Übungsaufgaben zur Vorlesung ”Fixpunktsätze”

1. (a) Sei A ⊂ ℝ^{n} abgeschlossen. Man zeige: Es gibt eine Folge (a_{k})_{k∈ℕ} ⊂ A, die dicht in A liegt.

(b) Man nennt einen metrischen Raum X separabel, falls er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie in Verallgemeinerung von (a): Jeder Teilraum Y eines separablen metrischen Raumes X ist wieder separabel.

2. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet. Konstruieren Sie eine stetige bzw. eine beliebig oft differenzierbare Funktion φ : ℝ^{n} → ℝ, so daß für alle x ∈ ℝ^{n} gilt: 0 ≤ φ(x) ≤ 1 sowie

φ(x) = \{ \begin{matrix}1, & falls x ∈ Ω; \\ 0, & falls dist(x, Ω) ≥ 1. \end{matrix}

3. Sei n ≥ 2. Man zeige: ℝ^{n} \ \overline{B_{1}(0)} ist zusammenhängend.

4. Sei n ≥ 2, es sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} bijektiv und stetig. Außerdem gelte lim_{|x|→∞} |f(x)| = ∞. Man zeige: f(S^{n−1}) zerlegt ℝ^{n} in genau zwei disjunkte Gebiete, deren gemeinsamer Rand f(S^{n−1}) ist.

5. Sei Ω ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, dessen glatter Rand ∂Ω durch die glatte reguläre einfach geschlossene Kurve γ : [a, b] → ℂ, t ↦ γ(t) = x(t) + iy(t) gegeben werde. Dabei sei der Durchlaufsinn von γ so gewählt, daß durch

ν(t) = \frac{1}{\sqrt{x^{′2}(t) + y^{′2}(t)}} (y′(t), −x′(t))

ein äußeres Einheitsnormalenfeld an ∂Ω in z = γ(t) = x(t)+i y(t) gegeben werde. Weiter seien f, g in einer Umgebung von \overline{Ω} definiert und stetig differenzierbar. Man definiert allgemein das Kurvenintegral

∫_{γ} (f dx + g dy) := ∫_{a}^{b} (f(γ(t)) · x′(t) + g(γ(t)) · y′(t)) dt.

Der Satz von Stokes lautet dann:

∫_{γ} (f dx + g dy) = ∫_{Ω} (−\frac{∂f}{∂y} + \frac{∂g}{∂x}) d(x, y).

(a) Leiten Sie den Satz von Stokes für den Spezialfall Ω = B_{R}(0) direkt aus dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung her.

(b) Leiten Sie den allgemeinen Satz von Stokes aus dem Satz von Gauß her.

6. (a) Man bestimme den Abbildungsgrad d(z ↦ z̄, B_{R}(0), 0).

(b) Beweisen Sie den Fundamentalsatz der Algebra, indem Sie auf geeignetem B_{R}(0) den Abbildungsgrad von z ↦ z^{k} bestimmen.

7. Gegeben sei ein Polynom n–ten Grades

P (z) = z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ... + a_{1}z + a_{0}, a_{j} ∈ ℂ.

Ist es möglich, daß für alle z ∈ ℂ mit |z| = 1 gilt:

|P (z)| < 1?

8. (a) Die Abbildung u : ℝ^{2} ≅ ℂ → ℝ sei zweimal stetig differenzierbar und habe in 0 ein strenges lokales Maximum bzw. Minimum bzw. Sattel, d. h. ∇u(0) = 0 und Hess u(0) negativ definit bzw. positiv definit bzw. indefinit. Betrachte das Gradientenfeld f(z) = u_{x}(z) + iu_{y}(z). Man zeige: ind (f, 0) = 1 bzw. 1 bzw. −1.

(b) Sei u : ℝ^{2} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, für ein geeignetes R gelte: für |z| ≥ R ist u(x, y) = ax + by, mit a, b ∈ ℝ, a^{2} + b^{2} ≠ 0. Ferner habe u einen nichtdegenerierten kritischen Punkt wie in a). Man zeige: Dann hat u mindestens einen weiteren kritischen Punkt.

