(y) dy

die Faltung von f mit dem Glättungskern ψ und Glättungsradius h.

Wegen der Theorie parameterabhängige Integrale ist (f)_{h} beliebig oft differenzierbar.

Satz A.3 (Weierstraßscher Approximationssatz I). Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} stetig. Dann konvergiert (f)_{h} für h ↘ 0 auf jedem Kompaktum gleichmäßig gegen f.

Beweis. Sei R > 0 beliebig. Für |x| ≤ R und h ≤ 1 kann man das Integrationsgebiet auf |y| ≤ R + 1 beschränken. Dort ist f gleichmäßig stetig. Wegen \frac{1}{h^{n}} ∫ ψ(\frac{1}{h}(x − y)) = 1 hat man nun für |x| ≤ R:

f(x) − (f)_{h}(x) = \frac{1}{h^{n}} ∫_{|y|≤R+1} ψ (\frac{1}{h}(x − y)) (f(x) − f(y)) dy

= \frac{1}{h^{n}} ∫\begin{matrix}|y|≤R+1 \\ |x−y|≤h \end{matrix} \underbrace{ψ (\frac{1}{h}(x − y))}_{≠0 nur für \frac{1}{h} |y−y|≤1}(f(x) − f(y)) dy.

Sei ε > 0 gegeben, wähle zunächst h_{0} > 0 so, dass

|x − y| ≤ h_{0}, |x|, |y| ≤ R + 1 ⇒ |f(x) − f(y)| ≤ ε.

Zusammen mit der Normierungsbedingung ergibt das für alle h ≤ h_{0}:

∀|x| ≤ R : |f(x) − (f)_{h}(x)| ≤ ε.

Wir wollen nun zeigen, dass bei k−mal stetig differenzierbaren Funktionen f ∈ C^{k}(ℝ^{n}) auch die k-ten Ableitungen von (f)_{h} lokal gleichmäßig gegen die von f konvergieren. Dazu dient:

Hilfssatz A.4. Sei f ∈ C^{k}(ℝ^{n}), dann gilt für jeden Multiindex α ∈ ℕ_{0}^{n} mit |α| ≤ k und alle h > 0 :

(D^{α}f)_{h}(x) = (D^{α}(f)_{h})(x).

Beweis. Zunächst ist partiell zu integrieren; man beachte dabei, dass der Glättungskern ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) im Unendlichen Nullrandwerte besitzt. Die Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation wird durch die Theorie parameterabhängiger Integrale und wiederum die Eigenschaft ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) gewährleistet. Dabei kann man annehmen, dass x in beliebig großen, aber beschränkten Mengen variiert.

(D^{α}f)_{h}(x) = \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{1}{h}(x − y)) (D_{y}^{α}f)(y) dy
= (−1)^{|α|} \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} D_{y}^{α} (ψ (\frac{1}{h}(x − y))) f(y) dy
= \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} D_{x}^{α}ψ (\frac{1}{h}(x − y)) f(y) dy = D_{x}^{α} \frac{1}{h^{n}} ∫_{ℝ^{n}} ψ (\frac{1}{h}(x − y)) f(y) dy
= (D^{α}(f)_{h}) (x).

Damit haben wir gezeigt: Unterwirft man f ∈ C^{k}(ℝ^{n}) dem Glättungsprozedere, so sind die α-ten Ableitungen der Approximation die mit demselben Verfahren entstehenden Approximationen der α-ten Ableitung, und es gilt:

Satz A.5 (Weierstraßscher Approximationssatz II). Sei f ∈ C^{k}(ℝ^{n}). Dann konvergiert (f)_{h} ∈ C^{∞}(ℝ^{n}) für h ↘ 0 auf jedem Kompaktum in der C^{k}-Norm gleichmäßig gegen f.