9. Anhand von einfachen Beispielen ”prüfe“ man die Notwendigkeit der Bedingungen ω(r) = 0 für r ≤ δ und für r ≥ ε.

10. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen.

(a) Sei x_{0} ∈ ℝ, x_{0} ∉ ∂Ω. Man bestimme den Abbildungsgrad von f = σ(Id − x_{0}), σ ∈ ℝ \ {0}.

(b) Sei f ∈ C^{1}(ℝ^{n}, ℝ^{n}) bijektiv, f^{−1} ∈ C^{1}, f ≠ 0 auf ∂Ω.

Man bestimme d(f, Ω, 0) mit Hilfe der Transformationsformel.

11. Für hinreichend glattes f, f|∂Ω ≠ 0, und glattes Ω definiere man d(f, Ω, 0) mit Hilfe eines Oberflächenintegrals und vergleiche mit der ursprünglichen Definition des Abbildungsgrades für Funktionen ℂ → ℂ.

12. Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt und offen, 0 ∈ Ω, f : \overline{Ω} → ℝ^{n} sei stetig. Für alle x ∈ ∂Ω gelte:

f(x) · x > 0.

Dann besitzt f in Ω eine Nullstelle.

13. Sei f : [a_{1}, b_{1}] × … × [a_{n}, b_{n}] → ℝ^{n} stetig.

Es gelte für i = 1, ..., n , x_{j} ∈ [a_{j}, b_{j}] (j ≠ i):

f_{i}(x_{1}, ..., x_{i−1}, a_{i}, x_{i+1}, ..., x_{n}) ≥ 0

und

f_{i}(x_{1}, ..., x_{i−1}, b_{i}, x_{i+1}, ..., x_{n}) ≤ 0.

Man zeige: f besitzt eine Nullstelle.

14. Sei Ω offen, beschränkt und konvex. Man zeige, daß der Brouwersche Fixpunktsatz auch auf \overline{Ω} gilt. Hinweis: Arbeiten Sie mit dem in der Veranstaltung vorgestellten Minkowski–Funktional. Zusatz: Was kann man sagen, wenn K ≠ ∅ kompakt und konvex ist, aber nicht mehr notwendigerweise innere Punkte enthält, und f : K → K stetig ist?

15. Sei n ungerade, f : S^{n−1} → S^{n−1} sei stetig.

Dann gibt es ein ζ ∈ S^{n−1} mit f(ζ) = ζ oder f(ζ) = −ζ.

16. Sei f : \overline{B_{1}(0)} → ℝ^{n} stetig, für alle x ∈ \overline{B_{1}(0)} gelte f(x) ≠ 0. Dann existieren Zahlen λ_{1} > 0, λ_{2} < 0 und Punkte ζ_{1}, ζ_{2} ∈ S^{n−1} mit f(ζ_{1}) = λ_{1}ζ_{1} , f(ζ_{2}) = λ_{2}ζ_{2}.

17. (Satz von Borsuk-Ulam)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt, offen und symmetrisch mit 0 ∈ Ω. Sei f : ∂Ω → ℝ^{m} ↪ ℝ^{n}, m < n, stetig. Dann existiert ζ ∈ ∂Ω mit f(ζ) = f(−ζ).

Beispiel: n = 3, m = 2, Ω = Erde f(x) = \binom{Temp.}{Druck} ⇒ An zwei antipodalen Punkten auf der Erdoberfläche stimmen Druck und Temperatur überein.

18. Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} stetig und lokal injektiv, für |x| → ∞ gelte |f(x)| → ∞. Man zeige: f(ℝ^{n}) = ℝ^{n}.

19. Sei φ ∈ C^{2}(ℝ^{n}, ℝ) mit φ(x) → −∞ für |x| → +∞ und ∇φ(x) ≠ 0 für |x| ≥ R, R > 0 geeignet. Man zeige, daß für alle r ≥ R gilt:

d(∇φ, B_{r}(0)) = (−1)^{n}.