Man überlege sich, dass man nun mit diesen Techniken zu beliebigem beschränkten Gebiet Ω und dem um den Abstand 1 verkleinerten Komplement Ω_{1} := {x ∈ ℝ^{n} : dist(x, Ω) > 1} ein φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) findet mit

0 ≤ φ ≤ 1 , φ = \begin{cases}1, & in Ω, \\ 0, & in Ω_{1}. \end{cases}

A.2 Fortsetzungssatz von Tietze

Wir haben wiederholt benutzt, dass jedes f|_{∂Ω} auch als f|_{\overline{Ω}} oder sogar f|_{ℝ^{n}} aufgefasst werden kann. Dieses zeigt der

Satz A.6 (Fortsetzungssatz von Tietze). Sei A ⊂ ℝ^{n} abgeschlossen, g : A → ℝ^{m} sei stetig. Dann existiert eine auf ℝ^{n} erklärte stetige Fortsetzung h von g, d. h. h|_{A} = g.

Beweis. Wir betrachten g und h komponentenweise, d.h. o.B.d.A. sei m = 1. Sei (a_{k})_{k∈ℕ} ⊂ A dicht. Die Existenz einer solchen Folge ist allgemein in Teilräumen separabler metrischer Räume gewährleistet. Der Beweis dieser Tatsache sei dem Leser zur Übung überlassen. Mit Hilfe dieser Folge kann man nun definieren:

h(x) := \begin{cases}g(x) , & falls x ∈ A, \\ \frac{∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}ρ(x,a_{k})g(a_{k})}{∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}ρ(x,a_{k})} , & falls x ∉ A, \end{cases}

wobei für x ∉ A : ρ(x, a) := max (2 − \frac{|x−a|}{dist(x,A)}, 0). Bei festem x ∉ A werden also nur die a_{k} mit

|x − a_{k}| ≤ 2 dist(x, A),

insbesondere solche aus einem kompakten Bereich, berücksichtigt. Bei festem x ∉ A sind folglich in den von 0 verschiedenen Reihengliedern alle g-Werte gleichmäßig beschränkt, so dass h wohldefiniert ist. Entsprechend gilt: In ℝ^{n} \ A sind die Reihen absolut lokal gleichmäßig konvergent, die ρ(·, a_{k}) sind stetig, der Nenner ist ungleich 0, d.h. h ist in A^{0} ∪ (ℝ^{n} \ A) stetig. Es bleibt zu zeigen: h ist auch auf ∂A stetig. Es bezeichne für x ∉ A :

λ_{k}(x) = \frac{2^{−k}ρ(x, a_{k})}{∑_{i=1}^{∞} 2^{−i}ρ(x, a_{i})},

dann ist ∑_{k=1}^{∞} λ_{k}(x) = 1 und

h(x) = \begin{cases}g(x) , & x ∈ A, \\ ∑_{k=1}^{∞} λ_{k}(x)g(a_{k}) , & x ∉ A. \end{cases}

Sei nun x ∈ ∂A, ε > 0. Wähle δ > 0 so, dass für alle z′ ∈ A mit |z′ − x| ≤ 3δ gilt: |g(x) − g(z′)| ≤ ε. Für alle x′ ∈ ℝ^{n} \ A mit |x − x′| ≤ δ gilt nun:

|h(x) − h(x′)| = |g(x) − ∑_{k=1}^{∞} λ_{k}(x′)g(a_{k})| = |∑_{k=1}^{∞} λ_{k}(x′)(g(x) − g(a_{k}))|

≤ ∑_{k=1}^{∞} λ_{k}(x′) sup_{{k̃:|x′−ak̃|<2 dist(x′,A)}} |g(x) − g(ak̃)|
≤ sup_{{k̃:|x′−ak̃|≤2δ}} |g(x) − g(ak̃)| ≤ sup_{{k̃:|x−ak̃|≤3δ}} |g(x) − g(ak̃)| ≤ ε.

Für x′ ∈ A mit |x − x′| ≤ δ gilt ohnehin |h(x) − h(x′)| = |g(x) − g(x′)| ≤ ε.

Indem man diesen Fortsetzungssatz, die davor diskutierte Abschneidefunktion φ und den Weierstraßschen Approximationssatz kombiniert, erhält man u.a.: Ist f : A → ℝ^{m} stetig, A ⊂ ℝ^{n} kompakt, so existiert eine Folge f_{k} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}, ℝ^{m}), die auf A gleichmäßig gegen f konvergiert.

A.3 Das Lemma von Sard

Wir beginnen mit einer technischen Abschätzung des Bildmaßes von Würfeln, die singuläre Punkte der Abbildung f enthalten.

Hilfssatz A.7. Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} in der Umgebung des Würfels W = {x ∈ ℝ^{n} : a_{i} ≤ x_{i} ≤ a_{i} + h, i = 1, …, n} stetig differenzierbar. Mit geeigneten Zahlen M, ε gelte auf W

|f_{x_{i}}| ≤ M, |f_{x_{i}}(x) − f_{x_{i}}(x′)| ≤ ε.

Schließlich existiere ein ξ ∈ W mit J_{f}(ξ) = 0. Dann gilt für den äußeren Jordan-Inhalt (bzw. das Lebesgue-Maß) der Bildmenge die Abschätzung

|f(W)| ≤ C(M, n) · h^{n} · ε.

Beweis. Man beachte, dass W^{∗} := f(W) kompakt und folglich Lebesgue-messbar ist. Sei x ∈ W beliebig. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt mit geeigneten Zwischenstellen ξ_{i}^{∗} auf der Verbindungsgeraden von ξ und x:

f_{i}(x) − f_{i}(ξ) = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (ξ_{i}^{∗}) · (x_{j} − ξ_{j}),

also

f(x) − f(ξ) = Df(ξ) · (x − ξ) + B(x)

mit B_{i}(x) = ∑_{j=1}^{n} (\frac{∂f_{i}}{∂x_{i}} (ξ_{i}^{∗}) − \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (ξ)) (x_{j} − ξ_{j}).

Die Voraussetzung über die Kleinheit der Schwankung der Ableitungen von f zeigt für diesen Fehlerterm:

|B(x)| ≤ C_{1}(n) · ε · h.  (A.1)

Außerdem gilt

|f(x) − f(ξ)| ≤ C_{2}(M, n) · h.  (A.2)

Da nach Vorausssetzung Df(ξ) singulär ist, existiert ein z_{1} ∈ ℝ^{n} mit |z_{1}| = 1 und Df(ξ)^{t}·z_{1} = 0. Wir ergänzen diesen Vektor zu einer Orthonormalbasis {z_{1}, …, z_{n}}. Für alle x ∈ W gilt dann:

|z_{1} · (f(x) − f(ξ))| = |z_{1} · (Df(ξ) · (x − ξ)) + z_{1} · B(x)|
≤ |(Df(ξ)^{t} · z_{1}) · (x − ξ)| + |B(x)|
≤ |B(x)| ≤ C_{1}(n) · ε · h;
|z_{j} · (f(x) − f(ξ))| ≤ C_{2}(M, n) · h  (j = 2, …, n).

Es folgt:

f(W) ⊂ {y ∈ ℝ^{n} : |z_{1} · (y − f(ξ))| ≤ C_{1}(n) · ε · h,
für j = 2, …, n : |z_{j} · (y − f (ξ))| ≤ C_{2}(M, n) · h} =: W^{∗∗}.

Wir verwenden nun die Bewegungsinvarianz des Jordan-Inhalts (bzw. des Lebesgue-Maßes):

|W^{∗∗}| = |{y ∈ ℝ^{n} : |z_{1} · y| ≤ C_{1}(n) · ε · h, |z_{j} · y| ≤ C_{2}(M, n) · h (j = 2, …, n)}|
= |{y ∈ ℝ^{n} : |y_{1}| ≤ C_{1}(n) · ε · h, |y_{j}| ≤ C_{2}(M, n) · h (j = 2, …, n)}|
= 2^{n} · C_{1}(n) · ε · h · (C_{2}(M, n)h)^{n−1} = C(M, n) · h^{n} · ε.