Anleitung: Man arbeite auf Niveaumengen für φ. Für geeignetes Ω und x ∈ \overline{Ω} betrachte man das Anfangswertproblem

u_{t}(t, x) = ∇φ(u(t, x)),  t ≥ 0,
u(0, x) = x

und zeige, daß für alle t > 0 gilt:

d(u(t, .) − Id, Ω) = d(∇φ, Ω).

Schließlich zeige man, daß für hinreichend große t und x ∈ ∂Ω der ”Fluß“ u(t, x) relativ klein zu Id(x) = x ist.

20. Man überlege sich die Produktformel für den Abbildungsgrad mit Hilfe von Hilfssatz 3.7, dabei können die beteiligten Abbildungen und die auftretenden ”Null-“Stellen als so regulär wie benötigt angenommen werden.

21. Sei f ∈ C^{1}(ℝ × ℝ^{n}, ℝ^{n}), es gebe ein ω > 0, so daß für alle (t, x) ∈ ℝ × ℝ^{n} gilt: f(t + ω, x) = f(t, x). Ferner sei φ ∈ C^{2}(ℝ^{n}), φ(x) → −∞ für |x| → ∞; es gebe ein R > 0, so daß für alle |x| ≥ R und t ≥ 0 gilt:

∇φ(x) · f(t, x) > 0.

Man zeige, daß die Differentialgleichung

u′(t) = f(t, u(t))

eine ω-periodische Lösung besitzt.

22. (Satz von Jentzsch)

Sei ∅ ≠ C^{∘} ⊂ C ⊂ ℝ^{n} und C kompakt, für den Integralkern K ∈ C^{0}(C × C) gelte K(x, y) > 0 für alle x, y ∈ C. Man zeige: Es gibt einen positiven Eigenwert λ > 0 und eine strikt positive Eigenfunktion f ∈ C^{0}(C) von

∫_{C} K(x, y)f(y)dy = λf(x).

23. Sei V ein Banachraum.

Man zeige: M ⊂ V ist präkompakt ⇔ \overline{M} ist kompakt.

24. Sei V ein Banachraum, F : V → V sei eine stetige Abbildung, so daß für jede beschränkte Menge B ⊂ V das Bild F (B) präkompakt ist. Außerdem existiere eine Zahl K ∈ ℝ mit der folgenden Eigenschaft: Ist x ∈ V für ein τ ∈ [0, 1] Lösung der Gleichung x − τF (x) = 0, so ist ∥x∥ ≤ K. Dann gilt: F hat in V einen Fixpunkt. (Methode der a-priori-Schranken.) Hinweis: Mit Hilfe von F konstruiere man eine kompakte Abbildung F : \overline{B_{K+1}(0)} → \overline{B_{K+1}(0)}.

25. Sei V ein Banachraum, M ⊂ V. Dann sind äquivalent:

(i) M ist präkompakt.

(ii) Zu jedem δ > 0 existiert eine Zahl n ∈ ℕ und n Punkte x_{1,}..., x_{n} ∈ M mit M ⊂ ⋃_{j=1}^{n} B_{δ}(x_{j}).

Hinweis: Man verwende die Äquivalenz von Folgen- und Überdeckungskompaktheit.

26. Sei V ein Banachraum, (x_{k})_{k∈ℕ} eine Folge, die keine (in V) konvergente Teilfolge besitzt. Dann gibt es ein δ > 0 und eine Teilfolge (x_{k_{i}})_{i∈ℕ}, so daß für alle i ≠ j gilt:

∥x_{k_{i}} − x_{k_{j}}∥ ≥ δ.

27. Sei Ω ⊂ V offen; die Abbildung F : Ω → V heißt in x_{0} ∈ Ω (Fréchet-) differenzierbar, falls gilt: Es gibt eine beschränkte lineare Abbildung A : V → V, ein ε > 0 und eine Abbildung R : B_{ε}(x_{0}) → V mit lim_{x→x_{0}} \frac{∥R(x)∥}{∥x−x_{0}∥} = 0, so daß F in B_{ε}(x_{0}) die Darstellung besitzt:

F (x) = F (x_{0}) + A(x − x_{0}) + R(x).