Satz A.8 (Lemma von Sard). Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, f ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}). Ferner sei F ⊂ Ω kompakt und F^{∗} := {y : y = f(x) für ein x ∈ F mit J_{f}(x) = 0}. Dann ist F^{∗} eine (Jordan–) Nullmenge.

Beweis. Wegen der Heine–Borelschen Überdeckungseigenschaft existieren endlich viele kompakte achsenparallele Würfel Ŵ_{j} ⊂ Ω, F ⊂ ⋃ Ŵ_{j}. Wir betrachten einen solchen Würfel W = {x ∈ ℝ^{n} : a_{i} ≤ x_{i} ≤ a_{i} + h} ⊂ Ω und zeigen:

W^{∗} = {y ∈ ℝ^{n} : es gibt ein x ∈ W mit y = f(x), J_{f}(x) = 0}

ist eine (Jordan-) Nullmenge. Sei ε > 0 gegeben. Da Df auf W gleichmäßig stetig ist, ist |f_{x_{i}}|_{W} | ≤ M, und es existiert ein δ > 0, so dass aus x, x′ ∈ W, |x − x′| ≤ δ folgt:

|f_{x_{i}}(x) − f_{x_{i}}(x′)| ≤ \frac{ε}{\underbrace{C(M, n)}_{dieselbe Konstante wie in Hilfssatz A.7} ·h^{n}} .

Sei N so groß gewählt, dass \frac{h}{N} ≤ \frac{δ}{\sqrt{n}}, und W werde in N^{n} kompakte Würfel W_{j} (j = 1, …, N^{n}) mit Kantenlänge \frac{h}{N} „zerlegt“, so dass deren Inneres paarweise disjunkt ist. Sei

I = {j : ∃x ∈ W_{j}, so dass J_{f}(x) = 0}.

Damit erhalten wir

W^{∗} ⊂ ⋃_{j∈I} f(W_{j})  (A.3)

und weiter nach Hilfssatz A.7:

|f (W_{j})| ≤ C(M, n) · (\frac{h}{N} )^{n} · \frac{ε}{C(M, n) · h^{n}} = \frac{ε}{N^{n}} ,

∑_{j∈I} |f (W_{j})| ≤ ε.

Mit (A.3) folgt die Behauptung.

A.4 Der Satz von Arzela–Ascoli

Dieser Satz ist ein wesentliches Hilfsmittel, um Teilmengen von Funktionenräumen als (relativ) kompakt zu erkennen und damit fundamental für die Anwendung der funktionalanalytischen Resultate in konkreten Beispielen.

Satz A.9 (Arzela–Ascoli). Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt und M = {f_{k} : K → ℝ, k ∈ ℕ} ⊂ C^{0}(K, ℝ) eine Menge von Funktionen mit folgenden Eigenschaften:

1. Gleichmäßige Beschränktheit:

∃C : ∀k : ∥f_{k}∥_{C^{0}(K)} ≤ C.

2. Gleichgradig gleichmäßige Stetigkeit: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle k und alle x, x′ ∈ K mit |x − x′| ≤ δ gilt:

|f_{k}(x) − f_{k}(x′)| ≤ ε.

Dann ist M in C^{0}(K, ℝ) präkompakt, d.h. (f_{k})_{k∈ℕ} besitzt eine gleichmäßig konvergente Teilfolge.

Beweis. Der Beweis wird zeigen, dass die Kompaktheit des Urbildbereichs K und die Lokalkompaktheit des Wertebereichs ℝ ( → Bolzano–Weierstraß) eine absolut wesentliche Rolle spielen. Zunächst wird eine geeignete dichte Teilmenge (x_{j})_{j∈ℕ} von K konstruiert, so dass man bei vorgegebenem Maximalradius δ > 0 mit endlich vielen δ-Kugeln um x_{j} bereits K überdeckt: Zu δ_{i} = \frac{1}{i}, i ∈ ℕ, findet man wegen der Kompaktheit von K sukzessive Punkte x_{j_{i−1}+1}, …, x_{j_{i}} ∈

K mit ⋃_{j=j_{i−1}+1}^{j_{i}} B_{δ_{i}}(x_{j}) ⊃ K.