In diesem Fall heißt A =: DF (x_{0}) das (Fréchet-) Differential von F im Punkte x_{0}.

Man zeige: Ist F : Ω → V kompakt und in x_{0} ∈ Ω differenzierbar, so ist DF (x_{0}) eine kompakte lineare Abbildung, bildet also beschränkte Mengen auf präkompakte ab.

28. Sei V = c^{0} = Menge aller reellen Nullfolgen = {x = (x_{ℓ})_{ℓ∈ℕ} : x_{ℓ} ∈ ℝ, lim_{ℓ→∞} x_{ℓ} = 0}, zusammen mit ∥x∥ := ∥x∥_{c^{0}} = max_{ℓ∈ℕ} |x_{ℓ}| wird V ein Banachraum (ohne Beweis). Sei F : V → V, F (x) = (x_{ℓ}^{2})_{ℓ∈ℕ}. Man zeige: F ist an jeder Stelle x ∈ V Fréchet–differenzierbar, und DF (x) ist eine kompakte lineare Abbildung. Dagegen ist F |\overline{B_{1}(0)} nicht kompakt. D. h., die Umkehrung von Aufgabe 27 gilt nicht.

29. Sei Ω ⊂ V offen, F : Ω → V sei kompakt und in x_{0} ∈ Ω Fréchet-differenzierbar. Das Differential Id − DF (x_{0}) sei injektiv. Ferner habe Id − F in x_{0} eine Nullstelle: x_{0} − F (x_{0}) = 0. Man zeige: Die Nullstelle x_{0} ist isoliert, und es gilt:

ind(Id − F, x_{0}) = ind(Id − DF (x_{0}), 0).

Hinweis: Aufgabe 27.

30. Zusätzlich zu den Voraussetzungen von Aufgabe 29 gelte: V ist ein Hilbertraum , d. h. es gibt ein Skalarprodukt, so daß für alle x ∈ V gilt: ∥x∥^{2} = ⟨x, x⟩.

Das Differential von F in x_{0} sei selbstadjungiert – für alle x, y ∈ V ist ⟨DF (x_{0})x, y⟩ = ⟨x, DF (x_{0})y⟩ – und besitze in (1, ∞) N ∈ ℕ_{0} Eigenwerte λ_{1}, … λ_{N}; jeder Eigenwert wird entsprechend seiner Vielfachheit aufgeführt. (Die endliche Anzahl in (1, ∞) folgt bereits aus der Kompaktheit von DF (x_{0})).

Man zeige: ind(Id − F, x_{0}) = (−1)^{N}.

31. Sei Ω ⊂ V offen, beschränkt, 0 ∈ Ω. Sei F : \overline{Ω} → V kompakt und d(Id − F, Ω) ≠ 1. Man zeige: Dann hat F einen positiven Eigenwert, d. h. es gibt x ∈ Ω, x ≠ 0, λ > 0, so daß F (x) = λx.

32. Sei Ω ⊂ V offen, beschränkt, F : \overline{Ω} → V sei kompakt, 0 ∉ (Id − F)(∂Ω), es gelte d(Id − F, Ω) ≠ 0. Die Abbildung G : V → V genüge der Lipschitz-Bedingung ∥G(x) − G(y)∥ ≤ K∥x−y∥ für alle x, y ∈ V mit einer geeigneten Konstanten K > 0. Man zeige: Es gibt ein ε_{0} > 0, so daß für jedes |ε| ≤ ε_{0} die Gleichung

x = F (x) + εG(x)

eine Lösung x ∈ Ω besitzt. Anleitung: Man zeige für hinreichend kleine |ε|, daß

• Id − εG ein Homöomorphismus von V ist (Banachscher Fixpunktsatz),

• für x ∈ V die Abbildung [0, 1] ∋ τ → (Id − ετG)^{−1}(x) stetig ist,

• daß [0, 1] × \overline{Ω} → V, H(τ, x) = (Id − ετG)^{−1}F (x) eine zulässige Homotopie ist.