Insbesondere findet man zu jedem δ > 0 ein j_{δ} ∈ ℕ, so dass

⋃_{j=1}^{j_{δ}} B_{δ}(x_{j}) ⊃ K.  (A.4)

Wir konstruieren nun mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens eine Teilfolge (f_{k_{i}})_{i∈ℕ}, die in allen Punkten (x_{j})_{j∈ℕ} konvergiert . Wegen der gleichmäßigen Beschränktheit von (f_{k})_{k∈ℕ} und des Satzes von Bolzano-Weierstraß findet man:

• eine Teilfolge (f_{k_{1,i}})_{i∈ℕ}, die in x_{1} konvergiert,

• davon wiederum eine Teilfolge (f_{k_{2,i}})_{i∈ℕ}, die in x_{2} konvergiert,

⋮

• davon wiederum eine Teilfolge (f_{k_{j,i}})_{i∈ℕ}, die in x_{j} konvergiert,

⋮

Setze k_{i} = k_{i,i}, nach Konstruktion ist dann f_{k_{i}} in jedem Punkt x_{j}, j ∈ ℕ der dichten Teilmenge konvergent. Mit Hilfe der gleichmäßig gleichgradigen Stetigkeit soll nun gezeigt werden, dass (f_{k_{i}})_{i∈ℕ} tatsächlich auf ganz K eine gleichmäßige Cauchy-Folge ist. Die Behauptung folgt dann mit der Vollständigkeit von V = C^{0}(K).

Sei dazu ε > 0 gegeben, bestimme hierzu δ = δ(ε) > 0, so dass für alle x, x′ ∈ K mit |x − x′| ≤ δ und für alle k gilt:

|f_{k}(x) − f_{k}(x′)| ≤ \frac{ε}{3}.  (A.5)

Zu diesem δ wähle j_{δ} ∈ ℕ, so dass (A.4) gilt. Schließlich findet man i_{0} = i_{0}(ε, j_{δ}) ∈ ℕ, so dass für i, ℓ ≥ i_{0} und j = 1, …, j_{δ} gilt:

|f_{k_{i}}(x_{j}) − f_{k_{ℓ}}(x_{j})| ≤ \frac{ε}{3}.  (A.6)

Sei nun x ∈ K beliebig. Auf Grund von (A.4) findet man x_{j}, j ∈ {1, …, j_{δ}} mit x ∈ B_{δ}(x_{j}). Für i, ℓ ≥ i_{0} gilt nun:

|f_{k_{i}}(x) − f_{k_{ℓ}}(x)| ≤ \underbrace{|f_{k_{i}}(x) − f_{k_{i}}(x_{j})|}_{≤ \frac{ε}{3} nach (A.5)} + | \underbrace{f_{k_{i}}(x_{j}) − f_{k_{ℓ}}}_{≤ \frac{ε}{3} nach (A.6)}(x_{j})| + \underbrace{|f_{k_{ℓ}}(x_{j}) − f_{k_{ℓ}}(x)|}_{≤ \frac{ε}{3} nach (A.5)} ≤ ε,

d.h., für i, ℓ ≥ i_{0}:

∥f_{k_{i}} − f_{k_{ℓ}}∥_{C^{0}(K)} ≤ ε.

Literatur

[AH] Paul Alexandroff, Heinz Hopf, Topologie, Berlin: Springer-Verlag, 1935.

[A] Herbert Amann, Ordinary differential equations. An introduction to nonlinear analysis, Berlin etc.: de Gruyter, 1990.

[BB] Melvyn S. Berger, Marion S. Berger, Perspectives in nonlinearity. An introduction to nonlinear analysis, Mathematics Lecture Note Series, New York, Amsterdam: W.A. Benjamin, 1968.

[Br] Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Beweis der Invarianz der Dimensionszahl, Math. Ann. 70, 305–313 (1911).

[CH] Shui-Nee Chow, Jack K. Hale, Methods of bifurcation theory, New York etc.: Springer-Verlag, 1982.

[Deb] Gerard Debreu, Market equilibrium, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 42, 876–878 (1956).

[Dei] Klaus Deimling, Nonlinear functional analysis, Berlin etc.: Springer-Verlag, 1985.

[Ga] David Gale, The law of supply and demand, Math. Scand. 3, 155–169 (1955).

[GT] David Gilbarg, Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, second edition, Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983.

[He] Erhard Heinz, An elementary analytic theory of the degree of mapping in n-dimensio-nal space, J. Math. Mech. 8, 231–247 (1959).

[LSU] Olga A. Ladyzhenskaya, Vsevolod Solonnikov, Nina N. Uraltseva, Linear and quasilinear equations of parabolic type, Providence: American Mathematical Society (AMS), 1968.

[LU] Olga A. Ladyzhenskaya, Nina N. Uraltseva, Linear and quasilinear elliptic equations, New York etc.: Academic Press, 1968.

[LS] Jean Leray, Jules Schauder, Topologie et equations fonctionnelles, Ann. Ecole Norm., III. Sér. 51, 45–78 (1934).

[Ma] Karl Heinz Mayer, Algebraische Topologie, Basel etc.: Birkhäuser-Verlag, 1989.

[Ni] Hukukane Nikaido, Note on the general economic equilibrium for nonlinear production functions, Econometrica 22, 49–53 (1954).

[Sch] Juliusz Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2, 171–180 (1930).

[Wa] Wolfgang Walter, Analysis 2, 4. Auflage, Berlin etc.: Springer-Verlag, 1995.

[Zei1] Eberhard Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, I: Fixed-point theorems, New York etc.: Springer-Verlag, 1986.

[Zei4] Eberhard Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, IV: Applications to mathematical physics, New York etc.: Springer-Verlag, 1988.

Index

Abbildung kompakte, 48 offene, 28 Ordnung, 21 ungerade, 26, 28 vollstetige, 48

Abbildungsgrad, 6 Additivität, 23 Banachraum, Leray–Schauder, 52, 58 Ganzzahligkeit, 25, 26 Homotopieinvarianz, 10, 20, 59 in ℂ, 8, 10, 12 in ℝ^{n}, 18, 20, 30

allgemeine Definition, 32 Produktsatz, 35, 65

abgeschlossen, Korrespondenz, 42 algebraische Topologie, 5 Analysis

lineare, 5 nichtlineare, 5

Approximation, zulässige, 57 Approximationssatz von Weierstraß, 73, 74 Arzela–Ascoli, 47, 78

Borsuk, 26 Brouwer, 22, 37, 69 Brouwerscher Fixpunktsatz

in ℂ, 11 konvexe Mengen, 40 Kugeln, 21 Simplex, 39

Differentialform, Linienintegral, 7 Differentialgleichungen

gewöhnliche, 4 Existenzsatz von Peano, 50 periodische Lösungen, 41

partielle, 4 Divergenzstruktur, Jacobi–Determinante, 16

Fixpunkt, 4 Fixpunktsatz

Brouwer in ℂ, 11 konvexe Mengen , 40 Kugeln, 21 Simplex, 39 Kakutani, 42 Schauder, 50 Fortsetzungssatz

Banachraum, 63

Tietze, 74 Fredholmsche Alternative, 71 Frobenius, 40 Fundamentalsatz der Algebra, 11

Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades, 25, 26 Gebietsinvarianz

Banachraum, 71

in ℝ^{n}, 28 gewöhnliche Differentialgleichungen, 4 Existenzsatz von Peano, 50 periodische Lösungen, 41

Glättungskern, 72

Gleichgewicht, 5, 42, 44, 47

gleichgradige gleichmäßige Stetigkeit, 48, 78 Greenscher Operator, 4

Homotopieinvarianz Banachraum, 59 in ℂ, 10 in ℝ^{n}, 20

Igelsatz, 22

Index einer Nullstelle, 13, 23, 60

Indexsatz Banachraum, 60 in ℂ, 13 in ℝ^{n}, 23

Invarianz der Dimension, 28 des Gebietes, 28, 71

Jacobi–Determinante, 15, 24–26, 76, 77

Divergenzstruktur, 16 Jordan, 37, 69

Kurvensatz, 36

Kakutani, Fixpunktsatz, 42

kompakt Abbildung, 48

Homotopie, 59 Komponente, 29 Korrespondenz, 42

abgeschlossene, 42 Kurvensatz, Jordanscher, 36

Lemma von Sard, 25, 77 Leray, 35 Leray–Schauder–Abbildungsgrad, 52, 58 lineare Analysis, 5 Linienintegral einer Differentialform, 7 Lösungsoperator, 4

Matrix mit positiven Koeffizienten, 40

nichtlineare Analysis, 5 Nichtretraktionssatz, 41 Nullstelle, 4

Index, 23, 60 Nullstellensatz

Banachraum, 59

in ℂ, 11 in ℝ^{n}, 21

Ordnung einer Abbildung, 21

partielle Differentialgleichungen, 4 Peano, 50 Poincaré, 22 präkompakt, 47 Produktsatz

Banachraum, 65 von Leray, in ℝ^{n}, 35

Punkt, singulärer, 25

Rouché, 11, 21

Sardsches Lemma, 25, 77 Satz

Arzela–Ascoli, 47, 78

Borsuk, 26

Brouwerscher Fixpunktsatz in ℂ, 11 konvexe Mengen, 40 Kugeln, 21 Simplex, 39

Fixpunktsatz von Kakutani, 42 Fortsetzungssatz Banachraum, 63

Tietze, 74 Fredholmsche Alternative, 71 Frobenius, 40 Fundamentalsatz der Algebra, 11 Gale–Nikaido–Debreu, 45 Gebietsinvarianz Banachraum, 71 in ℝ^{n}, 28

Homotopieinvarianz Banachraum, 59 in ℂ, 10 in ℝ^{n}, 20 Igelsatz, 22 Indexsatz

Banachraum, 60

in ℂ, 13 in ℝ^{n}, 23

Invarianz der Dimension, 28

Jordan–Brouwer Banachraum, 69 in ℝ^{n}, 37

Jordanscher Kurvensatz, 36 Lemma von Sard, 25, 77 Nichtretraktionssatz, 41 Nullstellensatz Banachraum, 59 in ℂ, 11 in ℝ^{n}, 21

offene Abbildung, 28

Peano, 50

Poincaré–Brouwer, 22

Produktsatz Banachraum, 65 von Leray, in ℝ^{n}, 35

Rouché in ℂ, 11 in ℝ^{n}, 21

Schauderscher Fixpunktsatz, 50

7ε–Lemma, 19

Transformationsformel klassische, 33 verallgemeinerte, 30

Weierstraßscher Approximationssatz, 73, 74 Schauderscher Fixpunktsatz, 50 singulärer Punkt/Wert, 25

Tietze, 74 Topologie, 28

algebraische, 5 Transformationsformel

klassische, 33

verallgemeinerte, 30

Umformungslemma, 65 ungerade, 26, 28

vollstetig, 48

Weierstraßscher Approximationssatz, 73, 74 Wert, singulärer, 25 Windungszahl, 6 Wirtschaftssystem, 43

Aktion erwünschte, 44 Wert, 44 Gesamtaktion, 44

allseits erwünschte, 44 zulässige, 44 Gleichgewicht, 44, 47 global solides, 46 Preissystem, 44

Wirtschaftstheorie, 5, 42

zulässige Approximation, 57 Zusammenhangskomponente, 29 Zwischenwertsatz, 6